Tập mó suy rông và tập đóng suy rông trong không gian tôpô

TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn "Tập mả suy rộng và tập đóng suy rông trong không gian tôpô" đã đạt đaọc mục đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đã đạt đuọc các vấn đề sau: - Trình bày

TRƯ Ò NG ĐẠI HỌC SƯ PH Ạ M

Đ à N ă n g - 2020

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cííu cùa ricng tôi Các sá liệu, kết quà nêu trong luận văn là trung thục và chua tùng đuọc ai công

bá trong b ất kì công trìn h nào khác

Tác giả

T R Ầ N T H Ị H O À I Q U Y Ê N

Đe hoàn th àn h được luận văn này, lòi đầu tiên tác giả xin ghi lòi cảm ơn sâu sắc tói thầy giáo TS Hoàng Q uang Tuyến và TS Lương Quốc Tuyen

đã tậ n tình hưóng dẫn tác giả trong suốt quá trìn h thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin ghi lòi cảm ơn chân th à n h nh ất đến tấ t cả các quý thầy

cô đã tậ n tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trìn h học tậ p và nghiên chu Đồng thòi, tác giả cũng xin ghi lòi cảm ơn đến các bạn trong lóp Cao học Phương pháp Toán Sơ cấp K36 - QB, đã nhiệt tìn h giúp đơ tác giả trong quá trìn h học tậ p vha qua

Trần T h ị H o à i Q u yên

Tên đề tài: Tâp m ả suy rông và tập đóng suy rộng trong không gian tôpô

Họ và tên học viên: Trần Thi Hoài Quyên

Nguòi hu áng dẫn khoa học: 1 TS Hoàng Quang Tuyến

Luận văn "Tập mả suy rộng và tập đóng suy rông trong không gian tôpô" đã đạt đaọc mục đích

và nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đã đạt đuọc các vấn đề sau:

- Trình bày lại một cách có hệ thống và chúng minh chi tiết một số kết quà của tôpô đại cuông nhằm phục vụ cho việc chúng minh các kết quả chính của luận văn

- Trình bày khái niệm và tính chất co bản của tập đóng suy rộng trong không gian tôpô Chúng minh rằng tập đóng suy rộng nó không tầm thuòng và có nhũng tính chất của tập đóng không còn đúng cho tập đóng suy rộng

- Trình bày khái niệm và tính chất co bản của tập mỏ suy rộng trong không gian tôpô Chúng minh sụ không tầm thuòng của tập mỏ suy rộng và chì ra rằng các tính chất của nó thục sụ yếu hon tính chất của tập mỏ

Trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian đối xúng, T]/2- không gian Chúng minh chl tiêt kêt quả răng Ti/2- không gian nó thục sụ nằm giũa To- không gian và Ti- không gian, và chúng minh một số mối liên hệ giũa không gian đối xúng, To- không gian, Ti/2- không gian, T]- không gian

Các vấn đề đua ra trong luận văn là khá thục tiễn, giúp hiểu sâu sắc hon toán học phổ thong, phù họp vói chuyên ngành phuong pháp toán so cấp

Tù' khóa: Tập mỏ suy rông, tập đóng suy rộng, không gian compact, không gian con, không

gian Hausdorff

Xác nhận của giáo viên huóng dẫn Nguùi thuc hiện đề tài

2 TS Luông Quốc Tuyển

Co sỏ dào tạo: Truông ĐHSP- Đại học Đà Nằng

Tóm tắt:

TS Luông Quốc Tuyển Trần Thj Hoài Quyên

OPhcial thesis title: Generatized open sets and generahzed cìosed sets in topo!ogicat

space

Major: Methodoìogy in Eíementary Mathematics

FuH name of Master's student: Tran Thì Hoai Quyen

2 Dr Luong Quoc TuyenInstitution: The University of Danang — University of Education and Science

- Presenting basic concepts and properties of genera)ized open sets in topological space Proving that generahzed ctosed sets are not insigniHcant and its propeilies are tru[y weaker than those of open sets

- Presenting some concepts and properties of symmetric space, Ti/2- space The tìndings that T[/2-space is not truty in the middìe of To-space and T]-space are proved in a detailed way Aìso, presenting some connections among symmetric space, T]/2- space and Ti-space

