luận văn độ đo trên không gian tôpô

LỜI CẢM ƠNLời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoaToán −Lý −Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạođại học, các thầy cô trong tổ bộ môn G

LỜI CẢM ƠNLời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoaToán −Lý −Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạođại học, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, đặc biệt là thầy giáo VũViệt Hùng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như độngviên tôi có thêm nghị lực hoàn thành đề tài này.

Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên lớp K53ĐHSP Toán

Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạođiều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành đề tài

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2015.Nhóm sinh viên thực hiệnLường Văn Văn

Vũ Thị Lan

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết độ đo là một trong những nội dung kiến thức cơ bản của giảitích hiện đại Đây là cơ sở để nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng của giảitích nói chung Ở học phần lý thuyết độ đo trong chương trình học củasinh viện năm thứ ba đại học sư phạm toán hiện nay, lý thuyết độ đo đượctrình bày dạng cơ bản nhất Vì vậy, việc trình bày chi tiết vấn đề liên quanđến độ đo trên một số không gian đo đặc biệt sẽ giúp cho sinh viên có sựhiểu biết sâu sắc thêm cũng như định hướng, làm quen dần với những nộidung kiến thức chuyên sâu cần thiết cho những nghiên cứu tiếp theo vềvấn đề này

Mặt khác nội dung kiến thức về độ đo là một trong những nội dung kháquan trọng của giải tích nói chung và giải tích hiện đại nói riêng Việc xâydựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường thẳng, có những tập đượcgán một số không âm gọi là độ dài, chẳng hạn như độ dài đoạn thẳng.Nhưng cũng có những tập mà trực quan ta không biết được độ dài của

nó xác định như thế nào, chẳng hạn như tập những số hữu tỉ trong đoạn[0, 1] Người ta đã xây dựng lý thuyết độ đo để có thể đo được những tậpnhư thế và hơn cả như vậy

Về vấn đề tích phân trong giải tích cổ điển, chúng ta đều đã biết về tíchphân Riemann, tích phân này có một số hạn chế Với tích phân này, nhiềuvấn đề của giải tích đã không được giải quyết một cách thỏa đáng, chẳnghạn vấn đề qua giới hạn dưới dấu tích phân, Đây là những vấn đề đãđược học trong chương trình năm thứ ba của bậc đại học tại Khoa Toán -

Lý - Tin

Mặt khác, cũng trong chương trình năm thứ 3 của bậc đại học, chúng tôicũng được nghiên cứu lý thuyết không gian tôpô ở học phần trước của họcphần độ đo - tích phân cùng với đó, chúng tôi cũng đã được học học phầnđại số đại cương, nơi mà lý thuyết nhóm được nghiên cứu đầy đủ Đồngthời, như chúng ta đã biết, ngày nay các bộ môn toán học cũng đang có

xu hướng hòa quyện vào nhau cùng nghiên cứu, một trong những hướngchủ đạo đó là nghiên cứu những lớp đối tượng trong toán học hiện đại màtrong đó có cả cấu trúc đại số (có các phép toán đại số) và có cả cấu trúctôpô, nơi đã có sẵn cấu trúc tôpô cho phép ta nghiên cứu tính liên tục củacác hàm trên chúng, Hơn nữa, chúng ta đều đã biết một trong những kếtquả rất quan trọng của giải tích hiện đại đó là định lý biểu diễn Riesz trongkhông gian Hilbert, nơi đã có sẵn một tích vô hướng Kết quả thật tuyệtvời khi mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert có thểbiểu diễn thông qua tích vô hướng đã có Điều này đã làm cho việc nghiêncứu các phiếm hàm đã cho diễn ra thực sự thuận lợi Tuy nhiên có thểthấy không gian Hilbert là một trong những không gian đẹp và có nhiềuđiều kiện ngặt nghèo Chính vì lý do đó, chúng tôi cũng đặt ra vấn đề làtiến hành nghiên cứu vấn đề tương tự trong không gian (có cả cấu trúc đại

số, tôpô) không phải là Hilbert Kết quả trả lời cho câu hỏi là chúng ta đãbiết độ đo sinh ra một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian cáchàm số thực liên tục có giá compact, nhưng điều ngược lại có đúng không

? Điều này sẽ được khẳng định trong định lý biểu diễn Riesz

Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi đã mạnh dạn chọn đề tài "Độ đotrên không gian tôpô " để nghiên cứu

2 Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giớihạn phạm vi nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu độ đo trên không gian tôpô,và lý thuyết biểu diễn Riesz liên

hệ giữa độ đo và phiếm hàm tuyến tính liên tục Từ đó đưa ra một số ứngdụng của lý thuyết này trong giải tích hiện đại

2.2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là độ đo trên không gian tôpô

2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích như trên, tôi đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày lạicác vấn đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và lôgic Từ đó

trình bày một cách chi tiết về độ đo trên không gian tôpô.

