một số tính chất của độ đo điều hòa trên tập julia đối với ánh xạ tựa đa thức

Một trong những quan tâm của các nhà toán học trong lĩnh vực hệ động lực phức là tìm hiểu về độ đo điều hòa của tập Julia của các các ánh xạ tựa đa thức.. Luận văn trình bày sự tồn tại c

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán – Tin và Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện

để tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép

Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là TS Nguyễn Văn Đông Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những mặt thiếu sót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn

TP Hồ Chí Minh, ngày 4 tháng 10 năm 2013

BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 3.3.1.1 Hình vành khăn hình học……… 32 Hình 3.3.1.2 Các đường cong của Q ………33 n

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu địa phương các ánh xạ chỉnh hình lặp trong lân cận của điểm bất động được phát triển mạnh vào cuối thế kỷ 19 Lĩnh vực này sau đó được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới như Pierre Fatou, Gaston Julia, S Lattes, J.F Ritt,

… Lý thuyết phép lặp của hàm hữu tỉ ( )f z mà đóng vai trò quan trọng là tập Fatou ( )

F f và tập Julia ( )J f , đầu tiên được nghiên cứu bởi Fatou và Julia

Một trong những quan tâm của các nhà toán học trong lĩnh vực hệ động lực phức là tìm hiểu về độ đo điều hòa của tập Julia của các các ánh xạ tựa đa thức

Xét f là ánh xạ tựa đa thức mở rộng Luận văn trình bày sự tồn tại của một độ đo bất biến ergodic tương đương với độ đo điều hòa trên tập Julia ( )J f , đồng thời chỉ ra

rằng độ đo điều hòa này tương đương với độ đo entropy cực đại nếu và chỉ nếu f

tương đương bảo giác với một đa thức Luận văn cũng chứng minh rằng chiều Hausdorff của độ đo điều hòa trên ( )J f nhỏ hơn 1 trừ khi tập Julia là liên thông

Các nội dung chính của luận văn dựa trên hai bài báo [3], [11]

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Độ đo điều hòa trên tập Julia của ánh xạ hữu tỷ

Chương 3: Độ đo điều hòa trên tập Julia của ánh xạ tựa đa thức

C hương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số kiến thức về hệ động lực phức

1.1.1 Ánh xạ tựa đa thức

Định nghĩa 1.1.1.1 Một ánh xạ tựa đa thức bậc d là một bộ ba ( , , ) U V f trong

đó ,U V là các tập con mở của  đẳng cấu với các đĩa, với U compact tương đối

trong V và f U: → là ánh xạ riêng, chỉnh hình bậc d Trong luận văn này ta chỉ V

xét d ≥ 2

Ở đây một ánh xạ :f U → giữa hai không gian tô pô là ánh xạ riêng nếu và chỉ V

nếu tạo ảnh của mọi tập compact trong V là compact trong U Ánh xạ f biến biên của U thành biên của V , hơn thế nữa những điểm gần U ∂ thành những điểm gần V∂

Định nghĩa 1.1.1.2 Cho : 'f U → và : 'U g V → V là các ánh xạ tựa đa thức, trong đó K f,K liên thông g Khi đó f và g được gọi là tương đương ngoài (ký hiệu

Ta nói f và g là tương đương tô pô (ký hiệu f top g ) nếu tồn tại một đồng phôi

ϕ từ một lân cận của K f lên một lân cận của K sao cho g ϕ f =g gần ϕ K f

Nếu ϕ là chỉnh hình ta nói f và g là tương đương bảo giác (ký hiệu f hol g ) Nếu ϕ là tựa bảo giác ta nói f và g là tương đương tựa bảo giác (ký hiệu

qc

f  g)

Ta có f hol g ⇒ f qc g ⇒ f top g

Định nghĩa 1.1.1.5 Cho f là các ánh xạ tựa đa thức bậc d Khi đó f tương đương

bảo giác với một đa thức nếu và chỉ nếu f tương đương ngoài với d

Định lý 1.1.2.3 (Định lý Montel) Cho  là một họ các hàm chỉnh hình trong miền

D⊂  Giả sử tồn tại ba điểm phân biệt , ,a b c∈ sao cho ( ) { , , },f z ∉ a b c ∀ ∈ , khi z D

