Các họ khả tổng và không gian các họ khả tổng

Việc nghiên cứu cáctoán tử tuyến tính trong không gian ơclit hữu hạn chiều trên trờng K, cũng tơng tự nh việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều nóichung, th

Lời mở đầu

Không gian ơclit nhiều chiều đợc mở rộng từ không gian ơclit 3 chiều lần

đầu tiên vào năm 1920 bởi nhà toán học Ba Lan Banach Việc nghiên cứu cáctoán tử tuyến tính trong không gian ơclit hữu hạn chiều trên trờng K, cũng tơng

tự nh việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều nóichung, thờng đợc đặc trng bởi ma trận biểu diễn của chúng Thông qua ma trậnbiểu diễn ngời ta nghiên cứu các tính chất của toán tử tuyến tính và ngợc lại.Một số hớng quan trọng khi nghiên cứu các toán tử tuyến tính là tìm dạng đơngiản nhất của ma trận biểu diễn của chúng, phân tích không gian đang xét thànhtổng trực tiếp của các không gian con bất biến có chiều bé nhất có thể đợc Khóa luận này nghiên cứu một lớp các toán tử tuyến tính của không gian

ơclit hữu hạn chiều, đó là lớp các toán tử đối xứng Một toán tử ϕ của khônggian ơclit E hữu hạn chiều gọi là đối xứng nếu 〈ϕ(x), y〉 = 〈x, ϕ(y)〉 với mọi x,

y ∈ E Khóa luận cũng đi theo hớng tìm hiểu ma trận biểu diễn của các toán tử

đối xứng, phân tích E thành tổng trực tiếp các không gian con bất biến, tìm sự

t-ơng đt-ơng của các toán tử đối xứng hay ma trận của các toán tử đối xứng, và một

số các tính chất khác của toán tử đối xứng

Khóa luận bao gồm

Trong Đ1 chủ yếu chứng minh các cấu trúc của tập L(E) các toán tử tuyến

tính trên không gian vectơ E nh cấu trúc không gian vectơ, cấu trúc vành, cấu

trúc nhóm các tự đẳng cấu của E, sự đẳng cấu giữa hai vành L(E) và vành

M n(K) các ma trận vuông cấp n trên trờng K

Đ2, Đ3, Đ4 chủ yếu là trình bày các kiến thức cơ sở cho Đ5

Trong Đ5 chúng tôi đã chứng minh các kết quả chủ yếu sau đây

Nếu ϕ là toán tử đối xứng của không gian ơclit hữu hạn chiều E thì mọinghiệm của đa thức đặc trng fϕ(t) đều là số thực (Định lý 5.8); Một toán tử ϕcủa không gian ơclit n chiều E là toán tử đối xứng khi và chỉ khi ma trận của ϕtrong một cơ sở định chuẩn thích hợp là ma trận chéo (Định lý 5.10)

Định lý 5.14 chứng minh đợc rằng: Không gian ơclit E có một cơ sở trựcchuẩn gồm các vectơ đồng thời là các vectơ riêng của hai phép biến đổi đốixứng ϕ, ψ khi và chỉ khi ϕψ = ψϕ

Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo củathầy giáo Th.S Nguyễn Văn Giám, sự góp ý chỉ bảo của các thầy, cô giáo trong

tổ Đại số khoa Toán, Đại học Vinh và sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn

bè đồng nghiệp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo hớng dẫn cùngcác thầy cô và bạn bè

Vì năng lực có hạn và thời gian không nhiều chắc rằng khóa luận cònnhững hạn chế hay thiếu sót Rất mong đợc sự góp ý của các thầy, cô giáo cùngcác bạn

Vinh, tháng 5 năm 2005

Tác giả

Đ1 Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ E vào E gọi là

một toán tử tuyến tính của E

Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính của E, kí hiệu là L(E)

Một toán tử tuyến tính của E là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu tùy theo nó

là đơn ánh hay toàn ánh hay song ánh

Định lý 1.2 Tập L(E) các toán tử tuyến tính của không gian E trên trờng

K với 2 phép toán:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)(kf)(x) = kf(x)

với mọi g, f thuộc L(E), x ∈ E, k ∈ K sẽ lập thành một không gian vectơ trên trờng K.

