Mối liên hệ giữa các mạng trong không gian topo

Một số tính chất liên quan đến tập mở và tiên đề tách trong siêu không gian Pixley-Roy... Lutzer đã chính thức đưa ra khái niệm về topoPixley-Roy trên tập PR[X] bao gồm tất cả các tập co

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng, 05/2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng, 05/2023

Lời đầu tiên của khóa luận tốt nghiệp, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắcđến thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ

em trong suốt quá trình học tập cũng như trong việc hoàn thành đề tài

Tuy gặp không ít khó khăn khi thực hiện đề tài nhưng nhờ sự độngviên từ quý thầy cô, gia đình và bạn bè, em đã nỗ lực tìm tòi học hỏiđược nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và hoàn thành bài khóa luận tốtnghiệp của mình Dẫu vậy, vì sự hạn chế về kiến thức, khả năng lý luận

và thời gian nghiên cứu nên bài khóa luận tốt nghiệp chắc vẫn còn nhữngthiếu sót, em mong nhận được sự chỉ dẫn và góp ý từ quý thầy cô để bàikhóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Trần Nam Tiến

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

1.1 Không gian topo, tập hợp mở 5

1.2 Lân cận 7

1.3 Tập hợp đóng 9

1.4 Bao đóng của tập hợp 9

1.5 Phần trong của tập hợp 11

1.6 Cơ sở, cơ sở lân cận của không gian topo 13

1.7 Một số tiên đề tách 15

1.8 Không gian compact 15

1.9 Sự hội tụ, điểm tụ, điểm cô lập trong không gian topo 16

CHƯƠNG 2 Mối liên hệ giữa các mạng trong không gian topo 17

2.1 Siêu không gian Pixley-Roy 17

2.2 Mối liên hệ giữa các mạng trong không gian topo và siêu không gian Pixley-Roy 23

2.3 Một số tính chất liên quan đến tập mở và tiên đề tách trong siêu không gian Pixley-Roy 40

KẾT LUẬN 45TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vào mùa xuân năm 1969, tại Hội nghị topo được tổ chức hàng năm

ở Đại học Auburn, Hoa Kỳ, một trong những kết quả thú vị được trìnhbày ở đây là Carl Pixley và Prabir Roy đã đưa ra một cấu trúc topo hoàntoàn mới về một ví dụ trong Lý thuyết không gian Moore Sau nhiều nămnghiên cứu, người ta khẳng định rằng cấu trúc topo mà Carl Pixley vàPrabir Roy đã đưa ra thực sự quan trọng trong việc nghiên cứu về khônggian Moore

Đến năm 1978, D J Lutzer đã chính thức đưa ra khái niệm về topoPixley-Roy trên tập PR[X] bao gồm tất cả các tập con khác rỗng và hữuhạn của một không gian topo X, sau này người ta gọi PR[X] là siêu khônggian Pixley-Roy Tác giả đã thu được nhiều kết quả quan trọng về tínhđếm được, mối liên hệ giữa các tính chất topo trên X với các tính chấttopo trên PR[X] Từ đó, sức hút của topo Pixley-Roy ngày càng lớn, cácnhà toán học đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu về nó, nhiều kết quảhấp dẫn đã thu được về không gian con, tính khả metric, tính compact,tính paracompact,

Trong những năm gần đây, các nhà toán học dành nhiều nghiên cứu vềmối liên hệ giữa các tính chất topo trong không gian topo X với các tínhchất topo trong siêu không gian Pixley-Roy PR[X] Đặc biệt, mối liên hệgiữa các tính chất mạng trong không gian topo cũng là một chủ đề thuhút được nhiều sự quan tâm đã được đưa ra, nổi bật nhất trong nhữngnăm gần đây có thể kể đến X Liu, C Liu, S Lin,

