Nghiên cứu một số tính chất của không gian xác suất tổng quát

Lþ do chån khâa luªn Gi£i t½ch l mët trong nhúng ng nh quan trång nh§t cõa To¡n håc v mang nhi·uùng döng trong thüc t¸ cuëc sèng... H÷îng ph¡t triºn cõa khâa luªn Ti¸p töc nghi¶n cùu s¥u

Líi c£m ìn

Líi ¦u ti¶n tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi: Ban chõ nhi»m khoa To¡n-L½-Tin,c¡c th¦y cæ trong Bë mæn Gi£i t½ch, °c bi»t l  th¦y Vô Vi»t Hòng, ng÷íi ¢ ànhh÷îng nghi¶n cùu, h÷îng d¨n công nh÷ ëng vi¶n tæi câ th¶m nghà lüc ho n th nh khâaluªn n y Nh¥n dàp n y tæi xin gûi líi c£m ìn tîi to n thº lîp K55 HSP To¡n ¢ cânhúng þ ki¸n âng gâp, gióp ï, ëng vi¶n t¤o i·u ki»n thuªn lñi º tæi ho n th nh khâaluªn n y

Sìn La, th¡ng 5 n«m 2018Sinh vi¶n thüc hi»n: Bun Th«n C¥u V«ng Lia Do

Möc löc

1.1 σ- ¤i sè Borel trong R 7

1.2 H m sè Borel 8

2 Khæng gian x¡c su§t 15 2.1 ë o húu h¤n 15

2.2 ành ngh¾a khæng gian x¡c su§t v  bi¸n ng¨u nhi¶n 16

2.3 H m ph¥n phèi x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n 16

3 T½ch ph¥n 22 3.1 T½ch ph¥n cõa h m ìn gi£n khæng ¥m 22

3.2 T½ch ph¥n cõa h m o ÷ñc khæng ¥m 24

3.3 T½ch ph¥n cõa h m o ÷ñc gi¡ trà phùc 24

4 Ký vång v  h m °c tr÷ng cõa bi¸n ng¨u nhi¶n 31 4.1 Ký vång cõa bi¸n ng¨u nhi¶n 31

4.2 H m °c tr÷ng cõa bi¸n ng¨u nhi¶n 37

4.3 Sü ëc lªp cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n 40

4.4 Sü hëi tö cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n 45

4.4.1 Hëi tö h¦u ch­c ch­n 45

4.4.2 Hëi tö theo x¡c su§t 47

K¸t luªn 50

MÐ †U

1 Lþ do chån khâa luªn

Gi£i t½ch l  mët trong nhúng ng nh quan trång nh§t cõa To¡n håc v  mang nhi·uùng döng trong thüc t¸ cuëc sèng Trong ho¤t ëng thüc ti¹n, con ng÷íi b­t buëc ph£iti¸p xóc vîi c¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n m  khæng thº dü o¡n tr÷îc ÷ñc Tuy nhi¶n conng÷íi câ thº nghi¶n cùu v  h» thèng hâa c¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n º rót ra c¡c quyluªt ng¨u nhi¶n v  biºu di¹n chóng b¬ng c¡c mæ h¼nh To¡n håc Tø â mët l¾nh vüc cõaTo¡n håc mang t¶n l  "Lþ thuy¸t x¡c su§t" ¢ ra íi nh¬m nghi¶n cùu c¡c quy luªt v quy t­c t½nh to¡n c¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n

Lþ thuy¸t x¡c su§t ra íi v o nûa cuèi th¸ k XVII Mët sè nh  To¡n håc nh÷Huygens, Bernoulli, De Moivre l  nhúng ng÷íi câ cæng ¦u ti¶n t¤o n¶n cì sð To¡n håccõa Lþ thuy¸t x¡c su§t Laplace(1749 - 1827), Chebyshev(1821 - 1894), Borel(1871 - 1956),Kolmogorov(1903 - 1987), ¢ câ nhi·u âng gâp to lîn cho sü ph¡t triºn cõa Lþ thuy¸tx¡c su§t

