Một số tính chất của không gian banach

Chơng2- Đạo hàm Frechet của hàm lồi và các d y ãycơ sở trong không gian Banach 2.1 Đạo hàm Frechet của hàm lồi...22 2.2 Các dãy cơ sở trong không gian Banach...46 Kết luận...45 Tài li

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh

Trang

Mở đầu 2 Chơng 1- Biểu diễn hữu hạn của các không gian banach

1.1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.2 Biểu diễn hữu hạn của các không gian Banach 10

Chơng2- Đạo hàm Frechet của hàm lồi và các d y ãy

cơ sở trong không gian Banach

2.1 Đạo hàm Frechet của hàm lồi 22

2.2 Các dãy cơ sở trong không gian Banach 46

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

lời Mở đầu Không gian Banach là một trong những đối tợng nghiên cứu cơ bản của giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và nhiều lĩnh vực khác của toán học Việc nghiên cứu các tính chất của không gian Banach tạo điều kiện để tiếp cận và nghiên cứu các vấn đề của giải tích hàm Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số tính chất của không gian Banach Với mục đích đó, dựa vào tài liệu tham khảo, luận văn nghiên cứu sự biểu diễn hữu hạn của không gian Banach, đạo hàm Frechet của hàm xác định trên không gian Banach và tính chất của dãy cơ sở trong không gian Banach Từ đó nghiên cứu tính chất của không gian C0, ] 1 ; 0 [ C , L p[ 0 ; 1 ], l p, điều kiện để một dãy là dãy cơ sở, một dãy cơ sở là dãy hội tụ yếu Với mục đích đó luận văn đợc chia làm 2 chơng Chơng1 Biểu diễn hữu hạn các không gian Banach. 1.1 Các kiến thức chuẩn bị Trong mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn nh không gian định chuẩn, các không gian C[ 0 ; 1 ], L p[ 0 ; 1 ], l p,C0, các hàm khả tích, Định lý Hahn-Banach và Hệ quả

1.2 Biểu diễn hữu hạn các không gian Banach

Trong mục này, đầu tiên trình bày khái niệm khoảng cách Banach- Mazur giữahai không gian Banach và tính chất của nó Từ đó, trình bày khái niệm biểu diễnhữu hạn không gian Banach và chứng minh một số không gian Banach đợc biểudiễn hữu hạn trong các không gian Banach đặc biệt, chẳng hạn nh không gian

C biểu diễn hữu hạn trong không gian C0và ngợc lại, không gian L p[ 0 ; 1 ]

biểu diễn hữu hạn trong không gian l pvà ngợc lại, và mỗi không gian Banach bấtkì biểu diễn hữu hạn trong không gian m I,

Chơng 2 Đạo hàm Frechet của hàm lồi và các dãy cơ sở trong không gian

Banach

2.1 Đạo hàm Frechet của hàm lồi.

Trong mục này, đầu tiên, trình bày đạo hàm Frechet của các hàm xác định trênkhông gian Banach và chứng minh các tính chất tơng tự nh đạo hàm của hàm xác

định trên R vẫn đúng cho đạo hàm Frechet của các hàm lồi Cuối cùng, dựa vào

đạo hàm Frechet để đánh giá khoảng cách Banach - Mazur giữa hai không giancon Banach hữu hạn chiều trong l2đợc xác định bởi hai chuẩn trên cùng mộtkhông gian tuyến tính

2.2 Các dãy cơ sở trong không gian Banach.

Mục này trình bày khái niệm và một số tính chất của dãy cơ sở trong khônggian Banach Từ đó trình bày khái niệm dãy cơ sở các không gian con của khônggian Banach và điều kiện để một không gian Banach có dãy cơ sở thông quakhoảng cách Banach - Mazur

Các kết quả trong luận văn, chủ yếu là đã có trong các tài liệu tham khảo,chúng tôi chứng minh chi tiết nhiều kết quả mà trong tài liệu chúng chỉ đợcchứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh Bên cạnh đó chúng tôi cũng đa ra vàchứng minh một số kết quả mới nh Bổ đề 1.2.8, Định lý 1.2.11, Mệnh đề 1.2.12,Mệnh đề 2.2.3