Khám phá ra sự mới mẻ này, với mong muốn được hiểu sâu hơn về siêukhông gian Pixley-Roy, nghiên cứu về các tính chất mạng trong không

gian topo X và siêu không gian Pixley-Roy PR[X] tương ứng của nó, dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết địnhchọn đề tài: “Mối liên hệ giữa các mạng trong không gian topo” làm đề tàikhóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu các tính chất mạng trong khônggian topo X và siêu không gian Pixley-Roy PR[X] tương ứng của nó Đưa

ra các kết quả mới và mở rộng một số kết quả của các tác giả đi trước

3 Đối tượng nghiên cứu

Các tính chất mạng, siêu không gian Pixley-Roy PR[X]

4 Phạm vi nghiên cứu

Mối liên hệ giữa các tính chất mạng trong không gian topo X và siêukhông gian Pixley-Roy PR[X] tương ứng của nó

5 Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cươngliên quan đến đề tài khóa luận

• Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đếnmối liên hệ giữa các tính chất mạng trong không gian topo và siêukhông gian PR[X]

• Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

• Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quảđang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình

6 Cấu trúc của đề tài

Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương Ngoài ra, đề tài cóLời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo

Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương này dành cho việc trình bày một sốkiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minhcác kết quả ở Chương 2.

Chương 2: Mối liên hệ giữa các mạng trong không gian topo Trongchương này, đầu tiên chúng tôi nghiên cứu về siêu không gian Pixley-Roy

và đưa ra các kết quả về mối liên hệ giữa các tính chất mạng trong khônggian topo và siêu không gian Pixley-Roy Sau đó, chúng tôi nghiên cứu vềtiên đề tách trên siêu không gian Pixley-Roy

Mục 2.1, trình bày về siêu không gian Pixley-Roy Mục này dành choviệc trình bày và chứng minh chi tiết lại một số khái niệm và kết quả liênquan đến siêu không gian Pixley-Roy của các tác giả đi trước

Mục 2.2, trình bày một số kết quả về tính chất mạng trong không giantopo Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về mối liên hệgiữa các mạng trong không gian topo X và siêu không gian Pixley-Roy

PR[X] tương ứng của nó

Mục 2.3, trình bày một số tính chất liên quan đến tiên đề tách trongsiêu không gian Pixley-Roy Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số kếtquả mới về các tiên đề tách (T0-không gian, T1-không gian,T2-không gian

và T3-không gian)

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về topo đại cương.Các khái niệm và các tính chất trình bày trong chương này được chúngtôi lấy trong [6] nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính củachương sau Trong chương này, chúng tôi ký hiệu

N = {1, 2, 3, }

1.1 Không gian topo, tập hợp mở

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập hợp và τ là một họ gồm các tậpcon nào đó của X thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ∅, X ∈ τ ;

2) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ, thì S

α∈Λ

Uα ∈ τ;3) Nếu U, V ∈ τ, thì U ∩ V ∈ τ

Khi đó,

ˆ τ được gọi là một topo trên X

ˆ Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo

ˆ Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở

ˆ Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó

Nhận xét 1.1.2 Đối với không gian topo (X, τ ), ta có:

1) ∅, X là các tập hợp mở trong X.

2) Hợp tùy ý các tập mở trong X là tập mở trong X

3) Giao hữu hạn các tập mở trong X là tập mở trong X Tuy nhiên,giao tùy ý các tập mở trong X có thể không mở trong X

Chứng minh (1), (2) Được suy trực tiếp từ định nghĩa của topo

(3) Giao hữu hạn các tập mở trong X là tập mở trong X Điều nàyđược suy trực tiếp từ định nghĩa của topo

Bây giờ, ta chứng minh giao tùy ý các tập hợp mở trongX có thể không

là tập hợp mở trong X Thật vây, giả sử R là tập số thực với topo thôngthường Ta đặt

với mọi n ∈ N.