Chứng minh

- Tổng 2 toán tử tuyến tính của E là một toán tử tuyến tính của E

Thật vậy, với mọi f, g ∈ L(E); x, y ∈ E; a,b ∈ K ta có

(f + g)(ax + by) = f(ax + by) + g(ax + by) = af(x) + bf(y) + ag(x) + bg(y)

= af(x) + ag(x) + bf(y) + bg(y)

= a[f(x) + g(x)] + b[f(y) + g(y)]

= a(f + g)(x) + b(f + g)(y)

- Với mọi k ∈ K, với mọi f ∈ L(E) thì kf là một toán tử tuyến tính của E.Thật vậy, với mọi x, y ∈ E; a,b ∈ K ta có

(kf)(ax + by) = k[f(ax + by)] = k[af(x) + bf(y)]

= kaf(x) + kbf(y) = akf(x) + bkf(y)

= a(kf)(x) + b(kf)(y)

- Ngoài ra trên L(E) thỏa mãn 8 tiên đề của không gian vectơ

Với mọi f,g,h ∈ L(E), ∀k, ∈ K thì

1) f + g = g + f

2) f + (g + h) = (f + g) + h

sẽ là một vành có đơn vị.

Chứng minh.Theo chứng minh trong Định lý 1.2 thì L(E) với phép cộng xác

định nh trên là một nhóm Aben Hơn nữa tích hai toán tử tuyến tính là một toán

tử tuyến tính Ngoài ra phép cộng và phép nhân trên thỏa mãn các tính chất: Vớimọi f, g, h ∈ L(E) thì

Định lý 1.5 Nếu E là một không gian vectơ n chiều trên trờng K thì vành

L(E) đẳng cấu với vành M n(K) các ma trận vuông cấp n trên trờng K

Chứng minh Trong không gian vectơ E ta lấy một hệ cơ sở tùy ý

x1, x2, , xn (1)Mỗi toán tử f thuộc L(E) sẽ xác định một ma trận của f đối với hệ cơ sở (1) là

D(f +g) = A + B = D(f) + D(g).

D(fg) = A.B = D(f).D(g).

Vậy D là một đồng cấu vành

Hơn nữa D là một đơn ánh, vì nếu có f,g ∈ L(E) mà D(f) = D(g) thì A = B

nên từ công thức [f(x)] = A[x] = B[x] = [g(x)], ∀x ∈ E, [x] là tọa độ của x trongcơ sở (1) nên f = g

Mặt khác, với mọi A = [aij](nìn) thuộc Mn(K) thì ta xác định đợc f thuộc

L(E) theo công thức [f(x)] = A[x], với [x] là tọa độ của vectơ x trong hệ cơ sở

Hệ quả 1.6 Nếu E là không gian vectơ n chiều trên trờng K thì không

gian L(E) đẳng cấu với không gian M n(K) các ma trận vuông cấp n trên trờng

K.

Đ2 Dạng tuyến tính, không gian đối ngẫu

Mỗi trờng số K đều có thể xem là một không gian vectơ trên chính nó.Cho E là một không gian vectơ trên trờng K

Định nghĩa 2.1 Mỗi ánh xạ tuyến tính f : E → K gọi là một dạng tuyến tính trên E.

Tập hợp tất cả các dạng tuyến tính trên E, kí hiệu là L(E, K)

Định lý 2.2 Cho s = {x1, x2, , xn} là một cơ sở của không gian E trên

tr-ờng K ánh xạ f : E → K là một dạng tuyến tính trên E khi và chỉ khi tồn tại

n

i 1=

∑a i x i Khi đó f(xi) = ci với mọi i = 1, , n và f là dạng tuyến

tính duy nhất thỏa mãn điều kiện trên.