đó  chuẩn tắc trong D

1.1.3 Tập Fatou, tập Julia, đĩa Siegel

Định nghĩa 1.1.3.1 Cho f là một hàm hữu tỉ Tập Fatou của f , ký hiệu là ( ) F f

là tập con mở lớn nhất của  mà trên đó dãy { }n

f là chuẩn tắc Tập Julia của một hàm hữu tỉ f , ký hiệu là ( ) J f được định nghĩa là phần bù của ( )F f , tức ( ) \ ( )

J f =  F f Hay nói cách khác tập ( )J f chứa tất cả các điểm z∈ mà dãy ∞

{f n( )z } không chuẩn tắc

Định nghĩa 1.1.3.2 Cho :f S → là một tự đồng cấu chỉnh hình, ở đây S là mặt S

Riemann U là một thành phần liên thông của tập Fatou ( )F f Ta nói U là một đĩa

Siegel của f quanh điểm z o nếu tồn tại một đồng phôi chỉnh hình :Uφ → D với D

là đĩa mở đơn vị sao cho sao cho 1 2

Định nghĩa 1.2.2.1 Cho là một tập con compact của  với , D= \K Giả

sử D là miền chính quy (theo nghĩa Dirichlet), Một hàm Green của D là một ánh xạ

D

g D D× → −∞ ∞ sao cho với mỗi ω∈ : D

(a) g D(., )ω điều hòa trên \{ }D ω , và bị chặn bên ngoài mỗi lân cận của ,

(c) g D( , )z ω → khi z0 → , vớiς ς∈ ∂ D gần khắp nơi

(nếu viết ( )f t = g t( )+O(1) khi t→ t0 ta hiểu ( )f t −g t( ) bị chặn với t đủ gần t 0

hoặc t đủ lớn nếu t0 = ∞ )

Định lý 1.2.2.2 (Công thức Poisson – Jensen)

Công thức này được dùng trong tài liệu này chỉ ở trường hợp chính quy và được dùng trong phát biểu sau :

Với U là một miền trên  sao cho U∂ là một hợp hữu hạn của các đường cong

trơn và F là một hàm số giải tích xác định trên lân cận của cl U Khi đó với bất kì

x U∈ ta có

: ( ) 0

w U F w U

1.2.3 Độ đo điều hòa

Định nghĩa 1.2.3.1 Cho miền và ulà hàm điều hòa dưới, /u ≡ −∞ thì tồn tại

duy nhất toán tử u∆ tuyến tính dương trên không gian trên C0∞( )D

0

u φ u φ φ C∞ D

Đối với các miền chính quy D độ đo điều hòa trên K = ∂ (tính tại y ) có thể D

được định nghĩa như sau D( , ) y( ) D( , ) D( , )

Định lý 1.2.3.2 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa dưới)

Cho miền D ⊂  và u∈SH D( ) Khi đó

a Nếu u nhận giá trị cực đại toàn cục trên D thì u const= ;

Định lý 1.2.3.4 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa)

Cho D là tập con mở khác rỗng của  và h là hàm điều hòa trên D

i) Nếu h đạt giá trị cực đại tại điểm nào đó trên D thì h là hàm hằng trên D ii) Nếu h liên tục trên D và h ≤ trên D0 δ thì h ≤ trên D 0

( Bao đóng và biên của D trong định lý này được lấy trong 

1.3 Một số kiến thức về lý thuyết ergodic và lý thuyết độ đo

1.3.1 Ergodic

Định nghĩa 1.3.1.1 Ta gọi ( , , )X  m là không gian xác suất trong đó X là một

tập hợp,  là σ − đại số các tập con của X là một độ đo trên ( , )X  có ( )m X = 1

Định nghĩa 1.3.1.2 Cho (X1,1,m1) và (X2,2,m2) là các không gian xác suất a) Một phép biến đổi T X: 1→ X2 được gọi là đo được nếu 1

Định nghĩa 1.3.1.3 Cho ( , , )X  m là không gian xác suất Phép biến đổi bảo toàn

độ đo :T X → được gọi là ergodic nếu phần tử B của X  thỏa 1

( )

T− B = thì B

( ) 0

m B = (hay ( ) 1m B = )

