Định lý bất khả quy của abel

Loài người đã biết giải phương trình bậc một từ trước Công nguyên và đến thời kìPhục hưng, khoảng thế kỉ 16 sau Công nguyên, cùng với sự ra đời của số phức người ta đã đưa ra được công t

KHOA TOÁN

Phạm Thị Tâm

ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Tâm

ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Th.s Nguyễn Huy Hưng

Hà Nội – Năm 2016

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Th.s Nguyễn Huy Hưng - Người đãtận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận củamình Đồng thời, em cũng xin trân thành cảm ơn các thầy cô trong tổĐại số và các thầy cô trong khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốtbài khóa luận này

Trong khuôn khổ của một khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình

độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên khôngtránh khỏi những hạn chế những thiếu sót nhất định Vì vậy, em kínhmong nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Phạm Thị Tâm

Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của Th.s Nguyễn Huy Hưng và

sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng tôi

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này tôi đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Định lý bất khả quy của Abel "không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Phạm Thị Tâm

Lời mở đầu 1

1.1 Nhóm,Vành,Miền nguyên,Trường 1

1.2 Đa thức 4

1.3 Nhóm số 7

1.4 Một số khái niệm bổ trợ khác 10

2 PHÉP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH BẬC THẤP 13 2.1 Một số khái niệm 13

2.1.1 Phương trình 13

2.1.2 Phương trình tương đương 14

2.1.3 Các phép biến đổi tương đương phương trình 14 2.2 Giải phương trình tổng quát bậc hai 18

2.3 Giải phương trình tổng quát bậc ba 19

2.4 Giải phương trình tổng quát bậc bốn 20

3 ĐỊNH LÝ BẤT KHẢ QUY CỦA ABEL 23 3.1 Một số định lý liên quan 23

3.1.1 Bổ đề Abel 23

3.1.2 Định lý Gauss 24

3.1.3 Tiêu chuẩn Eisenstein 26

3.1.4 Định lý Sturm 27

3.1.5 Định lý Waring 28

3.2 Định lý bất khả quy của Abel 28

3.2.1 Định lý 29

3.2.2 Hệ luận 30

3.2.3 Một số phương trình bậc n >4 giải được bằng đại số 34

3.2.4 Phương trình bậc n >4 không giải được bằng đại số 39

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

Lời mở đầu

Bộ môn đại số có một vị trí quan trọng trong Toán học Loài người

đã biết giải phương trình bậc một từ trước Công nguyên và đến thời kìPhục hưng, khoảng thế kỉ 16 sau Công nguyên, cùng với sự ra đời của

số phức người ta đã đưa ra được công thức nghiệm của các phươngtrình đại số tổng quát có bậc không vượt quá bốn Các kết quả trên

đã tạo ra động lực thôi thúc các nhà toán học của nhiều thế kỉ đi tìmcông thức nghiệm tổng quát của các phương trình đại số bậc năm

Và câu trả lời đến từ hai nhà toán học Niels Henrik Abel và ÉvaristeGalois.Niels Henrik Abel, nhà toán học xuất sắc của Na Uy, đã đưa ramột ý kiến quan trọng: các phương trình bậc cao hơn bốn dưới dạngtổng quát không thể nào được giải quyết tốt bằng các phương phápđại số thuần túy Nói một cách khác, Abel muốn chỉ cho chúng ta thấyrằng nghiệm của những phương trình này hoàn toàn không thể biểudiễn bởi các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai căn Lýluận này của Abel rất quan trọng, vì nó mở đường cho các nhà toánhọc khác, đặc biệt là Galois, tìm ra hướng đi mới để giải quyết triệt

để vấn đề công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc n

E.Galois (1811 - 1832) thiên tài toán học người Pháp đã từng chứngminh bằng lí thuyết nhóm là phương trình bậc n, n>4 không thể giảitổng quát bằng căn thức (không có công thức căn thức tổng quát biểudiễn nghiệm bằng các hệ số của phương trình tổng quát bậc lớn hơn4)

Cũng từ đó trở đi, lý thuyết phương trình không còn đóng vai tròchủ đạo trong bộ môn Đại số nữa mà đối tượng của phân môn này lànhóm, vành, trường

Có thể nói định lý bất khả quy của Abel là công trình nghiên cứu

đã đặt dấu chấm hết cho quá trình tìm cách giải các phương trình bậccao hơn bốn, đồng thời còn mở ra bước phát triển mới cho đại số hiệnđại Tuy nhiên cho đến nay, ở Việt Nam, tài liệu về định lý chưa nhiềunên em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài ”Định lý bất khả quy của Abel ”Khóa luận gồm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Cách giải các phương trình bậc thấp

