Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của không gian metric xác suất

Có thể nói một trong những hướng đi đột phá vàthành công đầu tiên theo cách làm nói trên thuộc về nhà toán học Ba Lan, Banachkhi nghiên cứu những không gian trong giải tích vừa thỏa mãn

Mục lục

1.1 Đại số và σ-đại số tập hợp 7

1.1.1 Đại số tập hợp 7

1.1.2 σ-đại số tập hợp 8

1.2 Độ đo trên đại số tập hợp 8

1.2.1 Hàm tập hợp 8

1.2.2 Độ đo trên đại số tập hợp 9

1.2.3 Độ đo ngoài 9

1.2.4 Độ đo đủ 10

1.3 Hàm đo được 10

1.4 Không gian mêtric 10

1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn 11

1.5.1 Không gian tuyến tính 11

1.5.2 Không gian tuyến tính định chuẩn 11

1.6 Đại lượng ngẫu nhiên và hàm mật độ 13

2 ĐỘ ĐO THỰC 15 2.1 Khái niệm độ đo thực 15

2.2 Khai triển Hahn 17

2.3 Khai triển Jordan 21

3 KHAI TRIỂN ĐỘ ĐO 27

3.1 Tính duy nhất của khai triển Jordan 27

3.2 Một số kết quả về khác về phân tích độ đo 31

4 KHOẢNG CÁCH XÁC SUẤT 33 4.1 Khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger 33

4.1.1 Khoảng cách biến phân toàn phần 33

4.1.2 Khoảng cách Hellinger 40

4.2 Mối quan hệ giữa khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger 44

4.3 Một số ví dụ 44

4.4 Các khoảng cách xác suất khác 47

4.4.1 Khoảng cách Prokhorov 48

4.4.2 Khoảng cách Kantorovich 48

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng, người đã địnhhướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em về tài liệu nghiên cứucũng như động viên em có nghị lực hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy

cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Giải tích,các bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viêncủa quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luậnnày Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báunói trên

Sơn La, tháng 5 năm 2016.Người thực hiện

Sinh viên: Lường Văn Văn

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Chúng ta đều biết rằng lý thuyết độ đo nói chung, lý thuyết xác suất nói riêng

và lý thuyết không gian metric là hai ngành hẹp trong giải tích toán học cùng vớinhiều chuyên ngành toán học khác Ngày nay với sự phát triển sâu rộng của cácngành nội tại trong toán học đã thu được nhiều kết quả sâu sắc Tuy vậy mộthướng nghiên cứu cũng được quan tâm không kém đó là cùng một đối tượng (toánhọc) chúng ta dùng nhiều phương tiện và phương pháp khác nhau trong toán họcđồng thời nghiên cứu chúng Có thể nói một trong những hướng đi đột phá vàthành công đầu tiên theo cách làm nói trên thuộc về nhà toán học Ba Lan, Banachkhi nghiên cứu những không gian (trong giải tích) vừa thỏa mãn các giả thiết củakhông gian tuyến tính (trong đại số) Gần đây, các nhà toán học cũng đã bắt đầuquan tâm tới việc nghiên cứu lý thuyết độ đo (trên không gian đo) trên không gianmetric Điều thuận lợi là chúng ta có thể sử dụng các công cụ, kết quả tổng quáttrên hai không gian này

Sự ra đời của của lý thuyết độ đo trên không gian metric có thể nói lần đầutiên cho bởi các nghiên cứu của các nhà toán học người Pháp M R Fortet, E.Mounier và Prokhorov vào những năm 50-60 của thế kỉ trước Ở đó, lần đầu tiên,việc nghiên cứu lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên được nhìn nhận là nghiên cứu

lý thuyết xác suất của các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metricnào đó Từ đó đến nay, lý thuyết độ đo nói chung và lý thuyết xác suất nói riêngtrên không gian metric được phát triển mạnh mẽ với nhiều bài toán lớn được đặt