Chứng minh Định lý trên là trờng hợp riêng của định lý về sự xác định ánh

xạ tuyến tính 

Tập hợp L(E, K) tất cả các dạng tuyến tính của không gian vectơ E trên ờng K với 2 phép toán

tr-(f +g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x)cũng lập thành một không gian vectơ trên trờng K, ta có định nghĩa:

Định nghĩa 2.3 Không gian L(E, K) gọi là không gian đối ngẫu của không

gian vectơ E và kí hiệu là E∗

Nhận xét: Từ Định lý dimL(E, F) = dimE.dimF thì

dimE∗ = dimL(E, K) = dimE.dimK = dimE.1 = dimE

Từ đó, nếu E là không gian n chiều thì E∗ cũng là không gian n chiều và do

đó E đẳng cấu với không gian đối ngẫu E∗ của nó

Cho S = {x1, x2, , xn} là một cơ sở của E Gọi ∗

i

x là dạng tuyến tính trên Exác định bởi

x1, 2, , } ta có kết quả sau

Bổ đề 2.4 Nếu S = {x1, , xn} là cơ sở của E thì S∗ = { ∗ ∗ ∗

n

x x

x1, 2, , } là một cơ sở của E∗

Chứng minh - Trớc hết ta chứng minh S∗ là hệ sinh của E∗

Cho f ∈ E∗ và z ∈ E tùy ý Do S là cơ sở của E nên ta có z biểu thị tuyến

a x

x a x

x a

1

) ( )

Các điều kiện trên cũng có nghĩa là nếu ta cố định một biến thì f tuyến tính

đối với biến còn lại

Một dạng song tuyến tính trên E ì E là đối xứng nếu f(x, y) = f(y, x), với

mọi x,y thuộc E

Một dạng song tuyến tính trên E ì E gọi là thay phiên nếu f(x, y) = - f(y, x),

với mọi x, y thuộc E

Định nghĩa 3.2 Trong không gian E và F cho các hệ cơ sở tơng ứng

S = {e1, e2, , en}

T = {f1, f2, , fm}

f là một dạng song tuyến tính trên E ì F

Đặt aij = f(ei, fj) thì ma trận A = [aij](nìm) gọi là ma trận của dạng song tuyếntính f đối với cặp cơ sở S, T.

Nhận xét: 1) Nếu f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E ì E, với E

là không gian n chiều thì ma trận của f đối với một cơ sở S nào đó của E là matrận đối xứng: aij = aji, ∀i,j = 1, , n

2) Ma trận của một dạng song tuyến tính thay phiên trên không gian n chiều

E là ma trận phản đối xứng: a ij = - aji, ∀i,j = 1, , n

Định nghĩa 3.3 Nếu vectơ x trong E có tọa độ đối với cơ sở S là

m

j ij i j

y x a

1 1

hay f(x, y) = [x]A.[y]C

gọi là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính f đối với cặp cơ sở S, T trong

đó [x], [y] là ma trận cột tọa độ của x, y

Định lý 3.4 Nếu K là trờng có đặc số khác 2 thì mọi dạng song tuyến tính

trên E ì E đều phân tích thành tổng của một dạng song tuyến tính đối xứng và một dạng song tuyến tính thay phiên trên E ì E

Chứng minh Với mọi x, y thuộc E ì E, ta đặt

[f(y, x) + f(x, y)] = g(y, x)

và h là một dạng song tuyến tính thay phiên vì

h(x, y) = 21 [f(x, y) - f(y, x)] = - 12 [f(y, x) - f(x, y) = - h(y, x)

Đồng thời ta có

f = g + h

Đ4 Không gian ơclit

Định nghĩa 4.1 Một không gian vectơ E trên trờng số thực ℝ gọi là không gian ơclit nếu có một ánh xạ

