Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Một số tính chất của không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh." pps

Một số tính chất của không gian o-mêtricvà o-mêtric mạnh Đinh Huy Hoàng a, Phan Anh Tài b Nguyễn Đình Lậpc Tóm tắt.. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số tính chất và mối liên hệ c

Một số tính chất của không gian o-mêtric

và o-mêtric mạnh

Đinh Huy Hoàng (a), Phan Anh Tài (b)

Nguyễn Đình Lập(c)

Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số tính chất và mối liên hệ của

các không gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, không gian đối xứng và chứng minh rằng một không gian o-mêtric mạnh (tương ứng, o-mêtric Hausdorff) là không gian Frechet mạnh (tương ứng,α4-không gian).

Không gian mêtric là một không gian tôpô đặc biệt có rất nhiều tính chất và trực quan Vì thế khi nghiên cứu các không gian tôpô tổng quát, người ta thường xét các tính chất tương tự như không gian mêtric Một trong những hướng nghiên cứu trong tôpô hiện đại là xây dựng những hàm tương tự như mêtric trên các không gian tôpô và nghiên cứu các tính chất sinh ra từ các hàm đó Để xây dựng các hàm kiểu này, người ta mở rộng khái niệm mêtric bằng cách giảm bớt các điều kiện trong định nghĩa của nó Với cách làm như vậy, người ta thu được các khái niệm giả mêtric, nửa mêtric, o-mêtric, symmetric, và nghiên cứu các không gian bằng cách dựa vào các khái niệm này Những người đạt được những kết quả đáng kể về những lĩnh vực đã nêu là A V Arhangel'ski, G Gruenhage, K B Lee, Ja A Kofnor, S Lin,

Mục đích của chúng tôi là tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của các không gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, đối xứng,

Đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản

1.1 Định nghĩa Giả sửV là một tập con của không gian tôpôX V được gọi là

lân cận dãy củax ∈ X nếu với mỗi dãy{xn} hội tụ tớixtồn tại n0 ∈ N sao cho

{x} ∪ {xn : n ≥ n0} ⊂ V

1.2 Định nghĩa Không gian tôpôX được gọi là không gian Frechet nếu với mỗi

tập conA của X và x ∈ Atồn tại dãy {xn}trong Asao cho dãy {xn}hội tụ tới x

1.3 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian Frechet mạnh nếu

mỗi dãy giảm các tập con{An}củaX vàx ∈ Anvới mọin ∈ N đều tồn tại dãy{xn}

trongX sao choxn∈ An với mọi n và{xn}hội tụ tớix

1.4 Định nghĩa ([3]) Giả sử X là một không gian tôpô và d : X ì X → R Hàm dđược gọi là một o-mêtric trênX nếu

1 Nhận bài ngày 29/5/2009 Sửa chữa xong 15/9/2009.

(i) d(x, y) ≥ 0với mọix, y ∈ X,

(ii) d(x, y) = 0 khi và chỉ khix = y,

(iii) Tập con U ⊂ X là mở khi và chỉ khi d(x, X \ U ) > 0với mọix ∈ U, trong đó

d(x, X \ U ) = inf{d(x, y) : y ∈ X \ U }

Hàmdđược gọi là một o-mêtric mạnh nếudlà o-mêtric và với mỗix ∈ X, với mỗi

r > 0, hình cầuB(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} là một lân cận của x

Hàm d được gọi là một symmetric nếu d là o-mêtric và d(x, y) = d(y, x) với mọi

x, y ∈ X

Hàm d được gọi là một nửa mêtric nếu d là symmetric và vớiM ⊂ X thì x ∈ M

khi và chỉ khid(x, M ) = inf{d(x, y) : y ∈ M } = 0

Không gian tôpôX cùng với một o-mêtric (tương ứng, o-mêtric mạnh, symmetric, nửa mêtric)dtrên nó được gọi là không gian o-mêtric (tương ứng, o-mêtric mạnh, đối

xứng, nửa mêtric)và ký hiệu là (X, d)hoặcX nếu không cần chỉ ra d

1.5 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là có tính chất (*) nếu với mỗi

điểm không cô lập x của X đều tồn tại một dãy không tầm thường (không là dãy dừng) trongX hội tụ tớix

1.6 Định nghĩa Cho không gian tôpôX Tập con Q của X được gọi là một cái

n ∈ N},trong đó {xnm : m ∈ N}n∈N là vô hạn dãy rời nhau củaX mà mỗi dãy hội tụ

vềx

Tập conC của quạtQ tạix được gọi là một đường chéo của Qnếu C có giao với vô hạn dãy của quạtQvà đồng thời C là một dãy hội tụ về một điểm trong quạtQ Không gian tôpôX được gọi làα4-không gian nếu với mỗixtrongX, mọi cái quạt tạixđều có đường chéo hội tụ về x

2.1 Mệnh đề Giả sử X là không gian o-mêtric Khi đó

1) Tập con U của X là mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ U tồn tại ε > 0 sao cho

B(x, ε) ⊂ U.