Ng y nay Lþ thuy¸t x¡c su§t ¢ trð th nh mët ng nh To¡n håc lîn, chi¸m và tr½ quantrång c£ v· lþ thuy¸t l¨n ùng döng Nâ ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong nhi·u ng nh Khoahåc k¾ thuªt, Khoa håc x¢ hëi v  Nh¥n v«n Tø â Gi£i t½ch hi»n ¤i trð th nh mët cæng

cö húu ½ch trong vi»c nghi¶n cùu c¡c v§n · cõa Lþ thuy¸t x¡c su§t

º t¼m hiºu s¥u hìn mët sè v§n · v· x¡c su§t trong Gi£i t½ch hi»n ¤i, em ¢ chån ·

t i: Nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian x¡c su§t têng qu¡t º l m · t i nghi¶ncùu cho khâa luªn cõa m¼nh nh¬m t¼m hiºu hi»u qu£ hìn v· t½nh ch§t cõa khæng gianx¡c su§t têng qu¡t

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

- Nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cì b£n v  ¡p döng cõa khæng gian x¡c su§t têng qu¡t v 

l m s¡ng tä mët sè t½nh ch§t cõa chóng

- R±n luy»n kh£ n«ng nghi¶n cùu khoa håc cõa b£n th¥n

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu lþ thuy¸t c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian x¡c su§t têng qu¡t

4 Nhi»m vö nghi¶n cùu

T¼m hiºu, nghi¶n cùu v  tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n khæng gian x¡c su§ttêng qu¡t

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- S÷u t¦m, åc v  nghi¶n cùu t i li»u, ph¥n t½ch têng hñp c¡c ki¸n thùc

- Trao êi th£o luªn vîi gi¡o vi¶n h÷îng d¨n, tr¼nh b y công nh÷ seminar vîi tê bëmæn, gi¡o vi¶n h÷îng d¨n v  nhâm l m khâa luªn Tø â têng hñp ki¸n thùc v  tr¼nh

b y theo · c÷ìng nghi¶n cùu, qua â thüc hi»n k¸ ho¤ch v  ho n th nh khâa luªn

6 T½nh mîi v  h÷îng ph¡t triºn cõa khâa luªn

6.1 T½nh mîi m´ cõa khâa luªn

¥y l  mët v§n · kh¡ mîi èi vîi b£n th¥n trong gi£i t½ch hi»n ¤i çng thíi ¥ycông l  mët v§n · cán ch÷a ÷ñc ti¸p cªn nhi·u èi vîi c¡c b¤n sinh vi¶n HSP To¡nhi»n nay t¤i Nh  tr÷íng

6.2 H÷îng ph¡t triºn cõa khâa luªn

Ti¸p töc nghi¶n cùu s¥u hìn v· khæng gian x¡c su§t têng qu¡t

7 Nhúng âng gâp cõa khâa luªn

Khâa luªn ¢ têng hñp v  nghi¶n cùu cì b£n ¦y õ v· c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa khænggian x¡c su§t têng qu¡t

8 C§u tróc khâa luªn

Vîi möc ½ch nh÷ vªy khâa luªn n y ÷ñc chia th nh 4 ch÷ìng vîi nhúng nëi dungch½nh sau ¥y:

Ch÷ìng 1: Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc ban ¦u v· gi£it½ch hi»n ¤i nh÷ h m sè Borel v  mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa nâ

Ch÷ìng 2: B÷îc ¦u nghi¶n cùu v· khæng gian x¡c su§t, bi¸n ng¨u nhi¶n v  h mph¥n phèi x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n

Ch÷ìng 3: Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa t½ch ph¥n Lebesgue cõa h m o ÷ñccông nh÷ t½ch ph¥n cõa h m o ÷ñc gi¡ trà phùc c¦n thi¸t cho vi»c nghi¶n cùu khænggian x¡c su§t °c bi»t, chóng tæi tr¼nh b y v  ph¡t triºn hìn núa v· lþ thuy¸t t½ch ph¥n

tr¶n khæng gian ë o húu h¤n (X, F, µ) b§t k¼.