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫntận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng Tácgiả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối đến Thầy Nhân dịp này, tácgiả cũng xin đợc gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới Ban chủ nhiệm khoaToán, khoa Sau đại học và tất cả các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tácgiả trong suốt thời gian học tập tại trờng Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đếnPGS TS Trần Văn Ân, PGS TS Tạ Quang Hải, PGS TS Tạ Khắc C đã giúp đỡtác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Luận văn Tác giả xin đợc bày

tỏ lòng biết ơn Ban giám hiệu Trờng THPT Nghi Lộc I đã tạo điều kiện giúp đỡ

tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè vàcác bạn học viên cao học khoá 14 - Giải tích đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoànthành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót,kính mong quý Thầy Cô và bạn đọc góp ý để luận văn đợc hoàn thiện hơn

Trong mục này, trình bày một số khái niệm, kết quả và một số kí hiệu cầndùng trong luận văn.

Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn xác định trên nó gọi là không

gian tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn.

Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach

1.1.2 Định nghĩa Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn, f là ánh xạtuyến tính, liên tục từ E vào F Đặt

L các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F

Từ Định nghĩa 1.1.2 ta có bất đẳng thức sau

ánh xạ f đợc gọi là đẳng cự nếu f  L(E,F) và

f x  x với mọi x  E

Hai không gian định chuẩn đợc gọi là đẳng cấu (đẳng cự) với nhau nếu giữa

chúng tồn tại một ánh xạ đẳng cấu (đẳng cự)

1.15 Một số không gian Banach đặc biệt

a) C0 là không gian các dãy số hội tụ tới 0 với chuẩn

c) l p là không gian các dãy số  x n thoả mãn   



 1

n

p n

x với chuẩn

p p

n n x x

( ) ;

b p a

f  sup f(x) :xX, f C X

1.1.6 Định nghĩa Giả sử H  C X

a)H đợc gọi là bị chặn điểm nếu với mọi x  X tồn tại hằng số C x sao cho

f x C x với mọi f  H

b)H đợc gọi là đồng liên tục tại x  X nếu với mọi   0 tồn tại lân cận U

của x sao cho

f y  f x   với mọi y  U, mọi f  H

c)H đợc gọi là đồng liên tục trên X nếuH đồng liên tục tại mọi điểm của X

1.1.7 Định lý(Arzela-Ascoli) Giả sử X là không gian tôpô compact và

1.1.8 Định lý (Hahn-Banach) Giả sử E là một không gian vectơ phức, p là

một nửa chuẩn xác định trên E Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con F của E thỏa mãn f(x) p(x) với mọi x  F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính ~f xác định trên E sao cho f F f

~

và ~f(x) p(x) với mọi x  E

1.1.9 Hệ quả (của Định lý Hahn-Banach) Với mỗi vectơ v trong không gian

định chuẩn E , v 0 Tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho f  1 và f(v)  v

1.1.10 Định nghĩa Giả sử E là không gian định chuẩn và H  E* Ta gọi

tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên E mà đối với chúng mọi f  Hđều liêntục là tôpô yếu trên E xác định bởi họ H và kí hiệu là  (E,H)

Với mỗi x  Eta xác định ánh xạ x:E*  K với

x f f x , fE*

Khi đó *  **

E E

Không gian tuyến tính E cùng với một tích vô hớng trên nó đợc gọi là không

gian tiền Hilbert

Nếu E là không gian tiền Hilbert thì công thức

x  x,x , xE

là một chuẩn trên E và nó đợc gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hớng.

Không gian tiên Hilbert đầy đủ (đối với chuẩn sinh bởi tích vô hớng) thì đợc

gọi không gian Hilbert.