2) Nếu {xn} ⊂ X vàx ∈ X sao cho d(x, xn) → 0thì xn → x.

của o-mêtric ắt tồn tạir > 0 sao chod(x, X \ U ) = r Từ đó suy ra B(x,r2) ⊂ U

Ngược lại, giả sửU là tập con củaX sao cho với mỗix ∈ U, tồn tại ε > 0sao cho

B(x, ε) ⊂ U Khi đó với mọi y ∈ X\U ta cóy /∈ U Do đó d(x, y) ≥ ε Từ đó suy ra

d(x, X\U ) ≥ ε > 0.Theo định nghĩa của o-mêtric thìU là tập mở trongX

2) Giả sử{xn} ⊂ X, x ∈ X sao cho d(x, xn) → 0 Với bất kỳ lân cận U của x ắt tồn tạir > 0 sao cho B(x, r) ⊂ U Vì d(x, xn)→0nên tồn tại số tự nhiênn0 sao cho

d(x, xn) < r với mọi n ≥ n0 Do đóxn∈ B(x, r) ⊂ U với mọin ≥ n0 Vậyxn→x 

2.2 Định lý Không gian tôpô X là nửa mêtric khi và chỉ khi nó là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng.

Khi đó, với mỗi x ∈ X và n ∈ N thì B x,1n
là một lân cận của x Thật vậy, đặt

E = X\B x,n1
Ta cód(x, E) ≥ n1 > 0 Do đóx /∈ E, tức làx ∈ X\E và X\E là lân cận mở của x Với mỗi y ∈ X\E ta có y /∈ E, tức là y ∈ B x,n1
Từ đó ta có

X\E ⊂ B x,1n
Như vậyB x,n1
là lân cận củax Bây giờ, với mỗi số dươngr, ắt tồn tại n ∈ N sao cho 1n < r Do đó B x,n1
⊂ B(x, r) Như vậy B(x, r) là lân cận của x Từ đó suy raX là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng

Ngược lại, giả sử X là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng Khi đó trên X có một symmetric d sao cho với mỗi x ∈ X và r > 0 tậpB(x, r) là một lân cận của x

Ta chứng tỏX là không gian nửa mêtric Giả sửM ⊂ X và x ∈ M Lúc đó, với mỗi

r > 0, B(x, r) ∩ M 6= ∅, tức là tồn tạiy ∈ B(x, r) ∩ M Từ đó ta có

0 ≤ d(x, M ) ≤ d(x, y) < r

Chor → 0ta kết luận đượcd(x, M ) = 0 Ngược lại, giả sửx ∈ Xsao chod(x, M ) = 0 Nếux /∈ M thì x ∈ X\M Do đó tồn tại r > 0 sao cho d(x, M ) ≥ d(x, M ) ≥ r > 0

Điều mâu thuẫn này chứng tỏx ∈ M VậyX là không gian nửa mêtric

2.3 Định lý Nếu (X, d)là không gian o-mêtric sao cho từ x và dãy {xn} trong

X thỏa mãn x ∈ B xn,n1
với mọi n ∈ N đủ lớn suy ra {xn} hội tụ tới x thì X là không gian đối xứng.

d0(x, y) =







min



1 inf{j∈N:x / ∈B(y,1j)},

1 inf{j∈N:y / ∈B(x,1j)}



nếu x 6= y

Rõ ràngd0(x, y) ≥ 0, d0(x, y) = d0(y, x)với mọix, y ∈ X vàd0(x, y) = 0khi và chỉ khi

