Một số tính chất của độ đo xác suất

Lời nói đầu“độ đo xác suất“ đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết xác Phần IV : Trình bày một số tính chất của các biến cố và ε - độc lập.. Khoá luận đợc thực hiện và

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

∗∗∗∗∗∗∗∗ trờng đại học vinh

Vinh – 5/2005

Môc lôc

Trang Lêi nãi ®Çu 3

PhÇn I : c¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ 4

PhÇn II : mét sè tÝnh chÊt cña 11 c¸c biÕn cè

Lời nói đầu

“độ đo xác suất“ đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết xác

Phần IV : Trình bày một số tính chất của các biến cố và ε - độc lập

Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh với sựhớng dẫn nhiệt tình và chu đáo của Thầy giáo,PGS Tiến sĩ : Nguyễn VănQuảng và những góp ý của các thầy giáo thuộc tổ điều khiển cùng toàn thể cácthầy cô giáo trong khoa

ác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hớng dẫn,các thầ giáotrongtổ XSTK và toán ứng dụng cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoatoán,gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập vàhoàn thành khoá luận này

Do thời gian và khả năng có hạn của tác giả, khoá luận không tránhkhỏi những thiếu sót mong đợc sự góp ý và sự thông cảm của ngời đọc

Vinh, tháng 5 năm 2005

Tác giả

Phần I : Các kiến thức chuẩn bị

1.Đại số

1.1Định nghĩa Giả sử Ω ≠ φ , P(Ω) là tập hợp gồm tất cả các tập con của

Ω Lớp A ⊂ P(Ω) đợc gọi là một đại số nếu :

Giả sử Ω ≠ φ , P(Ω) là tập hợp tất cả các tập con của Ω

Khi đó rõ ràng A = { Ω, ỉ } là một đại số

-Điều kiện c- có thể suy ra từ điều kiện d-

Cặp (Ω , F) trong đó Ω ≠ φ bất kỳ còn F là σ - đại số các tập con của

Ω đợc gọi là không gian đo

Điều kiện cần thoả mãn

Vì theo định nghĩa của lớp đơn điệu ta thấy:

Nếu A là σ - đại số thì A là lớp đơn điệu

Điều kiện đủ :

Giả sử A là lớp đơn điệu Khi đó nếu (A n) ∈ A thì A σ - đại số.

B= lim ↓ B n nếu (B n) giảm và B = ∩n B n

b) Định lý 2 Giả sử A là đại số Khi đó σ - đại số sinh bởi A trùng với lớp

đơn điệu sinh bởi A.

Từ đó nếu ta chứng minh rằng μ là lớp đơn điệu thì μ ≡ m( A)

Giả sử (B n) ⊂ μlà dãy tăng (C n) ⊂ μ là dãy giảm tuỳ ý Khi đó :

B n , B n ,C n , C n ∈ m( A).Do m( A) là lớp đơn điệu nên:

B= limn ↑B n , lim ↑B n = lim↓B n ∈ m( A)

C =limn ↓C n , lim ↓C n =lim↑C n ∈ m( A)

B,C ∈ μ Điều đó cũng đồng nghĩa với μ là lớp đơn điệu

4.1 Định nghĩa 1 Giả sử A ⊂ P(Ω) là một đại số nào đó.Hàm tập hợp P( )

xác định trên A đợc gọi là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính ( Hay cộng tính hữu hạn ) nếu:

P1) P(A) ≥ 0 , A ∈ A

P2) P(Ω) =1

P3) P(A ∪B) = P(A) + P(B) nếu A,B ∈ A và A ∩ B = ỉ

4.2 Định nghĩa 2 Hàm tập hợp P xác định trên đại số A đợc gọi là độ đo xác suất σ - cộng tính nếu :

i

i

A P

4.3 Định lý 3.Giả sử P là một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên đại số

A Khi đó bốn điều kiện sau là tơng đơng :

n

n

A

∩∞=1 = φ thì nlim→∞P(A n) = 0 Chứng minh:

i

B P

1

) ( ; P( i

i

B P

1

) ( = nlim→∞P(A n)

Khi đó, (A n ) là dãy tăng Theo b)

i

A

∩∞=1 ) = nlim→∞P(A n) P( n

i

A

∩∞=1 ) = P(ỉ) =0 = nlim→∞P(A n) Vậy nlim→∞P(A n) = 0

=

n i

i

A P

1

) ( + P(C n)

i

A P

1

) ( <4.3>

4.4 Hệ thức đề Kolmogrov

Giả sử :

a) Ω là tập hợp tuỳ ý gồm các phần tử ω;

b) F là σ - đại số các tập con của Ω;

c) P là độ đo xác suất σ - cộng tính (Hay nói gọn là xác suất trên F ).

