Về một số tính chất của không gian tôpô mờ trực giác

Coker đã xây dựng lý thuyết của không gian tôpô mờ trực giác,cùng với các nhà khoa học khác ông đã nghiên cứu tôpô trên tập mờ trựcgiác, tính liên thông, tính compact, liên tục, paracomp

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Không gian tôpô mờ trực giác 5

1.1 Một số khái niệm cơ bản 5

1.2 Tập mờ trực giác 8

1.3 Không gian tôpô mờ trực giác 16

Chương 2 Một số tính chất của không gian tôpô mờ trực giác 23 2.1 Tính compact mờ trực giác 23

2.2 Nửa θ-compact trong không gian tôpô mờ trực giác 26

2.3 Tính Hausdorff trong không gian tôpô mờ trực giác 29

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết về tập mờ được giới thiệu bởi L A Zadeh vào năm 1965 Saunhững nghiên cứu của L A Zadeh về tập mờ thì đã có những kết quả thú

vị thu được trong lý thuyết cổ điển Khái niệm của tôpô mờ có nhiều ứngdụng quan trọng trong vật lý lượng tử, nhiều tính chất toán học được giớithiệu tổng quát bởi khái niệm tập mờ Ý niệm về tập mờ trực giác lần đầutiên được công bố bởi K Atanassov vào năm 1978, tiếp đến khái niệm nàyđược mở rộng thành tập L-mờ trực giác bởi K Anatassov và S Stoeva Sau

đó C Chang đã sử dụng tập mờ để giới thiệu khái niệm tôpô mờ, sau kháiniệm này D Coker đã xây dựng lý thuyết của không gian tôpô mờ trực giác,cùng với các nhà khoa học khác ông đã nghiên cứu tôpô trên tập mờ trựcgiác, tính liên thông, tính compact, liên tục, paracompact, hội tụ, tách trongkhông gian tôpô mờ trực giác

Một trong những hướng nghiên cứu khác trong tôpô mờ đó là xây dựngmột số khái niệm cơ bản về tính Hausdorff trong không gian tôpô mờ trựcgiác

Trên cơ sở các bài báo của D Coker và F G Lupianez và sự hướng dẫncủa thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả đã tiếp cận hướng nghiên cứunày Mục đích chính của luận văn là trình bày có hệ thống các khái niệm vàtính chất cơ bản của không gian tôpô mờ trực giác Với mục đích như vậy,luận văn được trình bày thành 2 chương

Chương 1 Không gian tôpô mờ trực giác Trong chương này, chúngtôi giới thiệu một số khái niệm và các tính chất cơ bản của không gian tôpô

mờ trực giác

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Trình bày một số kiến thức và tính chất cơ bản về không gian tôpô, tập

mờ, không gian tôpô mờ

1.2 Tập mờ trực giác

Trình bày các khái niệm, tính chất của tập mờ trực giác, liệt kê một sốtính chất về ảnh và tạo ảnh của tập mờ trực giác

1.3 Không gian tôpô mờ trực giác

Phần này mở rộng khái niệm về không gian tôpô mờ trực giác theo nghĩacủa Lowen, định nghĩa các toán tử bao đóng, phần trong một IF T S, đưa rakhái niệm cơ bản về ánh xạ liên tục mờ Đồng thời chứng minh một số tínhchất, ví dụ liên quan

Chương 2 Một số tính chất của không gian tôpô mờ trực giác.Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất củakhông gian tôpô mờ trực giác

2.1 Tính compact mờ trực giác

Trình bày các khái niệm cơ bản về một phủ mở mờ, tính compact mờ củakhông gian tôpô mờ trực giác Nghiên cứu các tính chất cơ bản và những đặctrưng liên quan, tương tự như những tính chất về tập compact đã biết trongtôpô đại cương như ở Hệ quả 2.1.6 và Hệ quả 2.1.10

2.2 Nửa θ-compact trong không gian tôpô mờ trực giác

Nêu lên cấu trúc của nửa θ-compact trong không gian tôpô mờ trực giácnhư các Định nghĩa 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6; so sánh chúng vớimột số loại khác trong không gian tôpô mờ trực giác Chỉ ra một số đặc trưng

và tính chất cơ sở cho những khái niệm đó ở Định lý 2.2.7 và Định lý 2.2.8.2.3 Tính Hausdorff trong không gian tôpô mờ trực giác