1.2 Lân cận

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là tập con khác rỗng của không gian topo

(X, τ ) Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của tập A nếutồn tại V ∈ τ sao cho

A ⊂ V ⊂ U

Ngoài ra, nếu U ∈ τ, thì ta nói rằng U là lân cận mở của A Đặc biệt, nếu

A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x

Nhận xét 1.2.2 Giả sử (X, τ ) là không gian topo và A ⊂ X Khi đó,

1) Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp mở Tuynhiên, mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó

2) Giao hữu hạn các lân cận của A cũng là một lân cận của A Tuynhiên, giao tùy ý các lân cận của A có thể không là lân cận của A

Chứng minh (1) Xét trên tập số thực R với topo thông thường τ, giả sử

U = [−1; 1] và V = (−1; 1) Khi đó, V ∈ τ và x = 0 ∈ V ⊂ U, kéo theo

U là lân cận của điểm x = 0 Tuy nhiên, U /∈ τ, do đó lân cận của mộtđiểm không nhất thiết là một tập hợp mở

Ngược lại, giả sử rằng U là tập hợp mở và x ∈ U Khi đó, nếu ta đặt

V = U thì V ∈ τ và x ∈ V = U ⊂ U Như vậy, U là lân cận của x

(2) Giả sử E, F là hai lân cận của A trongX Khi đó, tồn tại U, V ∈ τ

sao cho

A ⊂ U ⊂ E và A ⊂ V ⊂ F,

kéo theo

A ⊂ U ∩ V ⊂ E ∩ F

Do đó, E ∩ F là lân cận của A trong X

Tiếp theo, giả sử R là tập số thực với topo thông thường Ta đặt

với mọi n ∈ N.

Khi đó, theo chứng minh của Nhận xét 1.1.2, T

n∈N

An = {0} không là mộtlân cận của 0

Bổ đề 1.2.3 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó, các mệnh đềsau là tương đương

1) U là tập hợp mở;

2) U là lân cận của mỗi điểm thuộc nó;

3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U

Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U mở và x ∈ U Nếu ta lấy V = U, thì

rõ ràng V ∈ τ và x ∈ V ⊂ U Như vậy, U là lân cận của x

(2) =⇒ (3) Giả sử U là lân cận của mỗi x ∈ U Khi đó, với mọi x ∈ U,

ta lấy Vx = U, thì Vx là lân cận của x và

x ∈ Vx ⊂ U

Do đó, (3) thỏa mãn

(3) =⇒ (1) Giả sử với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho

x ∈ Vx ⊂ U Khi đó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho

nên X \ (F1 ∪ F2) ∈ τ Như vậy, F1 ∪ F2 ∈ D.

(3) Giả sử {Fi : i ∈ I} ⊂ D, khi đó vì Fi là tập đóng, với mọi i ∈ I

nên X \ Fi ∈ τ, với mọi i ∈ I Mặt khác, vì

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ) Khi

đó, giao của các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao đóng của

A và ký hiệu A Như vậy,

A = T

{F ⊂ X : F đóng, A ⊂ F }

Nhận xét 1.4.2 Đối với không gian topo (X, τ ), ta có:

Bây giờ, giả sử A = A, theo khẳng định (2) thì rõ ràng rằng A là tậpcon đóng trong X

(4) Ta có A ⊂ B ⊂ B nên B là tập đóng chứa A Mặt khác, vì A làtập đóng nhỏ nhất chứa A nên A ⊂ B

Định lí 1.4.3 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, F ⊂ X Khi đó,

x ∈ F khi và chỉ khi với mọi lân cận mở V của x, ta đều có V ∩ F ̸= ∅

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x ∈ F và V là một lân cận mở của

x Ta phải chứng minh rằng V ∩ F ̸= ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại rằng

V ∩ F = ∅ Khi đó, F ⊂ X \ V, kéo theo F ⊂ X \ V Bởi vì V ∈ τ nên

X \ V đóng, kéo theo X \ V = X \ V Do đó, F ⊂ X \ V, kéo theo

x ∈ F ∩ V = ∅

Nhờ mâu thuẫn này, ta suy ra điều phải chứng minh

Điều kiện đủ Giả sử mỗi lân cận mở V bất kỳ của x, ta đều có

V ∩ F ̸= ∅

Ta phải chứng minh x ∈ F Thật vậy, giả sử ngược lại rằng x /∈ F Khi

đó, x ∈ X \ F Bởi vì F đóng nên X \ F là lân cận mở của x Theo giảthiết điều kiện đủ, ta suy ra F ∩ (X \ F ) ̸= ∅ Do đó,