〈 , 〉 : E ì E → ℝ

(x, y)  〈x, y〉

〈x, y〉 gọi là tích vô hớng của x và y thỏa mãn các điều kiện sau

Với mọi x, y, x', y' ∈ E, ∀c ∈ℝ thì

1) 〈x + x', y〉 = 〈x, y〉 + 〈x', y〉

2) 〈x, y+ y'〉 = 〈x, y〉 + 〈x, y'〉

Định nghĩa 4.3 Góc giữa 2 vectơ x, y khác 0 trong không gian ơclit E là

góc α, với 0 ≤ α ≤ π, sao cho

cosα = 〈x x,.y y〉

Định nghĩa 4.4

- Hai vectơ x, y khác 0, trực giao với nhau khi và chỉ khi 〈x, y〉 = 0

- Hai tập con S1, S2 của E gọi là trực giao nếu ∀x ∈ S1, y ∈ S2 thì 〈x, y〉 = 0

- Một hệ vectơ {x1, x2, , xm} các vectơ khác 0 gọi là hệ trực giao nếu đôimột trong chúng trực giao với nhau

Bổ đề 4.5 Giả sử hệ

x1, x2, , xm (1)

là hệ trực giao thì

(i) Hệ (1) là hệ độc lập tuyến tính

(ii) |x1 + x2 + + xm|2 = |x1|2 + |x2|2 + + |xm|2.

Chứng minh (i) Xét tổ hợp tuyến tính

a1x1 + a2x2 + + am x m = 0Lấy một xj bất kỳ trong hệ (1) và xét tích vô hớng với 2 vế của đẳng thứctrên với xj

〈a1x1 + a2x2 + + am x m, xj〉 = 〈0, xj〉

〈aj x j, xj〉 = 0 nên aj 〈xj, xj〉 = 0

Do xj ≠ 0 nên 〈xj, xj〉 > 0 nên aj = 0

Suy ra aj = 0, ∀j = 1 ,m Vậy hệ (1) độc lập tuyến tính

(ii) Với mọi i = 1 ,m ta có

〈x1 + x2 + + xm, xi〉 = 〈x1, xi〉 + 〈x2, xi〉 + + 〈xm, xi〉 = 〈xi, xi〉 = |xi|2

Do đó

|x1 + x2 + + xm|2 = 〈x1 + x2 + + xm, x1 + x2 + + xm〉

= 〈 x1 + x2 + + xm, x1〉 + 〈 x1 + x2 + + xm, x2〉 + + + 〈 x1 + x2 + + xm, xm〉

= |x1|2 + |x2|2 + + |xm|2 

Định nghĩa 4.6

- Vectơ x khác 0 gọi là định chuẩn nếu |x| = 1

- Hệ vectơ trực giao gồm các vectơ định chuẩn gọi là hệ trực chuẩn

- Mộ hệ cơ sở gồm các vectơ trực chuẩn gọi là hệ cơ sở trực chuẩn

Định lý 4.7 Nếu E là một không gian ơclit hữu hạn chiều thì mọi hệ trực

chuẩn của E đều có thể mở rộng thành một cơ sở trực chuẩn của E.

Chứng minh Cho x1, x2, , xm (1) là một hệ trực chuẩn của E thì hệ (1) là

hệ trực giao, nên theo Bổ đề 4.5 thì hệ (1) độc lập tuyến tính

- Nếu dimE = m thì hệ (1) là hệ cơ sở trực chuẩn của E

- Nếu dimE > m Gọi E' là không gian con của E sinh bởi hệ (1) Khi đó tồntại vectơ x của E không thuộc E'

x x

x x

Bổ đề 4.8 Nếu S là một hệ cơ sở trực chuẩn của không gian ơclit E Hai

vectơ x, y có tọa độ đối với S là {a i}, {bj} thì

Hệ quả 4.9 Giả sử S = {xi} là một cơ sở trực chuẩn của E, x có tọa độ đối

với S là {a i} thì 〈x, xi} = 〈xi, x〉 = ai

Chứng minh Do tọa độ của x i đối với cơ sở S là (0, , 1, , 0) nên theo Bổ

đề 4.8 thì 〈x, xi〉 = ai 

Định lý 4.10 Giả sử E là một không gian ơclit n - chiều và E1 là một không gian con của E Khi đó tập hợp E2 các vectơ trực giao với E1 là một không gian con bù của E1.

