Không gian tôpô đối xứng và nguyên lý ánh xạ co

\par \par \par \par ỐI XỨNG} \\\up{VÀ NGUYÊN \par ỐI XỨNG} \\\up{VÀ NGUYÊN \par ỐI XỨNG} \\\up{VÀ NGUYÊN \par \par \baselineskip 0.8cm \tableofcontents \newpage \vskip 0.4cm dãy có thể p

\let\up\MakeUppercase

\swapnumbers

\let\up\MakeUppercase

\par

\par

\par

\par

ỐI XỨNG} \\\up{VÀ NGUYÊN

\par

ỐI XỨNG} \\\up{VÀ NGUYÊN

\par

ỐI XỨNG} \\\up{VÀ NGUYÊN

\par

\par

\baselineskip 0.8cm

\tableofcontents

\newpage

\vskip 0.4cm

dãy có thể phát biểu thông qua khoảng cách và mọi ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ đều có duy nhất một điểm bất động (nguyên

tự như không gian mêtric Do đó, một vấn đề được đặt ra một cách

tự nhiên là trong không gian đối xứng, các kết quả tương tự như những kết quả trong không gian mêtric trên đây còn đúng nữa hay không? Giải quyết vấn đề này là mục đắch chắnh của khóa luận Với mục đắch trên khóa luận được trình bày thành bốn mục

Mục 1 dành cho việc giới thiệu lại một số

khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khóa luận

Mục 2 dành cho việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy trong không gian đối xứng theo symmêtric $d$ mà chúng tôi gọi là $d$-hội tụ Sau đó chúng tôi tìm điều kiện để sự hội tụ của dãy trong không gian đối

xứng là tương đương với $d$-hội tụ.

Trong mục 3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ của không gian đối xứng với không gian nửa mêtric, không gian Frechet, không gian dãy,

Trong mục 4, chúng tôi chứng tỏ một số tắnh chất của ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric vẫn đúng cho ánh xạ liên tục giữa các không gian đối xứng, đặc biệt là nguyên lý ánh xạ co

Trong quá trình tìm tòi nghiên cứu, thực hiện khóa luận, chúng tôi

đã đặt ra một số vấn đề khác nữa, nhưng do điều kiện thời gian và năng lực cùng khuôn khổ của khóa luận không cho phép nên chúng chưa được giải quyết Chúng tôi hy vọng sẽ giải quyết các vấn đề này trong thời gian tiếp theo

\newpage

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu s¡c nhất đến thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tắch

Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận này ch¡c ch¡n không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được các thầy giáo, cô giáo và các bạn góp ý, bổ sung Tôi xin chân thành cảm ơn

\vskip 0.8cm

\newpage

\vskip 0.4cm

thỏa mãn:

$P_3 \subset P_1 \cap P_2$

$G$ của $X$ là tập mở khi và chỉ khi với mỗi $x \in G$, tồn tại

X$, nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

mọi điểm $x \in X$, hay nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

thỏa mãn: Mỗi tập con $A$ của $X$ là đóng khi và chỉ khi không có

\vskip 0.4cm

ta sẽ tìm cách mô tả sự hội tụ của một dãy trong $X$ qua hàm $d$, tương tự như dãy hội tụ trong không gian mêtric

Đầu tiên, ta đưa vào định nghĩa sau

dãy

\vskip 0.3cm

theo tôpô $\tau$ thì ta ký hiệu là $x_n \to x$

tụ đến nhiều điểm khác nhau

\vskip 0.2cm

Thật vậy, xét tập $X$ là tập gồm hai tia $Ox, Oy$ của hệ trục tọa

độ Decartes trừ điểm O Trên $X$ ta xác định tôpô $\tau$ như sau:

Trước hết $\tau$ đúng là một tôpô trên $X$ Thật vậy:

Ta chứng minh rằng $d$ thỏa mãn 3 điều kiện của \tp \ \dx Thật vậy, ta có

y$

$X$ Đặt

Với $x$ bất kỳ thuộc $X$, không mất tắnh tổng quát ta xét hai trường~hợp:

có

$\dfrac 1n < \varepsilon$ Khi đó, ta có

\in Ox \cap U$ Khi đó

\subset U,

rằng với mỗi $z \in U$, đều tồn tại $V \in \tau$ sao cho $z \in V

trên, sự hội tụ của dãy theo d là không duy nhất

Lấy $x_n = n \in Ox, n = 1, 2, $ Ta sẽ chứng minh rằng $x_n

< \varepsilon

cho trên $X$ Vấn đề được đặt ra là, xét mối quan hệ giữa hai sự

chứng minh mọi lân cận $U$ của $x$ đều tồn tại $n_0 \in

$U$ là lân cận của $x$ nên tồn tại tập mở $V$ chứa $x$ sao cho $x

\in V \subset U$ Hơn nữa, do $x \in V$ nên tồn tại $n_1$ thỏa mãn

\subset V \subset U$, với mọi $n \geq n_0$ Suy ra $x_n \in U$, với mọi $n \geq n_0$ Vậy $x_n \to x$

tồn tại $V$ mở sao cho $x \in V \subset U$ Do $X$ là không gian

\subset U$ Vậy $\p_x$ là một lưới tại $x$

sao cho $n_0 > n$ Khi đó:

Vậy, với $U, V \in \p_x$ thì tồn tại $W \in \p_x$ sao cho $W

\subset U\cap V$

Với $G \subset X$, ta có $G$ mở khi và chỉ khi với mỗi $x \in G$,

Như vậy, $\p$ là một cơ sở yếu của $X$

là lân cận dãy của $x$ Khi đó, ¡t tồn tại dãy $\{x_n: n = 1, 2,

một tập mở Khi đó, lấy một điểm bất kỳ $y \in X\setminus{\{x_n: n

Nếu $y = x$, thì tồn tại $P_0 \in \p_x$ sao cho $P_0 \subset

$P \in \p_y$ sao cho $y~\in~P~\subset~X\setminus{\{x_n: n = 1, 2,

thuẫn Do đó $P \in \p_x$ là một lân cận dãy của $x$

\section{Quan hệ giữa không gian đối xứng

\vskip 0.4cm

giữa không gian \dx \ với không gian nửa mêtric, không gian dãy, không gian Frechet,

không

\vskip 0.2cm

cơ sở yếu của $X$

Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi tập con $A$ của $X$ là đóng khi và chỉ khi mọi dãy trong A nếu hội tụ thì hội tụ tới một điểm trong

$A$ Thật vậy, giả sử $A$ là tập con đóng của $X$, khi đó

cho $x_n \in U$, với mọi $n \geq n_0$ Vì thế mọi dãy trong $A$ nếu hội tụ thì sẽ hội tụ về một điểm trong $A$

Ngược lại, giả sử mọi dãy trong $A$ đều hội tụ về một điểm trong

$A$ Ta chứng minh $A$ đóng bằng phản chứng Giả sử $A$ không

tức là $x_n \in U$, với mọi $n \geq n_0$ Do đó, $\{x_n: n \in

đóng

Vậy, $X$ là không gian dãy

\vskip 0.2cm

Ta sẽ chứng minh hàm số d thỏa mãn điều kiện $A \subset X$, $A$ mở

Giả sử $A$ là tập mở trong $X$ và $x \in A$ Khi đó

Bây giờ giả sử với mỗi $A \subset X$, $x \in A$, tồn tại $n \in

\vskip 0.2cm

A_n$, $n = 1, 2, $

dựng được $x_n \in A_n$, với mọi $n = 1, 2, $.

Bây giờ ta sẽ chứng minh $x_n \to x$ Với mọi lân cận $U$ của $x$, suy ra tồn tại tập mở $V$ sao cho $x \in V \subset U$ Mặt khác,

