Lưới trong không gian tôpô và một vài ứng dụng

Sau đó, dùng thuật ngữ lới để xây dựng một số không gian các họ khả tổng: họ khả tổng yếu và họ hội tụ yếu tới 0 trong không gian lồi địa phơng và xét mối quan hệ giữa haikhông gian này.

Mở đầu

Lý thuyết về sự hội tụ đóng vài trò quan trọng trong giải tích toán học.Các cấu trúc cơ bản của giải tích nh: Phép tính vi phân, tích phân, tổng củachuỗi số, chuỗi hàm, đều dựa vào việc chuyển qua giới hạn Các vấn đềgiới hạn của dãy số, dãy hàm số, tổng của chuỗi số, chuỗi hàm số (tổng đếm

đợc) đã đợc trình bày một cách đầy đủ trong giáo trình dành cho sinh viên

ĐHSP Song các khái niệm tổng quát hơn về sự hội tụ thì chỉ đợc đề cập tớirất ít Đó là sự hội tụ của dãy suy rộng (hay còn gọi là lới) Đặc biệt tổngquá đếm đợc thì cha đợc đề cập đến Mục đích của luận văn là dựa vào sựhội tụ của lới, để miêu tả các khái niệm trong không gian tôpô và chứngminh nhiều mệnh đề, định lý theo thuật ngữ lới Sau đó, dùng thuật ngữ lới

để xây dựng một số không gian các họ khả tổng: họ khả tổng yếu và họ hội

tụ yếu tới 0 trong không gian lồi địa phơng và xét mối quan hệ giữa haikhông gian này

Với mục đích đó, luận văn đợc viết thành hai chơng

Chơng 1 gồm 2 mục: Mục 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cầndùng về sau vì thế việc chứng minh các định lý không đợc trình bày Mục2nhằm tìm hiểu sự hội tụ theo lới, mô tả không gian tôpô, chứng minh nhiều

định lý, mệnh đề theo thuật ngữ hội tụ của lới

Chơng 2 sử dụng khái niệm lới để xây dựng các họ khả tổng yếu và hội

tụ yếu tới 0 trong không gian lồi địa phơng Chơng này gồm 2 mục Mỗimục đợc bắt đầu với định nghĩa các họ khả tổng và xây dựng không gian lồi

địa phơng trên không gian các họ này Tiếp đó các nhận xét 2.1.11; 2.2.7 và

các mệnh đề 2.1.12; 2.2.8; 2.2.9 cho ta thấy nếu E là không gian định chuẩn thì có thể trang bị cho [E], C0(E) các chuẩn sao cho tôpô sinh bởi chuẩn

này trùng với tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn đã trang bị trên mỗi khônggian lồi địa phơng đó Chơng 2 đợc kết thúc bằng hai mệnh đề 2.2.10 và2.2.12 trình bày về mối quan hệ giữa họ khả tổng yếu và họ hội tụ yếu tới 0trong không gian lồi địa phơng

Phần kết luận là một số kết quả tác giả đã đạt đợc khi làm khoá luận.Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn giúp đỡ tận tình của các thầycô giáo trong tổ Giải tích và trong khoa Toán Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Đinh Huy Hoàng đã trực tiếp hớng dẫn,giảng dạy trong suốt quá trình làm luận văn Xin cảm ơn các bạn trong lớp39A2 Toán đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt luận văn này

Vinh, 05/2002

Tác giả

Chơng 1

Lới trong không gian tôpô

Lý thuyết về sự hội tụ của dãy thông thờng đã đợc nghiên cứu một cách

đầy đủ trong giáo trình giải tích dành cho sinh viên khoa Toán ĐHSP, nhng

sự hội tụ của lới (dãy suy rộng) thì cha đợc đề cập tới Tuy nhiên, sự hội tụcủa lới cũng đã đợc sử dụng, chẳng hạn trong định nghĩa tích phân xác định

Mục đích của chơng này là nghiên cứu sự hội tụ của lới Sau đó, dùngthuật ngữ lới để mô tả một số khái niệm, kết quả trong không gian tôpô, t-

ơng tự nh dùng thuật ngữ dãy thông thờng mô tả các kết quả trong khônggian mêtríc

Đ1 Các kiến thức chuẩn bị

Trong mục này ta sẽ trình bày một số khái niệm, ký hiệu và kết quả cơbản cần dùng cho các mục sau

1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô Giả sử X là một tập khác  Họ T

các tập con nào đó của X đợc gọi một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện

A

  T

Tập X cùng với tôpô T xác định trên nó đợc gọi là không gian tôpô, ký hiệu là (X, T ) hoặc X.