The issues stated in the thesis are quite practìca!, hctp understand high schoo) mathematics more íutly and suit major in methodotogy in elementary mathematics

Keywords: Generatized open sets, generalized ctosed sets, compact space, subspace,

Hausdorff space

Coníirmation of Supervisors Master^s student

Dr Hoang Quang Tuyen Dr Luong Quoc Tuyen Tran Thi Hoa! Quyen

M Ó Đ Ầ U 1

C H Ư Ơ N G 1 CƠ SÓ LÝ T H U Y Ế T 4

1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian tôpô .4

1.2 Bao đóng và phần trong của tậ p h ọ p 11

1.3 Một số tiên đề tách 17

1.4 Không gian con và không gian com pact 22

C H Ư Ơ N G 2 T Ậ P M Ó S U Y R Ô N G V À T Ậ P Đ Ó N G S U Y R Ô N G T R O N G K H Ô N G G IA N T Ô P Ô 27

2.1 Tập đóng suy r ộ n g 27

2.2 Tập họp mó suy rộng .35

2.3 Không gian đối xúng và T1 -không g i a n 40

K Ế T L U Ậ N V À K IẾ N N G H Ĩ 47

T À I L IÊ U T H A M K H Á O 48

M Õ Đ Ầ U

1 Lý do chọn đ ề tà i

T ù nhũng khái niệm và tín h chất cơ bản trong lý thuyết tôpô đại cương, bằng con đưòng tương tự hóa và khái quát hóa, các nhà toán học trên thế giói đã đề xu ất nhiều khái niệm suy rông mói liên quan đến tậ p hợp mó,

tậ p hợp đóng, tậ p hợp com pact và ánh xạ liên tực trong không gian tôpô Nhò đó, các tác giả đã th u được rất nhiều kết quả th ú vị Năm 1963, N Levine (xem [8]) đã giói thiệu m ôt lóp tậ p hợp mói liên quan đến tậ p hợp

mó trong không gian tôpô, đó là tậ p hợp nda-mó Dựa trên nhũng khái niệm, kết quả và hưóng đi này, các nhà toán học đã đưa ra được nhiều khái niệm cũng như nhiều tín h chất mó rông mói, và nghiên chu chúng theo nhiều chiều hưóng khác nhau Lúc này, đây được xem là m ôt trong nhũng hưóng đi mói trong Lý thuyết về tôpô đại cương Đến năm 1970, khái niệm tậ p mó suy rông và tậ p đóng suy rông trong không gian tôpô

đã được N Levine giói thiệu nhằm mó rông nhiều tín h chất quan trọng cửa tậ p đóng và tậ p mó trong không gian tôpô (xem [8]) T ù đó đến nay,

tậ p đóng suy rông và tậ p mó suy rông đã th u hút được sự quan tâm cửa nhiều nhà toán học tên tuoi trên thế giói Việc nghiên chu tậ p đóng suy rông đã cho ta nhiều kết quả khá th ú vị, chẳng hạn nhò sự nghiên cúu

về tậ p đóng suy rông m à khái niệm - không gian đã được đề xu ất bói W

D unham vào năm 1977 (xem [4]) Năm 1987, P B hattacharya and B K Lahiri dựa trên khái niệm các tậ p đóng suy rông, đưa ra khái niệm các tậ p nũa-đóng suy rông (xem [3]) Sau này, các tín h chất cửa các tậ p đóng suy rông được A Rani và K balachansdran nghiên cúu sâu hơn 1997 Trong nhũng năm gần đây, bằng các phương pháp nghiên cúu như trên, rấ t nhiều khái niệm mói trong tôpô được đưa ra Chính vì lẽ đó, ngưòi ta đã thu được nhiều tín h chất quan trọng, tạo ra nhũng hưóng nghiên cúu m ạnh mẽ

góp phần làm phong phú Lý thuyết về tôpô đại cương Nhằm hiểu th ấu đáo hơn Lý thuyết tôpô và các tậ p mó suy rông và tậ p đóng suy rông, duói

sự huóng dẫn của thầy giáo TS Luơng Quốc Tuyển và TS Hoàng Quang Tuyến, chúng tôi quyết định nghiên chu các kết quả trong bài báo [8] của