2.4 Phương pháp nghiên cứu

Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, tôi chọn phươngpháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn, nhómnghiên cứu Từ đó hệ thống lại kiến thức theo nội dung của đề tài

2.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu vấn đề về độ đo trên không gian tôpô

3 Bố cục

Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của đề tài được sắp xếp nhưsau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo,nội dung đề tài gồm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Hệ thống cơ bản các nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứunội dung chính của đề tài trong chương 1 như: Lý thuyết độ đo, hàm đođược, đặc biệt là định lý cấu trúc hàm đo được Tiếp đó chúng tôi trìnhbày một số kiến thức cơ sở của không gian tôpô cũng như một số lớp khônggian tôpô cần dùng sau đó Cuối cùng trong chương 1, chúng tôi dành choviệc trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian định chuẩn, khônggian Hilbert cũng như về sơ lược toán tử tuyến tính trong các không giannày

Chương 2 Độ đo trên không gian tôpô

Trình bày lý thuyết cơ bản về việc xậy dựng độ đo trên không giantôpô, đặc biệt là trong không gian tôpô Hausdroff compact địa phương.Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày Định lí biểu diễn Riesz-Markov và Định

lý Lusin Cuối cùng trong chương 2 chúng tôi cũng trình bày vấn đề liênquan đến giá của độ đo

Chương 3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục và định lý biểu diễn Riesz.Trình bày kết quả chính của đề tài, Định lý biểu diễn Riesz Phần cuốicủa đề tài cũng dành cho việc xây dựng độ đo Haar

4 Đóng góp của đề tài

Đề tài trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan về tôpô và

lý thuyết cơ bản của độ đo, về phiếm hàm tuyến tính trong không gianđịnh chuẩn Kết quả chính của đề tài là trình bày định lý biểu diễn Rieszcho không gian định chuẩn, khác với kết quả tương tự trong không gianHilbert được học trong chương trình đại học đối với sinh viên Đề tài cũng

là tài liệu tham khảo chuyên sâu hữu ích cho các sinh viên chuyên ngànhtoán trong lĩnh vực của đề tài nói riêng và là tài liệu tham khảo cho sinhviên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc tại thư viện của nhàtrường nói chung

Mục lục

1.1 Đại số và σ-đại số tập hợp 8

1.1.1 Đại số tập hợp 8

1.1.2 σ-đại số tập hợp 9

1.2 Độ đo trên đại số tập hợp 10

1.2.1 Hàm tập hợp 10

1.2.2 Độ đo trên đại số tập hợp 10

1.2.3 Các tính chất cơ bản của độ đo 11

1.2.4 Độ đo ngoài 11

1.2.5 Độ đo đủ 13

1.3 Độ đo trong Rk 13

1.4 Hàm đo được 14

1.4.1 Định nghĩa và các điều kiện tương đương 14

1.4.2 Các phép toán với hàm đo được 14

1.4.3 Các định lí về hàm đo được 15

1.5 Cấu trúc của hàm đo được 16

1.6 Không gian tôpô 17

1.6.1 Tôpô trên một tập hợp 17

1.6.2 Một số không gian tôpô quan trọng 18

1.7 Không gian tuyến tính định chuẩn 18

1.7.1 Không gian tuyến tính 18

1.7.2 Không gian tuyến tính định chuẩn 19

1.8 Phiếm hàm tuyến tính 20

1.8.1 Định nghĩa toán tử tuyến tính 20

1.8.2 Phiếm hàm tuyến tính 21

1.9 Không gian Hilbert 21

1.9.1 Không gian tiền Hilbert 21

1.9.2 Không gian Hilbert 22

2 ĐỘ ĐO TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ 23 2.1 Tích phân Lebesgue 23

2.2 Độ đo trên không gian tôpô 31

2.2.1 Phân hoạch đơn vị 31

2.2.2 Hàm tuyến tính dương 35

2.3 Định lí biểu diễn Riesz-Markov 45

2.4 Định lí Lusin 47

2.5 Giá của một độ đo 52

3 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 54 3.1 Liên hợp của không gian Lebesgue 54

3.2 Liên hợp của không gian Cc(X) 60

3.3 Định lí biểu diễn Riesz 63

3.4 Độ đo Haar 66

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về đại số,

độ đo, hàm đo được và các không gian tôpô, không gian tuyến tính địnhchuẩn, phiếm hàm tuyến tính liên tục và không gian Hilbert

1.1 Đại số và σ-đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1 Cho X là tập tùy ý khác rỗng Ta gọi C các tập con của

X là một đại số trên X nếu thỏa mãn các tính chất sau:

Chứng minh Giả sử C là một đại số các tập con của X Theo định nghĩa

C thỏa mãn các điều kiện a),b) Nếu A, B ∈ C, theo b) ta có CA, CB ∈ C,lại theo c) ta có (CA) ∪ (CB) ∈ C và do đó, theo b) ta có A ∩ B =C(CA ∪ CB) ∈ C Ngược lại chứng minh tương tự

Bổ đề 1.3 Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là mộtđại số các tập con của X

Cho A là một họ tùy ý các tập con của X Bao giờ cũng tồn tại một đại

số các tập con của X chứa A, chẳng hạn đại số P(X) tất cả các tập concủa X Kí hiệu C(A) là giao của tất cả các đại số các tập con của X chứa

A, khi đó C(A) là một đại số gọi là đại số các tập con của X sinh bởi A

Cho A là một họ tùy ý các tập con của X Kí hiệu F (A) là giao của tất

cả các σ-đại số các tập con của X chứa A, khi đó F (A) là một σ-đại sốgọi là đại số các tập con của X sinh bởi A