Trong mục này giới thiệu các khái niệm mới về tính Hausdorff trong khônggian tôpô mờ trực giác, các Định nghĩa 2.3.14 về q-T2, Định nghĩa 2.3.16 vềq-mờ Hausdorff Mối liên hệ của T2 IF T S với q-T2 trong Mệnh đề 2.3.17.Các kết quả trình bày trong luận văn chủ yếu đã có trong các tài liệu thamkhảo [3], [5], [7] Ở đây, ngoài việc trình bày lại các khái niệm, tính chất cơbản đã có và chứng minh chi tiết các kết quả trong các tài liệu tham khảo

chúng tôi chứng minh cụ thể một số Hệ quả mà trong tài liệu chưa chứngminh như Hệ quả 1.2.10, Hệ quả 1.2.12 và Ví dụ 1.3.2, Ví dụ 1.3.9; Mệnh đề1.3.11.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáoPGS.TS Trần Văn Ân Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhândịp này, em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủnhiệm khoa Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ emtrong suốt quá trình công tác và học tập tại trường Đặc biệt, em xin bày tỏlòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trườngĐại học Vinh đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn Tác giả xin cảm ơn các học viên Cao học 13 - Giải tích đã tạo điều kiệnthuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập

Dù đã cố gắng nhiều, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, côgiáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ các tập con của X được gọi làmột tôpô trên X nếu thoả mãn

(T1) ∅, X ∈ τ ;

(T2) Nếu Gα ∈ τ, α ∈ Λ bất kỳ thì [

α∈Λ

Gα ∈ τ ;(T3) Nếu G1, G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ

Tập hợp X cùng với một tôpô τ xác định trên nó thì được gọi là khônggian tôpô và ký hiệu là (X, τ ) hay X

Các phần tử thuộc X được gọi là điểm, các phần tử thuộc τ được gọi làtập mở

1.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, E ⊂ X, bao đóng

E ký hiệu là E (hay clE) là giao của tất cả các tập đóng chứa E, nghĩa là

1.1.5 Định nghĩa Giả sử (D, ≥) là một tập có hướng Ta gọi hàm

S : D −→ X là một lưới trong X và ký hiệu là {Sα, α ∈ D, ≥} hay {Sα}α∈D.1.1.6 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, {Sn}n∈D là một lướitrong X Lưới {Sn}n∈D được gọi là hội tụ về điểm x ∈ X nếu với mọi lâncận U của x trong X, lưới {Sn}n∈D nằm trong U từ một lúc nào đó

1.1.7 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian hay

là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại lân cận Ucủa x, lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅

1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian compactnếu mỗi phủ mở của X chứa một phủ con hữu hạn

1.1.9 Định lý Giả sử X là không gian compact Nếu F là tập con đóngcủa X thì F compact

Chứng minh Giả sử (X, τ ) là không gian compact và P là phủ mở bất

kỳ của F Ký hiệu P0 = {X \ F } ∪ P Khi đó P0 là phủ mở của X Vì

X compact nên tồn tại phủ con hữu hạn P1 của P0 Bây giờ ta giả sử

P1 = {P1, , Pn, X|F } Vì X \ F + F suy ra {P1, , Pn} ⊃ F Khi đó{P1, , Pn} là phủ F nên F là tập compact

1.1.10 Định lý Giả sử rằng f : X −→ Y là ánh xạ liên tục từ khônggian compact X lên không gian tôpô Y Khi đó Y là không gian compact.Chứng minh Giả sử U là phủ mở bất kỳ của không gian tôpô Y Nhờ tínhliên tục của f họ f−1(U ) : U ∈ U là phủ mở của X Vì X compact nêntồn tại họ con hữu hạn

k[

i=1

f−1(Ui)

Suy ra Y ⊂

k[

i=1

Ui.Vậy Y là không gian compact

1.1.11 Định nghĩa Họ L các tập con của X được gọi là một lọc trong

X nếu thỏa mãn các điều kiện

1.2 TẬP MỜ TRỰC GIÁC1.2.1 Định nghĩa Cho một tập X, một tập mờ trong X được hiểu làmột hàm µ : X −→ [0, 1].

Nhận xét Một tập con A của tập X có thể đồng nhất với hàm đặc trưng

χA của nó, khi đó hàm χA là một tập mờ trong X

1.2.2 Định nghĩa Cho X là tập cố định khác rỗng Một tập mờ trựcgiác A (viết tắt là IF S A) là tập có dạng

A = {hx, µA(x), γA(x)i : x ∈ X} ,trong đó các hàm µA : X −→ I và γA : X −→ I lần lượt là các hàm chỉ mức