Khi đó bộ ba (Ω, F, P) gọi là không gian xác suất

Tập Ω đợc gọi là không gian các biến cố sơ cấp tập A∈ F đợc gọi là biến cố , P(A) là xác suất của biến cố A, P đợc gọi là xác suất trên F.

4.5 Định lý Carathéodory Giả sử Ω là một tập hợp nào đó , A là đại số các tập con của Ω.Giả sử μ 0 là một độ đo xác định trên A ( Nghĩa là μ 0 là một hàm tập hợp không âm, σ - cộng tính trên A )và σ - hữu hạn( nghĩa là

tồn tại dãy (A n) ⊂ A sao cho n

n

A

∪=1 = Ω và μ 0 (A n )<∞,n=1,2,…).Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo μ xác định trên σ(A) Sao cho:

∪

∩∞=1 ∞= = k

k n

A

∪

∩∞=1 ∞=1 = = k

A

∩

∪∞=1 ∞= = k

k n

A

∩

∪∞=1 ∞=1 = = k

Suy ra k

n k n

A

∩

∪=1 = = k

n k n

A

∪

∩∞=1 ∞= = k

n k n

A

∪∞= = A ∪B lim A n = n

A

∩∞= = A ∩B lim A n = n

n

C

∪∞=1 =∪n∞=1 ( A∩ B) = A∩B ⇒ limA n = A ∩ B

II.6 Mệnh đề 6 Giả sử G là σ - đại số sinh bởi các biến cố có xác suất 0 Khi đó G gồm tất cả các biến cố có xác suất 0 hoặc xác suât 1

Chứng minh:

G = { A∈ F : P(A)= 0 hoặc P(A)=1}

Thật vậy muốn chứng minh mệnh đề ta chứng minh G thoả mãn ba điều

kiện sau:

a) G là σ - đại số

b) G chứa các biến cố có xác suất 0.

c) Nếu G, ’⊃{ A ∈ F : P(A)= 0} suy ra G, ’⊃ G Chứng minh:

Giả sử G, ’ là σ - đại số chứa tất cả các biến cố có xác suất 0 Cần chứng

• D chứa các biến cố chứa xác suất 1

• Nếu D ’ làσ - đại số chứa tất cả các biến cố cố có xác suất 1 thì :

D ’ ⊂ D

II.7.Mệnh đề 7 Giả sử có hai dãy biến cố (A n) và (B n) .Khi đó :

a) lim supA n =lim inf A n

b) lim inf A n =lim sup A n

c) lim sup(A n∪B n) =lim supA n ∪ lim supB n

d) lim inf A n B n =lim inf A n ∩ lim inf B n

Chứng minh:

a) Thật vậy lim supA n = k

n k n

A

∪

∩∞=1 ∞= = = k

n k n

A

∩

∪∞=1 ∞= = k

n k n

B

A ∪

∪

∩∞= ∞= = =∩∞= ( ∪∞= )∪( ∪∞= ) 

1 k n k k n k n

B

=(∩∞= ∪∞= ) ∪

1k n k n

1k n k n

B

∪

∩∞= ∞= = =lim supA n∪ lim supB n

Vậy lim sup(A n∪B n) =lim supA n ∪ lim supB n .

d) lim inf A n B n =lim inf (A n∩B n) =

= ( )

1k n k k n

B

∩

∪∞= ∞= = =(∪∞= ∩∞= ) ∩

1k n k n

1k n k n

B

∩

∪∞= ∞= = =lim inf A n ∩ lim inf B n

Vậy lim inf ( A n B n)=lim inf A n ∩ lim inf B n .

II.8 Mệnh đề 8 Giả sử có hai dãy biến cố (A n) và (B n) Khi đó :

lim supA n∩ lim inf B n⊂ lim sup(A n B n) ⊂lim supA n∩lim supB n

B A

∪

1

k k n k n

D = lim inf B n ⊂ lim supB n

Suy ra C∩D ⊂ lim supA n ∩ lim supB n =

= lim sup(A n∩B n) = lim sup (A n B n)

Vậy lim supA n ∩ lim inf B n⊂ lim sup(A n B n) (1)

• lim supA n∩lim supB n = (∩∞= ∪∞= )∩

1 k n k n

1k n k n

B

∪

∩∞= ∞= = = ( )

1

k k n k n

Suy ra : P(B) = P(A ∪ (B\A))

Do A vµ B\A lµ hai biÕn cè xung kh¾c Theo P’3 ta cã :

P(B) = P(A ∪ (B\A)) = P(A) + P(B\A)

Víi A ∩ (B\AB) = φ (do A, B ∈ F).