1.1.2 Định nghĩa tập mở, tập đóng, bao đóng của một tập trong

không gian tôpô X Cho không gian tôpô (X, T ), E là tập con nào đó của X 1) E đợc gọi là tập mở nếu E T

2) E đợc gọi là tập đóng nếu X \ E  T

3) Bao đóng của E là giao tất cả các tập đóng chứa E.

1.1.3 Định nghĩa lân cận Cho không gian tôpô (X, T ) Tập V  X đợc gọi là lân cận của điểm x  X nếu tồn tại tập mở W T sao cho x W

 V.

1.1.4 Định nghĩa các loại điểm Cho không gian tôpô (X, T ); E  X, x X Ta gọi x là:

1) Điểm trong của E nếu E là lân cận của x

Lúc đó tập tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, ký hiệu là IntE.

2) Điểm biên của E nếu x không là điểm trong của E cũng nh X \ E.

Tập tất cả các điểm biên của E gọi là biên của E và ký hiệu là  E.

3) Điểm giới hạn của E nếu với mọi lân cận V của x đều có

V  (E \ x)  .

4) Điểm dính của E nếu với mọi lân cận V của x đều có V  E  .

5) Điểm cô lập của E nếu tồn tại lên cận V của x sao cho: V  E = x.

1.1.5 Định lý Giả sử X là không gian tôpô, E là tập con của X Khi đó

1) E đóng khi và chỉ khi E = E

2) x là điểm dính của E khi và chỉ khi x E

3) E đóng khi và chỉ khi E chứa mọi điểm dính của E.

Hệ quả E đóng khi và chỉ khi E chứa mọi điểm giới hạn của E.

1.1.6 Định lý Bao đóng của một tập tuỳ ý là hợp của tập đó và tập các

điểm giới hạn của nó.

1.1.7 Định nghĩa tập trù mật Giả sử A, B là các tập con của không

gian tôpô X Ta nói A trù mật trong B nếu B  A

A đợc gọi là trù mật trong X nếu X = A

1.1.8 Định nghĩa không gian Hausdoff Không gian tôpô X đợc gọi là

không gian Hausdoff (T2 - không gian) nếu mọi cặp điểm x,y X, x  y đều tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U  V = .

1.1.9 Định nghĩa ánh xạ liên tục Giả sử X, Y là hai không gian tôpô, a

là một điểm thuộc X ánh xạ f : X  Y đợc gọi là liên tục tại điểm a nếu với mọi lân cận V của điểm f(a)  Y đều tồn tại một lân cận U của a sao cho f(U)  V.

1.1.10 Định nghĩa không gian compact Không gian tôpô X đợc gọi là

không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều trích ra đợc một phủ con hữu

hạn

1.1.11 Định nghĩa không gian vectơ tôpô Không gian vectơ X đợc gọi

là không gian vectơ tôpô nếu trên X đã trang bị một tôpô T sao cho các

phép toán cộng và nhân vô hớng của không gian vectơ X liên tục đối với tôpô

T Lúc đó tôpô T đợc gọi là tôpô vectơ

Phép toán cộng liên tục, nghĩa là

ánh xạ + : X  X  X cho bởi (x,y)  x+y là liên tục, tức là với mọi lân cận V của (x + y) sẽ tồn tại lân cận V x của x và V y của y sao cho V x + V y  V.

Phép toán nhân vô hớng liên tục nghĩa là

ánh xạ  :   X  X cho bởi (, x)  x liên tục tức là với lân cận V bất kỳ của (x), tồn tại một lân cận V x của x và một số r > 0 sao cho  V x  V với mọi giá trị của  sao cho  -  < r.

1.1.12 Định nghĩa tập lồi và tập bị chặn Tập con A của không gian

vectơ E đợc gọi là lồi nếu mọi vectơ x, y  A, mọi số thực  [0, 1] ta có:

x + (1 - )y  A.

Tập con A của E đợc gọi là bị chặn nếu mọi lân cận của điểm O trong E

đều tồn tại số tự nhiên n sao cho A  nU.