1.1.13 Đẳng thức bình hành Nếu E là không gian tiền Hilbert thì

x y 2  x y 2  2( x 2 y 2), x y E, 

1.1.14 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô Ta kí hiệu BX là   đại

số nhỏ nhất trong tất cả các   đại số chứa các tập mở trong X Ta gọi mỗiphần tử của BX là một tập Borel.

Một độ đo trênX đợc gọi là độ đo Borel trên mọi tập Borel là độ đo theo Độ đo  trên X đợc gọi là độ đo xác suất nếu  (X)  1

1.1.15 Định nghĩa Giả sử f :a,b R Hàm f đợc gọi là liên tục tuyệt đối

trên a, b nếu với mọi   0 tồn tại   0 sao cho

1

với mọi họ các khoảng rời nhau a1,b1, ,a n,b n trong a, b thoả mãn

1

1.2 Biểu diễn hữu hạn của các không gian Banach

1.2.1 Định nghĩa ([3]) Cho X , Y là cỏc khụng gian Banach Ta gọi giỏ trị

d(X,Y) inf{T .T 1 ,T

 là đẳng cấu giữa X và Y }

là khoảng cách Banach - Mazur giữa X và Y

Nếu X và Y khụng đẳng cấu thỡ ta xem d(X,Y)  

1.2.2 Mệnh đề ([3]) Cho X,Y,Z là các không gian Banach Khi đó

1) d X Y ( , ) 1 với mọi không gian Banach X , Y Nếu X và Y đẳng cấu,

đẳng cự thì d X Y ( , ) 1;

2) d X Y( , ) d Y X( , );

3) d X Y d Y Z( , ) ( , ) d X Z( , ).

Chứng minh 1) Nếu X vàY khụng đẳng cấu thỡ d(X,Y)  >1

Bõy giờ, giả sử X và Y đẳng cấu với nhau Khi đú tồn tại ỏnh xạ đẳng cấu

(X Y 

d ta cú d(X,Y)  1

2)Từ T: X  Y là đẳng cấu  T 1:Y  X là đẳng cấu suy ra

) , ( ) ,

VìH và T là các đẳng cấu bất kỳ giữa X , Y và giữa Y , Z tương ứng nên từbất đẳng thức trên suy ra d(X,Y).d(Y,Z) d(X,Z).

1.2.3 Định nghĩa ([3]) Cho X , Y là không gian Banach Ta nói X

biểu diễn hữu hạn trong không gian Y và viết là X f Y



 nếu mọi   0 và Z

là không gian con hữu hạn chiều bất kỳ của X thì tồn tại một không gian

con hữu hạn chiều Z1 của Y sao cho d(z,z1)  1  

1.2.4 Mệnh đề ([3]) Nếu tồn tại T:X  T X Y là ánh xạ tuyến tính liên tục hai chiều bảo tồn chuẩn thì X f Y

Chứng minh Vì ánh xạ T:X  T X liên tục hai chiều nên nếu Z khônggian con hữu hạn chiều của X thì TXlà không gian con hữu hạn chiềucủa TX thỏa mãn T Z Y

Mặt khác, do T bảo tồn chuẩn nên 1 1

Vậy X biểu diễn hữu hạn trongY

1.2.5 Hệ quả ([3]) Nếu p 1 thì l p biểu diễn hữu hạn được trong

] 1

] 1

; 1

1 ( )]

1 ( [

1

t

n n t x

n

n p n

nÕu

n n

x (1)

Bây giờ, ta xác định hàm T : l p  L p[ 0 ; 1 ] với T(x)=f x; x l p.