Ch÷ìng 4: Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· h m °c tr÷ng cõa bi¸n ng¨u nhi¶n v  mët °ctr÷ng quan trång cõa bi¸n ng¨u nhi¶n l  ký vång Ngo i ra trong ph¦n cuèi ch÷ìng, chóngtæi tr¼nh b y v· sü hëi tö cõa d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n

Ch֓ng 1

H m sè Borel

Ch÷ìng n y nghi¶n cùu v· σ- ¤i sè Borel trong R v  h m sè Borel

1.1 σ- ¤i sè Borel trong R

ành ngh¾a 1.1.1 Gi£ sû C l  tªp hñp c¡c tªp con mð trong R Khi â F(C) ÷ñc gåi

l  σ- ¤i sè Borel trong R, th÷íng ÷ñc vi¸t t­t l  B(R) C¡c tªp n¬m trong B(R) ÷ñcgåi l  c¡c tªp Borel Nh÷ vªy B(R) l  σ- ¤i sè sinh bði c¡c tªp con mð trong R

M»nh · 1.1.2 C¡c tªp con sau ¥y trong R thuëc B(R):

i) C1 = (a, b) vîi b§t k¼ a < b;

ii) C2= (−∞, a) vîi b§t k¼ a ∈R;

iii) C3 = (a, ∞) vîi b§t k¼ a ∈R;

iv) C4 = [a, b] vîi b§t k¼ a ≤ b;

v) C5 = (−∞, a] vîi b§t k¼ a ∈R;

vi) C6 = [a, ∞) vîi b§t k¼ a ∈R;

vii) C7= (a, b] vîi b§t k¼ a < b;

viii) C8 = [a, b) vîi b§t k¼ a < b;

ix) Tªp con âng b§t k¼ trong R.

Chùng minh Ta nhªn th§y c¡c tªp C1, C2, C3 l  nhúng tªp mð v  do â thuëc B(R) Tacâ

C4 = [a, b] =

∞

T

n=1(a −n1, b +n1) ∈ B(R),

C5 = (−∞, a] =

∞

T

n=1(−∞, a + n1) ∈ B(R),

C6 = [a, ∞) =

∞

T

n=1(a − n1, ∞) ∈ B(R),

C7 = (a, b] =

∞

T

n=1(a, b +n1) ∈ B(R),

C8 = [a, b) =

∞

T

n=1(a −n1, b) ∈ B(R)

Gi£ sû K l  mët tªp âng trongR, khi â Kc ∈ B(R)

M  ta l¤i câ K = (Kc)c ∈ B(R) Do â tªp con âng b§t k¼ trong R công thuëcB(R)

M»nh · 1.1.3 Cho F(âng) l  σ- ¤i sè c¡c tªp con trongRsinh bði c¡c tªp con ângtrong R v  F(compact) l  σ- ¤i sè c¡c tªp con trong R sinh bði c¡c tªp con compacttrong R. Khi â ta câ F(âng)=F(compact)=B(R)

Chùng minh Måi tªp con âng trong R ·u thuëc B(R) Do F(âng) l  σ- ¤i sè nhänh§t chùa c¡c tªp n¶n ta ph£i câ F(âng)⊆ B(R) M°t kh¡c méi tªp mð l  ph¦n bò cõamët tªp âng v  do â thuëc F(âng) M  ta l¤i câ B(R) l  σ- ¤i sè sinh bði c¡c tªp

mð trong R n¶n ta câ B(R) ⊆ F(âng) Tø â ta câ F(âng)=B(R).