1.1.13 Định nghĩa không gian lồi địa phơng Giả sử E là không gian

vectơ tôpô Hausdoff, E đợc gọi là không gian lồi địa phơng nếu điểm gốc O E có cơ sở lân cận tạo nên từ các tập lồi.

1.1.14 Định nghĩa tập bị chặn yếu Cho E là không gian lồi địa phơng,

tập con A  E đợc gọi là tập bị chặn yếu nếu mọi a E’, tập a(A) bị chặn (E’ là không gian đối ngẫu của E)

1.1.15 Định lý Macki Cho tập A  E Nếu A bị chặn yếu thì A bị chặn

với tôpô ban đầu của E.

1.1.16 Định nghĩa Pôla Giả sử E là không gian lồi địa phơng, U là một

tập con của E Khi đó tập

U0 = a E’ : a(x)  1, x U

đợc gọi là Pôla của U trong E, U0 là một lân cận của O trong E’.

Đ2 Sự hội tụ của lới trong không gian tôpô

I Định nghĩa và tính chất cơ bản của lới

1.2.1 Định nghĩa tập định hớng Tập D   đợc gọi là định hớng nếu

trên nó xác định một quan hệ “” thoả mãn các tính chất:

J, J’  J(I) : J  J’  J  J’

Khi đó J(I) với quan hệ bao hàm là một tập định hớng.

1.2.4 Định nghĩa lới Giả sử D là một tập định hớng bởi quan hệ “”.

Khi đó hàm S xác định trên D và nhận giá trị trong tập X đợc gọi là một lới (hay dãy suy rộng) trong X.

Ký hiệu (S n , n D, ) hoặc (S, D, ) hoặc vắn tắt là S.

Nếu miền giá trị của lới là không gian tôpô X thì S đợc gọi là lới trong không gian tôpô X.

1.2.5 Định nghĩa lới hội tụ Giả sử D là một tập đợc định hớng bởi quan

hệ “”, (X, T ) là một không gian tôpô Khi đó lới (S n , D, ) đợc gọi là hội

tụ trong không gian tôpô đến điểm s đối với tôpô T nếu với mọi lân cận U của s đều tồn tại n0 D sao cho n D mà n  n0 thì S n  U.

Ký hiệu limS n = s hay S n  s.

1.2.6 Định nghĩa lới nằm trong một tập từ một lúc nào đó

Lới S n , n D,  đợc gọi là lới nằm trong tập A từ một lúc nào đó nếu

và chỉ nếu m D: n D mà n  m thì S n  A.

1.2.7 Định nghĩa lới thờng xuyên gặp A Lới S n , n D,  đợc gọi là lới thờng xuyên gặp A nếu và chỉ nếu m D, n D sao cho n  m và S n

A.

1.2.8 Định nghĩa điểm giới hạn Điểm s của không gian tôpô X đợc gọi

là điểm giới hạn của lới S khi và chỉ khi S thờng xuyên gặp mỗi lân cận của s.

1.2.9 Định nghĩa lới con Giả sử (D, ) và (E, ) là tập hai định hớng.

Lới T m , m D,  đợc gọi là lới con của lới S n , n E,  khi và chỉ khi tồn tại hàm N: D  E sao cho

1) T = S.N hay T i = SN i với mỗi i  D.

2) m E, n D sao cho nếu p  n thì N p  m (p D).

1.2.10 Định nghĩa lới tổng và tích trong không gian vectơ tôpô Giả

sử (D, ) là một tập định hớng, (S, D, ) và (T, D, ) là hai lới trong không gian vectơ tôpô X Khi đó

1) (S + T, D, ) : (S + T) i = S (i) + T (i) , i  D

đợc gọi là lới tổng của lới (S, D, ) và (T, D, ) trong không gian vectơ tôpô X.

2) (S, D, ) : (S) (i) =  S (i) , i  D

đợc gọi là lới tích của lới (S, D, ) với số  thuộc trờng cơ sở của X.

1.2.11 Mệnh đề Giả sử (D,) là một tập định hớng, (S, D, ) và

(T, D, ) là các lới hội tụ trong không gian vectơ tôpô X Khi đó các lới (S +T, D,) và (S,D) cũng hội tụ, đồng thời nếu S  s, Tt thì S+T  s+t, S

 s.