x = y Để hoàn thành chứng minh định lý, ta chỉ cần chứng tỏ rằng U mở trong X

khi và chỉ khi với mỗix ∈ U đều cód0(x, X\U ) > 0

Giả sửU là tập mở trongX vàx ∈ U Khi đó, theo Mệnh đề 2.1 ắt tồn tại n0 ∈ N

sao choBx,n1

0



⊂ U Với mỗiy ∈ X\U thì y /∈ Bx,n1

0



Do đó

1 infnj ∈ N : y /∈ Bx,1jo ≥

1

n0

Giả sửd0(x, X\U ) = 0 Khi đó, với mỗi n ∈ N, n ≥ n0 ắt tồn tại yn ∈ X\U sao cho

d0(x, yn) < 1

Nếux /∈ B yn,n1
thì

1 infnj ∈ N : x /∈ Byn,1jo ≥

1

Từ (1) và (3) suy ra d0(x, yn) ≥ n1 Bất đẳng thức này mâu thuẫn với (2) Do đó

x ∈ B yn,n1
với mọi n ≥ n0 Theo giả thiết ta có {yn} hội tụ tớix Điều này mâu thuẫn vớiyn ∈ X\U với mọin ≥ n0 Từ đó suy ra d0(x, X\U ) > 0

Ng−ợc lại, giả sử U là tập con của X sao cho d0(x, X\U ) > 0 với mọi x ∈ U

nh−ngU không mở trongX Khi đó, tồn tạix ∈ U sao cho với mỗin = 1, 2, ta có

B



x, 1 n



∩ (X\U ) 6= ∅

tức là với mỗi n = 1, 2, tồn tại xn ∈ B x,1

n
∩ (X\U ) Từ xn ∈ B x, 1

n

với

n = 1, 2, suy ra d0(x, xn) < n1 Kết hợp với xn ∈ X\U với n = 1, 2, ta có

d0(x, X\U ) = 0 Đây là một điều mâu thuẫn Do đó,U là tập mở trongX Vậyd0 là

2.4 Định lý 1) NếuXlà không gian o-mêtric mạnh, thìXlà không gian Frechet mạnh.

2) NếuX là không gian o-mêtric với o-mêtric dthỏa mãn

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Chứng minh 1) Giả sử X là không gian o-mêtric mạnh, {An} là dãy các tập con giảm của X và x ∈ An với mọi n ∈ N Khi đó, với mỗi n ∈ N, vì X là không gian o-mêtric mạnh nênB x,n1
là lân cận của x Do đóAn∩ B x,1

n
6= ∅với mọin Từ

đó suy ra tồn tại{xn} ⊂ X sao choxn ∈ An∩ B x, 1

n

với mọi n Vì thế

d(x, xn) < 1

n, với mỗi n ∈ N

Chon→∞ta đ−ợcd(x, xn)→0 Theo Mệnh đề 2.1 thìxn→x Do đóX là không gian Frechet mạnh

2) Đầu tiên, ta chứng minh hình cầu B(x, r) là tập mở với mỗi x ∈ X và r > 0 Với mỗiy ∈ B(x, r), đặtδ = r − d(x, y) Vìd(x, y) < rnênδ > 0 Với mỗiz ∈ B(y, δ)

ta cód(y, z) < δ và do đó

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + r − d(x, y) = r

Từ đóz ∈ B(x, r)và ta cóB(y, δ) ⊂ B(x, r) Do đó, theo Mệnh đề 2.1,B(x, r) là tập

mở trong X Nh− vậy, mỗi B x,n1
là lân cận của x Kết hợp với Mệnh đề 2.1 ta suy ra họ

 B



x,1 n

 : n = 1, 2,



là cơ sở lân cận đếm đ−ợc tại x Vậy X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm đ−ợc thứ nhất

2.5 Bổ đề Nếu X là không gian o-metric, Hausdorff thì B(x, r) là lân cận dãy củaxvới mọi x ∈ X và mọir > 0

Chứng minh Giả sửB(x, r)không là lân cận dãy củax Khi đó tồn tại dãy {xn}

trongX\B(x, r)sao cho {xn}hội tụ tớix Không mất tính tổng quát có thể giả thiết cácxn đôi một khác nhau ĐặtE = {x1, x2, }.Vì X là không gian Hausdorff nên

E ∪ {x}là tập con đóng trong X Do đóX\(E ∪ {x}) là tập mở

Giả sử y ∈ X\E Nếuy = xthìB(y, r) = B(x, r) ⊂ X\E

Nếuy 6= xthìy ∈ X\(E ∪ {x}) VìX\(E ∪ {x})là tập mở nên tồn tạiε > 0sao cho

B(y, ε) ⊂ X\(E ∪ {x}) ⊂ X\E

Từ Mệnh đề 2.1 suy raX\E là tập mở hay E là tập đóng Điều này mâu thuẫn với

{xn} ⊂ E, {xn} hội tụ tớixnh−ng x /∈ E VậyB(x, r) là lân cận dãy củax 

Mệnh đề 2.1 chỉ ra rằng trong không gian o-mêtric từ d(x, xn)→0 suy raxn→x Vấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì từxn→xsuy rad(x, xn)→0 Mệnh đề sau đây giải quyết vấn đề này