\to x$ khi $n \to \infty$

mạnh là

\vskip 0.2cm

\in A_n$, với $n = 1, 2, $ Xét tập $A$ bất kỳ thuộc $X$, với

= A$, với mọi $n \in \N$ thì $x \in

\vskip 0.2cm

dãy trong $A$ nếu hội tụ thì hội tụ về $x$ nằm trong $A$

$x_n \to x$ thì $x \in A$ Ta sẽ chứng minh $A$ đóng hay

Thật vậy, do $X$ là không gian Frechet nên với mọi $x \in

$A$ đóng

\vskip 0.2cm

\vskip 0.3cm

mêtric đều là không gian đối xứng Một câu hỏi nảy sinh là với điều kiện nào thì một không gian \dx \ là không gian nửa mêtric Các Định lý tiếp theo trả lời câu hỏi đó

tôpô

đối xứng Khi đó $X$ là không gian nửa mêtric khi và chỉ khi với mỗi $x \in X$,

\vskip 0.2cm

ở đây, chúng tôi trình bày một chứng minh khác của Định lý này

Giả sử $X$ là không gian nửa mêtric Khi đó,

với mọi $\varepsilon > 0$, suy ra tồn tại $y \in A$, $y \in B(x,

là không gian nửa mêtric khi và chỉ khi $X$ là không gian

\vskip 0.2cm

ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử $X$ là không gian \dx, Frechet

Ta chứng minh $X$ là không gian nửa mêtric Thật vậy, giả sử $A

\newpage

\vskip 0.4cm

ánh xạ liên tục trong không gian mêtric còn đúng cho trường hợp không gian \dx \ nữa không? Đặc biệt ta sẽ mở rộng nguyên lý ánh

xạ co trong không gian mêtric đầy đủ cho không gian đối xứng Trong mục này, các không gian được giả thiết là $T_2$

xạ $f: X \to Y$ Khi đó, $f$ liên tục khi và chỉ khi mọi dãy

tập đóng trong $X$, đối với mọi tập $B'$ đóng trong $Y$ Thật vậy, giả sử $B$ không đóng trong $X$ Vì $X$ là không gian dãy nên

\notin B'$ Vì $Y$ là không gian dãy và $B'$ đóng nên ta có điều mâu thuẫn Do đó $B$ là tập đóng

Frechet và ánh xạ $f: X \to Y$ Khi đó $f$ liên tục tại $a \in X$

\vskip 0.2cm

Tuy nhiên, trong trường hợp cụ thể này, ta có thể chứng minh trực

V$ Do $x_n \to a$ nên tồn tại $n_0 \in \N$ sao cho $x_n \in U$,

Giả sử $f$ không liên tục tại $a$ Khi đó, tồn tại lân cận $V$ của

Mặt khác, vì $X$ là không gian \dx, Frechet nên với mỗi $n = 1,

đó, suy ra $f$ liên tục tại $a$

là

$$

X

$$

\infty$ Do $f$ là ánh xạ co nên

\vskip 0.2cm

ánh xạ co đều có duy nhất một điểm bất động, đó là nguyên lý ánh không gian \dx, nguyên lý ánh xạ co còn đúng nữa không? Để giải quyết vấn đề này ta cần các khái niệm sau

$

$n$ và $m \to \infty$.

dãy cơ bản trong nó đều hội tụ

\textit{Giả sử $X$ là không gian đối xứng, bị chặn, đầy đủ và mỗi dãy hội tụ trong $X$ chỉ hội tụ tới một điểm duy nhất Khi đó mọi

$$

X

$$

$$

$$

suy ra

$$

$$

\in X$ sao cho $x_n \to x$

Bây giờ ta chứng minh $x$ là điểm bất động của $f$ Với mọi $n$,

ta có

$$

$$

$$

$$

Bây giờ ta sẽ chứng minh tắnh duy nhất của điểm bất động Giả sử tồn tại $x' \in X$ là điểm bất động của ánh xạ $f$ Khi đó, nếu

$$

$$

$$

$$

$$

$$

Như vậy, $x$ là điểm bất động của $f$

\newpage

1 Dựa vào khái niệm $d$-hội tụ để mô tả sự hội tụ của dãy trong

2 Chứng minh chi tiết một số mệnh đề nói về mối quan hệ giữa không gian đối xứng và một số không gian đặc biệt, đã có trong các

3 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ cho không gian đối

4 Một số vấn đề mở

không?

thuộc $A$

Xét mối quan hệ giữa tập d-compact với tập compact trong $X$

Xét mối quan hệ giữa tập d-compact với tập d-đóng

Xét mối quan hệ giữa tập d-compact với tập bị chặn

\newpage

J.E Vanghan, eds, Handbook of set - Theoritic topology, North - Holland, {\bf