1.2 Độ đo trên đại số tập hợp

Định nghĩa 1.7 Cho X 6= ∅, C- họ các tập con nào đó của X Hàm

µ :C → R = R ∪ {−∞; +∞}

A 7→ µ(A)Khi đó ta nói hàm µ là một hàm tập hợp Hơn nữa ta gọi

i) µ có tính chất cộng tính nếu

∀A, B ∈ C, A ∩ B = ∅ ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)

ii) µ được gọi là có tính chất σ- cộng tính nếu ∀{An}n∈N∗ ⊂ C sao cho

1.2.2 Độ đo trên đại số tập hợp

Định nghĩa 1.8 Một hàm tập µ trên đại số C- các tập con của X Khi

đó µ được gọi là một độ đo nếu:

(i) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C

(ii) µ(∅) = 0

(3i) µ có tính chất σ- cộng tính

Khi đó ta gọi µ(A) là độ đo của A, ∀A ∈ C

Định nghĩa 1.9 Cho µ là một độ đo trên đại số các tập con của X Tanói

a) Độ đo µ là hữu hạn nếu µ(X) < +∞;

b) Độ đo µ là σ- hữu hạn nếu tồn tại một dãy {Xn}n=1,∞ ⊂ C sao cho

1.2.3 Các tính chất cơ bản của độ đo

Các tính chất cơ bản của độ đo được thể hiện ở trong định lí sau

Định lý 1.10 Giả sử µ là một độ đo trên đại số C các tập con của X.Khi đó

Phần chứng minh có thể xem trong tài liệu [3]

Bên cạnh định nghĩa độ đo, ta còn có định nghĩa về độ đo ngoài, một kháiniệm quan trọng cho việc mở rộng độ đo

Định nghĩa 1.11 Hàm tập hợp µ∗ xác định trên σ-đại số P(X) tất cảcác tập con của X được gọi là một độ đo ngoài nếu µ∗ thỏa mãn các điềukiện:

a) µ∗(A) ≥ 0 với mọi A ⊂ X;

b) µ∗(∅) = 0;

c) µ∗ là σ-cộng tính dưới, nghĩa là nếu A ⊂

Từ điều kiện c) ta thấy nếu A ⊂ B thì µ∗(A) ≤ µ∗(B)

Tiếp theo đây, chúng tôi trình bày hai kết quả về mở rộng độ đo củaCaratheodory, đây là kết quả quan trọng trong việc thác triển độ đo từ đại

số lên σ- đại số

Định lý 1.12 (Caratheodory 1) Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X và L

là họ tất cả các tập con A của X thỏa mãn:

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ XKhi đó:

a) L là một σ- đại số;

b) µ = µ∗|L là một độ đo trên L

Độ đo µ = µ∗|L, tức là µ(A) = µ∗(A) với mọi A ∈ L, được gọi là độ đocảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗ và các tập A ∈ L được gọi là các tập µ∗- đođược

Định lý 1.13 (Caratheodory 2) Cho m là độ đo trên đại số C các tập concủa X Đặt

Khi đó:

a) µ∗ là độ đo ngoài

b) µ∗|C = m, C ⊂ F (C) ⊂ L

Chứng minh hai định lý trên có thể xem trong tài liệu [3]

Người ta thấy rằng không phải mọi tập con của tập đo được là đo được,

vì vậy ta có định nghĩa độ đo đủ sau

1.2.5 Độ đo đủ

Định nghĩa 1.14 Ta nói độ đo µ trên σ-đại số F là độ đo đủ nếu với mọitập con của một tập bất kì thuộc F có độ đo bằng không đều đo được.1.3 Độ đo trong Rk

Trong phần này ta sẽ áp dụng lý thuyết tổng quát để xây dựng độ đoLebesgue trên Rk

Xây dựng độ đo m trên đại số C(J ) các gian trong R

Gọi I là khoảng trong J , có đầu mút a và b

Gọi độ dài của I là

Khi đó công thức (1) xác định một độ đo trên C(J )

Ta có thể mở rộng độ đo dựa vào định nghĩa sau

Định nghĩa 1.15 Áp dụng định lý mở rộng độ đo của Caratheodory tháctriển độ đo m trên đại số C = C(J ) ta thu được độ đo đủ µ mở rộng của

độ đo m tới σ-đại số L ⊃ F (C) ⊃ C Ta gọi mỗi tập A ∈ L là tập đo đượcLebesgue trên R hay gọn hơn là L-đo được Vì F(J) là σ-đại số Borel trong

R mà F (J ) ⊂ F (C) ⊂ L nên mọi tập Borel là L-đo được

Để kiểm tra tập A có đo được Lebesgue hay không ta dùng định lý sau.Định lý 1.16 Tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A thỏamãn một trong hai điều kiện sau:

a) Với mỗi  > 0 đều tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗(G \ A) < .b) Với mỗi  > 0 đều tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗(A \ F ) < .Trong đó µ∗ là độ đo ngoài xác định bởi độ đo m cảm sinh độ đo µ.