Chương 3 Định lý bất khả quy của Abel

Chương 1 dành cho việc trình bày lí thuyết bổ trợ liên quan về lýthuyết trường, về đa thức, về nhóm số và những khái niệm phục vụcho nội dung chứng minh phía sau

Ở chương 2, em trình bày một số khái niệm liên quan và cách giảicác phương trình bậc thấp bao gồm: phương trình bậc hai, phươngtrình bậc ba, phương trình bậc bốn

Chương 3 là nội dung chính của khóa luận Phần đầu chương này

em dành để đưa ra một số định lý liên quan Tiếp đó, em trình bàyđịnh lý, cách chứng minh định lý bất khả quy của Abel và hai hệ luậnquan trọng suy ra từ định lý Cuối cùng là một số phương trình có bậclớn hơn bốn giải được bằng đại số và không giải được bằng đại số.Phương pháp nghiên cứu của đề tài là đọc tài liệu và trao đổi kinh

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Phạm Thị Tâm

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1 Ta gọi là phép toán hai ngôi (hay còn gọi tắt làphép toán) trong một tập hợp X 6= ∅ một ánh xạ f từ X × X đến X.Giá trị f (x, y) của f tại (x, y) gọi là cái hợp thành của x và y

Cái hợp thành của x và y thường được kí hiệu bằng cách viết x

và y theo một thứ tự nhất định với một dấu đặc trưng cho phép toánđặt giữa x, y Trong các dấu mà người ta hay dùng tới nhiều nhất,

là các dấu + và ; đối với dấu người ta thường quy ước bỏ đi; vớicác dấu đó, cái hợp thành của x và y được viết x + y, x.y hay xy.Một phép toán hai ngôi kí hiệu bằng dấu + gọi là phép cộng, cái hợpthành x + y lúc đó gọi là tổng của x và y; một phép toán hai ngôi kíhiệu bằng dấu gọi là phép nhân, cái hợp thành x.y hay xy lúc đó gọi

là tích của x và y Người ta còn dùng các kí hiệu x ◦ y, x ∗ y, x⊥y Một phép toán hai ngôi ”∗” trong một tập hợp X được gọi là kếthợp nếu và chỉ nếu (x∗y)∗z = x∗(y∗z), ∀x, y, z ∈ X; là giao hoán nếu

và chỉ nếu ta có x∗y = y∗x, ∀x, y ∈ X.

Một bộ phận A của X gọi là ổn định (đối với phép toán hai ngôitrong X) nếu và chỉ nếu x∗y ∈ A, ∀x, y ∈ A Khi đó phép toán ”∗”xác định trong bộ phận ổn định A bởi quan hệ x∗∗y = x∗y, ∀x, y ∈ Agọi là cái thu hẹp vào A của phép toán hai ngôi trong X Người ta cònnói rằng ”∗” là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán ”∗” của X.Người ta thường kí hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X.Định nghĩa 1.2 Cho ”∗” là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X.Một phần tử e của X gọi là một đơn vị trái của phép toán ”∗” nếu vàchỉ nếu e∗x = x, với mọi x ∈ X; là một đơn vị phải của phép toán ”∗”nếu và chỉ nếu x∗e = x, với mọi x ∈ X

Nếu một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X có đơn vị trái

e0 và một đơn vị phải e00 thì e0 = e00 Một phép toán hai ngôi có nhiềunhất một phần tử trung lập

Định nghĩa 1.3 Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với mộtphép toán hai ngôi kết hợp đã cho trong X Một nửa nhóm có phần tửtrung lập gọi là một vị nhóm Một nửa nhóm là giao hoán nếu phéptoán của nó là giao hoán

Ta gọi là nhóm một nửa nhóm X có các tính chất sau

(i) Có phần tử trung lập e;

(ii) ∀x ∈ X, ∃x0 ∈ X: x∗x0 = x0∗x = e (phần tử x0 gọi là một phần

tử đối xứng hay nghịch đảo của x)

Như vậy, một nhóm là một vị nhóm mà mỗi phần tử đều có nghịchđảo

Nếu tập hợp X là hữu hạn thì ta bảo ta có một nhóm hữu hạn

và số phần tử của X gọi là cấp của nhóm Nếu phép toán hai ngôitrong X là giao hoán thì ta bảo ta có một nhóm giao hoán hay nhómabel

Định nghĩa 1.4 Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phéptoán hai ngôi đã cho trong X kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu +, ×

và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn

(i) X cùng với phép cộng là một nhóm abel;

(ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm;