V Levine Do đó, chúng tôi chọn đề tài "Tập mó suy rông và tậ p đóng suy rông trong không gian tôpô" làm đề tà i luận văn thạc sỹ cho mình

2 M ụ c đ ích n g h iên chu

Luận văn này, chúng tôi nghiên chu nhằm nhhng mục đích nhu sau: Hệ thống lại m ôt số kiến thhc về tôpô đại cương Tìm hiểu và chhng minh chi tiết các tính chất của các tậ p mó suy rông, tậ p đóng suy rông, tậ p nha-mó, tậ p nha-đóng trong không gian tôpô Nghiên chu T1 -không gian

3 Đ ố i tư ợ n g n g h iên chu

Tập mó suy rông, tậ p đóng suy rông, tậ p nha-mó, tậ p nha-đóng, T1 - không gian Nghiên chu m ôt số tín h chất của tậ p mó suy rông

• Thu th ậ p các bài báo khoa học của các tác giả đi truóc liên quan đến

"tập mó suy rông, tậ p đóng suy rông "

• Thể hiện tuòng minh các kết quả nghiên chu trong đề tài

• P hân tích, đánh giá, tong hợp và trao đoi vói thầy huóng dẫn kết quả đang nghiên chu để hoàn chính luận văn của mình

• Chương 2: T ính chất của tậ p mó và tậ p đóng suy rộng trong không gian tôpô Trong chương này, chúng tôi trìn h bày khái niệm và chúng minh chi tiết các tính chất của các tậ p mó suy rộng và tậ p đóng suy rộng Nhò đó, chúng tôi nghiên cúu khái niệm và tín h chất của

T1 -không gian

C H Ư Ơ N G 1

C Ơ S Ô L Ý T H U Y É T

Trong chương này, chúng tôi trìn h bày m ọt số khái niệm và tính chất của tôpô đại cương nhằm phục vụ cho việc chúng minh các kết quả trong Chương 2 của luận văn Nọi dung chính trong chương này được chúng tôi lấy trong tài liệu [5]

• T được gọi là m ọt tôpô trên X ;

• Cặp (X , T) được gọi là mọt không gian tôpô

• Mỗi phần th của X được gọi là m ọt điểm của không gian tôpô;

• Mỗi phần th của T được gọi là m ọt tập md trong (X , T)

V í dụ 1.1.2 (1) Giả sh X là tậ p không rỗng và

Ti = { 0 ,X }, T2 = P ( X )

Khi đó, Ti và T2 là các tôpô trên X Ta nói rằng Ti là tôpô thô và T2

là tôpô ròi rạc trên X

• Giả sh { U : i E I } c T và U ^ u Un Khi đó, nếu U = 0, th ì rõ ràng

U E T Bây giò, giả sh U = 0, khi đó tồn tại i E I sao cho U = 0 Bói vì

U E T nên X \ U hũu hạn Hơn nũa, vì U^ G U nên ta suy ra

X \ U c X \ Ui

Do đó, X \ U hũu hạn Bói vậy, U ^ u ^ T

• Giả sh U1, U2 E T, khi đó nếu U1 n U2 = 0, th ì rõ ràng U1 n U2 E T Bây giò, giả sh U1 n U2 = 0 Khi đó,

Ui = 0 và U2 = 0

Bói vì U1, U2 E T nên X \ U 1 và X \ U 2 hũu hạn Hơn nũa, vì

X \ (Ui n U2) = (X \U i) u ( X \U2)nên X \ (U1 n U2) hũu hạn Do vậy, (U1 n U2) E T ũ

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3 Giả sh A là một tậ p con khác rỗng của không gian

tôpô (X, T) Khi đó,

1) Tập con U của X đưọc gọi là m ột lán cận của A nếu tồn tạ i V € T

sao cho

A G V G U

Ngoài ra, nếu U € T, th ì ta nói rằng U là lán cận md của A Đặc biệt, nếu A = {x}, th ì ta nói rằng U là lán cận của x

2 ) Vói mỗi x € X , ta gọi B (x) là họ gồm tấ t cả các lân cận mó của X

Khi đó, {Bx}x€X đưọc gọi là hẹ lán cận của X

B o đ ề 1.1.4 Dối vdi không gian tôpô (X , T), các khẳng đtnh sau là

tương đương

(1) U là tập hợp md;

(2) U là lán cận của mọi điểm thuỢc nó;