2.6 Mệnh đề Giả sử X là không gian o-mêtric Hausdorff và {xn} là dãy trong

X Khi đó,xn→x ∈ X khi và chỉ khi d(x, xn)→0

ε > 0, B(x, ε)là lân cận dãy của x Do đó tồn tại n0 ∈ N sao choxn ∈ B(x, ε) với mọin ≥ n0, tức là

0 ≤ d(x, xn) < ε với mọi n ≥ n0

Điều kiện đủ của mệnh đề này là 2) của Mệnh đề 2.1

2.7 Định lý Nếu X là không gian o-mêtric, Hausdorff thìX làα4- không gian.

Chứng minh Giả sửQlà một cái quạt tạix ∈ X vàQ được biểu diễn dưới dạng

Q = {x} ∪ {∪{xn m : m ∈ N} : n ∈ N},

trong đó {xnm : m ∈ N}n∈N là đếm được các dãy rời nhau trong X và xnm→x khi

m→∞; n = 1, 2, Theo Bổ đề 2.5, mỗi B x,1n
là một lân cận dãy của x Từ đó suy ra vớin ∈ N ắt tồn tại mn∈ N sao cho

xnm ∈ B



x,1 n



với mọi m ≥ mn

Điều này chứng tỏ với mỗin ∈ N thì

{xnm : m ∈ N} ∩ B



x, 1 n

 6= ∅

Nhờ đó ta xây dựng được dãy đường chéoC = {yn: n ∈ N} của quạtQ như sau: với mỗin ∈ N chọn

yn∈ {xnm : m ∈ N} ∩ B



x, 1 n



Khi đó, với mỗi n ∈ N thì C ∩ {xnm : m ∈ N} 6= ∅, tức là C có giao với vô hạn dãy củaQ Giả sửU là một lân cận củax Khi đó, tồn tạin0 ∈ Nsao choB



x,n1

0



⊂ U

Ta có

yn∈ B



x,1 n



⊂ B



x, 1

n0



⊂ U, với mọi n ≥ n0

Do đóyn→x Như vậy mỗi quạt tại x đều có đường chéo hội tụ về x Vậy X là α4 -không gian

2.8 Định lý Mọi không gian con của không gian o-mêtric mạnh đều là không

gian o-mêtric mạnh.

Chứng minh Giả sử(X, d)là không gian o-mêtric mạnh vàA ⊂ X Khi đó, hiển nhiên thu hẹp củadtrênAthỏa mãn các điều kiện (i), (ii) trong Định nghĩa 1.4 Hơn nữa, nếuB(x, r) là lân cận củax trong X thì B(x, r) ∩ Alà lân cận củax trongA

Do đó để chứng minh định lý chỉ cần chứng tỏ rằng tập conU của A là mở trongA

khi và chỉ khid(x, A\U ) > 0 với mọix ∈ U

Giả sử U là tập mở trongA vàx ∈ U Khi đó, tồn tại tập mở Gtrong X sao cho

U = G ∩ A Vì Gmở nênd(x, X\G) > 0 Do đó

d(x, A\U ) ≥ d(x, X\G) > 0

Ngược lại giả sửU ⊂ Asao chod(x, A\U ) > 0 với mọi x ∈ U.Giả sửU ∩∂A = ∅, tức là U ⊂ intA (phần trong của A) Khi đó, với mỗi x ∈ U ta có d(x, A\U ) > 0 và