ra và được giải quyết, tuy vậy còn rất nhiều câu hỏi chưa có lời giải đáp, cần đượctiếp tục quan tâm nghiên cứu Ngày nay, có thể nói lý thuyết nói trên đã pháttriển tương đối hoàn thiện, dòng lý thuyết này còn có thể nhìn nhận như giải tíchhàm trong môi trường ngẫu nhiên Nó nằm trong ranh giới của giải tích hàm, lýthuyết xác suất, lý thuyết độ đo - tích phân và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên.Trong chương trình của ngành đại học sư phạm toán tại Khoa Toán - Lý - Tin,Trường Đại học Tây Bắc, sinh viên được nghiên cứu hai học phần độ đo (sau đó là

lý thuyết xác suất) và không gian metric một cách hoàn toàn độc lập với nhau Lẽ

dĩ nhiên là với thời lượng cho phép đó cùng với lượng kiến thức phong phú của bộmôn việc học tập và nghiên cứu là rất khó khăn Vì vậy nhằm nâng cao hiệu quả

học tập thông qua việc tìm hiểu sâu hơn một chủ đề lý thuyết với thực tiễn quanội dung bộ môn, tôi chọn đề tài ”Bước đầu nghiên cứu một số tính chất củakhông gian metric xác suất” để tìm hiểu và nghiên cứu Nhằm hệ thống mộtcách tường minh, mạch lạc và cơ bản về lý thuyết độ đo trên không gian metric,qua đó nêu lên một vài ứng dụng của lý thuyết này trong thực tiễn.

2 Mục đích nghiên cứu của khóa luận

Khóa luận nghiên cứu nhằm đạt được các mục đích sau đây:

- Trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết không gian metric, không gianđịnh chuẩn, không gian đo;

- Trình bày cơ sở về độ đo thực và các vấn đề liên quan;

- Trình bày sơ lược các kết quả cơ bản về lý thuyết độ đo trên không gianmetric;

- Tìm hiểu và trình bày lại các vấn đề kiến thức có liên quan một cách có hệthống và logic

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các khái niệm, tính chất và kết quả cơ bản về không gian metric và khônggian đo;

- Độ đo thực và khoảng cách trên không gian metric;

- Khoảng cách xác suất trên không gian metric;

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơbản với công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành giải tích

- Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn và bộ môn

4 Cấu trúc của khóa luận

Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của khóa luận được sắp xếp như sau:Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đềtài gồm bốn chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Hệ thống cơ bản các nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu nội dungchính của khóa luận trong chương 1 như: Lý thuyết độ đo, hàm đo được Tiếp đótôi trình bày một số kiến thức cơ sở của không gian metric, không gian tuyến tínhđịnh chuẩn Cuối cùng trong chương 1, tôi dành cho việc trình bày một số kiến

thức cơ bản về đại lượng ngẫu nhiên và hàm mật độ.

Chương 2 Độ đo thực

Chúng tôi trình bày thêm một khái niệm mới là độ đo thực Ngoài ra trongchương này tôi còn trình bày thêm khai triển Hahn và khai triển Jordan

Chương 3 Khai triển độ đo

Từ Chương 1 tôi đưa ra một số kết quả nhận được Trong đó quan trọng nhất

là tính duy nhất của khai triển Jordan

Chương 4 Khoảng cách xác suất

Đây là chương quan trọng nhất của khóa luận Trong chương này, tôi đã bướcđầu nghiên cứu về các khoảng cách xác suất, bao gồm khoảng cách biến phân toànphần, khoảng cách Hellinger và mối liên hệ giữa chúng Cuối khóa luận tôi còntrình bày thêm một số khoảng cách khác, như khoảng cách Prokhorov, khoảngcách Kantorovich

5 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận đã trình bày một số kết quả nhất định trong việc nghiên cứu một

số khoảng cách xác suất, như khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cáchHellinger Ngoài ra khóa luận còn hệ thống các kiến thức cơ bản về độ đo, độ đothực và một số kết quả khác có liên quan Khóa luận có thể sẽ là tài liệu thamkhảo hữu ích cho các bạn sinh viên quan tâm đến vấn đề nghiên cứu của khóaluận

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về đại số, độ đo vàcác không gian metric, không gian tuyến tính định chuẩn, làm cơ sở cho nhữngnghiên cứu của các chương sau

Ngoài ra ta còn có thể kiểm tra C là đại số các tập con của X dựa vào bổ đề sau

Bổ đề 1.2 C là một đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu C thỏa mãn các điềukiện sau:

a) X ∈ C.

b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C.

c) Nếu A, B ∈ C thì A ∩ B ∈ C.

