Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Chuy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Anh

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Trịnh Thị Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh, luậnvăn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Sự tồn tại và tính

ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gianhữu hạn chiều” do tôi tự làm Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ

Mục lục

1.1 Giải tích đa trị 5

1.1.1 Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị 5

1.1.2 Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị 12 1.1.3 Bậc tôpô cho hàm đa trị 16

1.2 Bất đẳng thức biến phân 20

1.3 Một số bất đẳng thức 22

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 22

1.3.2 Bất đẳng thức Holder 22

1.3.3 Bất đẳng thức Minkowshi 22

1.3.4 Bất đẳng thức Ky Fan 22

1.3.5 Bất đẳng thức Gronwall 23

2 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều 24 2.1 Phát biểu bài toán 24

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán 28

2.3 Sự ổn định của nghiệm 35

Tài liệu tham khảo 49

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức vi biến phân là mô hình tổng quát của nhiều bài toántrong các lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưu hoá và khoa học kĩthuật Đến nay bất đẳng thức vi biến phân được nhiều nhà toán học quantâm nghiên cứu và nhận được nhiều kết quả phong phú, bao gồm các kếtquả về sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, cấu trúc và dáng điệucủa tập nghiệm và vấn đề giải số

Gần đây bất đẳng vi biến phân vectơ cũng được nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khácnhau Nó có thể được xét như là một sự mở rộng của bất đẳng vi biếnphân Trong luận văn này chúng tôi muốn giới thiệu và nghiên cứu một lớpbất đẳng vi biến phân vectơ trong không gian Euclid hữu hạn chiều Bởivậy dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh tôi đã chọn đề tài “

Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng vi biến phân trongkhông gian hữu hạn chiều” Luận văn sẽ được hoàn thành dựa trên kếtquả được công bố công trình “ Differential Vector Variational Inequalities

in Finite-Dimensional Spaces”, J Optim Theory Appl (2013) 158:109–129,của các tác giả Xing Wang và Nan-Jing Huang Chúng tôi dự nhận được

sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biếnphân vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid Ngoài ra, chúng tôi cònnghiên cứu tính đóng, nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ

nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân vectơ trongkhông gian hữu hạn chiều Euclid khi cả ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễuloạn bởi tham số.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong phạm vi không gian hữu hạnchiều

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiếnthức có liên quan, phân tích, tổng hợp những định nghĩa, tính chất củagiải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân và một số bất đẳng thức

6 Dự kiến đóng góp

Luận văn trình bày một cách tổng quan về bất đẳng thức vi biến phântrong không gian hữu hạn chiều

là một mặt cầu.

Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ đa trị F : X → Y là một tương ứng mà mỗi

x ∈ X cho ta một tập khác rỗng F (x) ⊆ Y, F (x) được gọi là giá trị của

x Vì vậy ánh xạ đa trị F có thể viết như sau

và F−−1(V ) được định nghĩa

F−−1(V ) = {x ∈ X : F (x) ∩ V 6= ∅}

Cho X, Y là không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.2 Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục trêntại một điểm x ∈ X nếu với mỗi tập mở V ⊂ Y sao cho F (x) ⊂ V thìtồn tại một lân cận U (x) của x sao cho F (U (x)) ⊂ V

Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tụctrên tại mọi điểm x ∈ X

Định lý 1.1.1 Các điều kiện sau là tương đương :

(i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục trên;

(ii) tập F+−1(V ) là mở với mỗi tập mở V ⊂ Y;

(iii) tập F−−1(Q) là đóng với mỗi tập đóng Q ⊂ Y

Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ đa trị F : X → P (Y )được gọi là nửa liên tụcdưới tại một điểm x ∈ X nếu với mỗi tập mởV ⊆ Y sao cho F (x)∩V 6= ∅

thì tồn tại một lân cậnU (x)củaxsao choF (x0)∩V 6= ∅với mọix0 ∈ V (x).Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liêntục dưới tại mọi điểm x ∈ X

Định lý 1.1.2 Các điều kiện sau là tương đương :

(i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục dưới;

(ii) tập F−−1(V ) là mở với mỗi tập mở V ⊂ Y;