B¥y gí ta i chùng minh F(âng)=F(compact) Do méi tªp compact trongR·u l  t¥p

âng n¶n ta câ F(compact)⊆ F(âng).Tuy nhi¶n b§t cù tªp âng K n o công câ thº vi¸t

Ta th§y méi tªp [−n, n]∩K âng v  bà ch°n do â l  tªp compact Tø â K ∈ F(compact)

v  do â F(âng)⊆ F(compact) Nh÷ vªy ta câ:

F(âng) ⊆ F(compact) = B(R).

1.2 H m sè Borel

ành ngh¾a 1.2.1 Cho (X, F) l  mët khæng gian o, f : X → R l  mët h m sè Khi

â f ÷ñc gåi l  h m Borel n¸u f−1(G) ∈ F vîi G l  tªp mð trong R

M»nh · 1.2.2 H m f : X → R l  h m Borel n¸u v  ch¿ n¸u f−1(A) ∈ F vîi méi

ii) f−1(E) ∈ F n¶n X \ f−1(E) = f−1(R\ E) ∈ F, do âR\ E ∈ S

iii) Gi£ sû E1, E2, ∈ S, khi â f−1(E1), f−1(E2), ∈ F, suy ra

f−1(E1) ∪ f−1(E2) ∪ = f−1(E1∪ E2∪ ) ∈ F

Do â ta câ E1∪ E2∪ ∈ S

Sl  σ- ¤i sè chùa c¡c tªp mð, tø â B(R) ⊆ S Do â ta câ f−1(A) ∈ Fvîi A ∈ B(R).M»nh · 1.2.3 Cho C l  tªp hñp c¡c tªp con trongR thäa m¢n F(C) =B(R) v  h m

f : X →R Khi â f l  h m Borel n¸u v  ch¿ n¸u f−1(A) ∈ F vîi måi A ∈ C

Chùng minh Gi£ sû f l  h m Borel Khi C ⊆ B(R) ta câ f−1(A) ∈ F vîi b§t k¼ A ∈ C.Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f−1(A) ∈ F vîi måi A ∈ C °t

S = {E ⊆R: f−1(E) ∈ F }

l  σ- ¤i sè chùa C Ta câ B(R) = F (C) ⊆ S, tùc l  ta câ f−1(A) ∈ F , ∀A ∈ B(R).Nhªn x²t 1.2.4 Ta câ thº chån C l  mët tªp b§t k¼ trong M»nh · 1.1.2 Ch¯ng h¤nnh÷ ta câ thº nâi r¬ng f l  h m Borel n¸u v  ch¿ n¸u f−1((−∞, a]) ∈ F vîi méi a ∈R.M»nh · 1.2.5 Cho f : X →R l  h m Borel v  g :R→R l  h m sè li¶n töc Khi â

g ◦ f : X →R l  h m Borel

Chùng minh Cho G l  mët tªp mð b§t k¼ trong R Khi â g−1(G) l  tªp mð trong R

v  do â g−1(G) ∈ B(R) L¤i do f : X → R l  h m Borel n¶n f−1(g−1(G)) ∈ F vîi

g−1(G) ∈ B(R) M  ta l¤i câ (g ◦ f)−1(G) = f−1(g−1(G)) n¶n (g ◦ f)−1(G) ∈ F Do â

i) af + b l  h m Borel vîi b§t k¼ a, b ∈R;

ii) f + g l  h m Borel;

iii) |f|α l  h m Borel vîi b§t k¼ α ≥ 0;

iv) N¸u f khæng bà tri»t ti¶u th¼ 1

Ta câ A ∈ F Do â af + b l  h m Borel vîi a, b ∈R.