d(x, X\A) ≥ d(x, X\intA) > 0.Do đó, từX\U = (A\U )∪(X\A)suy rad(x, X\U ) >

0và ta kết luận đ−ợc U là tập mở trong X Vì thếU mở trongA

Giả sử U ∩ ∂A 6= ∅ Ta chỉ cần chứng tỏ tồn tại tập G mở trong X sao cho

G ∩ A = U Đặt

E = {x ∈ ∂A : tồn tại lân cậnV củax, V ∩ (A\U ) = ∅}

Từ mỗiB(x, r)là lân cận của x trongX suy ra E ∩ A = E ∩ U = ∂A ∩ U Đặt

G = (X\A) ∪ E ∪ U

Khi đó,G ∩ A = U Lấy bất kỳ y ∈ G Nếuy ∈ X\A thì hiển nhiên

d(y, X\G) ≥ d(y, A) > 0

Giả sửy ∈ E Khi đó tồn tại lân cận mở V củay sao choV ∩ (A\U ) = ∅ Từ đó suy ra

V ∩ (∂A\E) = ∅

bởi vì nếu tồn tại z ∈ V ∩ (∂A\E)thì từ z ∈ ∂A\E suy raV ∩ (A\U ) 6= ∅ và ta có

điều mâu thuẫn Do đó

d(y, (A\U ) ∪ (∂A\E)) > 0

Cuối cùng, giả sử y ∈ U \E Khi đó, từ E ∩ U = ∂A ∩ U suy ray là điểm trong của

A Do đó tồn tại ε1 > 0 sao cho

B(y, ε1) ⊂ intA

Mặt khác, vìy ∈ U nênd(y, A\U ) > 0 Từ đó suy rad(y, (A\U ) ∪ ∂A) > 0 Kết hợp vớiX\G ⊂ (A\U ) ∪ ∂Ata cód(y, X\G) > 0.Nh− vậyd(y, X\G) > 0 với mọiy ∈ G

2.9 Bổ đề Mọi không gian o-mêtric đều có tính chất (*).

X Khi đó với mỗin = 1, 2, đều cóB x,1n
∩ (X\{x}) 6= ∅ Thật vậy, nếu tồn tại

n0 ∈ N sao choBx,n1

0



∩ (X\{x}) = ∅thìd(x, X\{x}) ≥ n1

0 > 0, do đó{x} là tập

mở và ta có điều mâu thuẫn Từ B x,n1
∩ (X\{x}) 6= ∅ vi mi n = 1, 2, suy ra tồn tại dãy{xn} ⊂ X sao choxn 6= xm nếun 6= m và d(x, xn)→0 Do đóxn→x

2.10 Mệnh đề Nếu X là không gian o-mêtric sao cho mỗi không gian con của

X cũng là không gian o-mêtric thì X là không gian Frechet Hơn nữa, nếu thêm giả thiếtX là không gian Hausdorff thìX là không gian o-mêtric mạnh.

Chng minh Giả sử A ⊂ X và x ∈ A Ta chỉ cần chứng minh tồn tại dãy {xn}

trongA, hội tụ tới x Nếu xlà điểm cô lập thì điều cần chứng minh là tầm thường Giả sửx không là điểm cô lập Khi đó, theo giả thiết,A là không gian o-mêtric Vì thế, theo Bổ đề 2.9,A có tính chất (*), nghĩa là tồn tại dãy{xn}trongAhội tụ tới x VậyX là không gian Frechet

Bây giờ, giả sử thêm X là không gian Hausdorff Lấy x ∈ X và r > 0 Ta chỉ cần chứng tỏ B(x, r)là lân cận của x

Ký hiệu U là phần trong của B(x, r) Nếu x /∈ U thìx ∈ (X\B(x, r)) Theo kết quả vừa chứng minhX là không gian Frechet nên tồn tại dãy{xn}trongX\B(x, r)

hội tụ tới x Mặt khác, theo Bổ đề 2.5, B(x, r) là lân cận dãy của x nên dãy {xn}

nằm trong B(x, r)từ một lúc nào đó Như vậy, ta có điều mâu thuẫn Từ đó suy ra

tài liệu tham khảo

[1] G Gruenhage, E Michael and Y Tanaka,Spaces ditermined by point-countable covers, Pacific J Math., 113(2), 1984, 303 - 332

[2] Ja A Kofnor,On a new class of spaces and some problems of symmetrizability theory, Soviet Math Dokl., 10, 1969, 845 - 848

[3] K B Lee,On certain g-first countable space, Pacific J of Math., 65, 1976, 113

- 118

[4] C Liu, On weak bases, Topology and its Applications, 150, 2005, 91 - 99 [5] S Lin and P Yan, Point - countable k-networks, cs∗-networks and α4-spaces,

Topology Proc., 24, 1999, 345 - 354

[6] Y Tanaka, Theory of k-networks II, General Topology, 19, 2001, 27 - 46

Summary Some properties of o-metrizable spaces and strongly

o-metrizable spaces

In this paper, we give some properties and relationships among o-metrizable spaces, strongly o-metrizable spaces and symmetrizable spaces, and prove that a strongly o-metrizable space (resp., o-metrizable Hausdorff space) is a strongly Frechet space (resp.,α4-space)

(a) Khoa Toán, trường Đại học Vinh

(b) Trường Đại học Sài Gòn

(c) Trường CĐSP Đồng Nai.