Một số vấn đề về không gian các ánh xạ liên tục

30 KếT LUậN 49 TàI LIệU THAM KHảO 50 lời nói đầu Các vấn đề cơ bản về các phủ đếm đuợc theo điểm trong không gian mêtric tổng quát đã đợc các nhà Toán học nh Burke, Gruenhage, Michael

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh

Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học

Vinh 2006–

mục lục

Trang mục lục 1

Lời mở đầu 2

Đ1 Các khái niệm và tính chất cơ bản 4

Đ2 Các tính chất đơn giản của không gian C(X, Y) 11

Đ3 Tính paracompact của không gian C(X, Y) 14

Đ4 Không gian C(X, Y) với các phủ đếm đợc theo điểm 30

KếT LUậN 49

TàI LIệU THAM KHảO 50

lời nói đầu

Các vấn đề cơ bản về các phủ đếm đuợc theo điểm trong không gian

mêtric tổng quát đã đợc các nhà Toán học nh Burke, Gruenhage, Michael,

Tanaka quan tâm từ những năm 1970 Trong những năm gần đây, các vấn đề

chính qui) bởi các nhà Toán học nh Pengfei Yan, Tanaka, Shou Lin Dựa vào

sự tồn tại và tính chất của các phủ để phân loại các không gian tôpô và nghiên cứu các tính chất của chúng là một trong những lĩnh vực đợc nhiều ngời quan tâm

Các kết quả về không gian các ánh xạ liên tục có nhiều trong các công

trình của Arenxơ, Buocbaki, Tiuki, P O'meara Trong [7] P.O'meara đã dựa

paracompact

Y) liên quan đến các phủ đếm đợc theo điểm và tính paracompact của không

Đ1 Các khái niệm và tính chất cơ bản.

Đ2 Các tính chất đơn giản của không gian C (X, Y).

Đ3 Tính paracompact của không gian C(X, Y).

Đ4 Không gian C(X, Y) với các phủ đếm đợc theo điểm.

Trong Đ1, chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và các kết quả cơ bản làm cơ sở cho các mục tiếp theo

Trong Đ2, đầu tiên chúng tôi giới thiệu về không gian các ánh xạ liên tục

C(X, Y) với tôpô compact–mở Tiếp theo, chúng tôi trình bày các tính chất cơ

Mệnh đề này đã có trong các tài liệu tham khảo tuy nhiên cha có chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt

Trong Đ3, chúng tôi chứng minh chi tiết một số kết quả về tính

Trong Đ4, đầu tiên chúng tôi đa ra các điều kiện để tồn tại kn–lới, kn–lới

không gian nh Hệ quả 4.7, Định lý 4.8 Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày về phủ

Các kết quả chính của mục này đã đợc đăng trên Tạp chí Khoa học của

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo, PGS.TS

Đinh Huy Hoàng Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy, xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa sau đại học Trờng Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè đã động viên giúp đỡ tác giả trong thời gian qua Tuy nhiên do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc quý thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến

Vinh, tháng 11 năm 2006

Tác giả

Đ1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn.

1.1 Định nghĩa Giả sử B là một họ các tập mở của không gian tôpô X

1.2 Định nghĩa Họ v các tập con của không gian tôpô (X,τ) đợc gọi là tiền cơ sở của tôpô τ nếu

X =  { V : V∈v }

1.3 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian tôpô X Tập con U

A ⊂ V⊂ U.

X

1.4 Định nghĩa Giả sử x là một điểm của không gian tôpô X Họ

B(x) những lân cận của x gọi là một cơ sở tại điểm x nếu với mỗi lân cận V của

x, tồn tại một tập hợp U∈β (x) sao cho U ⊂ V

1.5 Định nghĩa Giả sử A và P là các tập con của không gian tôpô X và

A ⊂ P A đợc gọi là mở (đóng) trong P nếu tồn tại W mở (đóng) trong X sao cho

A = P ∩ W.

1.6 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là T 1 – không gian nếu với

1.7 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là T 2 – không gian nếu với

V của y sao cho U∩ V = ∅.

1.8 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là chính qui nếu với mỗi

sao cho

x ∈ U, F ⊂ V và U∩ V = ∅.

1.9 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm

đ-ợc thứ nhất nếu X có cơ sở lân cận đếm đđ-ợc tại mỗi điểm x ∈ X

1.10 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm

đ-ợc thứ hai nếu X có một cơ sở đếm đđ-ợc.

1.11 Định nghĩa Không gian mêtric X đợc gọi là khả li nếu tồn tại một

1.12 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là mêtric hoá đợc nếu tồn

1.13 Định nghĩa Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là

một phủ của A ⊆ X nếu

A ⊂  {P: P∈P }.

Nếu P = {P: P mở trong X} thì P đợc gọi là phủ mở của X

Nếu P = {P: P compact trong X } thì P đợc gọi là phủ compact của X.

1.14 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là compact nếu mỗi phủ

Tập hợp A của không gian tôpô X đợc gọi là compact nếu không gian con

A của X là một không gian compact, tức là A là không gian compact với tôpô

cảm sinh

1.15 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là compact địa phơng nếu

của X

1.16 Định nghĩa Giả sử P là một phủ của không gian tôpô X Ta nói X

đợc xác định bởi phủ P hoặc P xác định X nếu U là mở (đóng) trong X khi và

1.17 Định nghĩa Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ đếm đợc theo điểm nếu với mỗi điểm của X thuộc không quá đếm đợc các P∈P

1.18 Định nghĩa Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là sao–đếm đợc

P

1.19 Định nghĩa Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là bất khả qui

1.20 Định nghĩa Giả sử P là một phủ của không gian tôpô X Ký hiệu

P < ω là họ tất cả các tập con hữu hạn của P Khi đó

mở U trong X chứa x, luôn tồn tại F∈ P < ω sao cho

x ∈  F ⊂ U.

và K compact trong X, luôn tồn tại F ∈ P < ω sao cho

K ⊂  F ⊂ U.