∅ ̸= F ∩ (X \ F ) ⊂ F ∩ (X \ F ) = ∅,

Đây là một mâu thuẫn

1.5 Phần trong của tập hợp

Định nghĩa 1.5.1 Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ) Khi

đó, hợp của tất cả các tập con mở nằm trong A được gọi là phần trongcủa A, và ký hiệu IntA Như vậy,

IntA = S

{V ∈ τ : V ⊂ A}

Nhận xét 1.5.2 Giả sử A,B là các tập con của không gian topo (X, τ ).Khi đó,

1) IntA là tập con mở lớn nhất trong A;

2) A mở khi và chỉ khi IntA = A;

3) Nếu A ⊂ B, thì IntA ⊂IntB.

Chứng minh (1) Bởi vì IntA = S

{V ∈ τ : V ⊂ A} nên IntA là tập con

mở nằm trong A Bây giờ, giả sử G là tập mở lớn nhất nằm trong A Suy

ra G ∈ {V ∈ τ : V ⊂ A} Do đó,

G ⊂ S

{V ∈ τ : V ⊂ A} = IntA.(2) Giả sử A mở, khi đó A ∈ {V ∈ τ : V ⊂ A} Suy ra

Định lí 1.5.3 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

1) Int(A ∩ B) = IntA ∩IntB;

2) IntA ∪IntB ⊂ Int(A ∪ B), đẳng thức không xảy ra;

Lại vì Int(A ∩ B) ⊂ IntA và Int(A ∩ B) ⊂ IntB nên

Int(A ∩ B) ⊂ IntA ∩IntB (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra điều phải chứng minh

(2) Bởi vì IntA ⊂ A và IntB ⊂ B nên IntA ∪IntB ⊂ A ∪ B Do đó,IntA ∪IntB là tập mở nằm trong A ∪ B Mặt khác, vì Int(A ∪ B) là tập

mở lớn nhất nằm trong A ∪ B nên IntA ∪IntB ⊂Int(A ∪ B)

Bây giờ, ta chứng minh đẳng thức không xảy ra

Thật vậy, xét R là tập số thực với topo thông thường Ta lấyA = (0; 1),

B = [1; 2) Khi đó,

IntA = (0; 1), IntB = (1; 2) và Int(A ∪ B) = (0; 2)

Như vậy, Int(A ∪ B) ̸= IntA ∪IntB

Nhờ (1.3) và (1.4) ta suy ra điều phải chứng minh

1.6 Cơ sở, cơ sở lân cận của không gian topo

Định nghĩa 1.6.1 Cho (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ Ta nóirằng B là cơ sở của τ hay của (X, τ ) nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào

đó các phần tử của B.

Nhận xét 1.6.2 B là cơ sở của τ khi và chỉ khi với mỗi U ∈ τ, với mỗi

x ∈ U, tồn tại B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ U

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử B là cơ sở của τ, U ∈ τ và x ∈ U

Khi đó, theo định nghĩa cơ sở, tồn tại họ {Bα : α ∈ Λ} ⊂ B sao cho

x ∈ U = S

α∈Λ

Bα Do đó, tồn tại α0 ∈ Λ sao cho x ∈ Bα0 Như vậy, tồn tại

Bα0 ∈ B sao cho x ∈ Bα0 ⊂ U

Điều kiện đủ Giả sử rằng với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U, tồn tại

B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ U Ta chứng minh rằng B là cơ sở của τ

Thật vậy, giả sử U ∈ τ Khi đó, theo giả thiết ta suy ra với mọi x ∈ U,

tồn tại Bx ∈ B sao cho x ∈ Bx ⊂ U Ta có

Như vậy, U là hợp nào đó các phần tử của B

Định lí 1.6.3 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B là cơ sở của τ