(iii) tập F+−1(Q) là đóng với mỗi tập đóng Q ⊂ Y

Định nghĩa 1.1.4 Một ánh xạ đa trị F vừa là nửa liên tục trên và vừa

là nửa liên tục dưới thì được gọi là liên tục

Định nghĩa 1.1.5 (i) Một ánh xạ đa trị F : Rn → Rn được gọi là đơnđiệu trên một tập lồi K ⊂ Rn khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm

x, y ∈ K và với mọi x∗ ∈ F (x), y∗ ∈ F (y), hx∗ − y∗, x − yi ≥ 0

(ii) Một ánh xạ đa trị F : Rn → Rn được gọi là giả đơn điệu trên mộttập lồi K ⊂ Rn khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm x, y ∈ K và vớimọi x∗ ∈ F (x), y∗ ∈ F (y), hx∗, y − xi ≥ 0 hay hy∗, y − xi ≥ 0

(iii) Một ánh xạ F := (F1, F2, , Fp) được gọi là giả đơn điệu trên mộttập lồi K ⊂ Rn khi và chỉ khi với mỗi ξ = {ξ1, ξ2, , ξp} ∈ Rp+\{0}

L∞ := {d ∈ X : x0 + λd ∈ L ∀λ > 0}.

Đối với một tập khác rỗng D trong X,

D− := {x∗ ∈ X∗ : hx∗, xi ≤ 0 ∀x ∈ D}

Định nghĩa 1.1.7 Một hàm f : Ω → Rm, tương ứng, B : Ω → Rm×n,được gọi là một hàm liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số Lf > 0,tương ứng, LB > 0, sao cho, với bất kì (t1, x), (t2, y) ∈ Ω,

kf (t1, x) − f (t2, y)k ≤ Lf(|t1 − t2| + kx − yk),

tương ứng,

kB(t1, x) − B(t2, y)k ≤ LB(|t1 − t2| + kx − yk)

Ta xét một lớp các ánh xạ đa trị quan trọng hơn

Định nghĩa 1.1.8 Một ánh xạ đa trị F được gọi là đóng nếu đồ thị của

nó ΓF = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ F (x)} là một tập con đóng của không gian

Điều kiện sau cùng có thể sử dụng dãy thông thường với điều kiện X

và Y là các không gian metric

Ta có một vài khái niệm sau

C(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là đóng};

K(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là compact};

P v(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là lồi};

Cv(Y ) = P v(Y ) ∩ C(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là đóng và lồi};

Kv(Y ) = P v(Y ) ∩ K(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là compact và lồi}

Khi ánh xạ đa trị F nhận giá trị trong các tậpC(Y ),K(Y ) hoặcP v(Y )

thì ta nói F tương ứng có giá trị đóng, compact hoặc lồi

Từ định nghĩa ta thấy rằng một ánh xạ đa trị đóng có giá trị đóng.Cho Y là không gian metric Hàm số h : K(Y ) × K(Y ) → R+ xác địnhnhư sau

h(A, B) = inf{ > 0 : A ⊂ V(B), B ⊂ V(A)},

ở đâyV là một  −lân cận của một tập, được gọi là metric Hausdorff trên

K(Y )

Mệnh đề 1.1.1 Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric Ánh

xạ đa trị F : X → K(Y ) là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục như là mộtánh xạ đơn trị từ X vào không gian metric (K(Y ), h)

Mệnh đề 1.1.2 Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric và

F : X → C(Y ) là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên Khi đó F là đóng

Để xây dựng điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị đóng trở thành nửa liên tụctrên, ta cần các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.9 Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) được gọi là:

(i) compact nếu miền giá trị F (X) là compact tương đối trong Y, tức là

F (X) là compact trong Y

F (X) = [

x∈X

F (x);

(ii) compact địa phương nếu với mọi điểm x ∈ X có lân cận U (x) saocho hạn chế của F trên U (x) là compact;

(iii) tựa compact nếu hạn chế của nó trên mọi tập compact A ⊂ X làcompact

Rõ ràng (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii)

Mệnh đề 1.1.3 Cho F : X → K(Y ) là ánh xạ đa trị đóng và compactđịa phương Khi đó F là nửa liên tục trên

Định nghĩa 1.1.10 Cho X là không gian metric Một ánh xạ đa trị nửaliên tục trên F : X → K(Y ), compact trên mỗi tập con bị chặn của X

được gọi là nửa liên tục trên hoàn toàn

Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất quan trọng của ánh xạ đa trịnửa liên tục trên

Mệnh đề 1.1.4 Cho F : X → K(Y ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên.Nếu A ⊂ X là một tập compact thì ảnh của nó F (A) là tập compact nằmtrong Y

Tiếp theo là những khẳng định về tính liên tục tuyệt đối của các phéptoán trên ánh xạ đa trị