Chứng minh Theo giả thiết S  s suy ra với mọi lân cận U s của s,

n1D: n  n1 thì S n  Us và cũng từ T  t suy ra với mọi lân cận U t của t

Vậy (S + T, D, ) hội tụ đến s + t.

Cũng theo định nghĩa 1.1.11 thì mỗi lân cận W của (s) tồn tại lân cận V s

của s và một số r > 0 sao cho V s  W với mọi giá trị của  sao cho - <

r Chọn  = , khi đó  -  = 0 < r Nh vậy chọn n0 = n1 Khi đó n D

mà n > n1 thì S n  V s hay suy ra S  V s Vậy (S, D, ) hội tụ đến s.

II Lới và các khái niệm trong không gian tôpô.

1.2.12 Định lý Một không gian tôpô X là không gian Hausdoff khi và

chỉ khi mỗi lới trong nó hội tụ đến một điểm duy nhất.

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X là không gian Hausdoff ta cần

chứng minh mỗi lới trong nó hội tụ đến một điểm duy nhất

Thật vậy, giả sử (S n ,D,) là một lới trong X và S n  s1, S n  s2 mà s1  s2

Khi đó, do X là T2- không gian nên tồn tại lân cận U s1 của s1 và lân cận

U  , mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy s1  s2 hay lới S n , D,  hội tụ đến một điểm duy nhất.

Điều kiện đủ: Giả sử mọi lới trong X đều hội tụ tới một điểm duy nhất, ta chứng tỏ X là T2- không gian

Thật vậy, giả sử X không phải là T2- không gian Lúc đó, tồn tại hai điểm

s1, s2  X sao cho s1  s2, khi đó mọi lân cận U của s1 và mọi lân cận V của

ới (S (T,U),U, ), ký hiệu gọn là S (T,U) Ta sẽ chứng tỏ S (T,U)  s1và S (T,U)  s2

Thật vậy, lấy lân cận V bất kỳ của s1 và lân cận W bất kỳ của s2 Khi đó

(T, U)  U mà (T, U)  (V, W) thì có:

S (T, U)  T  U  T  V suy ra S (T, U)  s1

S (T, U)  T  U  U  W suy ra S (T, U)  s2

Nh vậy trong X tồn tại lới (S (T, U), U, ) hội tụ đến hai điểm khác nhau,

điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy X là T2- không gian

1.2.13 Định lý Giả sử X là không gian tôpô Điểm s X là điểm dính

của tập con E  X khi và chỉ khi trong E có lới hội tụ đến s.

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử D là một tập định hớng bởi quan hệ

“” và tồn tại lới (S, D, ) trong E sao cho S  s Cần chứng minh s là điểm dính của E

Thật vậy, do S  s nên với mọi lân cận U của s, n0 D i n  n0 thì

S n  U, chứng tỏ U  E  , nghĩa là s là điểm dính của E.

Điều kiện cần: Giả sử s là điểm dính của E, ta chứng minh trong E tồn tại lới hội tụ đến s

Ký hiệu U là cơ sở lân cận của điểm s Khi đó (U, ) là một tập định

h-ớng Từ giả thiết s là điểm dính của E suy ra mọi U U đều có U  E   Lúc đó, chọn S u  U  E, ta có lới (S U , U, )  E

Lấy V là lân cận bất kỳ của s, do U là hệ cơ sở lân cận nên WU:

sWV Do đó mọi U U mà U  W thì U  V.

Mặt khác S U  U nên S U  V, U  W.

Theo định nghĩa lới hội tụ thì (S U , U, )  s.

1.2.14 Hệ quả Điểm s là điểm giới hạn của E khi và chỉ khi trong E\ s

có lới hội tụ đến s.

Chứng minh Hệ quả này đợc suy ra dễ dàng nhờ nhận xét rằng: Nếu x là

điểm giới hạn của E thì x là điểm dính của tập E \ x.

1.2.15 Định lý Giả sử X là không gian tôpô Điểm s X là điểm biên của

tập con E  X khi và chỉ khi tồn tại lới trong E và lới trong CE đều hội tụ về s.

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại lới (S, D, )  E, S  s và lới (T, D, )  CE, T  s Cần chứng tỏ s là điểm biên của tập E.

Thật vậy, từ giả thiết S  s suy ra mọi lân cận U của s, n1 D: n  n1

Vậy s là điểm biên của E.