độ sự có mặt và mức độ sự không có mặt của phần tử x ∈ X trong tập A và

Chú ý các phép toán ∧ và ∨ được hiểu như sau

µA(x) ∧ µB(x) = min{µA(x), µB(x)}, γA(x) ∨ γB(x) = max{γA(x), γB(x)}

A được gọi là phần bù của A

1.2.5 Định nghĩa Cho {Ai : i ∈ J } là một họ tuỳ ý các IF S trong X.Khi đó

1.2.7 Các phép toán trên tập mờ

Cho µ, ϑ là các tập mờ trên X Khi đó

(a) µ ≤ ϑ có nghĩa là µ(x) ≤ ϑ(x), với mọi x ∈ X;

(e) Ta có A ∪ B = hx, µA ∨ µB, γA ∧ γBi suy ra

A ∪ B = hx, γA ∧ γB, µA∨ µBi (1)Mặt khác A = hx, γA, µAi, B = hx, γB, µBi suy ra

(j) Ta có 0∼ = hx, 0, 1i suy ra 0∼ = hx, 1, 0i = 1∼

1.2.10 Định nghĩa Cho X, Y là hai tập khác rỗng và f : X−→Y

là một ánh xạ A = {hx, µA(x), γA(x)i : x ∈ X} là một IFS trong X và

B = {hy, µB(y), γB(y)i : y ∈ Y } là một IF S trong Y

a) Tạo ảnh f−1(B) của B dưới ánh xạ f là một IF S trong X được xác địnhbởi f−1(B) = {hx, µf−1 (B)(x), γf−1 (B)(x)i : x ∈ X} trong đó µf−1 (B)(x) =

µB(f (x)) và γf−1 (B)(x) = γB(f (x))

b) Ảnh f (A) của A qua ánh xạ f là một IFS trong Y được xác định bởi

f (A) = {hy, µf (A)(y), γf (A)(y)i : y ∈ Y }

1.2.11 Hệ quả Cho A, Ai, (i ∈ J ) là các tập IF S trong X, B, Bj, (j ∈ k)

là các IF S trong Y và f : X−→Y là một ánh xạ từ X vào Y Khi đó

f (A1) = {hy, f (µA1)(y), f−(γA1)(y)i : y ∈ Y },

f (A2) = {hy, f (µA2)(y), f−(γA2)(y)i : y ∈ Y }

Với mỗi y ∈ Y , nếu f−1(y) = ∅ thì

(f) Chứng minh tương tự (e).

(g) Ta có f (∪Ai) = f (hx, ∨µAi, ∧γAii) = hy, f (∨µAi), f−(∧γAi) với mỗi

µA1(x)}

= supi

supx∈f −1 (y)

µAi(x) = ∨f (µAi)(y), và

f (Ai) = ∩hy, f (µAi), f−(γAi)i = hy, ∧f (µAi), ∨f−(γAi)i.

Nếu f−1(y) = ∅ thì f (∧µAi)(y) = 0, (∧f (γAi)(y) = 0 Tương tự

infi∈JµAi(x),

∧f (µAi)(y) = inf

i∈J{f (µAi)(x)} = inf

i∈J supx∈f −1 (y)

i∈J supx∈f −1 (y)

µA1(x)

Nên sup

x∈f −1 (y)

infi∈JµAi(x) ≤ inf

i∈J supx∈f −1 (y)

và f (A) = f (hx, µA, γAi) = hy, f (µA), f−(γA)i = hy, f−(γA), f (µA)i

Theo giả thiết f là ánh xạ lên suy ra f (A) ⊆ f (A)

(n) Chứng minh tương tự (m)

1.3 KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

1.3.1 Định nghĩa Một tôpô mờ trực giác (viết tắt là IF T ) trên tập Xkhác rỗng là một họ τ gồm các IF S trong X thỏa mãn 3 tiên đề sau

(T1) 0∼, 1∼ ∈ τ ;

(T2) G1 ∩ G2 ∈ τ với mọi G1, G2 ∈ τ ;

(T3) ∪ Gi ∈ τ, với họ tuỳ ý {Gi : i ∈ J } ⊆ τ

Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô mờ trực giác (viết tắt

là IF T S) và mỗi IF S trong τ được gọi là một tập mở mờ trực giác trong X(viết tắt là IF OS)

1.3.2 Ví dụ Cho tập X = {a, b, c} Trước hết ta ký hiệu IFS

A = hx, µA, γAi =

x,

a

a

B =

x,

a

a

a

a

a

a

Chứng minh Ta thử các điều kiện của IF T

(T1) Rõ ràng 0∼, 1∼ ∈ τ

, n+12n+2

!