1.4 Hàm đo được

Trong phần này ta sẽ hệ thống lại kiến thức về định nghĩa hàm đo được

và các tính chất của hàm đo được

1.4.1 Định nghĩa và các điều kiện tương đương

Định nghĩa 1.17 Cho (X, F , µ) là không gian đo, lấy A ∈ F Ta nóirằng f : A → R là hàm đo được trên A nếu

Mệnh đề 1.18 Hàm f đo được trên A khi và chỉ khi một trong các điềukiện sau thỏa mãn:

(∀a ∈ R), {x ∈ A|f (x) > a} ∈ F

(∀a ∈ R), {x ∈ A|f (x) ≤ a} ∈ F

(∀a ∈ R), {x ∈ A|f (x) ≥ a} ∈ F

Định lý 1.19 1) Nếu f đo được trên A thì với mọi α > 0 hàm |f |α cũng

đo được

2) Nếu f, g đo được trên A thì các hàm

Việc chứng minh các định lý trên có thể tham khảo tài liệu [3]

Ta có bất đẳng thức Holder như sau

Định lý 1.21 Cho p, q ∈ (1, ∞) là các phần tử liên hợp Nếu f ∈ Lp và

g ∈ Lq thì f.g ∈ L1 và

kf gk1 ≤ kf kpkgkq.Mệnh đề 1.22 Nếu f ∈ L1(µ) và REf dµ = 0 ∀E ∈ A thì f = 0

Định lý 1.23 Cho (X, A, µ) là σ-không gian đo hữu hạn xác định dương,

g ∈ L1(µ) Cho λ là độ đo phức sao cho dλ := gdµ thì

d|λ| = |g|dµ

Định lý 1.24 Cho µ là độ đo phức trên không gian đo (X, A), thì tồn tạimột hàm đo được h sao cho |h| = 1 trên X và dµ = hd|µ|

Bổ đề 1.25 ( Bổ đề về giá trị trung bình)

Cho (X, A, σ) là một σ-không gian đo hữu hạn dương và g ∈ L1(σ) sao cho

∀E ∈ A, với 0 < σ(E) < ∞,

Định lý 1.26 (Lebesgue–Radon–Nikodym)

Cho (X, A, σ) là một σ-không gian đo hữu hạn dương, λ là một độ đo hữu

hạn dương trên (X, A) Khi đó

(a) λ được phân tích Lebesgue duy nhất dưới dạng

λ = λa+ λsvới λa  µ và λs⊥µ

(b) Tồn tại duy nhất a, h ∈ L1(µ) sao cho

λa(E) =

Z

E

hdµvới mọi E ∈ A

((a) được gọi là định lí phân tích Lebesgue và (b) được gọi định lí Radon–Nikodym).Chứng minh các định lí trên xem tài liệu [5]

1.5 Cấu trúc của hàm đo được

Cho không gian độ đo (X, F , µ) và A ⊂ X Ta gọi hàm số χA : X → R

cho dưới đây là hàm đặc trưng của tập A (ta cũng có thể ký hiệu hàm đặc

Định nghĩa 1.27 Hàm số f : X → R được gọi là hàm đơn giản trên tập

A ⊂ X nếu f đo được và chỉ nhận hữu hạn giá trị hữu hạn

Nếu f là hàm đơn giản trên A và f (A) = {a1; a2; · · · ; an}, (ai ∈ R) Ta đặt

n

P

i=1

aiχAi, trong đó các tập

Ai đo được rời nhau thì f là hàm đơn giản trên X

Ta có định lý quan trọng về cấu trúc của hàm đo được như sau

Định lý 1.28 Mọi hàm đo được f đều là giới hạn điểm của dãy hàm đơngiản {fn} Hơn nữa với f ≥ 0, có thể chọn {fn} là dãy hàm đơn điệu tăng,nếu f bị chặn thì có thể chọn fn ⇒ f

(Chứng minh xem tài liệu [3])

1.6 Không gian tôpô

Ví dụ 1.30 Cho X là tập tùy ý khác rỗng Khi đó τ = {∅; X} là mộttôpô trên X Tôpô này là tôpô yếu nhất trên X, được gọi là tôpô thô

Ví dụ 1.31 Cho X là tập tùy ý khác rỗng Khi đó τ = P(X)-họ tất cảcác tập con của X là một tôpô trên X Tôpô này là tôpô mạnh nhất trên

X, được gọi là tôpô rời rạc

1.6.2 Một số không gian tôpô quan trọng

T 1 -không gian và T2-không gian

Định nghĩa 1.32 Ta nói (X, τ ) là T1-không gian nếu ∀x, y ∈ X : x 6= ythì đều tồn tại hai lân cận tương ứng Ux, Uy : x /∈ Uy, y /∈ Ux

Định nghĩa 1.33 Ta nói (X, τ ) là T2-không gian (không gian tách dorff) nếu ∀x, y ∈ X : x 6= y đều tồn tại hai lân cận tương ứng Ux, Uy :

haus-Ux∩ Uy = ∅

Nhận xét 1.34 X là T2-không gian thì X là T1-không gian Ngược lạikhông đúng

Không gian chính quy, không gian chuẩn tắc

Định nghĩa 1.35 Ta nói (X, τ ) là không gian tôpô chính quy nếu ∀x ∈

X, ∀F -đóng, F ⊂ X, x /∈ F đều tồn tại lân cận Ux của x, VF của F saocho Ux∩ VF = ∅