Điều kiện cần: Giả sử s là điểm biên của E Cần chứng minh tồn tại lới trong E và CE đều hội tụ về s.

Thật vậy, ký hiệu U là hệ cơ sở lân cận của s, khi đó

U  E   và U  CE   , U  U

Ta đã biết (U, ) là một tập định hớng

Từ U E  , suy ra luôn chọn đợc S U U  E và ta có lới (S U , U, )  E.

Từ V  CE   suy ra luôn chọn đợc S V  (V  CE), lúc đó có lới (S V ,

U, )  CE.

Cần chứng minh (S U, U, ) và (S V, U, ) đều hội tụ về s.

Lấy lân cận W bất kỳ của s, do U là hệ cơ sở lân cận của s nên tồn tại

W0U : s W0  W Do đó mọi UU mà U  W thì U  W0  W Từ S U

U suy ra S U  W, U  W0, do đó lới (S U , U, ) hội tụ đến s.

Hoàn toàn tơng tự lới (S V, U, ) cũng hội tụ đến s.

1.2.16 Định lý Giả sử X là không gian tôpô, điểm s là điểm trong của

tập con E  X khi và chỉ khi mọi lới trong X mà hội tụ về s thì từ một lúc nào

đó lới đó nằm trong E.

Chứng minh Định lý này đợc suy ra từ định lý 1.2.15 và nhận xét: với mọi s E thì s là điểm trong của E khi và chỉ khi s không phải là điểm biên của E.

1.2.17 Định lý Giả sử X là không gian tôpô Khi đó điểm s X thuộc

bao đóng của tập con E  X khi và chỉ khi trong E có lới hội tụ đến s.

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử trong E tồn tại lới S  s Cần chứng minh s E

Thật vậy, do S  s, nên với mỗi lân cận U bất kỳ của s đều có chứa các điểm của lới S, mà S  E, do đó U  E   suy ra s E

Điều kiện cần: Giả sử s E Ta phải chứng minh trong E tồn tại lới S sao cho S  s

Gọi U là hệ cơ sở lân cận của s, khi đó (U, ) là một tập định hớng

Giả sử s E , nghĩa là có E  U  , UU Vì thế, mỗi U U luôn

chọn đợc S U  E  U và ta có lới (S U, U, )  E.

Ta chứng tỏ S U  s

Thật vậy, vì U là hệ cơ sở lân cận của s nên mỗi V U luôn V0 U :

s V0 V.

Nếu U  V0 thì từ S U  U  V0  V suy ra S U  V, nghĩa là có S U  s.

1.2.18 Hệ quả Giả sử X là không gian tôpô, A và B là các tập con của X.

Khi đó A gọi là trù mật trong B khi và chỉ khi mọi điểm thuộc B đều là giới hạn của một lới trong A hội tụ.

Chứng minh A trù mật trong B khi và chỉ khi B  A Do đó mọi điểm

b  B thì b A Theo định lý 1.2.17 thì tồn tại lới trong A hội tụ về b.

1.2.19 Định lý Giả sử X là không gian tôpô Khi đó tập con E  X là tập

đóng khi và chỉ khi mọi lới trong E mà hội tụ đến s thì s E.

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử E đóng, S là lới trong E mà S  s, ta phải chứng tỏ s E.

Vì E đóng nên E  E, theo định lý 1.2.17 nếu lới trong E hội tụ đến s thì s E Từ E  E suy ra s E.

Điều kiện đủ: Giả sử S là lới bất kỳ trong E mà S  s thì s E Ta phải chứng minh E đóng, tơng đơng chứng minh mọi điểm dính của E đều thuộc E.

Giả sử t là điểm dính của E, theo định lý 1.2.13 thì tồn tại lới T trong E

mà T  t, theo giả thiết thì t E Vậy E đóng.

1.2.20 Định lý Giả sử X là không gian tôpô Khi đó tập con E  X là

mở

khi và chỉ khi mỗi lới hội tụ đến điểm nào đó thuộc E sẽ nằm trong E kể từ một lúc nào đó.

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử E mở, S là lới bất kỳ trong E, S

 s E Ta phải chứng minh S nằm trong E từ một lúc nào đó

Do E mở, sE nên E là lân cận của s Khi đó do S  s nên n0D: n  n0

thì S n  E, nghĩa là S nằm trong E từ một lúc nào đó.