2[f (x) + g(x)] −

1

2|f (x) − g(x)|

vîi måi x ∈ X

Ta nhªn th§y max{f, g} v  min{f, g} l  c¡c h m Borel

ành lþ 1.2.8 Cho (X, F) l  khæng gian o v  {fn} l  d¢y c¡c h m Borel tr¶n X Gi£

sû tçn t¤i f(x) = lim

n fn(x) vîi méi x ∈ X Khi â f l  h m Borel

Chùng minh Vîi c ∈R, ta s³ i chùng minh tªp A = {x : f(x) < c} ∈ F Thªt vªy, vîib§t k¼ m, n ∈N, ta °t

Ekm= {x : fn(x) < c − 1

m, n > k}

Khi â ta câ Em

k = T

n>k{x : fn(x) < c −m1} ∈ F

k 0

B¥y gií gi£ sû x ∈ Em

k vîi m, k b§t k¼ Khi â fn(x) < c −m1, ∀n > k °c bi»t ta câ

A l  tªp ¸m ÷ñc cõa c¡c tªp thuëc F do â A ∈ F v  ta câ f l  h m Borel

ành ngh¾a 1.2.9 Cho (X, F) l  khæng gian o v  f : X →C. Ta nâi r¬ng f l  h mBorel Ref v  Imf l  c¡c h m Borel

M»nh · 1.2.10 Cho f : X →C l  h m Borel.Khi â |f| l  h m Borel v  tçn t¤i h mBorel α : X →C vîi |α(x)| = 1, ∀x ∈ X thäa m¢n

ành ngh¾a 1.2.11 Mët h m s : X →R ÷ñc gåi l  h m ìn gi£n n¸u nâ húu h¤n, o

s l  h m Borel ìn gi£n n¸u v  ch¿ n¸u c¡c Aj o ÷ñc

ành lþ 1.2.12 Cho f : X → R l  h m Borel khæng ¥m Khi â tçn t¤i mët d¢y c¡c

h m Borel ìn gi£n khæng ¥m {sn} sao cho

Khi â sn l  h m Borel ìn gi£n khæng ¥m thäa m¢n sn(x) ≤ f (x)vîi méi x ∈ X D¹ ch¿

ra r¬ng sn ≤ sn+1, ¦u ti¶n ta gi£ sû r¬ng x ∈ Fn+1 Khi â sn+1(x) = n + 1 > n = sn(x).Khi â

2n+1f (x) l  ph¦n nguy¶n cõa 2n+1f (x) N¸u f(x) ≥ n, khi â 

2n+1f (x) = 2m + 2λvîi 0 ≤ 2λ < 2,

B¥y gií ta i chùng minh sn(x) → f (x) khi n → ∞, ∀x ∈ X.

Vîi méi x ∈ X cho tr÷îc, ta °t n0 õ lîn sao cho f(x) < n0, ngh¾a l  x /∈ Fn vîi n ≥ n0

Do â vîi måi n ≥ n0, tçn t¤i ch¿ sè i n o â sao cho x ∈ En,i.Do â ta câ

0 ≤ f (x) − sn(x) < i

2n −i − 1

2n = 1

2n → 0khi n → ∞, ∀x ∈ X

Nh÷ vªy ta câ sn(x) → f (x) khi n → ∞, ∀x ∈ X

ành ngh¾a 1.2.13 Mët tªp hñp M c¡c tªp con cõa X l  mët lîp ìn i»u n¸u

ành lþ 1.2.14 Cho A l  mët ¤i sè c¡c tªp con cõa X Khi â

M(A) = F (A)

Chùng minh Xem t i li»u [4]

Ch֓ng 2

Khæng gian x¡c su§t

Ch÷ìng n y tr¼nh b y ành ngh¾a v  mët sè m»nh · v· ë o húu h¤n, tø â l m

cì sð º h¼nh th nh n¶n thuªt ngú ë o x¡c su§t; tr¼nh b y ành ngh¾a khæng gian x¡csu§t, bi¸n ng¨u nhi¶n, t¼m hiºu v· °c tr÷ng cì b£n cõa bi¸n cè ng¨u nhi¶n l  h m ph¥nphèi x¡c su§t