(iii)Phép nhân phân phối với phép cộng: với các phần tử tùy ý

x, y, z ∈ X ta có

x(y + z) = xy + xz;

(y + z)x = yx + zx

Phần tử trung lập của phép cộng thì kí hiệu là 0 và gọi là phần

tử không Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) của một phần tử xthì kí hiệu là −x và gọi là đối của x Nếu phép nhân là giao hoán thì

ta bảo vành X là giao hoán Nếu phép nhân có phần tử trung lập thìphần tử đó gọi là phần tử đơn vị của X và thường kí hiệu là e hay 1(nếu không có sự nhầm lẫn)

Định nghĩa 1.5 Giả sử X là một vành giao hoán Ta bảo một phần

tử a ∈ X là bội của một phần tử b ∈ X hay a chia hết cho b, kí hiệua b, nếu có c ∈ X sao cho a = bc; ta còn nói rằng b là ước của a hay bchia hết a, kí hiệu b|a

Ta gọi là miền nguyên một vành có nhiều hơn một phần tử, giaohoán, có đơn vị, không có ước của 0.

Định nghĩa 1.6 Ta gọi là trường một miền nguyên X trong đó mọiphần tử khác không đều có một nghịch đảo trong vị nhóm nhân Xhoặc một vành X giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử làmột trường nếu và chỉ nếu X \ {0} là một nhóm đối với phép nhâncủa X

Cho X là một trường, A là một bộ phận của X ổn định đối vớihai phép toán trong X A là một trường con của trường X nếu A cùngvới hai phép toán cảm sinh trên A là một trường, và khi đó X đượcgọi là một mở rộng của trường A Kí hiệu X \ A hoặc X ⊇ A

Mọi trường đều có ít nhất một trường con là chính nó

Định nghĩa 1.7 Một trường không có trường con nào khác ngoàichính nó được gọi là một trường nguyên tố

Định nghĩa 1.8 Giả sử X là vành giao hoán Nếu tồn tại số nguyêndương nhỏ nhất n sao cho na = 0, ∀a ∈ X thì ta nói vành X có đặc

số n Nếu không tồn tại n như vậy thì ta nói vành X có đặc số 0 Đặc

số của vành X được kí hiệu CharX Nếu X là một trường thì ta hiểuđặc số của trường X là đặc số của vành X

Định nghĩa 1.9 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1 Kí hiệutập A = {(a0, a1, , an, )|ai ∈ R, ai = 0 hầu hết} Trên A, xác định

hai phép toán (+) và (×)sau

Do đó thay cho P ta viết A[x] và gọi là vành đa thức của ẩn x, lấy hệ

tử trong A Mỗi phần tử thuộc A[x] gọi là đa thức một ẩn x, được kíhiệu là f (x), g(x),

Định nghĩa 1.10 Cho f (x) = a0 + a1x + + anxn ∈ A[x]

Nếu an 6= 0, thì n được gọi là bậc của đa thức f (x) và kí hiệudegf (x) = n Nếu f (x) = 0 thì ta nói f (x) không có bậc hoặc có bậc

là −∞

Một số tính chất Cho P(x) và S(x) là những đa thức Khi đó ta

có các tính chất sau

(1) Tích của hai đa thức P(x) và S(x) là một đa thức Q(x) và

degQ(x) ≤ degP(x) + degS(x)

(2) Tổng (hiệu) của hai đa thức P(x) và S(x) là một đa thức Q(x) và

degQ(x) ≤ max [degP(x); degS(x)]

Định nghĩa 1.11 Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành R,

P (x) = anxn+ an−1xn−1 + + a1x + a0(n ≥ 1) là đa thức tùy ý củavành R[x]; phần tử

P (c) = ancn+ an−1cn−1 + + a1c + a0 ∈ Rđược bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của P (x) tại c Nếu P (c) = 0thì c gọi là nghiệm của đa thức Tìm nghiệm của P (x) trong R gọi làgiải phương trình đại số bậc n trong R

Định lý 1.1 Mọi đa thức P (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0

có thể biểu diễn dưới dạng

P (x) = an.(x − α1).(x − α2) (x − αn),trong đó α1, α2, , αn là những nghiệm của đa thức

Định lý 1.2 Mọi đa thức bậc n, (n ∈ N∗) đều có không quá n nghiệm.Định nghĩa 1.12 Cho đa thức

f (x) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0, (ai ∈ trường K, n ∈ N∗)

Đa thức f (x) ∈ K[x] được gọi là đa thức khả quy trong K[x] hay trên

K nếu tồn tại hai đa thức g(x), h(x) ∈ K[x] sao cho

(i) 1 ≤ degg(x), degh(x) ≤ degf (x);