, 11n+2

, 21n+3

[ ]G2 = hx, µG2, 1 − µG2i

Suy ra [ ] G1 ∩ [ ]G2 = hx, µG1 ∧ µG2, (1 − µG1) ∨ (1 − µG2)i

(b) Chứng minh tương tự (a).

1.3.5 Định nghĩa Giả sử (X, τ1), (X, τ2) là hai IF T S trên X Khi đó

ta nói τ1 bị chứa trong τ2 (ký hiệu τ1 ⊆ τ2) nếu với mỗi G ∈ τ1 thì G ∈ τ2.Trong trường hợp này chúng ta cũng nói τ1 yếu hơn τ2

1.3.6 Định nghĩa Một không gian tôpô mờ trực giác theo nghĩa củaLowen là một cặp (X, τ ), trong đó (X, τ ) là một IF T S và một IF S có dạng

Cα,β = {hx, α, βi : x ∈ X} với α, β ∈ [0, 1] là tuỳ ý sao cho α +β ≤ 1 thuộc τ 1.3.7 Định nghĩa Phần bù A của một IF OS A trong một IF T S(X, τ )được gọi là tập đóng mờ trực giác trong X (viết tắt là IF CS)

1.3.8 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) là một IF T S và A = hx, µA, γAi là một

IF S trong X Khi đó bao đóng mờ và phần trong mờ của A được xác định bởi

cl(A) = ∩ {K : K là IF CS trong X và A⊆K},int(A) = ∪ {G : G là IF OS trong X và G⊆A}

Nhận xét (a) Ta có thể chỉ ra rằng cl(A) là một IF CS và int(A) là một

IF OS trong X

(b) A là một IF CS trong X khi và chỉ khi cl(A) = A;

(c) A là một IF OS trong X khi và chỉ khi int(A) = A

1.3.9 Ví dụ Cho tập X = {a, b, c} và

A =

x,

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Ac =

x,

a

a

a

a

a

a

a

a

D

x,

a 0,55,0,55b ,0,45c

,

a 0,3, 0,4b , 0,3c

Ethì chỉ có IF CS 1∼ thỏa mãn

F ⊆ 1∼ suy ra clF = 1∼

Trong các tập 0∼, 1∼, A, B, C, D thì 0∼ ⊆ F, D ⊆ F suy ra intF = 0∼∩ D

do đó intF = D =

Dx,

a 0,4, 0,5b , 0,2c

,

a 0,5,0,4b ,0,4c

E

1.3.10 Mệnh đề Với mỗi IF S A trong IF T S(X, τ ) ta có

(a) cl(A) = int(A);

(b) int(A) = cl(A)

Chứng minh (a) Xét A = hx, µA, γAi Giả sử họ của các IF OS bị chứatrong A và đánh số bởi họ {hx, µGi, γGii : i ∈ J} Khi đó intA = hx, ∨µGi, ∧γGii

do đó int(A) = hx, ∧γGi, ∨µGii Từ A = hx, γA, µAi và µGi ≤ µA, γGi ≥ γA,với mỗi i ∈ J ta thu được {hx, γGi, µGii : i ∈ J} là họ IF CS chứa A, nghĩa

là cl(A) = hx, ∧γGi, ∨µGii Do đó cl(A) = int(A)

(b) Chứng minh tương tự (a)

(b) Ta có A ⊆ ∩{K : A ⊆ K, K là IF CS} = clA suy ra A ⊆ clA

(c) Từ giả thiết A ⊆ B suy ra intA ⊆ B Do đó intA ⊆ intB

(d) Từ A ⊆ B suy ra A ⊆ clB Vậy clA ⊆ clB

(e) Vì intA là IF OS nên int(intA) = intA.

(f) Chứng minh tương tự (e)

(g) Từ int(A ∩ B) ⊆ intA và int(A ∩ B) ⊆ intB, ta có

int(A ∩ B) ⊆ int(A) ∩ int(B)

Mặt khác, từ int(A) ⊆ A, int(B) ⊆ B suy ra

int(A) ∩ int(B) ⊆ A ∩ B và int(A) ∩ int(B) ∈ τ

Ta thấy rằng int(A) ∩ int(B) ⊆ int(A ∩ B), từ đó suy ra

int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B)

(h) Ta có từ A ⊆ A ∪ B suy ra clA ⊆ cl(A ∪ B) Tương tự từ B ⊆ A ∪ Bsuy ra clB ⊆ cl(A ∪ B) Do đó clA ∪ clB ⊆ cl(A ∪ B)