Rõ ràng T là ánh xạ tuyến tính Hơn nữa, từ (1) suy ra

1

1

1 1

0

x x

dt t f f

x

n

p n

p p

l biểu diễn hữu hạn trong L p[ 0 ; 1 ]

1.2.6 Định lý ([3]) Với mọi p 1 thì không gian L p[ 0 ; 1 ] biểu diễn hữu hạn trong l p

Chứng minh Giả sử Z là không gian con hữu hạn chiều của L p[ 0 ; 1 ]

vớidimZ  n Chọn một cơ sở {Zk }n

k 1 trong Z Khi đó vì mọi chuẩn trêncùng một không gian hữu hạn chiều là tương đương nên tồn tại hằng số

k k

t

1

1

Hàm đo được A chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị được gọi là hữu hạn

giá trị Với mọi   0 chän   0 sao cho 

1

Vì không gian các hàm hữu hạn giá trị (hàm bậc thang) trù mật trong

] 1

i i

i z t y t

T

1 1

: t i K và i 1 ,n

Ta thấy T là tuyến tính và song ánh nên chọn các y i thích hợp

Ta có

k k

t T

t

1

)] (

k z t

) ,

Để hoàn thành chứng minh Định lý, ta chỉ cần chứng tỏ Y đẳng cấu,đẳng cự với khụng gian con của l p Thật vậy, từ cỏc y ilà hàm hữu hạn giỏtrị ta cú thể chọn cỏc tập đo được A k (k  1 ,m) thỏa món

1

k k

A t A t với với

Khi đó, bao tuyến tớnh của {IA K : k  1 ,m } là không gian con của

kh«ng gian con của spanIA k: k 1 ,m nªn Y là đẳng cấu , đẳng cự vớimột không gian con nào đó của l p.

1.2.7 Định nghĩa Hàm f :0 ; 1 R được gọi là tuyến tÝnh từng khúc

nếu tồn tại hữu hạn điểm a1,a2, ,a nsao cho 0 a0 a1 a n  1 và đoạn

a i;a i1 (i 1 ,n 1) đồ thị của f là đoạn thẳng nối f(a i)với f(a i1)

Nếu f tuyến tính từng khúc trên 0 ; 1 thì hiển nhiên f liên tục trên

Chứng minh Vì f liên tục trên 0 ; 1 nên f liên tục đều trên 0 ; 1

Do đó, với mọi   0ắt tồn tại   0 sao cho

f(x)  f(x' )   x,x' [ 0 ; 1 ], x x'   (2)Chọn n N sao cho  

n

1

và chia 0 ; 1 thành n phần bằng nhau bởi các

điểm a i n i ; i  0 ,n Ta xác định hàm g:0 ; 1  Rnhư sau

1

; 0 [ : ) ( ) (

Chứng minh Giả sử Z là không gian con của C[ 0 ; 1 ] với dimZ  n và

z , ,1 z n là cơ sở của Z Vì tất cả chuẩn trên cùng một không gian hữuhạn chiều là tương đương với nhau nên tồn tại hằng số c 0sao cho với mỗi

j j

1

Từ Bổ đề 1.2.8 suy ra vớimỗi j 1 , ,n tồn tại hàm y j tuyến tính từng khúc trên 0 ; 1 sao cho

0 a0 a1 a n  1

sao cho mỗi hàm y j là tuyến tính từng đoạn a i;a i1, i 0 ,m 1

Kí hiệu X là tập các hàm trong C[ 0 ; 1 ] mà tuyến tính trên mỗi đoạn

a i;a i1, i  0 ,m 1 Rõ ràng X là không gian con của C[ 0 ; 1 ] Ta xác định

ánh xạ T: X C0 với T(f)  (f( 0 ), f(a1 ), f(a2 ), , f(a m), 0 , 0 , )

Hiển nhiên T là ánh xạ tuyến tính Với mọi f  X ta có

f m

j a f f

T( )  sup{ ( j) :  0 ; }  Như vậy T là ánh xạ đẳng cự, do đó X đẳng cấu, đẳng cự với TX làkhông gian con của C0 Từ Y là không gian con của X nên Y đẳng cấu,đẳng cự với một không gian con nào đó của C0

Ta dễ dàng chứng minh đợc Mệnh đề sau.

1.2.10 Mệnh đề 1) Với cỏc phép toỏn đó xỏc định m I là khụng gian tuyến tớnh.

2) Cụng thức (3) xỏc định một chuẩn trờn m I và với chuẩn này m I là khụng gian Banach

1.2.11 Định lý Mỗi khụng gian Banach đều biễu diễn hữu hạn được

trong khụng gian m I với tập chỉ số I nào đú.