Định lý 1.3.1.4 Nếu :T X → là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian X

xác suất ( , , )X  m thì các phát biểu sau tương đương:

i) T là ergodic

ii) Chỉ các phần tử B ∈với 1

(( ) ) 0

m T− B ∆ = B là các phần tử mà m B( )=0

hay m B ( ) 1 = (Ở đây ta sử dụng ký hiệu A B∆ =(A B\ ) (∪ B A\ )

iii) Với mọi A ∈mà m A( )> ta có 0

iv) Với mọi A B , ∈mà m A( )>0, m B( )>0 ta có m B ( ∩ T−n(A )) > 0

Định lý 1.3.1.5 Nếu :T X → là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian X

xác suất ( , , )X  m thì các phát biểu sau tương đương:

i) T là ergodic

ii) Nếu f đo được và f T x ( )= f x( ) ∀ ∈x X thì f là hàm hằng h.k.n iii) Nếu f đo được và f T x ( )= f x( ) h.k.n thì f là hàm hằng h.k.n iv) Nếu 2

( )

f ∈L m và f T x ( )= f x( ) ∀ ∈x X thì f là hàm hằng h.k.n v) Nếu 2

( )

f ∈L m và f T x ( )= f x( ) h.k.n thì f là hàm hằng h.k.n

Định lý 1.3.1.6 (Định lý truy hồi PoinCaré)

Cho T X: → là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất ( , , )X X  m

Giả sử E ∈ sao cho ( ) 0 m E > Khi đó tồn tại F E⊂ với ( )m F =m E( )sao cho với

mỗi x F∈ tồn tại dãy n1<n2<  các số tự nhiên với ( )n3 n i

T x ∈ với mọi i F

1.3.2 Entropy , mở rộng tự nhiên

1.3.2.1 Entropy

Định nghĩa 1.3.2.1.1 Nếu α là một phủ mở của X , gọi ( ) N α là số lượng các

phần tử trong phủ con hữu hạn nhỏ nhất của α Ta định nghĩa entropy của α bởi :

( ) log ( )

H α = N α Giả sử α β là các phủ mở của , X , thì nối của chúng (kí hiệu là α β∨ ) là một phủ

mở được xác định bởi : α β∨ ={A∩B A: ∈α,B∈β}

Giả sử α là một phủ mở của X và T X: →X liên tục thì 1

T−α là một phủ mở của X chứa các tập hợp dạng 1

T A− , với A∈α

Định nghĩa 1.3.2.1.3 Nếu T X: →X liên tục, thì entropy tô pô của T được định nghĩa là: h top( )T sup ( , )h T

= với α chạy trên tập các phủ mở của X Cho ( , )X d là không gian metric compact và T X: →X liên tục Ký hiệu bởi ( )X

 là σ −đại số các tập con Borel của X và M X T( , )là không gian các độ đo xác suất bảo toàn bởi T, trên không gian đo được ( , ( ))X  X

Định nghĩa 1.3.2.1.4 Ánh xạ entropy của một phép biến đổi liên tục T X: →X là ánh xạ µ h Tµ( ) xác định trên M X T( , ) và nhận giá trị trong [0, ]∞

Định lý 1.3.2.1.5 (Nguyên lý biến phân) Cho T X: → X là một ánh xạ liên tục trên không gian metric compact X thì h top( )T =sup{h Tµ( ) |µ∈M X T( , )}

Định nghĩa 1.3.2.1.6 Cho :T X → là một phép biến đổi liên tục trên không X

gian metric compact X Một độ đo µ∈M X T( , ) được gọi là độ đo entropy cực đại của T nếu ( ) h Tµ =h top( )T

Ta ký hiệu Mmax( , )X T là tập hợp tất cả các độ đo với entropy cực đại của T

Định nghĩa 1.3.2.1.7 Một phép biến đổi liên tục T X: →X của không gian metric compact được gọi là có một độ đo duy nhất với entropy cực đại nếu Mmax ( , )X T chỉ chứa chính xác một phần tử