Định nghĩa 1.36 Ta nói (X, τ ) là không gian tôpô chuẩn tắc nếu ∀F1, F2đóng, F1∩ F2 = ∅ đều tồn tại UF1, VF2 là hai lân cân tương ứng của F1, F2,sao cho UF1 ∩ VF2 = ∅

-Một trong những Bổ đề quan trọng của không gian tôpô là Bổ đề Uryson

Đó là điều kiện để không gian tôpô X là không gian chuẩn tắc

Bổ đề 1.37 (Uryson).Không gian tôpô X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếuvới hai tập đóng rời nhau F1, F2 bất kì trong X và với mọi đoạn [a, b] ⊂

R, (a < b) đều tồn tại hàm liên tục g : X → [a, b] sao cho g(F1) = a vàg(F2) = b

1.7 Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.38 Ta nói X là một không gian tuyến tính trên trường số

K (thường xét K = R hoặc C), nếu với mọi x, y ∈ X xác định hai phép

toán: cộng véctơ x + y và nhân véctơ với một số thuộc trường K: αx, thỏamãn các tiên đề sau:

(∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K)

d) Tồn tại phần tử không:∃θ ∈ X, ∀x ∈ X : x + θ = θ + x = x

e) Tồn tại phần tử đối: ∀x ∈ X, ∃(−x) ∈ X : x + (−x) = θ

f) 1.x = x

Phần tử không và phần tử đối là duy nhất

Ví dụ 1.39 1) X = R, phép cộng và nhân với một số thực hiện bìnhthường

2) X = Rn, phép cộng véctơ và nhân với một số thực hiện theo từngthành phần: Giả sử x = (x1, · · · , xn); y = (y1, · · · , yn) Khi đó:

x + y = (x1 + y1, · · · , xn+ yn); αx = (αx1, · · · , αxn)

Định nghĩa 1.40 Cho X là một không gian tuyến tính Ta nói X làkhông gian tuyến tính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số,gọi là chuẩn của x (kí hiệu kxk) thỏa mãn ba tiên đề sau:

1) Xác định dương: ∀x ∈ X : kxk ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = 0

2) Thuần nhất dương ∀x ∈ X; ∀λ ∈ R : kλxk = |λ|kxk

Nếu X xác định trên trường C thì |λ| là mođun của số phức λ ∈ C

3) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X : kx + yk ≤ kxk + kyk.

Mọi không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) là không gian metricvới khoảng cách được xác định như sau:

Định nghĩa 1.42 Ta nói A là toán tử tuyến tính đưa không gian tuyếntính định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , nếu

∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ R : A(αx + βy) = αAx + βAy

Nói riêng, Aθx = θy

Toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi dãy {xn} hội

tụ đến x0 ta đều có Axn → Ax0(n → ∞)

Định nghĩa 1.45 Không gian tuyến tính X trên trường số thực được gọi

là không gian tiền Hilbert (hay không gian có tích vô hướng) nếu ∀x, y ∈ X,xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x và y, thỏa mãn các tiên

1.9.2 Không gian Hilbert

Từ không gian tiền Hilbert ta có định nghĩa không gian Hilbert sau.Định nghĩa 1.47 Không gian Hilbert X là không gian tiền Hilbert vớichuẩn sinh bởi tích vô hướng làm cho X là một không gian Banach

2.1 Tích phân Lebesgue

Trong mục này, chúng tôi trình bày lý thuyết tích phân Lebesgue, mộttrong những lý thuyết cơ bản của giải tích hiện đại Cần phải nói thêmrằng, lý thuyết tích phân Lebesgue có nhiều phương pháp xây dựng khácnhau cũng giống như đối với tích phân Riemann Ở đây chúng tôi trìnhbày theo một phương pháp khác với tài liệu [3], phương pháp chủ yếu khiđược học trong chương trình đại học Trước hết chúng ta định nghĩa tíchphân Lebesgue cho hàm đo được không âm như sau

Định nghĩa 2.1 Cho (X, A, µ) là không gian đo và φ : X → [0; ∞) làhàm đơn giản trên X Tích phân Lebesgue trên X của φ ứng với độ đo µ,

kí hiệu là X φdµ hoặc R φdµ được định nghĩa bởi

Tiếp theo giả sử φ, ψ là hàm đơn giản và ck, dj là giá trị khác nhau trên

Ek và Fj tương ứng của hai hàm φ và ψ Kí hiệu:

Q := (k, j) ∈ N2; Ek ∩ Fj 6= ∅ Nếu φ ≤ ψ thì ck ≤ dj với (k, j) ∈ Q Do đó

Như vậy tích phân là hàm đơn điệu của các hàm đơn giản

Từ định nghĩa, ta nhận thấy nếu f là hàm đơn giản thì R φdµ ≤ R f dµ vớimọi φ ∈ Sf Và vì thế cận trên đúng ở (2) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng tích phân

của hàm đơn giản f Nhưng do f ∈ Sf, nên ta có bất đẳng thức ngược lại.