(3) Vdi mọi x € U , tồn tại vx € B(x) sao cho x € ^ G U

Chhng minh (1) = ^ (2) Giả sh U là tậ p mó và x € U Khi đó, nếu ta đặt V = U , thì rõ ràng V € T và x € V G U Như vậy, U là m ột lân cận của x

(2) = ^ (3) Giả sh U là lân cận của mọi x € U Khi đó, vói mọi x € U ,nếu ta đặt VX = U , th ì là lân cận của x và

x € ^ = U G U

Do đó, (3) th ỏ a mãn

(3) = ^ (1) Giả sh vói mọi x € U , tồn tạ i lân cận VX của x sao cho

x € VX G U Khi dó, vì VX là lân cận của x nên tồn tại W € T sao cho

x € W G VX G U Do đó,

U = u { x } G u Wx G U ,

kéo theo U = u VX Bói vì € T vói mọi x € U nên ta suy ra U € T,

Đ ịn h lí 1.1.5 Giả sh (X , T) là mọt không gian tôpô Khi đó,

1) B(x) = 0 vhi mọi x E X và x E U vhi mọi U E B (x);

2) Nếu x E U E B(y), thì tồn tại V E B (x) sao cho V G U ;

3) Nếu U1, U2 E B (x), thì tồn tại U E B (x) sao cho U G U1 n U2

Chhng minh (1) Vói mọi x E X , bói vì X là m ột lân cận của x nên

Bx = 0 Hơn nũa, nếu U E B (x), thì U là m ột lân cận của x Do đó, th định nghĩa lân cận ta suy ra x E U

(2) Giả sh x E U E B(y) Khi đó, vì U E T nên theo Bo đề 1.1.4, tồn

tạ i lân cận W của x sao cho x E W G U Suy ra tồn tại V E T sao cho

x E V G U , và V E B (x)

(3) Giả sh U1, U2 E B (x) Khi đó, x E U1 n U2 E T Do đó, nếu ta đặt

Đ ịn h lí 1.1.6 Cho X là mọt tập hạp và họ {B (x)}, trong đó mỗi B(x)

là họ gồm các tập con nào đó của X thỏa m ãn các điều kiẹn trong Đtnh lí 1.1.5 Ta đặt

Khi đó, F là mọt tôpô trên X và {B (x)}x^X là hẹ lan cận của (X , T) Lúc này, ta nói rằng F là tôpô đưạc sinh khi hẹ lan cận {B (x)}x^X

Chhng minh Trưóc tiên, ta chúng minh rằng F là m ột tôpô trên X

o Vói mọi x € X , theo điều kiện (1) của Định lí 1.1.5, tồn tại

Ụx € B (x) sao cho x € Ux Do đó,

X = u Ux € F Giả sh {G a }a€A G F Khi dó, vói mỗi a € A, tồn tại Ga G

sao cho G a = U {V : V € Ga } Bói vì

x€X y€U

x € U = u vy = V G U

y€U

Như vậy, U là lân cận của x, do đó {B (x)}x€X là hệ lân cận của X ũ

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.7 Cho A là m ột tậ p con của không gian tôpô (X , T) và

x € X Khi đó,

(1) x đưọc gọi là điểm trong của A nếu A là lân cận của x

(2) x đưọc gọi là điểm ngoài của A nếu X \ A là lân cận của x

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.8 Giả sh (X , T) là m ột không gian tôpô và F G X Ta

nói F là tập hựp đóng trong X nếu X \ F là tậ p họp mó trong X

Đ ịn h lí 1.1.9 Gọi D là họ gồm tấ t cả tập con đóng trong không gian

X \ (Fi u F2) = ( X \ F i) n ( X \ F2)nên X \ (Fi u F2) € T Do vậy, F i u F € D

(3) Giả sh {F, : i € I } G D, khi đó vì mỗi F, là tậ p đóng nên X \ F , € T

M ặt khác, vì

u ( X \ F , ) = X N n F )

N h â n x é t 1.1.10 Họp tù y ý các tậ p họp đóng trong không gian tôpô có

th ể không đóng Do đó, giao tù y ý các tậ p họp mó có thể không mó

Chhng minh Giả sh R là tậ p họp số thpc vói tôpô T thông thưòng và

1.2 B a o đ ó n g v à p h ầ n tr o n g c ú a tậ p hdp

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 Giả sh A là m ột tậ p con của không gian tôpô (X , T)