1.1.2 σ-đại số tập hợp

Định nghĩa 1.3 Cho X là tập tùy ý khác rỗng Một họ F các tập con của X

được gọi là một σ-đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:

Ta cũng có thể kiểm tra F là σ- một đại số các tập con của X dựa vào bổ đề sau

Bổ đề 1.4 F là σ- một đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu F thỏa mãn cácđiều kiện sau:

∀A, B ∈ C, A ∩ B =∅⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).

ii) µ được gọi là có tính chất σ- cộng tính nếu ∀{An}n∈N∗ ⊂ C sao cho

1.2.2 Độ đo trên đại số tập hợp

Định nghĩa 1.6 Một hàm tậpµ trên đại sốC- các tập con của X Khi đóµ đượcgọi là một độ đo nếu:

(i) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C.

Bây giờ ta sẽ tìm cách mở rộng mọi độ đo trên một đại số tới một độ đo trên

σ- đại số bao hàm σ- đại số sinh bởi đại số đã cho

Định lý 1.8 Nếu m là một độ đo trên đại số C các tập con của tập X, thì hàmtập hợp µ∗ xác định xác định trên P(X) bởi công thức:

là một độ đo ngoài trên X và µ∗(A) = m(A)với mọi A ∈ C Hơn nữa, mọi tập thuộc

σ- đại số F (C) sinh bởi C đều là µ∗- đo được

a) Với mỗi  > 0 đều tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗(G \ A) < .

b) Với mỗi  > 0 đều tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗(A \ F ) < .

Trong đó µ∗ là độ đo ngoài xác định bởi độ đo m cảm sinh độ đo µ

1.3 Hàm đo được

Định nghĩa 1.11 Cho(X, F , µ)là không gian đo, lấyA ∈ F Ta nói rằngf : A →R

là hàm đo được trên A nếu

1.4 Không gian mêtric

Định nghĩa 1.13 Cho tập X 6=∅ Ta gọi hàm số thực:

ρ : X × X → R(x, y) 7→ ρ(x, y)

là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau:

1 ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y với mọi x, y ∈ X.

2 ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X

3 ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Cặp (X, ρ), với ρ là metric trên X được gọi là một không gian metric

1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn

1.5.1 Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.14 Ta nói X là một không gian tuyến tính trên trường số K(thường xét K = R hoặc C), nếu với mọi x, y ∈ X xác định hai phép toán: cộngvéctơ x + y và nhân véctơ với một số thuộc trường K: αx, thỏa mãn các tiên đềsau:

(∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈K).

d) Tồn tại phần tử không:∃θ ∈ X, ∀x ∈ X : x + θ = θ + x = x.

e) Tồn tại phần tử đối: ∀x ∈ X, ∃(−x) ∈ X : x + (−x) = θ

f) 1.x = x

Phần tử không và phần tử đối là duy nhất

1.5.2 Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.15 Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là mộtchuẩn trên E nếuρ thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ρ(x) > 0 với mọi x ∈ E và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0,

2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) với mọi λ ∈K và với mọi x ∈ E,

3) ρ(x + y)6ρ(x) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E

Khi ρ thỏa mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’)

ρ(x)>0 với mọi x ∈ E, thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E

Định nghĩa 1.16 Không gian vectorE cùng với chuẩnρxác định trênE được gọi

là một không gian tuyến tính định chuẩn Một không gian tuyến tính định chuẩnthường gọi ngắn gọn là không gian định chuẩn

KhiE là không gian định chuẩn với chuẩnρ thì với mỗix ∈ E ta viết ρ(x) = kxk

và gọi số kxk là chuẩn của vector x

Định nghĩa 1.17 Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gianBanach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metricđầy