M»nh · 2.1.2 Cho µ l  ë o húu h¤n tr¶n F Khi â ta câ

i) µ(∅) = 0;

ii) N¸u A1, , An ∈ F , vîi Ai∩ Aj =∅, i 6= j th¼

µ(A1+ A2+ + An) = µ(A1) + µ(A2) + + µ(An);

iii) N¸u A, B ∈ F v  A ⊆ B th¼ µ(A) ≤ µ(B);

iv) N¸u A1 ⊆ A2 ⊆ ⊆ An ⊆ vîi An ∈ F , n = 1, 2, th¼ µ(An) ↑ µ

 S

M»nh · 2.1.3 Gi£ sû µ : F → [0, ∞) v  µ (A ∪ B) = µ (A)+µ (B) , A, B ∈ F, A∩B =

∅ (tùc µ l  húu h¤n cëng t½nh) Khi â µ l  σ- cëng t½nh n¸u v  ch¿ n¸u µ(En) ↓ 0 vîiméi d¢y (En) trong F thäa m¢n

E1 ⊇ E2⊇ En ⊇ v  \

n

En =∅.Chùng minh Gi£ sû µ l  σ- cëng t½nh Khi â theo m»nh · 2.1.2 (ph¦n v) ta nhªn th§yn¸u (En)l  d¢y gi£m trong F vîi T

n

En =∅ th¼ ta câµ(En) ↓ µ(∅) = 0

Ng÷ñc l¤i, ta °t (An) l  d¢y b§t k¼ trong F thäa m¢n Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j Ta °t

vîi µ l  húu h¤n cëng t½nh Tø â ta câ lim

n

n

P

i=1µ(Ai) = µ(A), tùc l  µ l  ¸m ÷ìc cëngt½nh

2.2 ành ngh¾a khæng gian x¡c su§t v  bi¸n ng¨u nhi¶n

ành ngh¾a 2.2.1 Cho µ l  mët ë o húu h¤n tr¶n khæng gian ë o (X, F, µ) N¸uµ(X) = 1 th¼ µ ÷ñc gåi l  ë o x¡c su§t v  (X, F, µ) ÷ñc gåi l  khæng gian x¡c su§t

X ÷ñc gåi l  khæng gian m¨u, F l  σ- ¤i sè c¡c bi¸n cè Bi¸n ng¨u nhi¶n l  mët h mBorel tr¶n khæng gian x¡c su§t

2.3 H m ph¥n phèi x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n

X²t khæng gian x¡c su§t (Ω, S,P)vîi Ω l  khæng gian m¨u, S l  σ- ¤i sè c¡c bi¸n cè

v  P l  ë o x¡c su§t tr¶n (Ω, S), f : Ω →R l  bi¸n ng¨u nhi¶n ( tùc f l  h m Borel)

Ta câ ành ngh¾a sau:

ành ngh¾a 2.3.1 H m ph¥n phèi x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n f l  h m Ff :R→R

iv) Ff li¶n töc ph£i, tùc l  vîi méi x ∈R ta câ Ff(x) = limh↓0Ff(x + h)

Chùng minh i) Ta câ Ff(x) =P(f ≤ x) ∈ [0; 1] vîi måi x

ii) Vîi b§t k¼ x ≤ y, ta câ {ω : f(ω) ≤ x} ⊆ {ω : f(ω) ≤ y} v  do â

Ff(x) = P({ω : f (ω) ≤ x}) ≤P({ω : f (ω) ≤ y}) = Ff(y)

iii) Vîi n ∈ N, ta °t En = {ω : f (ω) ≤ −n} Khi â E1 ⊇ E2 ⊇ v  T

n

En =∅ Pdöng M»nh · 2.1.2 ta ÷ñc

Vîi ε > 0 cho tr÷îc, ta chån n0 thäa m¢n P(An 0) > 1 − ε Khi â vîi måi x > n0, ta câ