Điều kiện đủ: Giả sử S  s  E thì S nằm trong E từ một lúc nào đó Ta phải chứng tỏ E mở, tơng đơng chứng minh X \ E đóng.

Giả sử lới S  X \ E và S  s Ta giả sử s X \ E Vì S  s mà s E, theo giả thiết S nằm trong E từ một lúc nào đó, điều này mâu thuẫn với S 

X \ E Do đó s X \ E, suy ra X \ E đóng, nghĩa là có E mở.

1.2.21 Định lý Giả sử X và Y là hai không gian tôpô, a là một điểm

thuộc X ánh xạ f : X  Y liên tục tại a khi và chỉ khi mọi lới S n , n D,  trong X mà S n  a thì lới f(S n )  f(a).

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử ánh xạ f : X  Y liên tục tại a, suy ra với mọi lân cận V của f(a), tồn tại lân cận U của a sao cho f(U)  V Mặt khác S n  a nên n0 D : n  n0 thì S n  U Do đó f(S n )  f(U)  V Vậy với mọi lân cận V của f(a) đều tồn tại n0 D sao cho: n  n0 thì f(S n ) V.

Do đó lới f(S n )  f(a).

Điều kiện đủ: Giả sử S n , n D,   X, S n  a thì f(S n )  f(a).Ta chứng

tỏ f liên tục tại a.

Giả sử f không liên tục tại a tức tồn tại lân cận V của f(a) sao cho với mọi lân cận U của a ta có f(U) ⊈ V, suy ra S U  U sao cho f(S U )  V.

Gọi U là cơ sở lân cận của a Khi đó (U, ) là một tập định hớng

Với mỗi U  U thì S U  U : f(S U ) V Lúc đó lấy lới (S U, U, ) thì S U  a nhng f(S U )  V, V  U, nghĩa là lới f(S U) ↛ f(a), mâu thuẫn với giả thiết

Vậy f liên tục tại a.

1.2.22 Mệnh đề Giả sử f và g là hai ánh xạ liên tục của không gian

tôpô X vào không gian Hausdoff Y Khi đó tập

E = s X : f(s) = g(s)

là tập đóng.

Chứng minh Giả sử (D,) là tập định hớng, (S n ,D,) là một lới trong E,

S n  s Theo định lý 1.2.19, E đóng khi và chỉ khi s E.

Mặt khác, do S n  E nên f(S n ) = g(S n ), n  D và vì f, g liên tục nên f(S n )  f(s) và g(S n )  g(s) Mặt khác Y là T2- không gian, theo định lý 1.2.12

thì f(s) = g(s), suy ra s E

Vậy E đóng.

1.2.13 Hệ quả Nếu E trù mật trong X thì f = g.

Chứng minh Do E trù mật trong X nên X = E mà E đóng nên E = E, nh vậy X = E Do đó f(s) = g(s), s X hay f = g.

1.2.24 Định lý Không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi lới

trong X đều có điểm giới hạn.

Trớc khi chứng minh ta nhắc lại định nghĩa và mệnh đề sau:

Định nghĩa “Họ U các tập hợp đợc gọi là có tính giao hữu hạn khi và chỉkhi giao của một tập hữu hạn bất kỳ các phần tử của họ này khác rỗng”

Mệnh đề “Một không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi họ các tập con đóng của X có tính giao hữu hạn đều có giao khác rỗng”.

Ta chứng minh định lý nh sau:

Điều kiện cần: Giả sử X là không gian compact , D là một tập định hớng,

S n , n D,  là lới nào đó trong X.

Với mỗi n D, ký hiệu E n = S m : m > n

Do D định hớng nên họ các tập E n có tính giao hữu hạn, và vì E n  E n nên

họ các E n cùng có tính giao hữu hạn Vì thế tồn tại điểm s chung cho các

E n , do đó s là điểm giới hạn của lới S n , n D, .

Điều kiện đủ: Giả sử mỗi lới trong X đều có điểm giới hạn Cần chỉ ra X

compact

Giả sử U là họ các tập con đóng của X có tính giao hữu hạn, ta xác định

B = 

n i

Với mỗi B  B, do B   nên chọn S B  B suy ra S B, B,  là một lới

trong X, theo giả thiết S B, B,  có điểm giới hạn s nào đó Do đó tồn tại 