Định nghĩa 1.18 Tập con X trong không gian định chuẩn E được gọi là:

Chứng minh Thật vậy, rõ ràng F 6=∅ Cho x, y ∈ F , α, β ∈K Khi đó, tồn tại các

dãy {x n } ⊂ F, {y n } ⊂ F để x n → x, y n → y Suy ra dãy {αx n + βy n } là dãy phần tửcủa F hội tụ đến αx + βy nên αx + βy ∈ F

Định lý 1.20 Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn E.Khi đó f liên tục khi và chỉ khi ker f là không gian con đóng của E

Chứng minh Điều kiện là tầm thường Ngược lại, giả sử ker f là đóng Vì f 6= 0

nên tồn tại e ∈ E sao cho f (e) = 1 Do ker f là đóng và e / ∈ ker f, tồn tại r > 0 để

B(e, r) ∩ ker f =∅, ở đây B(e, r)z = {x ∈ E :k x − c k< r} = e + B(0, r) Khi đó

Định nghĩa 1.21 Cho E, F là các không gian định chuẩn trên trường K Khi đó

E, F vừa là không gian vector vừa là không gian metric sinh bởi chuẩn trên E, E

Định nghĩa 1.22 Cho X là một không gian tuyến tính Ta nói X là không giantuyến tính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số, gọi là chuẩn của x (kíhiệu kxk) thỏa mãn ba tiên đề sau:

1) Xác định dương: ∀x ∈ X : kxk ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.2) Thuần nhất dương ∀x ∈ X; ∀λ ∈R: kλxk = |λ|kxk

Nếu X xác định trên trường C thì |λ| là mođun của số phức λ ∈C.

3) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X : kx + yk ≤ kxk + kyk

Mọi không gian tuyến tính định chuẩn(X, k.k)là không gian metric với khoảngcách được xác định như sau:

∀x, y ∈ X d(x, y) := kx − yk.

1.6 Đại lượng ngẫu nhiên và hàm mật độ

Định nghĩa 1.23 Giả sử (Ω, X, F )là một không gian đo Ta nói hàm X xác địnhtrên không gian biến cố sơ cấp Ωvà nhận giá trị trong R(R= (−∞, +∞)) được gọi

là đại lượng ngẫu nhiên nếu với mọi x ∈R, tập hợp [ω : X(ω) < x] ∈ F, ω ∈ Ω

Định nghĩa 1.24 Gọi F (x) = P [ω : X(ω) < x], x ∈ R, là hàm phân phối của đại

lượng ngẫu nhiên X

Định nghĩa 1.25 Hàm phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên k−chiều X(ω)

Chương 2

ĐỘ ĐO THỰC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một khái niệm mới (khác với độ đo) đó là

độ đo thực Từ đó, chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan tới độ đo thực,đặc biệt là các kết quả liên quan tới khai triển Hahn và khai triển Jordan đối vớicác độ đo thực Từ đó làm cơ sở cho những kết quả về độ đo xác suất trong cácchương sau

2.1 Khái niệm độ đo thực

Định nghĩa 2.1 Cho không gian đo được (X, A)trong đó X là tập hợp tùy ý chotrước, A là một σ- đại số các tập con của X, ánh xạ ϕ : A →R được gọi là một độ

đo thực hay độ đo suy rộng (độ đo dấu) nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:

Với mọi dãy {An}∞n=1 ⊂ A, An∩ Am =∅, n 6= m ta có

n→∞ nϕ(∅) ∈R Suy ra ϕ(∅) = 0

(ii) ϕ là một độ đo thực thì ϕcó tính chất cộng tính hữu hạn

(iii) Nếu A, B ∈ A, A ⊂ B thì ϕ(B\A) = ϕ(B) − ϕ(A)

(iv) Độ đo xét trước đây có thể không phải là một độ đo thực vì nó có thể bằng

+∞

Định nghĩa 2.3 Một tập E ⊂ X được gọi là dương nếu E ∈ A và nếu mọi

A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không âm Tương tự tập E ⊂ X được gọi là tập âmnếu E ∈ A và nếu mọi A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không dương Một tập E ⊂ X