Khi đó, giao của họ tấ t cả các tậ p đóng chúa A đưọc gọi là bao đóng của

Bây giò, giả sh A = A, khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra A là tậ p con đóng

(3) Giả sh A G B , khi đó theo khẳng định (2) ta có B G B , kéo theo

A G B Như vậy, kết họp vói khẳng định (1) ta suy ra B là tậ p con đóng chúa A M ặt khác, lại theo khẳng định (1), A là tậ p đóng nhó nh ất chúa

B o đ ề 1.2.3 Giả sh (X , T) là mọt không gian tôpô, A G X Khi đó,

x E A khi và cht khi vhi mọi tan cận mh U cha x ta đều có U n A = 0

Chhng minh • Điều kiện cần Giả sh rằng x E A và V là m ột lân cận mó của x Ta cần chúng minh rằng V Pl A = 0 T h ật vậy, giả sh ngưọc lại rằng

V Pl A = 0, kéo theo A G X \ V Bói vì V E T nên X \ A đóng trong X

Do đó, theo Nhận xét 2.3.10 ta suy ra rằng

A G X \ V = X \ V^,kéo theo A n V = 0 Điều này m âu thuẫn vói x E A Pl V

• Điều kiện đủ Giả sh rằng mọi lân cận V của x ta đều có V Pl A = 0

Ta chúng minh x E A T h ật vậy, giả sh ngưọc lại rằng x i/ A, kéo theo

x E X \ A Bói vì X \ A là tậ p họp mó chúa x nên V = X \ A là lân cận

mó của x trong X th ỏ a m ãn V Pl A = 0 Điều này m âu thuẫn vói giả thiết

Ghhng minh (1) Suy trực tiếp th Định lí 1.1.9 và N hận xét 1.2.2

(2) Bói vì A n B G A và A n B G B nên theo Nhận xét 1.2.2, ta suy ra

A n B G A và A n B G B Suy ra A n B G A n B

Bây giò, ta xét R vói tôpô thông thưòng,

A = (0,1) và B = (1,2)

Khi đó, A n B = 0 = 0, A n B = {1} Như vậy, A n B = A n B

(3) Bói vì A G A u B và B G A u B nên N hận xét 1.2.2 ta suy ra

A G A u B và B G A u B

Bây giò, giả sh G là tậ p họp mó lón nh ất nằm trong A Khi đó, vì I n t A

là tậ p mó nằm trong A nên G G In tA M ặt khác, lại vì G là tậ p mó nằm trong A nên nhò Định nghĩa 1.2.5, I n tA G G Như vậy, I n tA = G và G

là tậ p họp mó lón nh ất nằm trong A

(2) Giả sh A G X , khi đó

(2.1) Diều kiẹn cần Giả sh A là tậ p mó Khi đó, theo khẳng định (1),

I n tA là tậ p mó lón nh ất nằm trong A M ặt khác, vì A cũng là tậ p mó

nằm trong A nên A G In tA Hơn nưa, theo khẳng định (2), I n tA G A, kéo theo A = In tA

(2.2) Diều kiẹn đủ Giả sh A = In tA , khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra rằng A là tậ p họp mó

(3) Giả sh A G X và x E X Khi đó,

(3.1) Diều kiẹn cần Giả sh x E In tA , khi đó theo khẳng định

(1), I n tA E T và

x E I n tA G A

Như vậy, x là điểm trong của A

(3.2) Diều kiẹn đủ Giả sh x là điểm trong của A Khi đó, tồn

tại tậ p mó U sao cho x E U G A M ặt khác, vì I n tA là tậ p

mó lón nh ất trong A nên U G In tA Do vậy, x E In tA

(5) Giả sh A G B , khi đó theo khẳng định (1), I n tA là tậ p mó nằm trong A, kéo theo I n tA là tậ p mó nằm trong B M ặt khác, vì I n t B là tậ p