1 ≥ Ff(x) ≥ Ff(n0) =P(An0) > 1 − ε

Do â ta câ lim

Nhªn x²t 2.3.3 Ff l  mët h m t«ng tr¶nRv  bà ch°n bði 1 Do â n¸u cho tr÷îc a ∈R

ta câ x ↑ a th¼ Ff(x) t«ng l¶n ¸n gi¡ trà giîi h¤n n o â ch¯ng h¤n nh÷ sup

x<a

Ff(x).N¸u Ff l  h m t«ng th¼ cªn tr¶n óng cõa nâ khæng lîn hìn Ff(a) Nâi c¡ch kh¡c, Ff(a)

bà ch°n tr¶n tªp {Ff(x) : x < a} v  do â nâ lîn hìn ho°c b¬ng cªn tr¶n óng cõa tªp n y.Nh÷ vªy Ff câ gîi h¤n tr¡i t¤i méi iºm thuëc R, nh÷ng gi¡ trà gîi h¤n n y câ thº nhähìn gi¡ trà thüc Ff t¤i iºm â Ngh¾a l  n¸u limx↑aFf(x) = Ff(a−)th¼ Ff(a−) ≤ Ff(a)

ành ngh¾a 2.3.4 B÷îc nh£y cõa Ff t¤i a ∈R l  hi»u Ff(a) − Ff(a−) Ta nâi r¬ng a

l  mët iºm li¶n töc cõa Ff n¸u Ff li¶n töc t¤i a, trong tr÷íng hñp Ff(a) = F (a−) v 

do â b÷îc nh£y b¬ng 0

M»nh · 2.3.5 Vîi b§t k¼ a ∈R, b÷îc nh£y cõa Ff t¤i a b¬ng P(f = a)

Chùng minh Theo ành ngh¾a, ta câ

Nh÷ng ta l¤i câ lim

n Ff(a − n1) = Ff(a−), do â P(f < a) = Ff(a−) Tø â ta câ b÷îcnh£y

Ff(a) − Ff(a−) = P(f ≤ a) −P(f < a) =P(f = a)

Ta nâi mët tªp hñp ¸m ÷ñc n¸u nâ húu h¤n (bao gçm c£ tªp réng) ho°c væ h¤n ¸m

÷ñc (ngh¾a l  câ thº °t t÷ìng ùng 1-1 vîi tªp c¡c sè tü nhi¶n N).

M»nh · 2.3.6 C¡c b÷îc nh£y kh¡c 0 cõa h m ph¥n phèi Ff t¤o th nh mët tªp ¸m

֖c

Chùng minh Gi£ sû J l  tªp c¡c b÷îc nh£y kh¡c 0 cõa Ff v  °t

Jn = {a ∈ J : ”B÷îc nh£y cõa Ff t¤i a” ≥ 1

n}

Gi£ sû a1, a2, , ak ∈ Jn vîi a1 < a2 < < ak Chån a0 l  sè thüc b§t k¼ sao cho

a0 < a1 Khi â 0 ≤ Ff(a0) ≤ Ff(ak) ≤ 1 (theo t½nh ch§t cõa Ff) v  khi â ta câ

Chùng minh Vîi f l  bi¸n ng¨u nhi¶n, °t J ⊂R l  tªp c¡c b÷îc nh£y kh¡c 0 cõa Ff

Ta câ J l  mët tªp ¸m ÷ñc Khi â ta câ P(f = x) 6= 0 vîi x ∈ J do â P(f = x) = 0

vîi x ∈R\ J

ành lþ 2.3.8 Vîi h m f b§t k¼ cho tr÷îc thäa m¢n c¡c t½nh ch§ trong M»nh · 2.3.2luæn tçn t¤i mët ë o x¡c su§t ν tr¶n (R, B(R)) thäa m¢n F (x) = ν((−∞, x]) vîi måi

x ∈R Hìn núa ν l  duy nh§t

Ta câ mët sè k¸t qu£ sau:

ν((−∞, a]) = F (a−),ν((a, b]) = F (b) − F (a+) vîi a < b,ν((a, b)) = F (b−) − F (a+) vîi a < b,ν([a, b)) = F (b−) − F (a−) vîi a < bν([a, b]) = F (b) − F (a−) vîi a ≤ b

ë o x¡c su§t ν sinh bði h m F ÷ñc gåi l  ë o Lebesgue - Stieltjes sinh bði F °cbi»t, gi£ sû F ÷ñc x¡c ành bði

ν((−∞, 0]) = F (0) = 0,ν((1, ∞)) = ν(R) − ν((−∞, 1]) = 1 − F (1) = 0

vîi 0 ≤ a ≤ b ≤ 1, ta câ

ν((a, b )) = ν([a, b)) = ν(( a, b]) = ν([a, b]) = b − a

Lóc n y ν ho n to n l  mët ë d i

ành lþ 2.3.9 Gi£ sû ta câ h m F thäa m¢n c¡c t½nh ch§t trong M»nh · 2.3.2 Khi âtçn t¤i mët bi¸n ng¨u nhi¶n f sao cho F = Ff

Chùng minh Tr÷îc ti¶n ta s³ ch¿ ra mët khæng gian x¡c su§t nìi m  f ÷ñc x¡c ành

°t Ω =R, S = B(R) v P l  ë o x¡c su§t Lebesgue - stieltjes tr¶n (R, B(R))sinh bði

F

Ta x¡c ành mët bi¸n ng¨u nhi¶n f tr¶n (R, B(R),P) bði f(x) = x Khi â f l  h m

Ch֓ng 3

T½ch ph¥n

Ch÷ìng n y ph¡t triºn hìn núa lþ thuy¸t t½ch ph¥n trong khæng gian ë o húu h¤n(X, F , µ)b§t k¼ Tø â l m n·n t£ng cho mët sè ành ngh¾a v  t½nh ch§t trong c¡c ch÷ìngti¸p theo

th÷íng gåi l  t½ch ph¥n cõa I[a,b] tr¶n [0, 1]

N¸u X =R v  µ l  ë o Lebesgue - Stieltjes tr¶n R sinh bði h m

ành ngh¾a 3.1.2 Cho h m f : X →R o ÷ñc v  gi£ sû f ≥ 0 Vîi b§t k¼ E ∈ F, ta

M»nh · 3.1.3 Gi£ sû f, g l  c¡c h m o ÷ñc v  E ∈ F Khi â

Chùng minh T÷ìng tü nh÷ trong t i li»u [3]

M»nh · 3.1.4 Cho s, t l  c¡c h m ìn gi£n b§t k¼ vîi s ≥ 0, t ≥ 0 Vîi méi E ∈ F,

Z

Xsdµ +

Z

Xtdµ

Chùng minh T÷ìng tü nh÷ trong t i li»u [3]

Chùng minh Xem t i li»u [3].

H» qu£ 3.2.2 Gi£ sû f ≥ 0 v  g ≥ 0, f v  g kh£ t½ch Khi â f + g kh£ t½ch v 

Z

X(f + g)dµ =

Chùng minh Xem t i li»u [3]

Chùng minh Do |af +bg| ≤ |a||f|+|b||g| n¶n |af +bg| kh£ t½ch, do â af +bg ∈ L1(X, µ)

¦u ti¶n ta gi£ sû r¬ng f v  g l  c¡c h m gi¡ trà thüc °t h = f + g, khi â

Z

X(h−+ f++ g+)dµ

B¥y gií gi£ sû f v  g l  c¡c h m gi¡ trà phùc vîi f = Ref + iImf,g = Reg + iImg, °t

h = f + g, h = Reh + iImh Theo ành ngh¾a ta câ

Z

Xhdµ =

Reh = Ref + Reg, Imh = Imf + Img,

v 

Z

X(Ref + Reg)dµ =