Chứng minh Chọn một cơ sở trực chuẩn R của E1 Ta bổ sung R đến một cơ

sở trực chuẩn S của E (theo Định lý 4.7)

Gọi E' là không gian con của E sinh bởi S - R Khi đó E' là không gian con

bù trực giao với E1 Thật vậy

+) Cho 2 vectơ tùy ý x ∈ E1, y ∈ E' Khi đó

i

∑ ∑j a i b j 〈xi, x j〉 = 0

Vậy E1 trực giao với E'

+) Với x bất kỳ trong E thì x =

Ngợc lại, nếu x là một vectơ tùy ý thuộc E2 Ta viết x =

i

∑a i x i , xi ∈ S

Do E2 trực giao với R nên aj = 〈x, xj〉 = 0, với mọi xj ∈ R Điều đó chứng tỏ x làmột tổ hợp tuyến tính của S - R Do đó x ∈ E', nên E2 ⊆ E' Ta có E' = E2

Đ5 Toán tử đối xứng trong không gian ơclit

Trong toàn bộ tiết này không gian E đợc xét là không gian ơclit n - chiềutrên trờng số thực ℝ

Bổ đề 5.1 Mọi dạng tuyến tính f trên E đều tồn tại duy nhất một vectơ

Định lý 5.2 Mỗi dạng song tuyến tính g trên E đều tồn tại duy nhất một

toán tử tuyến tính ϕ của E sao cho

g(x, y) = 〈x, ϕ(y)〉

với mọi x, y ∈ E

Chứng minh

- Sự tồn tại ϕ Ta cố định một vectơ y ∈ E thì một ánh xạ

E → ℝ

x  g(x, y)

là một dạng tuyến tính của E Theo Bổ đề 5.1 thì tồn tại một vectơ z ∈ E sao

cho g(x, y) = 〈x, z〉, với mọi x ∈ E Gọi ánh xạ

- Tính duy nhất của ϕ: Giả sử có một toán tử ψ cũng thỏa mãn điều kiện

g(x,y) = 〈x, ψ(y)〉, với mọi x, y ∈ E.

Bổ đề 5.3 Nếu g là một dạng song tuyến tính trên E và ϕ là toán tử tuyến

tính của E sao cho

g(x, y) = 〈x, ϕ(y)〉, với mọi x, y ∈ E

A là ma trận của ϕ đối với một cơ sở trực chuẩn S của E thì A cũng là ma trận biểu diễn của g đối với S.

Chứng minh Giả sử S = {x1, , xn} và A = [aij] là ma trận của ϕ theo S

1 = aij , i,j = 1, , n

Vậy A cũng là ma trận của g đối với S

Tơng tự, nếu ϕ : E → E là một toán tử tuyến tính trên E thì với mỗi y cố

cũng là toán tử tuyến tính của E

Định nghĩa 5.4 Toán tử ϕ∗ gọi là toán tử liên hợp của toán tử ϕ

Ví dụ: Một toán tử f của E là trực giao tức là 〈f(x), f(y)〉 = 〈x,y〉 với mọi

x,y ∈E Mỗi toán tử trực giao của E đều là đẳng cấu tuyến tính và sẽ có toán tử

ngợc của f là f -1 Khi đó f -1 là toán tử liên hợp của f Thật vậy

Với mọi x, y ∈ E thì 〈x, f(y)〉 = 〈(f -1f)(x), f(y)〉 = 〈f -1(x), y〉

Ngợc lại nếu f ∗ = f -1 thì f là toán tử trực giao vì

〈f(x), f(y)〉 = 〈f -1(f(x)), y〉 = 〈x, y〉

Bổ đề 5.5 Nếu S là cơ sở trực chuẩn của E và A là ma trận của toán tử

tuyến tính ϕ đối với S Khi đó ma trận chuyển vị A c là ma trận của toán tử liên hợp ϕ∗ đối với S.