Lại theo Nhận xét 1.2.6 ta suy ra X \ I n tA là tậ p họp đóng và

(3) I n tA u I n t B G I n t( A u B ), đẳng íhhc không xẩy ra

Chhng minh (1) Suy trpc tiếp tù Nhận xét 1.2.6

(2) Bói vì A n B G A và A n B G B nên theo Nhận xét 1.2.6

Hơn nũa, vì I n tA n I n t B là tậ p mó và I n t(A n B ) là tậ p mó

chúa trong A n B nên

(1.4)ũ

Như vậy, I n t(A u B ) = I n tA u I n t B ũ

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.9 Tâp con A của không gian tôpô (X , T) đưực gọi là trù

(2) Giả sh F là tậ p đóng trong X chúa N Khi đó, vì F đóng nên

X \ F E T, kéo theo X \ F = 0 hoặc F = X \ (X \ F ) hưu hạn Bói vì

N G F nên F vô hạn, kéo theo X \ F = 0 là tậ p hưu hạn Suy ra F = X

Như vậy, tậ p đóng trong X chúa N chĩ là X Do đó, N = X , nghĩa là N trù m ật trong X

Tiếp theo, bói vì N c Q nên ta có

R = N c Q c R

Như vậy, Q = R, nghĩa là Q trù m ật trong R ũ

N h â n x é t 1.2.11 Tập con A trù m ật trong X khi và chĩ khi mỗi tậ p mó

khác rỗng trong X đều có điểm chung vói A

Chhng minh Giả sh A c X và U E T, U = 0 Khi đó,

• Diều kiẹn cần Giả sh A trù m ật trong X , nghĩa là A = X T a lấy x E U , khi đó U là lân cận mó cửa x Theo Định lí 1.2.3, ta suy ra

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 Giả sh (X, T) là m ột không gian tôpô Ta nói rằng

A và B đưực tách khi các tạp mh nếu chúng có các lân cận mó ròi nhau, trong đó A, B có th ể là tậ p con hoặc m ột điểm

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2 Giả sh (X , T) là không gian tôpô Khi đó,

(1) (X , T) đưực gọi là T0-không gian nếu vói mọi x, y E X m à x = y, tồn

tạ i V E T chúa đúng m ột trong hai điểm này

(2) (X , T) đưực gọi là T 1-không gian nếu vói mọi x, y E X m à x = y, tồn

tạ i lân cận mó U cửa x sao cho y U

(3) (X , T) đưọc gọi là T2-không gian hay là không gian H ausdorff nếu vói hai điểm phân biệt đưọc tách bói các tậ p mó.

(4) (X , T) đưọc gọi là không gian chính quy nếu vói mọi F đóng và x i/ F , đưọc tách bói các tậ p mó

Ti-không gian chính quy đưọc gọi là T3-không gian

(5) (X , T) đưọc gọi là chuẩn tắc nếu vói hai tậ p họp đóng ròi nhau đưọc tách bói các tậ p mó

Ti-không gian chuẩn tắc đưọc gọi là T4-không gian

N h ậ n x é t 1.3.3 T ù định nghĩa ta suy ra rằng

T4-không gian T3-không gian = ^ T2-không gian

Ti-không gian = ^ T0-không gian

Tuy nhiên, chiều ngưọc lại nói chung là không đúng

V í dụ 1.3.4 Tồn tại không gian chính quy nhưng không là T2-không gian.

Chhng minh Giả sh X = {a, b, c}, T = {0, X , {a}, {b, c}} Khi đó, rõ ràng

T là một tôpô trên X , và các tậ p con đóng trong X là

0 X { b ,c } { a} Hơn nưa, ta có

• (X , T) là không gian chính quy T h ật vậy, giả sh F là tậ p con đóng trong X và x i/ F Khi đó, chĩ xẩy ra các trưòng họp sau

V í dụ 1.3.5 Tồn tại không gian chuẩn tắc không là không gian chính quy.