(ii) f (x) = g(x)h(x)

Một đa thức không khả quy được gọi là một đa thức bất khả quy

Định nghĩa 1.13 Cho P là trường nguyên tố, n ∈ N∗, n không chiahết cho Char(P ) Ta gọi căn đơn vị là nghiệm của đa thức f (x) =

xn− 1 trong một mở rộng nào đó của trường P

Định nghĩa 1.14 Một hệ R các số được gọi là một nhóm R-số haymiền hữu tỷ khi cộng, trừ và nhân hai số của hệ cũng sẽ thu được một

số của hệ đó Để ngắn gọn, ta sẽ gọi các số của hệ đó là R-số

Hai nhóm được gọi là bằng nhau khi mỗi số của nhóm này cũngthuộc nhóm kia

Ví dụ 1.1

là các số thuộc nhóm đó Một đa thức trong R được hiểu là hàm hữu

tỷ nguyên của biến x mà các hệ số của nó là R-số

Một đa thức

F (x) = A.xn + B.xn−1 +

hay một phương trình

F (x) = 0trong một nhóm R-số được gọi là bất khả quy trong nhóm này tùytheo F (x) có chia hết cho một tích của các đa thức bậc thấp hơn trong

Trường hợp chung nhất của phép thế trong một nhóm R bao gồmphép thế của một nghiệm α của một phương trình bất khả quy bậc n

f (x) = xn + a1.xn−1 + + an = 0vào trong R Một số ζ của nhóm R’ = R(α) được xác định bởi phépthế này là một hàm hữu tỷ của α với các hệ số từ R và có thể đượcviết là ζ = Ψ(α)/Φ(α), trong đó Ψ và Φ là các đa thức với hệ số trong

R Vì αn = −a1.αn−1 − a2.αn−2 − − an nên mỗi lũy thừa α có số

mũ n hay với số mũ lớn hơn n đều có thể được biểu thị bằng các lũythừa αn−1, αn−2, , α sao cho ta có thể viết ζ = ψ(α)/ϕ(α), trong đó

ψ và ϕ là các đa thức trong R có bậc không lớn hơn n − 1.

Định nghĩa 1.17 Một phương trình f (x) = 0 bậc n trong nhóm Rgọi là giải được bằng đại số khi nó giải được bằng một loạt căn thức,nghĩa là, khi một nghiệm w có thể xác định theo phương pháp sau

(1.) Xác định α = √a

R là căn bậc a của một R-số R, tuy nhiên đókhông là lũy thừa α của một R-số, và phép thế α vào trong R,sao cho nhóm A = R(α) được tạo ra

(2.) Xác định β = √b

A là căn bậc b của một A-số A, tuy nhiên đókhông là lũy thừa b của một A-số, và phép thế β vào trong A,sao cho nhóm τ = A(β) = R(α, β) được tạo ra

(3.) Xác định γ = √c

B là căn bậc c của một τ -số B, tuy nhiên đókhông là lũy thừa c của một τ -số, và phép thế γ vào trong τ , saocho nhóm M = τ (γ) = R(α, β, γ) được tạo ra; v.v cho đến khicác phép thế liên tiếp này của các căn thức α, β, γ, cuối cùngdẫn đến một nhóm mà w, là căn tìm được, thuộc vào nhóm đó vàtrong đó f (x) trở thành khả quy (vì f (x) có ước số (x − w)) Ởđây giả định rằng tất cả các số mũ căn a, b, c là các số nguyên

tố Điều này không thể hiện sự hạn chế vì bất kì sự khai căn nàovới các số mũ là hợp số đều có thể được thu gọn tới khai căn liêntiếp với các số mũ nguyên tố ( Ví dụ, 15√

Nhà toán học người Pháp Charles Sturm (1803 - 1855) đã đưa ra

phương pháp giải bài toán đại số quan trọng: tìm số nghiệm thực của

một phương trình đại số với các hệ số thực trên một khoảng đã cho

bằng một cách giải đơn giản đáng ngạc nhiên, mà trong đó, có liên

quan đến khái niệm ”Chuỗi Sturm”