Khi đó,

1) Với mọi x ∈ X, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U

2) Với mọi U, V ∈ B, x ∈ U ∩ V, tồn tại W ∈ B sao cho

x ∈ W ⊂ U ∩ V

Chứng minh (1) Giả sử x ∈ X, khi đó vì x ∈ X ∈ τ và B là cơ sở của τ

nên theo Nhận xét 1.6.2, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ X

(2) Giả sử U, V ∈ B và x ∈ U ∩ V Khi đó, vì B ⊂ τ nên U, V ∈ τ, kéotheo U ∩ V ∈ τ Mặt khác, vì B là cơ sở của τ nên theo Nhận xét 1.6.2,tồn tại W ∈ B sao cho x ∈ W ⊂ U ∩ V

Định nghĩa 1.6.4 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, B ⊂ τ và Bx

là họ nào đó gồm các lân cận của x ∈ X Khi đó, Bx được gọi là cơ sởlân cận của tại x nếu với mọi lân cận V của x, tồn tại B ∈ Bx sao cho

x ∈ B ⊂ V

Định nghĩa 1.6.5 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó, X

được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu với mỗi

x ∈ X, tồn tại cơ sở lân cận Bx đếm được

1.7 Một số tiên đề tách

Định nghĩa 1.7.1 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

1) (X, τ ) được gọi là T0-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x ̸= y,tồn tại V ∈ τ chứa đúng một trong hai điểm này

2) (X, τ ) được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x ̸= y,tồn tại các lân cận mở U của x và V của y sao cho x /∈ V, y /∈ U

3) (X, τ ) được gọi là T2-không gian hay là không gian Hausdorff nếu vớimọi x, y ∈ X mà x ̸= y, tồn tại các lân cận mở U của x và V của y

sao cho U ∩ V = ∅

4) (X, τ ) được gọi là không gian chính quy nếu với mọi F đóng, x /∈ F,

tồn tại các lân cận mở U của x và V của F sao cho U ∩ V = ∅.5) (X, τ )được gọi làT3-không gian nếu X làT1-không gian và chính quy.Định lí 1.7.2 Giả sử (X, τ ) là không gian topo Khi đó, X là T1-khônggian khi và chỉ khi tập một điểm {x} là tập đóng trong X với mọi x ∈ X.1.8 Không gian compact

Định nghĩa 1.8.1 Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ) và

U = {Vα}α∈I là họ bao gồm các tập con nào đó của X Khi đó,

1) U được gọi là một phủ của A nếu A ⊂ S

α∈I

Vα

2) V được gọi là phủ con của U phủ A nếu V ⊂ U và V phủ A.

3) Một phủ U của A được gọi là phủ mở của A nếu U phủ A và U ⊂ τ

Định nghĩa 1.8.2 Giả sử K là tập con của không gian topo (X, τ ) Khi

đó, K được gọi là tập con compact trongX nếu mọi phủ mở củaK, tồn tạiphủ con hữu hạn Nếu K = X, thì ta nói rằng X là không gian compact.Định nghĩa 1.8.3 Giả sử K là tập con của không gian topo (X, τ ) Khi

đó, K được gọi là tập con compact đếm được trong X nếu với mọi phủ mởđếm được của K, tồn tại phủ con hữu hạn

1.9 Sự hội tụ, điểm tụ, điểm cô lập trong không gian topo

Định nghĩa 1.9.1 Giả sử (X, τ ) là không gian topo, {xn} ⊂ X Khi đó,

{xn} được gọi là hội tụ đến x0 trong X nếu với mọi lân cận V của x0, tồntại N ∈ N sao cho {x0} ∪ {xn : n ≥ N } ⊂ V

Định nghĩa 1.9.2 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A ⊂ X và

x ∈ X Ta nói A tụ tại điểm x hay x là điểm tụ của A nếu mọi lân cậncủa x chứa vô hạn phần tử của A

Định nghĩa 1.9.3 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A ⊂ X và

x ∈ X Khi đó, x được gọi là điểm cô lập của A nếu tồn tại lân cận mở U

của x sao cho U ∩ A = {x}

CHƯƠNG2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC MẠNG TRONG KHÔNG GIAN TOPO