Chhng minh Giả sh X = {a, b, c, d} và

T = { ^ , X {a}, {c}, { a ,c}, {a,b}, {c ,d } , { a ,b ,c}, { a ,c ,d ^ Khi đó, (X , T) là m ột tôpô trên X , và các tậ p con đóng trong X là

0, X {b ,c ,d } , { b ,d } , {c ,d}, {a,b}, {d}, {b}

Hơn nưa, ta có các khẳng định sau

• X là không gian chuẩn tắc Giả sh E , F là hai tậ p con đóng ròi nhau trong X Khi đó, chĩ xẩy ra các trưòng họp sau

Trưhng hựp 1: E = {c, d}, F = {a, b}

Trư^hng hựp 2: E = {c, d}, F = {b}

Trưhng hựp 3: E = {a, b}, F = {d}

Trưbng hựp 4: E = {d}, F = {b}

Trong cả bốn trưòng họp trên, ta chĩ cần lấy U = {c, d} và V = {a, b}

ta suy ra E , F bị tách bói hai tậ p họp mó U và V

• X không là không gian chính quy Ta lấy F = {b, d}, khi đó

X \ F = {a, c} E T

Do đó, F là tậ p con đóng của X và a i/ F Bây giò, giả sh V là lân cận

mó b ất kỳ của F Bói vì F c V E T nên V = X , kéo theo a E V Như vậy, a và F không tách đưọc bói các tậ p họp mó Suy ra (X , T) không là

V í dụ 1.3.6 Mỗi không gian m etric là T vkhông gian.

Chhng minh Rõ ràng rằng X là Ti-không gian Bây giò, giả sh E , F là hai tậ p con khác rỗng ròi nhau trong không gian m etric (X , d) Khi đó,

* Bói vì F đóng nên vói mọi X € E , ta có

dx = d(x, F ) = inf d(x, y) > 0

y € F

Ta đặt U ^ u B ( x ,dx/2 ) Khi đó, U là lân cận mó của E

* Bói vì E đóng nên vói mọi y € F , ta có

dy = d(y, E ) = inf d(y, z ) > 0

Ta đặt V = u B ( x ,dx/2 ) Khi đó, V là lân cận mó của F

y € F

Bây giò, để hoàn th à n h chúng minh ta chĩ cần chúng tó rằng U Pl V = 0

T h ật vậy, giả sh ngưọc lại rằng tồn tạ i z0 € U n V Khi đó, tồn tại

x 0 € E và y0 € F sao cho

zo € B ( x o , ^ ) n B (yo.^2^0) Bói vậy, ta có

d(xo, yo) < d(xo, zo) + d(zo, yo) < .Không giảm tong quát ta giả sh rằng dx0 > dy0, kéo theo d(x0,y 0) < dx0 Hơn nưa, ta có d(x0, y0) > d (x 0, F ) = dx0 Điều mâu thuẫn này chúng tó

V í d ụ 1.3.7 Tồn tạ i nhũng không gian tôpô không là To-không gian

Chhng minh Xét không gian tôpô (X, T) vói T là tôpô thô và X nhiều hơn

m ột phần th Khi đó, vói X, y phân biệt trong X , không tồn tại tậ p họp mó chúa đúng một trong hai điểm Như vậy, (X , T) không là Tỏ-không gian ũ

V í d ụ 1.3.8 Tồn tạ i Ti-không gian không là T2-không gian

Chhng minh Giả sh X là tậ p họp vô hạn, và T là tôpô Zariski Khi đó,

• (X , T) là Ti -không gian.

Giả sh x, y E X sao cho x = y Khi đó, nếu ta lấy

U = Xí \ {x}; 1/ = X \ { y } ,

th ì X \ U = {x} và X \ 1 = {y} là các tậ p hưu hạn nên U là lân cận

mó của x không chúa y và 1 là lân cận mó của y không chúa x Do đó, (X , T) là T -k h ô n g gian

• (X , T) không là T2-khônggian

T h ật vậy, giả sh U , 1 là hai tậ p họp mó khác rỗng b ất kỳ của X Khi

đó, X \ U và X \ 1 là các tậ p con hưu hạn của X Như vậy, nếu UPl 1 = 0,

th ì U c X \ 1 hưu hạn, kéo theo U hưu hạn Bói vì

X = 1/ u (X \ 1/)nên ta suy ra X hưu hạn Điều m âu thuẫn này chúng tỏ (X , T) không là

V í dụ 1.3.9 Tồn tạ i T rk h ô n g gian nhưng không là T i-không gian

Chhng minh Giả sh X = {a, b, c} và

T = { 0, {a,b}, { b ,c } {b}}

Khi đó, (X, T) là ^ -k h ô n g gian Hơn nưa, nếu ta lấy x = a, y = b,

th ì không tồn tạ i lân cận mó của x không chúa y Như vậy, X không là

V í dụ 1.3.10 Tồn tạ i T3-không gian nhưng không là T2-không gian.