Cho f (x) = 0 là một phương trình đại số mà tất cả các nghiệm

của nó là đơn Khi đó, đạo hàm f0(x) của f (x) không triệt tiêu tại các

nghiệm này và ước số chung lớn nhất của hàm f (x) và f0(x) là một

hằng số K khác 0 Ta dùng thuật toán chia để tìm ước số chung lớn

nhất của f (x) và f0(x) Để thuận tiện, ta đặt

Cuối cùng, quy trình kết thúc, ta thu được số dư K, là một hàm dư

−fs(x), không triệt tiêu tại bất cứ điểm nào trong khoảng đã cho

và bởi vậy có cùng dấu trên toàn bộ khoảng đó Khi đó, các hàm

f0, f1, f2, , fs tạo thành một ”Chuỗi Sturm” và được gọi là các hàm

Sturm

Các hàm Sturm có ba thuộc tính sau

(1.)Hai hàm cạnh nhau không đồng thời triệt tiêu tại một điểm nào

đó thuộc khoảng đang xét;

(2.)Tại một điểm bằng không của hàm Sturm (tức là tại điểm đó, hàmSturm bị triệt tiêu), hai hàm bên cạnh nó có dấu khác nhau;

(3.)Trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bằng không của hàm f0(x)thì f1(x) luôn lớn hơn không (hoặc luôn nhỏ hơn không)

Định nghĩa 1.19 Chuỗi dấu Sturm

Chọn điểm x bất kì trong khoảng cần xét, dấu của những giá trị

f0(x), f1(x), f2(x), , fs(x) ta thu được một chuỗi dấu Sturm Chuỗidấu này sẽ chứa dãy dấu (++ và −−) và (+− và −+)

Ta sẽ xét số Z(x) thay đổi dấu trong chuỗi dấu và những thay đổi

mà Z(x) trải qua khi x chạy trên khoảng đang xét Sự thay đổi chỉxảy ra khi x đi qua một điểm bằng không của f (x), và khi đó chuỗi

có đúng một sự thay đổi dấu

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình

vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)

Chú ý Nhiều khi giải một phương trình, ta chỉ cần, hoặc chỉ có thểtính giá trị gần đúng của nghiệm (với độ chính xác nào đó) Giá trị

đó gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Ví dụ Bằng máy tính bỏ túi, ta tính nghiệm gần đúng (chính xác đếnhàng phần nghìn) của phương trình x3 = 7 là x ≈ 1, 913

2.1.2 Phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng cócùng tập nghiệm Nếu f (x) = g(x) tương đương với f1(x) = g1(x) thì

2.1.3 Các phép biến đổi tương đương phương trình

• Phép cộng (trừ) hai vế với cùng một biểu thức

Cho phương trình f (x) = g(x) có tập xác định là D và h(x) làmột hàm số xác định trên D Khi đó f (x) = g(x) và f (x) + h(x) =g(x) + h(x) là hai phương trình tương đương.Ta viết

f (x) = g(x) ⇔ f (x) + h(x) = g(x) + h(x)Nhận xét Từ đó ta có một phép biến đổi tương đương thường gặptrong thực tế là

f (x) − h(x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) + h(x)(như vậy việc chuyển h(x) từ vế này sang vế kia và đổi từ dấu - sang

dấu + và ngược lại là phép biến đổi tương đương).

Ví dụ 2.1 Giải phương trình 3x +√

x − 3 + 7 = 2x + 3 +√

x − 3Giải

Điều kiện x ≥ 3 Khi đó

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chú ý: Khi giải phương trình ta phải đối chiếu kết quả tìm được vớiđiều kiện để kết luận nghiệm của phương trình

• Phép nhân(chia) hai vế với cùng một biểu thức khác 0Cho phương trình f (x) = g(x) có tập xác định là D và h(x) là mộthàm số xác định trên D và h(x) 6= 0, ∀x ∈ D Khi đó f (x) = g(x) và

f (x).h(x) = g(x).h(x) là hai phương trình tương đương Ta viết

f (x) = g(x) ⇔ f (x).h(x) = g(x).h(x) với h(x) 6= 0.Nhận xét Từ đó, ta có một phép biến đổi tương đương hay dùng là

f (x)h(x) = g(x) với h(x) 6= 0

⇔ f (x) = g(x).h(x)Chú ý: Trong quá trình áp dụng, ta hay quên điều kiện h(x) 6= 0 dẫnđến kết quả sai

Ví dụ 2.2 Giải phương trình (x + 1).(x + 2) = (x + 1).(5 − x)

Giải

Cách giải sai

2.Như vậy khi hai vế của phương trình có thừa số giống nhau mà thừa

số đó chưa chắc chắn khác 0 ta sẽ chuyển nó qua cùng một vế rồi đặtthừa số chung

• Phép nâng lũy thừa hai vế

Phép bình phương hai vế của một phương trình là phép biến đổi tươngđương khi hai vế cùng dấu

Chú ý

- Phép nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế là phép biến đổi tương đươngkhi và chỉ khi hai vế cùng dấu