Vì vậy mà hai định nghĩa của tích phân f trong trường hợp f là hàm đơngiản trùng nhau

Mặt khác ta lại có Scf = cSf := {cφ; φ ∈ Sf} với 0 ≤ c < ∞, nên ta có

Z

cf dµ = c

Z

Đồng thời nếu f ≤ g thì Sf ⊂ Sg và vì thế R f dµ ≤ R gdµ Đặc biệt, nếu

E ⊂ F (cả hai đều đo được) thì f IE ≤ f IF và vì thế RE f dµ ≤ RF f dµ.Nếu µ(E) = 0 thì với mọi φ ∈ SSIE giả sử có giá trị ck khác 0 trên Ek∩ E,

có độ đo là 0 và vì thế R φdµ = 0, ∀φ nên ta được

Tiếp tục lấy ψ, χ là những hàm đơn giản như trên (các giá trị khác nhaucủa ψ, χ là a1, · · · , ap và b1, · · · , bq, tương ứng với trên các tập đo được

F1, · · · , Fp và G1, · · · , Gq) Khi đó rõ ràng hàm φ := ψ + χ là đơn giản.Giả sử ai + bj có giá trị không đổi trên Fi ∩ Gj, và do đó xác định đượcmột độ đo ν như trên Ta có

ν(Fi∩ Gj) = (ai+ bj)µ(Fi ∩ Gj) (6)Nhưng ai và bj là những giá trị không đổi của ψ và χ trên Fi ∩ Gj(tươngứng), vì vậy vế phải của (6) đồng nhất với ν0(Fi ∩ Gj) + ν00(Fi ∩ Gj), ở đó

ν0 và ν00 là những hàm đo được xác định như ν nhưng ứng với các hàm ψ

và χ

Lấy tổng theo i, j và vì X là tập rời nhau của Fi∩ Gj, cùng với tính chấtcộng tính của ν, ν0 và ν00 suy ra ν(X) = ν0(X) + ν00(X), ta được

Z(ψ + χ)dµ =

Zψdµ +

Z

Tính chất (7) là tích phân cộng tính của tích phân đối với các hàm đơngiản không âm Tính chất này cũng được mở rộng sau này với tùy ý cáchàm đo được không âm

Tới đây chúng ta định nghĩa tích phân của hàm đo được tùy ý như sau.Định nghĩa 2.2 Nếu các tích phân RX f+dµ,RX f−dµ không đồng thờibằng +∞ thì ta gọi tích phân của hàm f trên X là số:

X f dµ < +∞ thì hàm f được gọi là khả tích trên X

Các tính chất sơ cấp và những tính chất quan trọng khác có thể xem cụthể trong tài liệu [3]

Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu một số định lý cơ bản của tích phânLebesgue được định nghĩa nêu trên Định lý sau đây còn được gọi là định

lý hội tụ đơn điệu Lebesgue

Định lý 2.3 Cho (X, A, µ) là một không gian đo được, dương Giả sử

f1 ≤ f2 ≤ f3 ≤ · · · : X → [0; ∞) là dãy hàm đo được Khi đó, nếu

Và do đó giới hạn ở (8) tồn tại, ta đặt giới hạn đó là c ∈ [0; ∞) đồng thời

và bất đẳng thức ≥ ở (8) được giữ nguyên Ta còn phải chỉ ra bất đẳngthức ngược lại ≤ ở trong (8) Thật vậy, cho 0 < t < 1 và φ ∈ Sf, ta kí hiệu

t

Zφdµ = ν(X) = lim

X fndµ (do thuộc tính đơn điệu của tích phân)

Do đó tR φdµ ≤ c, và vì vậy R φdµ ≤ c với tùy ý t ∈ (0; 1) Lấy cận trênđúng trên tất cả φ ∈ Sf, ta kết luận rằng

Z

f dµ ≤ c

Với dãy tùy ý các hàm đo được, ta có bất đẳng thức sau

Bổ đề 2.4 (Bổ đề Fatou) Cho fn : X → [0; ∞), n = 1, 2, · · · , là hàm đođược Khi đó ta có

Zlim

Zlim gndµ = lim

Z

gndµ

nhưng tích phân vế phải ≤ lim inf R fndµ Do vậy giới hạn ≤ lim infR fndµ

Một hệ quả khác của Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue 2.3 là tích cộngtính của tích phân các hàm đo được không âm sau đây

Định lý 2.5 Cho f, g : X → [0; ∞] là những hàm đo được Khi đó

Z(f + g)dµ =

Z

f dµ +

Zgdµ

Chứng minh Từ định lí cấu trúc hàm đo được trong chương 1, tồn tại cáchàm đo được đơn giản φn, ψn thỏa mãn

Định lý sau cho thấy tính chất cộng tính của tích phân cũng đúng với tổng

vô hạn của các hàm đo được không âm

Định lý 2.6 (Beppo Levi) Cho fn : X → [0; ∞], n = 1, 2, · · · , là nhữnghàm đo được thì

Định lý 2.7 Nếu f : X → [0; ∞] là hàm đo được, khi đó đặt

Z

Chứng minh Cho Ej ∈ A, j = 1, 2, · · · , là các tập rời nhau với hợp bằngtập E Khi đó