Cho K là một không gian mê-tric và : f K → là ánh xạ liên tục Độ đo Borel K

xác suất µ là f − bất biến nếu f*µ µ= , tức là với mọi tập đo được A, ta có

1

(f ( ))A ( )A

Lấy K là một không gian compact và : f K → liên tục và độ đo xác suất Borel K

µ là f − bất biến Ký hiệu entropy mê tric và entropy tôpô lần lượt là ( )hµ f và ( )

top

h f Nếu :f → là một ánh xạ hữu tỷ với bậc d ≥ thì 2 h top( )f =logd và một

độ đo duy nhất của entropy cực đại thỏa mãn ( ( ))m f E = ⋅d m E( ) với mỗi tập Borel sao cho f |E là đơn ánh

Trong trường hợp các ánh xạ tựa đa thức tổng quát cũng tồn tại duy nhất một độ đo

cực đại ( f liên hợp tôpô với một đa thức)

Ánh xạ  f K: → là phép nâng trái Khi đó nếu K π : K → K là phép chiếu lên tọa

độ thứ 0 thì f π π=  Nếu f µ là bất biến thì µ là bất biến Nếu µ là ergodic thì



µ là ergodic

1.3.3 Định lý biểu diễn Riesz, định lý Radon-Nykodym

Định nghĩa 1.3.3.1 Một độ đo Borel µ trên không gian tô pô X được gọi là độ

đo Radon nếu ( )µ K < ∞ với mỗi tập con compact K của X

Cho không gian tô pô X , ký hiệu C c( )X là không gian vector các hàm liên tục

: X

φ →  có giá compact Mỗi độ đo Radon µ trên X cảm sinh một phiếm hàm

tuyến tính f trên C c( )X được xác định bởi

Toán tử tuyến tính này được gọi là dương nếu ( ) 0f φ ≥ với φ ≥0 Định lý sau khẳng định cho chiều ngược lại đối với toán tử tuyến tính dương, gọi là định lý Riesz.

Định lý 1.3.3.2 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho X là không gian metric có vét cạn

compact Nếu f là một toán tử tuyến tính dương trên ( ) C X c , khi đó tồn tại duy nhất một độ đo Radon µ trên X sao cho

(K n n) ≥ sao cho với mỗi n∈ thì n K n = X Ta sẽ đồng nhất phiếm hàm tuyến tính

liên tục f với độ đo µ và gọi nó là độ đo Khi đó ta có thể viết là

X

Định nghĩa 1.3.3.3 Cho ( , )X  là không gian đo được và giả sử , mµ là hai độ

đo xác suất trên ( , )X  Ta nói µ liên tục tuyệt đối đối với m, ký hiệu µ  , nếu m

( )B 0

µ = khi ( ) 0m B = Ta nói µ , m là tương đương nếu µm và m µ

Hai độ đo xác suất µ , m trên ( , )X  được gọi là kỳ dị với nhau, ký hiệu µ ⊥ m

nếu tồn tại B ∈ một sao cho ( ) 0µ B = và ( \ ) 0m X B =

Định lý 1.3.3.4 (Định lý Phân tích Lebesgue) Cho , mµ là hai độ đo xác suất

trên ( , )X  Tồn tại p∈[0,1] và các độ đo xác suất µ µ1, 2 sao cho µ = pµ1+ −(1 p)µ2

f ≥ và ∫ fdm=1 sao cho ( )µ B =∫ fdm với mọi B ∈ Hàm f duy nhất h.k.n

Hàm f được gọi là đạo hàm Radon- Nikodym của µđối với m, ký hiệu d

E ⋅C L X  → L X C m như sau: Nếu 1

, )( ,

, )( ,

f ∈L X  m thì E f( C là hàm )ℭ- đo được với ( )

C S = ∑r : có một phủ S bởi các quả cầu với bán kínhr i >0}

Quy ước inf∅ = ∞

Chiều Haussdorff của X được định nghĩa là dim ( )H X =inf{d ≥0 :C H d =0} Chiều Hausdorff của một độ đo HD( )ω là một cận dưới đúng của HD A ( ) trên tất

cả các tập A của độ đo đủ

Chương 2 -

ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ

Nội dung của chương này dựa vào bài báo “ Julia sets are uniformly perfect” của

R.Mané và L.F Da Rocha

Trong chương này trước hết ta chứng minh rằng các tập Julia của một ánh xạ hữu

tỷ là tập hoàn chỉnh đều theo nghĩa Pommerenke và do đó là tập chính quy theo nghĩa Dirichlet (định lý 1) Sử dụng kết quả này ta nhận được công thức tính entropy một độ