Chứng minh Gọi tọa độ của vectơ x ∈ E đối với S viết theo cột là [x], tọa

độ của ϕ(x) đối với S cũng viết theo cột là [ϕ(x)] thì [ϕ(x)] = A[x]

Giả sử S = {x1, x2, , xn}, A = [aij], với mọi i,j = 1, , n thì

có cùng giá trị trên tập S ì S Theo Định lý 5.2 thì 〈x, Ay〉 = 〈Ac x, y〉, với mọi x,

y ∈ E Do đó [ϕ∗(x)] = Ac[x] hay ma trận của ϕ∗ đối với S là ma trận chuyển vị

A c của ma trận trên A Từ tính chất của ma trận chuyển vị cho ta các tính chấtcủa toán tử liên hợp sau

(ϕ∗)∗ = ϕ (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ∗ (cϕ)∗ = cϕ∗ (ϕψ )∗ = ψ∗ϕ∗.Dựa vào khái niệm toán tử liên hợp ta đa ra các lớp toán tử đặc biệt sau đây

Định nghĩa 5.6 Một toán tử ϕ của không gian E gọi là toán tử đối xứng(hay đối xứng lệch) nếu

ϕ∗ = ϕ (hay ϕ∗ = - ϕ)

Từ định nghĩa của toán tử liên hợp ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1 Một toán tử ϕ của không gian E là toán tử đối xứng khi và chỉ

khi, với mọi x,y ∈ E thì 〈x, ϕ(y)〉 = 〈ϕ(x), y〉

Hệ quả 2 Một toán tử ϕ của không gian E là toán tử đối xứng lệch khi và

Hệ quả 3 Mọi toán tử tuyến tính ϕ đều là tổng của một toán tử đối xứng

và một toán tử đối xứng lệch.

Thật vậy, ta có

ϕ = 12 (ϕ + ϕ∗) + 12 (ϕ - ϕ∗),trong đó (ϕ + ϕ∗)∗ = ϕ∗ + ϕ hay ϕ + ϕ∗ là toán tử đối xứng, còn

(ϕ - ϕ∗)∗ = ϕ∗ - ϕ = - (ϕ - ϕ∗),vậy ϕ - ϕ∗ là toán tử đối xứng lệch

Bổ đề 5.7 Cho S là một cơ sở trực chuẩn của E, A là ma trận của toán tử

ϕ của E đối với S Toán tử ϕ là toán tử đối xứng (hay đối xứng lệch) khi và chỉ

khi A là ma trận đối xứng (hay phản đối xứng).

Chứng minh Từ Định nghĩa 5.5 thì toán tử ϕ là đối xứng (hay đối xứng

lệch)

Nếu ϕ∗ = ϕ (hoặc ϕ∗ = - ϕ), theo Bổ đề 5.4 thì ma trận của ϕ và ϕ∗ tơng ứng

đối với S là A và Ac Từ đó ta có

A c = A (Ac = - A)

Vậy A là ma trận đối xứng (hay đối xứng lệch)

Bổ đề 5.8 Cho ϕ là một toán tử tuyến tính của không gian ơclit n chiều E

Nếu đa thức đặc trng fϕ(t) có một nghiệm phức α = a + bi, (b ≠ 0) thì tồn tại

các vectơ x, y ∈ E độc lập tuyến tính sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:

ϕ(x) = ax - by

ϕ(y) = bx + ay

Chứng minh Giả sử S là một cơ sở của E Ta đồng nhất E với không gian

ℝn bằng cách đồng nhất mỗi vectơ x với tọa độ của nó đối với S Gọi A là matrận của ϕ đối với S Khi đó [ϕ(x)] = A[x], với mọi x ∈ E

Nếu coi A là ma trận trên trờng số phức ℂ thì α là giá trị riêng của A và ta

có vectơ riêng z ∈ ℂn sao cho [αz] = A[z]