Z

IEf dµ =

Z

gf dµ

Từ (4) và Định lý 2.5 (cho độ đo µ và ν), (9) đúng cho g đơn giản

Cuối cùng với g tổng quát, định lí cấu trúc hàm đo được, tồn tại một dãycác hàm đo được

độ đo νi đều bằng nhau, đặc biệt R f1dµ = R f2dµ Thật vậy, với tất cả

Khi đó theo Định nghĩa 2.1 ta được

ν1(E) = ν1(E ∩ A) + ν1(E ∩ Ac) = ν1(E ∩ Ac)

= ν2(E ∩ Ac) = ν2(E)

Tới đây ta có định lí Fubini, nói về lớp hàm khả tích theo độ đo µ như sau.Định lý 2.8 Nếu hàm f : X × Y → R khả tích theo độ đo µ = µ1 × µ2thì:

(Chứng minh xem tài liệu [5])

2.2 Độ đo trên không gian tôpô

Trong mục này, chúng tôi sẽ xây dựng không gian đo (X, M, µ) trên khônggian tôpô X Trước hết chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về tôpô

Chúng ta biết rằng một không gian Hausdorff (T2 không gian) là một khônggian tôpô (X, τ ) với các điểm phân biệt có các lân cận mở rời nhau Vàmột không gian Hausdorff X là compact địa phương nếu mỗi điểm trên Xđều có một lân cận compact

Một không gian Hausdorff X có thể nhúng (đồng phôi) như là một khônggian con trù mật của không gian compact Y và Y là Hausdorff nếu và chỉnếu X là compact địa phương Trong trường hợp Y là chuẩn tắc (như một

không gian compact Hausdorff ) thì Bổ đề Urysohn 1.37 được áp dụngtrong Y , tức là nếu cho hai tập đóng A, B rời nhau trong Y , tồn tại mộthàm liên tục h : Y → [0; 1] thỏa mãn h(A) = 0 và h(B) = 1 Định lý dướiđây sẽ chuyển tính chất này sang cho không gian X Trước hết chúng cầnkhái niệm quan trọng sau.

Định nghĩa 2.9 Với mọi hàm phức liên tục trên X, giá của f kí hiệu làsupp f được định nghĩa là bao đóng của tập X\f−1(0)

Định lý 2.10 ( Bổ đề Urysohn cho không gian compact địa phương dorff) Nếu X là không gian compact địa phương Hausdorff, U ⊂ X là tập

Haus-mở và nếu K ⊂ U là compact thì tồn tại hàm liên tục f : X → [0; 1] vớigiá compact sao cho supp f ⊂ U và f (K) = 1

Chứng minh Giả sử Y là Alexandroff compact hóa một điểm của X Tập U

là mở trong X, do đó nằm trong Y Tập K là compact trong X nên K ⊂ Y ,

và do đó đóng trong Y (vì Y là Hausdorff) Do Y là chuẩn tắc và tập Kđóng trong tập mở U nên tồn tại một tập mở V trong Y sao cho K ⊂ V vàbao đóng trong Y thỏa mãn clY(V ) ⊂ U (clY là kí hiệu bao đóng trong Y )

Do đó, K ⊂ Y ∩ X := W, W là mở trong X và clX(W ) = clY(V ) ∩ X ⊂ U

Ta sẽ chứng minh tiếp, tất cả bao đóng đều là bao đóng trong X

Thật vậy, do X là compact địa phương, với mỗi x ∈ K, có một lân cận mở

Nx với bao đóng compact Khi đó Nx ∩ W là lân cận mở của x, với baođóng chứa trong cl(Nx) ∩ cl(W ) là compact (bởi vì cl(Nx) là compact) vàchứa trong U

Bởi K có tính compact, chúng ta tìm được một số điểm hữu hạn xi ∈ K,sao cho

compact sao cho

Định lý 2.12 Cho X là không gian compact địa phương Hausdorff, lấy

K ⊂ X là compact và V1, · · · , Vn là các tập con mở của X sao cho

K ⊂ V1 ∪ · · · ∪ Vn.Khi đó tồn tại hi ∈ Ω(Vi), i = 1, n sao cho 1 = h1 + · · · + hn trong K.Chứng minh Với mỗi x ∈ K, tồn tại chỉ số i(x) (nằm giữa 1 và n) saocho x ∈ Vi(x) Bởi (1) (được áp dụng cho tất cả các tập compact {x} chứatrong tập mở Vi(x)), tồn tại tập mở Wx với bao đóng compact thỏa mãn:

x ∈ Wx ⊂ cl(Wx) ⊂ Vi(x) (3)

Do tính compact của tập K, tồn tại x1, · · · , xm ∈ K thỏa mãn

K ⊂ Wx1 ∪ · · · ∪ Wxm.Với mỗi i = 1, n xác định

Hi = V cl(Wxj), cl(Wxj) ⊂ Vi Như một hợp hữu hạn các tập compact, Hi là compact và chứa trong Vi

Từ Định lí 2.10, tồn tại fi ∈ Ω(Vi), thỏa mãn fi = 1 trong Hi

đó được chứa trong hợp của Wxj, j = 1, · · · , m, do đó chứa K Từ đó,

h1 + · · · + hn = 1 trong K Giá của hk được chứa trong giá của fk, từ đótrong Vk và 0 ≤ hk ≤ 1