Mặt khác, từ A ⊆ clA và B ⊆ clB suy ra A∪B ⊆ clA ⊆ clB Mà clA∪clB

là IF CS nên ta có cl(A ∪ B) ⊆ clA ∪ clB

(i) Do 1∼ là IF OS suy ra int1∼ = 1∼

(j) Do 0∼ là IF CS nên ta có int0∼ = 0∼

1.3.12 Định nghĩa Giả sử (X, τ ), (Y, Φ) là hai IF T S và f : X−→Y làmột ánh xạ từ X vào Y Khi đó f được gọi là liên tục mờ nếu tạo ảnh củamỗi IF S trong Φ là một IF S trong τ

1.3.13 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) và (Y, Φ) là hai IF T S và f : X−→Y

là một ánh xạ từ X vào Y Khi đó f được gọi là ánh xạ mở mờ nếu ảnh củamỗi IF OS trong τ là một IF OS trong Φ

1.3.14 Ví dụ Giả sử (X, τ ) là một IF T S theo nghĩa của Lowen, (Y, Φ)

là một IF T S và c0 ∈ Y Khi đó ánh xạ hằng c : X−→Y, c(x) = c0 với mọi

x ∈ Y là liên tục mờ

1.3.15 Mệnh đề Ánh xạ f : (X, τ )−→(Y, Φ) là liên tục mờ khi và chỉkhi tạo ảnh của mỗi IF CS trong Φ là một IF CS trong τ

Chứng minh Suy từ Hệ quả 1.2.11.

1.3.16 Định nghĩa (a) Cho X là một tập không rỗng và c ∈ X là phần

tử cố định trong X Nếu α ∈ [0, 1], β ∈ [0, 1] là hai số thực không đổi thoảmãn α + β < 1, thì IF S c(α, β) = hx, cα, 1 − c1−βi được gọi là một điểm mờtrực giác, ký hiệu là IF P trong X, trong đó cα, c1−β là các điểm mờ trong

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

2.1 TÍNH COMPACT MỜ TRỰC GIÁC

2.1.1 Định nghĩa Cho (X, τ ) là một IF T S

(a) Họ {hx, µGi, γGii : i ∈ J} các IF OS trong X được gọi là một phủ mở

mờ của X nếu ∪ {hx, µGi, γGii : i ∈ J} = 1∼

Một họ con hữu hạn của phủ mờ mở {hx, µGi, γGii : i ∈ J} của X đồng thời

là một phủ mờ mở của X được gọi là một phủ con hữu hạn của {hx, µGi, γGii :

2.1.2 Định nghĩa Một IF T S (X, τ ) được gọi là compact mờ nếu mỗiphủ mở mờ của X có một phủ con hữu hạn

1.3 Ví dụ Cho tập X = {1, 2} và các IF S Gn, n ∈ N+ như sau

Gn =

*

x, 1nn+1

, n+12n+2

!

, 11n+2

, 21n+3

2.1.4 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) là một IF T S Khi đó (X, τ ) là compact

mờ khi và chỉ khi IF T S (X, τ0,1) là compact mờ

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) là compact mờ và xét một phủ

mở mờ {[ ]Gj : j ∈ K} của X trong (X, τ0,1), do đó ∪([ ]Gj) = 1∼ Suy ra

∨µG1 = 1 và γGj ≤ 1 − µGj Vì vậy ta thu được ∧γGj ≤ 1 − ∨µGj = 1 − 1 = 0.Điều này kéo theo ∧γGj = 0 Do đó ta thu được ∨Gj = 1∼ Từ giả thiết(X, τ ) là compact mờ nên tồn tại G1, G2, , Gn thỏa mãn

n[

i=1

Gi = 1∼, từ

đó thu được

n_

Điều kiện đủ Giả sử (X, τ0,1) là compact mờ và xét một phủ mở mờ{Gj : j ∈ K} của X trong (X, τ ) suy ra ∪Gj = 1∼ ta thu được ∨µGj = 1 và

suy ra 1 =

n_

i=1

Gi = 1∼.Vậy (X, τ ) là compact mờ

2.1.5 Hệ quả Một IF T S (X, τ ) là compact mờ khi và chỉ khi mỗi một

họ {hx, µki, γkii : i ∈ J} các IF CS trong X thỏa mãn F IP thì

∩{hx, µki, γkii : i ∈ J} 6= 0∼

2.1.6 Hệ quả Giả sử (X, τ ), (Y, Φ) là các IF T S và f : X−→Y là mộtánh xạ liên tục mờ từ X lên Y Khi đó, nếu (X, τ ) là compact mờ thì (Y, Φ)cũng là compact mờ

2.1.7 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) là một IF T S và A là một IF S trong