Chứng minh Giả sử E là một khụng gian Banach và B là hỡnh cầu đơn

vị đúng trong E BB0 ; 1 xE: x  1.

Đặt

  {f E* : f  1 },

trong đú E* là khụng gian cỏc ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tục từ E vào K

(khụng gian liờn hợp của E )







sup )

( (4)Mặt khỏc, nếu xE , x 0 thỡ theo Hệ quả của Định lý Hahn-Banach ắttồn tại g  E* sao cho g  1, g x( )  x Từ đú suy ra

( ) sup f ( )

f

T x  x g x  x

Kết hợp với (4) ta có T x( )  x với mọi x  E Như vậy T là ánh xạ đẳng

cự và do đó T : E T E( ) là ánh xạ đẳng cấu, đẳng cự Theo Mệnh đề1.2.4, E biễu diễn hữu hạn được trong m I

1.2.12 Mệnh đề Nếu không gian Banach X biểu diễn hữu hạn được

trong l2thì X đẳng cự với một không gian Hilbert.

Chứng minh: Theo §ịnh lý 1.2.6, để chứng minh Mệnh đề này ta chỉ cần

chứng tỏ chuẩn trong X thỏa mãn đẳng thức bình hành

2 2 1 2

2 1 2 2

Thật vậy, giả sử x1, x2 là hai phần tử bất kỳ của X , ký hiệu E là khônggian con hữu hạn chiều trong X chøa x1, x2 Khi đó với mọi  >0 ắt tồn tạikhông gian con hữu hạn chiều Y của  2 sao cho dE ,Y 1   Từ §ịnhnghĩa của khoảng cách Banach - Mazur suy ra tồn tại ánh xạ đẳng cấu

1 (y ) x

T  Từ T và T 1 là các ánh xạtuyến tính liên tục suy ra

2( x1 2 x2 2) x1  x2 2 x1 x2 2.

Vậy x1x2 2  x1 x2 2  2 ( x1 2  x2 2)

Chơng II

trong không gian banach

2.1 Đạo hàm Frechet của hàm lồi

2.1.1 định nghĩa ([3]) Cho X là không gian Banach Hàm f :X  R đợc gọi

là khả vi Frechet hay là có đạo hàm Frechet tại x  X nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính f(x) X* sao cho

Đặt hz x, ta có z  khi và chỉ khi x h 0 Từ đó suy ra

lim  ( ) ( )( ) 0

h x f x g h

Do đó với mọi   0 ắt tồn tại   0 sao cho với mọi h mà h   thì

 ( )  ( )( )  

h

h x f x g

Vậy đạo hàm Frechet của f tại x là duy nhất

2.1.3 Mệnh đề Giả sử X là không gian Banach Nếu hàm f :X  R có đạo hàm Frechet tại điểm z  X thì f liên tục tại z.

Chứng minh Ta có

Từ đó suy ra khi z  thì x f (x)(z x)  0 Mặt khác do f có đạo hàm Frechet

tại x nên số hạng thứ nhất trong vế phải của (7) dần tới 0 khi z  Từ đó ta có x

limf(z) f(x).

x



Vậy f liên tục tại z

2.1.4 Mệnh đề Giả sử X , E là hai khụng gian Banach, g:E X là ỏnh xạ

tuyến tớnh liờn tục f :X  R là hàm khả vi Frecht tại g x0 ,x0 E Khi đú f  g

khả vi Frechet tại x0và f g x0  fg x0 g.

Chứng minh Vỡ glà ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tục nờn hàm fg x0 glà

ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tục từ E vào R và g h  g .h , h E Do đú với

) ( 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0 0

0 0

0

h

h g h

g

h g x g f x

g f h g x g f

h

h g h

g

h g x g f x

g f h g x g f

h

h g x g f x

g f h g x g f

h

h g x g f x

g f h x g f

h