Theo tÝnh chÊt I.3 ta cã:

P(A ∪B) = P(A ∪ (B\AB)) = P(A) + P(B\AB) (1.5).

Theo tÝnh chÊt I.5 ta cã:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(AB)

Suy ra:

P(A ∪ B) ≤P(A) + P(B)

I.7 TÝnh chÊt 7 NÕu A i1 , ,A ik∈ F th×:

Tính chất này đợc chứng minh bằng quy nạp và kết hợp tính chất 5.

I.8.Tính chất 8 Giả sử (A n ) ⊂ F Khi đó:

k

k n

k n

Ai Ai

P Ak

P

1

1 1

1

)

(

) 1 ( )

B

n

k k n

) ( )

(

n

n n

n P B A

n P A B

( )

) ( )

(

n

n n

n P A A

) ( )

(

n

n n

n P A A

P 

) ( ) ( )

( )

(

n

n n

n n n

1

)

\(

\

n

n n n

n n

A

)

\()

\

(

1 1

1

n n

n n

n n

)

\ ( )

\

(

n

n n n

)

\ ( )

1 1

1 1

) ( ) ( )

\ (

);

( ) ( )

\ (

n

n n

n

n n

n

n n

n

n n

B P A P B

A

P

B P A P B A

1

) ( ) ( )

( )

(

n

n n

n n n

n P B P A P B

A

P(A) P(B) + P(C) - P(BC)= P(A).P(B ∪ C)=

= P(A(B ∪C))= P(AB ∪ AC)

= P(AB) + P(AC) - P(ABC)

Vậy:

P(A) P(B) + P(C) - P(BC)= P(AB) + P(AC) - P(ABC).

II.3 Mệnh đề 3 Giả sử A n là dãy biến cố(A n ) ⊂F

Khi đó: P(lim inf (A n )) ≤ lim inf P(A n ) ≤ lim sup P(A n ) ≤ P(lim sup A n ).

(

) (

lim )

( sup lim )

( inf

lim

) (

lim )

( ) inf

n

n k k

k n

A P

A P

A P A

P A

P

A P A

P A

P(A)P(B) - P(AB) (víi A\AB ⊂B)

= [P(A\AB) + P(AB)]P(B) - P(AB) ≤

lim )

( ) sup

n k n

k

n P A P A A

P

0 )

(

)) (

) (

lim(

) )

((

lim ) (

lim )

+

+

− +

k

k k

m n m

n

n

k

k k

m n

m n

n k

k k

n m

n k k n

A P

A A

A P

A P A

4

1 ) ( ) ( ) (AB −P A P B ≤

P

4

1 ) 2

1 ( ) 2

) (

1 ( ) ( ) (AB −P A P B≤

P

Vậy:

Kết hợp (1) và (2) ta có:

II.6.Mệnh đề 6 Cho không gian xác suất( Ω, F, P) và A, B ∈F

Khi đó : P(A∪ B) P(AB) ≤P(A) P(B).

Chứng minh:

Xét:

P(A ∪B) P(AB) - P(A)P(B) =[P(A) + P(B) - P(AB)]P(AB) - P(A)P(B)=

= P(A)P(AB) + P(B)P(AB) - P 2(AB) - P(A)P(B)

= P(A)(P(AB) - P(B)) + P(AB)(P(B) - P(AB))

= (P(AB) - P(B)) (P(A) -P(AB))

1 ) 2

1 ( ) 2

) ( ) ( ( )

1 ) ( ) (

P

Phần 4: Một số tính chất của các

Biến cố độc lập và ε - độc lập

I Một số tính chất của các biến cố độc lập

1.Định nghĩa Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu :

= P(A) P( B)

P(A B) = P(A) P(B)

Vậy A, B độc lập

II Một số tính chất của ε – độc lập

1 Định nghĩa Giả sử ε- độc lập hai biến cố A, B đợc gọi là hai biến cố

2.3.Mệnh đề 3 Nếu A , B là biến cố thoã mãn P(A) ≤ ε hoặc

P(A) ≥ 1- ε thì A ε - độc lập với moị biến cố B bất kỳ

2.4 Mệnh đề 4 Nếu biến cố A ε - độc lập với chính nó thì hoặc P(A) ≤ ε

hoặc P(A) ≥ 1-2 ε