2.2.2 Hàm tuyến tính dương

Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu khái niệm và các tính chất quantrọng của phiếm hàm tuyến tính dương Đây là công cụ quan trọng trongcác nghiên cứu sau này của chúng tôi Cụ thể ta có định nghĩa như sau.Định nghĩa 2.13 Một hàm tuyến tính φ : Cc(X) → C là dương nếuφ(f ) ≥ 0 với tất cả f ∈ Cc+(X) Điều này tương đương với điều kiện đơnđiệu φ(f ) ≥ φ(g) khi f ≥ g(f, g ∈ CcR(X)

Cho V ∈ τ với τ là tôpô trên X đã cho, khi đó hàm chỉ tiêu IV là liêntục nếu và chỉ nếu V là tập đóng Trong trường hợp đó, IV ∈ Ω(V ) ={f liên tục, 0 ≤ f ≤ 1 trên V } và f ≤ IV với mọi f ∈ Ω(V ) Do tính đơnđiệu của φ, 0 ≤ φ(f ) ≤ φ(IV) với mọi f ∈ Ω(V ) và do đó

Định nghĩa 2.14 Cho (X, τ ) là không gian compact địa phương dorff, và φ là một hàm tuyến tính dương trong Cc(X) Đặt

Haus-µ(V ) := sup

f ∈Ω(V )

φ(f ), (V ∈ τ )

Rõ ràng từ định nghĩa φ(f ) ≤ µ(V ), ở đó f ∈ Ω(V )

Chúng ta có tính chất ban đầu của hàm µ trong bổ đề sau

Bổ đề 2.15 Hàm µ là hàm đơn điệu không âm, cộng tính dưới (trong τ )

và µ(φ) = 0

Chứng minh Với mỗi f ∈ Ω(V ) ⊂ Cc+(X), φ(f ) ≥ 0, bởi vậy µ(V ) ≥ 0(với mọi V ∈ τ ) Từ Ω(φ) = 0 và φ(0) = 0, ta được µ(φ) = 0 Nếu V ⊂ W(với V, W ∈ τ ) thì Ω(V ) ⊂ Ω(W ) Vậy µ(V ) ≤ µ(W )

Tiếp theo, nếu Vi ∈ τ, i = 1, n với hợp bằng V Cố định f ∈ Ω(V ).Lấy h1, · · · , hn là sự phân hoạch đơn vị trong Cc(X) phù hợp với phủ mở

V1, · · · , Vn của tập compact sup f Khi đó

Bây giờ mở rộng định nghĩa của µ tới P(X)

Định nghĩa 2.16 Với mọi E ∈ P(X), đặt

µ∗(E) = inf

E⊂V ∈τ µ(V )

Nếu E ∈ τ thì E ⊂ E ∈ τ, ), do đó

µ∗(E) ≤ µ(E)

Mặt khác, nếu E ⊂ V ∈ τ, µ(E) ≤ µ(V ) (từ Bổ đề 2.15), do đó µ(E) ≤

µ∗(E) Vậy nên µ∗ = µ trên τ , và µ∗ là sự mở rộng thực sự của µ

Bổ đề sau cho thấy µ∗ là một độ đo ngoài

Bổ đề 2.17 µ∗ là một độ đo ngoài

Chứng minh Đầu tiên, ta có φ ∈ τ, µ∗(φ) = 0

Nếu E ⊂ F ⊂ X thì E ⊂ V ∈ τ bất cứ khi nào F ⊂ V ∈ τ , và do đó

Lấy {Ei} là mọi dãy con của tập con của X.

Nếu µ∗(Ei) = ∞ với một vài chỉ số i, thì

và ta được tính σ- cộng tính dưới của µ∗ do  là tùy ý

Tới đây, mặc dù có thể áp dụng kết quả về mở rộng độ đo của Caratheodory

để đạt được độ đo mong muốn, nhưng như sau này chúng tôi sẽ xây dựngtheo một phương pháp khác để đạt được tính liên kết chặt chẽ với tôpô đã

Chứng minh Nếu K ∈ K, từ Định lý 2.10, ∃f ∈ Cc(X) thỏa mãn 0 ≤

K1 ⊂ V1 và cl(V1) ⊂ K2c

Do đó

K2 ⊂ [cl(V1)]c := V2 ∈ τ và V2 ⊂ V1c

Do vậy Vi là tập mở rời nhau chứa Ki tương ứng

Từ K1 ∪ K2 là compact, µ∗(K1 ∪ K2) < ∞ và định nghĩa của µ∗, tồn tạitập mở W thỏa mãn K1 ∪ K2 ⊂ W và

µ(W ) < µ∗(K1 ∪ K2) +  (1)

Từ định nghĩa của µ là tập mở, tồn tại fi ∈ Ω(W ∩ Vi) thỏa mãn

µ(W ∩ Vi) < φ(fi) + , i = 1, 2 (2)Bởi vì Ki ⊂ W ∩ Vi, i = 1, 2 nên theo (2), ta có

Định nghĩa 2.19 Độ đo trong của E ∈ P(X) được định nghĩa bằng