Chhng minh Giả sh X = R và

Z = { 1 /i : i E Z \ {0}}

Khi đó, vói mọi x E X , ta đặt

B(x)

U ^x) = — 1 /i, x + 1 / i j ;

f {^^(x) : i E N*}, nếu x = 0

ì {U^(x) \ Z : i E N*}, nếu x = 0

Khi đó, họ {B (x)}x^x th ỏ a m ãn các tín h chất của Định lí 1.1.5 Theo Định

lí 1.1.6 ta suy ra rằng X là không gian tôpô vói tôpô T đưọc sinh bói hệ lân cận {B (x)}x^X Hơn nũa, ta có

• (X , T) là T2-không gian

Giả sh x, y E X th ỏ a m ãn x = y Khi đó, v ì -^ 0 nên tồn tạ i i0 ^ N*

isao cho — < I - y l Lúc này ta suy ra UÌ0 (x) n UÌ0(y) = 0

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1 Giả sh (X , T) là m ột không gian tôpô và U là họ các

tậ p con nào đó của X , A G X Khi đó,

(1) U đưọc gọi là m ột phủ của X nếu A G U{U : U E U}

(2) U đưọc gọi là m ột phủ md của A nếu U là m ột phủ của A và U c T.(3) V đưọc gọi là phủ con hhu hạn của U nếu V c U , V hưu hạn và V phủ A.

V í dụ 1.4.2 (1) Cho (X , d) là không gian m etric và r > 0 Khi đó, { B ( x ,r ) : x E X } là phủ mó của X

(2) Ta xét R vói tôpô thông thưòng Khi đó,

U = { (—n ,n ) : n E N}

là một phủ mó của R nhưng không có phủ con hưu hạn

C hhngm inh (1) Vói mọi x E X , t a c ó x E B ( x ,r ) D o đ ó , X ^ u B ( x ,r ) (2) Rõ ràng rằng R = u (—n, n) Do đó, U là m ột phủ mó của R

Bây giò, giả sũ U có phủ con hưu hạn, nghĩa là tồn tại n 1, , n k E N

ksao cho R = u (—n^,n^) = (—n o ,n 0) vói n 0 = max{n^ : i < k} Điều này

i=i

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.3 Giả sd (X , T) là không gian tôpô và A c X Khi đó,

tậ p A đưọc gọi là tậ p họp compact nếu vói mọi phủ mó của A đều có một phủ con hưu hạn

Đặc biệt, nếu A = X , th ì ta nói rằng X là không gian compact

V í dụ 1.4.4 (1) Giả sũ (X , T) là không gian tôpô ròi rạc Khi đó, (X , T)

là không gian com pact khi và chĩ khi X hưu hạn

(2) Giả sũ (X , T) là không gian tôpô vói tôpô Zariski Khi đó, (X, T) là không gian compact

(3) R vói tôpô thông thưòng không là không gian compact

Chhng minh (1) Giả sũ (X , T) là không gian tôpô ròi rạc Khi đó,

(1.1) Nếu (X , T) là không gian com pact, th ì do tậ p m ột điểm là mó nên {{x} : X € X } là m ột phủ mó của X Khi đó, tồn tại X1, ,Xn € X sao cho

X c ^ J{ x ,} = {xi, ,Xn}

i=1Điều này chúng tỏ rằng X là tậ p họp hũu hạn

(1.2) Giả sh X là tậ p hũu hạn, nghĩa là X = {x 1, , Xn} và U là một phủ mó của X Khi đó, vói mỗi i < n, tồn tại Ui sao cho X € U^ Lúc này, { U : i < n} là phủ con hũu hạn của X Như vậy, X là không gian compact

(2) Giả sh U là m ột phủ mó của (X, T) Khi đó, tồn tại V0 € U sao cho V0 = 0, kéo theo X \ V0 là tậ p hũu hạn Giả sh rằng

X \ V0 = {xi, ,Xn}

Bói vì U là phủ của X nên vói mỗi i = 1, n, tồn tại Vi € U sao cho Xi € Vi Như vậy, {V0, , vn} là phủ con hũu hạn của U Do đó, X là m ột không gian compact

i=i

U v^^ (y) và V v^^