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiếtmột số kết quả của các tác giả đi trước trong siêu không gian Pixley-Roy.Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về mối liên hệ giữa cácmạng trong không gian topoX và siêu không gian Pixley-Roy PR[X]tươngứng của nó Các kết quả này được trình bày ở các Định lí 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4,2.2.5, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.11, 2.2.12, 2.2.13, 2.2.15 và Ví dụ 2.2.16 Sau

đó, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới liên quan đến tập mở và tiên đềtách trong siêu không gian Pixley-Roy Các kết quả này được trình bày ởcác Định lí 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4 và Hệ quả 2.3.5

Các kết quả chính của đề tài được lấy trong ba bài báo [1], [2], [3], trong

đó bài [1], [2] đã được đăng trên Tạp chí Khoa học và Công nghệ - Đạihọc Đà Nẵng và bài [3] đang chỉnh sửa để gửi tạp chí

Ngoài ra, giả sử rằng U là họ nào đó gồm các tập con của không giantopo (X, τ ), ta ký hiệu

2.1 Siêu không gian Pixley-Roy

Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và chứng minh chitiết một số tính chất, kết quả liên quan đến siêu không gian Pixley-Roy

của các tác giả đi trước, được chúng tôi tham khảo trong [7].

Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và ký hiệu PR[X] là họ gồm tất

cả các tập con khác rỗng, hữu hạn của X

[F, A] = {H ∈PR[X] : F ⊂ H ⊂ A}

Trên PR[X], ta xét họ

B = {[F, V ] : F ∈ PR[X], V ∈ τ }

Định lí 2.1.1 B là cơ sở của một topo P nào đó trên PR[X]

Chứng minh Ta gọi P là họ mà mỗi phần tử của P là hợp nào đó cácphần tử của B Ta sẽ chứng minh hai khẳng định sau:

• Khẳng định 1: Với mọi H ∈ PR[X], tồn tại A ∈ B sao cho H ∈ A.Thật vậy, vì H ⊂ H ⊂ X nên H ∈ [H, X] Mặt khác, vì X ∈ τ nên

[H, X] ∈B Như vậy, tồn tại [H, X] ∈ B sao cho H ∈ [H, X]

• Khẳng định 2: Với mọi A1, A2 ∈ B và H ∈ A1 ∩ A2, tồn tại A ∈Bsao cho

H ∈ A ⊂ A1 ∩ A2

Thật vậy, giả sửA1 = [F1, A1] ∈ B,A2 = [F2, A2] ∈ B vàH ∈ A1∩A2.Khi đó, F1, F2 ∈ PR[X] và A1, A2 ∈ τ, kéo theo

F1 ∪ F2 ∈ PR[X] và A1 ∩ A2 ∈ τ

Định nghĩa 2.1.2 Topo P được xác định trong Định lí 2.1.1 được gọi

là topo Pixley-Roy của PR[X], và (PR[X],P

) được gọi là siêu không gianPixley-Roy

Định lí 2.1.3 Giả sử U, V là các tập con của không gian topo (X, τ ) và

F, G ∈ PR[X] sao cho F ⊂ U, G ⊂ V Khi đó,

1) [F, U ] ∩ [G, V ] = [F ∪ G, U ∩ V ]

2) [F, U ] ∩ [G, V ] = ∅ khi và chỉ khi F ̸⊂ V hoặc G ̸⊂ U

3) [F, U ] ∩ [G, V ] ̸= ∅ khi và chỉ khi F ⊂ V và G ⊂ U.

4) Nếu F ⊂ A ⊂ X và A mở trong X, thì [F, A] mở trong PR[X]

Chứng minh Giả sử U, V là các tập con của X và F, G ∈ PR[X] sao cho

Suy ra F ∪ G ⊂ U ∩ V, kéo theo

[F ∪ G, U ∩ V ] ̸= ∅

Nhờ (1), ta suy ra [F, U ] ∩ [G, V ] ̸= ∅, đây là một mâu thuẫn

Điều kiện đủ Giả sử F ̸⊂ V hoặc G ̸⊂ U Ta chứng minh rằng

2) PR[X] là không gian chính quy

Chứng minh (1) Giả sử F, A ⊂ X sao cho F ⊂ A Ta chứng minh rằng