đồng thời dương và âm được gọi là tập không

Mệnh đề 2.4 Mọi tập con đo được của một tập con dương của X là một tập condương; hợp của một họ đếm được những tập con dương của X là một tập dương.Chứng minh Phần đầu của mệnh đề là hiển nhiên, để chứng minh phần sau tagiả sử E =

Bằng cách lập luận tương tự ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.5 Mọi tập con đo được của một tập con âm của X là một tập âm.Hợp của một họ đếm được những tập con âm của X là một tập âm

Mệnh đề 2.6 Mọi tập con đo được E của X mà ϕ(E) < 0, đều chứa một tập con

âm D với ϕ(D) < 0

Chứng minh Nếu E là một tập con âm thì ta lấy D = E và mệnh đề được chứngminh Ngược lại E chứa những tập con có độ đo dương Gọi n1 là số tự nhiên nhỏnhất sao cho tồn tại một tập con đo được E1 của E với

ϕ(E1) > 1

n1

do đó

ϕ(E \ E 1 ) = ϕ(E) − ϕ(E 1 ) < 0.

Nếu E \ E1 là một tập âm thì ta lấy D = E \ E1 và mệnh đề được chứng minh

Trong trường hợp ngược lại E \ E1 chứa các tập con có độ đo dương Gọi n2 là số

tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập con đo được E2 của E với

ϕ(E2) > 1

n2,

ta thấy ϕ(E2) và ϕ(E \ (E1∪ E2)) ∈R nên

ϕ(E \ (E1∪ E2)) = ϕ(E) − ϕ(E1) − ϕ(E2) < 0.

Tiếp tục quá trình này ta sẽ được hoặc một tập con âm DcủaE vớiϕ(D) < 0hoặcmột dãy {n i }∞i=1 những số tự nhiên và một dãy {E i }∞i=1 những tập con đo được rờinhau của E với

2.2 Khai triển Hahn

Định lý 2.7 (Định lí phân tích Hahn) Giả sử ϕ là một độ đo thực trên σ-đại số

A của không gian X Khi đó tồn tại một tập con dương P và một tập con âm Q

của X đối với ϕ sao cho

X = P ∪ Q; P ∩ Q =∅

Chứng minh Ta xem F là họ tất cả các tập con âm của X và đặt λ = inf

E∈F ϕ(E).Khi đó tồn tại dãy {En}∞n=1⊂ F sao cho lim

n→+∞ ϕ(En) = λ.Gọi Q =

∞

S

n=1

En theo mệnh đề trên thì Q là một tập con âm của X vì vậy ta có

ϕ(Q) ≥ λ Mặt khác xem tập con Q \ E n của Q, vì Q là tập âm nên ϕ(Q \ E n ) ≤ 0

do đó

ϕ(Q) = ϕ(En) + ϕ(Q \ En) ≤ ϕ(En),

điều này đúng với mọi n ∈ N nên ta phải có ϕ(Q) ≤ λ Vậy ϕ(Q) = λ ≤ 0

Ta hãy chứng minh P = X \ Q là tập dương Giả sử P không phải là tập dương,khi đó theo định nghĩa tồn tại một tập con đo được E của P với ϕ(E) < 0 suy ra

E chứa một tập con âm D của X với ϕ(D) < 0, vìD và Q là những tập con âm rờinhau của X nên D ∪ Q là một tập âm, hơn nữa

λ ≤ ϕ(D ∪ Q) = ϕ(D) + ϕ(Q) = ϕ(D) + λ

thành thử ϕ(D) ≥ 0 mâu thuẫn với điều kiện ϕ(D) < 0 Do đó ta có điều phảichứng minh