Cho X, Y và Z là các không gian tôpô

Mệnh đề 1.1.5 Nếu các ánh xạ đa trị F0 : X → P (Y ) và F1 : Y →

P (Z) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích hợp thành F1 ◦ F0 :

X → P (Z) được xác định như sau

(F1 ◦ F0)(x) = F1(F0)(x))

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới)

Mệnh đề 1.1.6 Nếu các ánh xạ đa trị F0 : X → K(Y ) và F1 : Y →K(Z) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích Đề-các F0 × F1 :

X → K(Y × Z) được xác định như sau

(F0 × F1)(x) = F0(x) × F1(x)

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới)

Mệnh đề 1.1.7 Cho ánh xạ đa trị F0 : X → C(Y ), ánh xạ đa trị

F1 : X → K(Y ) là nửa liên tục trên và F0(x) ∩ F1(x) 6= ∅, ∀x ∈ X Khi

đó F0 ∩ F1 : X → K(Y ), (F0 ∩ F1)(x) = F0(x) ∩ F1(x) là nửa liên tụctrên

Cho X là không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô

Mệnh đề 1.1.8 Nếu các ánh xạ đa trị F0, F1 : X → K(Y ) là nửa liêntục trên (nửa liên tục dưới) thì tổng của chúng F0 + F1 : X → K(Y ),

(F0 + F1)(x) = F0(x) + F1(x)

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới)

Mệnh đề 1.1.9 Nếu ánh xạ đa trị F : X → K(Y ) là nửa liên tục trên(nửa liên tục dưới) và hàm số f : X → R là liên tục, thì tích của chúng

f · F : X → K(Y ),

(f · F )(x) = f (x) · F (x)

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới)

Mệnh đề 1.1.10 Cho Y là không gian Banach Nếu ánh xạ đa trị F :

X → K(Y ) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì bao lồi của nó

coF : X → Kv(Y ),

(coF )(x) = co(F (x))

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới)

1.1.2 Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị

Cho I ⊂ R là đoạn compact, µ là độ đo Lebesgue trên I và E là khônggian Banach

Định nghĩa 1.1.11 Một hàm đa trị F : I → K(E) được gọi là đo đượcnếu với mỗi tập mở V ⊂ E thì nghịch ảnh nhỏ F+−1(V ) là đo được

Rõ ràng định nghĩa là tương đương về tính đo được của nghịch ảnh hoàntoàn F−−1(Q) với tập con đóng Q ⊂ E Khẳng định sau cho ta hai địnhnghĩa tương đương về tính đo được của hàm đa trị

Mệnh đề 1.1.11 Một hàm đa trị F : I → K(E) là đo được khi và chỉkhi:

(i) với mỗi tập đóng Q ⊂ E thì nghịch ảnh nhỏ F+−1(Q) là đo được;

(ii) với mỗi tập mở V ⊂ E thì nghịch ảnh hoàn toàn F−−1(V ) là đo được

Ta có mọi hàm đa trị nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới là đođược

Để mô tả thêm tính chất của hàm đa trị đo được ta cần các khái niệmsau đây

Định nghĩa 1.1.12 Hàm f : I → E được gọi là lựa chọn đo được củamột hàm đa trị F : I → K(E) với điều kiện f là đo được và

f (t) ∈ F (t) đối với µ −hầu khắp t ∈ I

Tập tất cả các lựa chọn đo được của F kí hiệu là S(F )

Định nghĩa 1.1.13 Một họ đếm được {fn}∞n=1 ⊂ S(F ) được gọi là biểudiễn Castaing của F nếu

Hàm đa trị eF : I → K(E) là một hàm đa trị bậc thang nếu tồn tại mộtphân hoạch của I trong một họ hữu hạn các tập con đo được rời nhau

{Ij}, ∪jIj = I sao cho eF là không đổi trên mỗi Ij

Định nghĩa 1.1.14 Một hàm đa trị F : I → K(E) được gọi là đo đượcmạnh nếu tồn tại một dãy {Fn}∞n=1 hàm đa trị bậc thang sao cho

đó được thể hiện trong khẳng định sau

Mệnh đề 1.1.12 Cho E là không gian Banach tách được Khi đó đối vớiánh xạ đa trị F : I → K(E) thì các điều kiện sau là tương đương:

(a) F là đo được;