đo điều hòa bất biến trên các tập Julia Từ đây ta đưa ra một chứng minh của Lopes đối với chiều đảo của định lý Brolin

Cho  là một mặt cầu Riemann Ta có một số khái niệm sau :

i) Ta nói rằng tập A ⊂  là một hình vành khăn nếu tồn tại một biểu diễn bảo

giác của {z∈:r< z <1} lên A với số r∈(0,1) nào đó Số log1

r được gọi là modun

của A Ký hiệu là modA

ii) Cho K ⊂  , ta nói rằng A tách K nếu K A ∩ = ∅ và K giao với cả hai thành

phần liên thông của phần bù c

A của A

iii) Một tập K ⊂  được gọi là tập hoàn chỉnh đều nếu nó chứa nhiều hơn một

phần tử và tồn tại m > sao cho mọi hình vành khăn A tách K có mod A m0 ≤ Đặc biệt các tập liên thông là tập hoàn chỉnh đều vì không hình vành khăn nào có thể tách chúng

Một tập hoàn chỉnh đều luôn là tập chính quy (theo nghĩa Dirichlet) Trong [4] Pommerenke đã chứng minh một tính chất mạnh hơn, đó là: Cho (.,.)d là mêtric cầu trên  , ( )γ S là dung lượng loga của một tập compact S Khi đó một tập compact

K ⊂  là tập hoàn chỉnh đều nếu và chỉ nếu tồn tại δ > sao cho với mọi a K0 ∈ và 0

r> ta có γ({z∈K d z a: ( , )≤r}≥δr

Tính chất này dẫn đến tính chính quy của K ( xem [9]) Ta có kết quả sau:

2.1 Định lý Tập Julia K =J f( ) của một ánh xạ hữu tỷ : f → là tập hoàn

→+∞ = +∞ Tính chất này dẫn đến rằng với mỗi

n , một thành phần liên thông K n của A n c = \A n có thể được chọn sao cho lim n 0

j n

j n

j diamK

→∞ ′ = và các điểm ( )

mà điều này không thể được

Kí hiệu D= ∈{z :| | 1z < } và ϕn:D→ A n∪K n là một biểu diễn bảo giác với (0)

một tập mở chứa các điểm của ( )J f Do đó theo lý thuyết cổ điển về các tập Julia tồn tại các số nguyên t n > sao cho ( )0 t n( ( ))

J f ⊂ f ϕ D′ Lấy 0< <c diam J f( ) và lấy m n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ( ( ))

f ϕ D′ < Lc ở đây L là hằng số Lipschitz của

f Cho S là một tập gồm bốn điểm trong ( )J f Lấy c đủ nhỏ để mọi tập có bán kính

nhỏ hơn Lc không chứa hai điểm của chúng Khi đó m n( ( ))

{ }ψn chuẩn tắc Chỉ cần chứng minh rằng với mọi n,ψn( )D không thể chứa ba điểm

(có thể phụ thuộc vào n ) của S Nếu | | 1

2

n n

z r

ρ < < thì

| |2

z r

ψ = ϕ ∈ ϕ ′ không thể chứa ba điểm của S Điều này chứng minh

tính chuẩn tắc của họ { }ψn Do đó với ε > cho trước, tồn tại một lân cận V của 0 0

sao cho diamψn( )z ≤ , nε ∀ Nhưng với n đủ lớn, ta có :| | n

Chúng ta sẽ chỉ ra đây một vài ứng dụng về tính chính quy của tập Julia Nhắc lại

rằng, với tập compact chính quy K ⊂  và 1 điểm p ∈ , độ đo điều hòa µp được định nghĩa là độ đo xác suất trên σ - đại số Borel của K sao cho tích phân ứng với µp

của một hàm liên tục : Kϕ →  được xác định bởi

K ch ứa p và ta biết rằng nếu p và q thuộc cùng

một thành phần liên thông của C

K thì µp và µq là tương đương, đồng thời đạo hàm

Radon-Nykodim p

q

d d

Do đó µp là f − bất biến nếu và chỉ nếu ( )f p = p

Cho p là một điểm bất động hút của f , ta định nghĩa đáy W s( )p của p là tập hợp

các điểm z sao cho lim n( )