Nhận xét 2.8 Cặp {P, Q}trong định lí trên được gọi là một khai triển Hahn của

X đối với độ đo thực, dễ dàng thấy rằng khai triển Hahn nói chung không phải làduy nhất vì ta có thể chuyển một tập con không, không rỗng từ thành phần nàysang thành phần kia mà không ảnh hưởng đến sự phân tích Chẳng hạn giả sử A

là tập con không của P khi đó ta có

(P \ A) ∪ (P ∪ Q) = X; (P \ A) ∩ (A ∪ Q) =∅

và

ϕ(P \ A) = ϕ(P ) + ϕ(A) = ϕ(P ) ≥ 0 ϕ(Q ∪ A) = ϕ(A) + ϕ(Q) = ϕ(Q) ≤ 0

Hơn nữa với mọi B ∈ A, B ⊂ (P \ A) thì B ⊂ P do đó ϕ(B) ≥ 0 (P là tập dương).Với mọi B ∈ A, B ⊂ (A ∪ Q) thì B = B ∩ (A ∪ Q) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Q) do đó

ϕ(B) = ϕ(B ∩ A) = ϕ(B ∩ Q) = ϕ(B ∩ A) ≤ 0.

Định lý 2.9 Giả sử {P, Q} và {P0, Q0} là hai phân tích Hahn của X đối với cùngmột độ đo thực ϕ : A →R. Khi đó ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P0); ϕ(E ∩ Q) = ϕ(E ∩ Q0)

Do đó ϕ(E ∩ (P \ P0)) = 0 Tương tự ϕ(E ∩ (P0\ P )) = 0 Từ đây ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ{E ∩ (P ∩ P0)} + ϕ{E ∩ (P \ P0)} = ϕ{E ∩ (P ∩ P0)}

ϕ(E ∩ P0) = ϕ{E ∩ (P ∩ P0)} + ϕ{E ∩ (P0\ P )} = ϕ{E ∩ (P ∩ P0)}.

Như vậy ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P0)

Tương tự ta cũng có được

ϕ(E ∩ Q) = ϕ(E ∩ Q0).

Ta đi xây dựng các hàm sau:

Định nghĩa 2.10 Với một độ đo thựcϕ : A →R tùy ý, từ khai triển Hahn và định

lí trên ta xây dựng được ba hàm xác định một cách duy nhất ϕ+, ϕ−, |ϕ| : A →R

ϕ(E) = ϕ+(E) − ϕ−(E), ∀E ∈ A.

Định nghĩa 2.12 Choϕlà một độ đo thực trên A Ta nói rằng độ đoϕtập trungtrên tập A0 ∈ A nếu ϕ(E) = 0 với ∀E ∈ A, E ⊂ (X \ A0)

Hai độ đo thực ϕ1, ϕ2 được gọi là kì dị đối với nhau nếu chúng tập trung trên cáctập rời nhau Khi đó ta viết ϕ1 ⊥ ϕ2

2.3 Khai triển Jordan

Định lý 2.13 Cho ϕ là một độ đo thực trên A và A ∈ A Ta đặt V (ϕ, A) =

NếuV (ϕ, A) = +∞ta đặtAk+1 = Angược lại nếuV (ϕ, A) < ∞ta đặtAk+1 = Ak\A.Khi đó ta có V (ϕ, Ak\ A) = +∞ thật vậy nếu ngược lạiV (ϕ, Ak\ A) < +∞thì ta có

Nhận xét 2.14 Số V (ϕ, A) được gọi là biến phân toàn phần của ϕ trên A; còn

V (ϕ, A), V (ϕ, A) tương ứng là biến phân dương và biến phân âm của ϕ trên A Tathấy rằng V (ϕ, A) ≥ 0 ≥ V (ϕ, A), V (ϕ, A) ≥ 0

Định lý 2.15 (Khai triển Jordan) Giả sử ϕ là một độ đo thực, khi đó biến phântoàn phần V (ϕ, A), biến phân dương V (ϕ, A) và biến phân âm V (ϕ, A) là σ-cộngtính trên A Ngoài ra ta có khai triển Jordan như sau:

ϕ(A) = V (ϕ, A) + V (ϕ, A), ∀A ∈ A. (*)

Chứng minh Giả sử {An}∞n=1 ⊂ A là dãy các tập rời nhau từng đôi một Với bất

A 1 ⊂A,A 1 ∈A ϕ(A 1 ) ≥ inf

A 1 ⊂X,A 1 ∈A ϕ(A 1 )