(b) với mỗi tập con đếm được trù mật {xn}∞n=1 của E thì hàm {ϕn}∞n=1,

(f) F có tính chất Lusin: với mỗi δ > 0 tồn tại một tập con đóng Iδ ⊂ I

sao cho µ(I\Iδ) ≤ δ và hạn chế của F trên Iδ là liên tục

Mệnh đề 1.1.13 Cho E là không gian Banach, F : I → K(E) là hàm

đa trị đo được mạnh Khi đó F là đo được và có biểu diễn Castaing baogồm các hàm đo được mạnh

Cho E là không gian Banach, F : I → P (E) là hàm đa trị Kí hiệu

S1(F ) là tập tất cả các lựa chọn khả tích Bochner, tức là

S1(F ) = {f ∈ L1(I; E) : f (t) ∈ F (t) đối với µ −với mỗi t ∈ I}

Nếu S1(F ) 6= ∅, thì hàm đa trị F được gọi là khả tích và tích phân của

nó được định nghĩa như sau

với tập con đo được bất kì τ ⊂ I

Dễ thấy, nếu một hàm đa trị F : I → K(E) là đo được mạnh và bịchặn khả tích, tức là tồn tại một hàm khả tổng ν ∈ L1+(I) sao cho

kF (t)k := max{kyk : y ∈ F (t)} ≤ ν(t) đối vớiµ −với mỗi t ∈ I

thì F là khả tích

Nhận xét 1.1.1 Nếu hàm đa trị F là không đổi, F (t) ≡ A ∈ Kv(E),thì RIF (s) ds = Aµ(I)

Cho E là không gian Banach, E0 là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.15 Ánh xạ đa trị F : I × E0 → K(E) được gọi là ánh

xạ đa trị Carathéodory trên nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:(F1) với mỗi x ∈ E0, hàm đa trị

F (·, x) : I → K(E)

chứa một lựa chọn đo được mạnh;

(F2) với hầu khắp t ∈ I ánh xạ đa trị F : E0 → K(E) là nửa liên tụctrên.

Nhận xét 1.1.2 Khi không gian E là tách được, "đo được mạnh" trongđiều kiện (F1) có thể thay thế bởi "đo được" Điều kiện (F1) là đủ để chorằng F (·, x) là đo được mạnh với mỗi x ∈ E0

Tính chất chính của ánh xạ đa trị Carathéodory trên được trình bàytrong khẳng định sau đây

Mệnh đề 1.1.14 Nếu F : I × E0 → K(E) là ánh xạ đa trị Carathéodorytrên, khi đó với mỗi hàm đo được mạnh q : I → E0 tồn tại một lựa chọn

đa trị f : I → E của hàm đa trị Φ : I → K(E),

Φ(t) = F (t, q(t))

Định nghĩa 1.1.16 Cho số nguyênp ≥ 0, một ánh xạ đa trị Carathéodorytrên F : I × E0 → K(E) được gọi là Lp−Carathéodory trên nếu nó thỏamãn điều kiện bổ sung sau của tính bị chặn khả tích địa phương:

(F3) với mỗi r > 0 tồn tại hàm νr ∈ Lp+(I) sao cho

kF (t, x)k := sup{kyk : y ∈ F (t, x)} ≤ νr(t)

đối với µ - hầu khắp t ∈ I, với mỗi x ∈ E0, kxk ≤ r

Mỗi ánh xạ đa trị Lp−Carathéodory trên F : I × E0 → K(E) tạo ra

sự chồng chất toán tử đa trị PF : C(I; E0) → P (Lp(I, E)),

PF(x) = {f ∈ Lp(I, E) : f (t) ∈ F (t, x(t))vớiµ −hầu khắp, t ∈ I}

Giả sử ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, ta có tính chất chính xác sau đâycủa sự chồng chất toán tử đa trị

Mệnh đề 1.1.15 Cho F : I × E0 → Kv(E) là một ánh xạ đa trị Lp−

Carathéodory trên, E1 là không gian định chuẩn và A : Lp(I, E) → E1 làtoán tử tuyến tính bị chặn Khi đó tích hợp thành

Lp−Carathéodory trên với cấp tăng α −tuyến tính dưới

Định nghĩa 1.1.18 Một ánh xạ đa trị F : R× E0 → K(E) được gọi là

T −tuần hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện tuần hoàn sau:

(FT) F (t, x) = F (t + T, x) với t ∈ R và x ∈ E0

1.1.3 Bậc tôpô cho hàm đa trị

Cho X ⊆ Y là các tập đã biết, F : X → P (Y ) là một ánh xạ đa trị.Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị F nếu

x ∈ F (x) Tập tất cả các điểm bất động của F kí hiệu là F ixF

Cho X và Y là không gian metric

Định nghĩa 1.1.19 Ánh xạ đa trịF : X → K(Y )thuộc về lớpCJ (X, Y )

(hay một CJ −ánh xạ đa trị) nếu tồn tại một không gian metric Z, một

J −ánh xạ đa trị eF : X → K(Z), và một ánh xạ liên tục ϕ : Z → Y saocho

F = ϕ ◦F eÁnh xạ eF và ϕ là dạng phân tích của F và viết là F = (ϕ ◦F ).e

Trong toàn bộ mục này E là không gian Banach thực

Cho X ⊆ E; mỗi ánh xạ đa trị F : X → P (E) định nghĩa ánh xạ đatrị Φ : X → P (E),

Φ(x) = i − F (x)

gọi là miền vectơ đa trị hay miền đa trị tương ứng với F

Kí hiệu i : X → E là ánh xạ bao hàm thức, ta viết

Φ = i − F

Nếu Λ là một không gian của tham số, và G : X × Λ → P (E) là một

họ ánh xạ đa trị, khi đó Ψ : X × Λ → P (E),

Ψ (x, λ) = x − G(x, λ)

được gọi là họ các miền đa trị

Một điểm x ∈ Φ(x) sao cho

0 ∈ Φ(x)

được gọi là điểm kì dị của miền đa trị Φ Dễ thấy rằng điểm x là điểm kì

dị của miền đa trị Φ = i − F khi và chỉ khi nó là điểm cố định của ánh xạ

đa trị F

Cho U ⊂ E là một tập mở bị chặn, bao đóng của nó kí hiệu là U vàbiên là ∂U Cho F : U → K(E) là một CJ −ánh xạ đa trị compact saocho

F ixF ∩ ∂U = ∅

Sau đây là những tính chất chính của bậc tôpô của miền đa trịΦ = i−F

Bổ đề 1.1.1 Nếu Φ = i − F là miền đa trị tương ứng với ánh xạ đa trị

F thì tập Φ(∂U ) là tập con đóng của E

Tập Φ(∂U ) không chứa 0, giá trị δ0 = dist(0, Φ(∂U )) là dương Lấy tậpcompact K = F (U ) và chọn 0 < δ < δ0, một không gian con hữu hạnchiều E0 ⊂ E và ánh xạ liên tục π : K → E0 sao cho

Kí hiệu CJ∂U(U , E) là tập tất cả các CJ −ánh xạ đa trị compact F :

U → K(E) thỏa mãn điều kiện F ixF ∩ ∂U = ∅

Định nghĩa 1.1.21 Các ánh xạ đa trị F0, F1 ∈ CJ∂U(U , E);

nếu tồn tại một ánh xạ đa trị H ∈ J (U × [0, 1], Z) và một ánh xạ liên tục

k : Z × [0, 1] → E thỏa mãn các điều kiện sau đây:

Bổ đề 1.1.2 Cho F0 ∈ CJ∂U(U , E) và eF : U → K(Y ) là một CJ −

ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện biên

Bổ đề 1.1.3 Cho các ánh xạ đa trị F0, F1 ∈ CJ∂U(U , E) thỏa mãn điềukiện biên

j=1 là một họ các tập con mở rời nhau của U và CJ −

ánh xạ đa trị compact F : U → K(Y ) không có điểm cố định trên tập

Tìm u ∈ K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân sau

Ta có một số kết quả sau đây

Định lý 1.2.1 [5] Cho K ⊂ Rn là compact và lồi, F : K → Rn là liêntục Khi đó tồn tại u ∈ K sao cho

1.3 Một số bất đẳng thức

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với x, y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

|hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi

Trong trường hợp không gian Euclide n chiều Rn, bất đẳng thức trêntrở thành

Cho K là tập lồi, compact trong không gian Banach X,ϕ : K × K → R

là hàm số thoả mãn các điều kiện

(i) ∀y ∈ K, ϕ(., y) là hàm số nửa liên tục dưới;

(ii) ∀x ∈ K, ϕ(x, ) là hàm lõm;

(iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y) ≤ 0

Khi đó, tồn tại x ∈ K sao cho

Ku(ξ)dξ, ∀t ∈ [a, b],

trong đó C, K ≥ 0 Khi đó ta có

u(t) ≤ CeK(t−a), ∀t ∈ [a, b]