2.1.1 Hệ quả 1 Nếu : f → là ánh xạ hữu tỷ và p là điểm bất động hút của

f thì entropy hµ ( )f của f ứng với µp được cho bởi :

x∈ f − p được lặp lại tương ứng với bội của nó

Chứng minh: Định nghĩa : J ∂B s( )p →  bởi

d

µµ

với mọi tập Borel s( )

A⊂ ∂B p sao cho f |A là đơn ánh Khi điều này được chứng minh thì hệ quả được suy ra từ công thức hµp ( )f =∫logJdµp được chứng minh trong [10]

Để chứng minh (2.1) ta ký hiệu 0( s( ) )

C ∂B p và 0( s( ) )

C B p lần lượt là không gian các hàm liên tục trên s( )

L L Để thấy được điều này, ta nhận xét rằng L( )ϕ* là hàm điều hòa

trong phần bù của các giá trị tới hạn của f vì nó là tổng (địa phương) của các hàm ϕ* hợp với các nhánh chỉnh hình của ( )( ) 1

với mọi hàm đo được bị chặn ϕ:∂B s( )p →  Áp dụng điều này cho trường hợp khi

ϕ là hàm đặc trưng của một tập Borel s( )

A⊂ ∂B p sao cho f |A là đơn ánh Khi đó

Vậy hệ quả 1 đã được chứng minh 

Với hệ quả tiếp theo ta nhắc lại rằng nếu deg( | s( ))

x f p B p d

µµ

µµ

( ) ( )

T− ∞ ∈J f vì : 1

TfT− có T p ( ) là điểm bất động hút; các tạo ảnh của ( )T p

qua TfT−1thuộc đáy tức thời là các điểm {T x( ) :x∈S} và ∞ ∈J TfT( −1) (do tính chất

Trong trường hợp thứ nhất, vì ( )J f vô hạn, ta có thể lấy z0∈J f( )vi phạm (2.5)

và hệ quả 2 được chứng minh do mâu thuẫn Trong trường hợp hai, có thể đồng nhất vế trái và vế phải (2.5) là các hàm theo z0∈ Nhưng hàm vế trái có một cực điểm duy nhất tại z0 = p và vế phải có các cực điểm tại mọi x trong S Khi đó ta có ,

p=x ∀ ∈ , ta có điều phải chứng minhx S 

Ta nhắc lại rằng : một ánh xạ hữu tỷ :f → bậc d > có entropy tôpô log d 1

và có một độ đo xác suất duy nhất µmax (độ đo cực đại) thỏa ( ) log

max

hµ f = d Khi f

là đa thức, ∞ là điểm bất động hút và 1

( ) { }

f− ∞ = ∞ (với bội d ) Do đó theo hệ quả 1

ta cóhµ∞( )f =logd Như vậy chúng ta vừa chứng minh kết quả của Brolin được phát

biểu rằng : với mọi đa thức độ đo cực đại là độ đo điều hòa đối với ∞ Sử dụng hệ quả

1 và hệ quả 2, ta có thể chứng minh tính chất ngược lại (xem [1]) :

Nếu với một ánh xạ hữu tỷ : f → độ đo cực đại trùng với độ đo điều hòa đối

với ∞ thì f là đa thức

Để chứng minh điều này ta nhận xét rằng µmax =µ∞ dẫn đến µ∞ là f − bất biến

Do đó ( )f ∞ = ∞ Nếu ∞ ∈J f( ) thì µ∞ là hàm Dirac δ tại ∞ và hµ∞( )f là 0 Do đó ( )

J f

∞ ∉ Do ∞ là điểm bất động mà ∞ ∉J f( ) nên hoặc ∞ là một điểm bất động hút hoặc ∞là tâm của đĩa Siegel Trong trường hợp thứ nhất, từ hệ quả 1 và bất đẳng thức Jensen, dẫn đến log ( ) log deg( | s( )) log

f − ∞ = ∞ , chứng minh rằng f là một đa thức Khi ∞ là tâm của một đĩa Siegel ta

có hµ∞( )f =0 Điều này có được do công thức trong hệ quả 1 cũng đúng (không thay đổi chứng minh) bằng cách thay ( )s

B p bởi đĩa Siegel với điểm bất động p Nhưng vì

trong trường hợp này 1