K ⊂ ( F )0 ⊂  F ⊂ U.

U mở và K compact trong X , luôn tồn tại P ∈ P sao cho

K ⊂ P ⊂ U.

U là một lân cận của x thì tồn tại n ∈ N và P ∈P sao cho

{x} ∪ {x m : m ≥ n} ⊂ P ⊂ U.

1.21 Định nghĩa Giả sử S là một họ các tập con của không gian tôpô X

1.22 Định nghĩa i) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là hữu hạn địa phơng nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U của x chỉ cắt

ii) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là σ–hữu hạn địa phơng nếu P = ∞

=1

n Pn , trong đó mỗi Pn là hữu hạn địa phơng

1.23 Định nghĩa i) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là rời rạc nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U của x sao cho U có giao

ii) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là σ–rời rạc nếu P

= ∞

=1

n Pn , trong đó mỗi Pn là rời rạc

1.24 Định nghĩa Phủ B của không gian tôpô X đợc gọi là cái mịn hay cái làm mịn của phủ U nếu mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong phần tử

1.25 Định nghĩa Không gian chính qui X đợc gọi là paracompact nếu

1.26 Định nghĩa T 1 – không gian, chính qui X đợc gọi là ℵ –không gian nếu X có một k–lới σ–hữu hạn địa phơng

1.27 Định nghĩa T 1 – không gian, chính qui X đợc gọi là ℵ0 –không gian nếu X có một k–lới đếm đợc

1.28 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là σ–không gian nếu X có

1.29 Định nghĩa Giả sử S là tiền cơ sở của không gian tôpô X và P là

nếu K ⊂ U với U∈S và K compact trong X, luôn tồn tại F ∈P < ω sao cho

K ⊂  F ⊂ U.

1.30 Định nghĩa Họ {Aα : α ∈Λ } các tập con của không gian tôpô X

{ }  { }

 Bα:α ∈ Λ' = Bα:α ∈ Λ'

1.31 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là ℵ1 – compact nếu mọi

1.32 Định nghĩa Dãy phần tử {x n } của không gian tôpô X đợc gọi là hội

tụ đến phần tử x 0 của X nếu với một lân cận bất kỳ U của x 0, luôn tồn tại một số

tự nhiên n 0 sao cho với mọi n, nếu n ≥ n 0 thì x n∈ U.

Khi đó ta viết n lim→∞x n = x 0 hoặc x n→ x 0

1.33 Định nghĩa ánh xạ f: X → Y từ không gian tôpô X vào không gian

1.34 Định nghĩa ánh xạ f: X → Y từ không gian tôpô X vào không gian

1.35 Định nghĩa Song ánh f: X → Y từ không gian tôpô X vào không

liên tục

Hai không gian tôpô X và Y đợc gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một

1.36 Định lý ([1]) Nếu X là không gian chính qui, thì các điều kiện sau

đây tơng đơng

a) Không gian X là paracompact.

b) Mỗi phủ mở của X có cái mịn hữu hạn địa phơng.

c) Mỗi phủ mở của X có cái mịn σ–hữu hạn địa phơng mở.

1.37 Mệnh đề ([1]) Đối với không gian tôpô các khẳng định sau là

t-ơng đt-ơng

a) Không gian mêtric hoá đợc.

b) T 1 – không gian, chính qui và có một cơ sở σ–hữu hạn địa phơng c) T 1 – không gian, chính qui và có cơ sở σ–rời rạc.

Đ2 Các tính chất đơn giản của không gian C(X, Y)

Trong mục này, sẽ trình bày một số ký hiệu, khái niệm và tính chất cơ

Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của không

(K,U) = {f ∈ C(X, Y) : f(K) ⊂U}.

Trong [1], ta có các Mệnh đề sau:

2.1 Mệnh đề Họ tất cả các tập (K, U), trong đó K là tập con compact

bất kì trong X và U là một tập mở trong Y, là tiền cơ sở của tôpô τ trong C(X, Y).

1

i = (K i , U i ), trong đó mỗi K i là một tập con compact của X,

2.2 Mệnh đề Nếu Y là T 1 – không gian thì C(X, Y) là T 1 – không gian Chứng minh Giả sử f, g ∈ C(X, Y) sao cho f ≠ g Khi đó, luôn tồn tại x∈X

({x}, U) nên C(X, Y) là T 1 –không gian

2.3 Mệnh đề Nếu Y là T 2 – không gian thì C(X,Y) là T 2 –không gian Chứng minh Giả sử f, g ∈ C(X, Y) sao cho f ≠ g Khi đó, luôn tồn tại x∈X

V) là lân cận của g mà ({x}, U) ∩ ({x}, V) = ∅ Thật vậy, với mỗi h∈({x}, U),

2.4 Mệnh đề Nếu Y là không gian chính qui thì C(X, Y) là không gian

chính qui.

Chứng minh Với mỗi f ∈ C(X, Y) và mỗi lân cận mở W của f ta cần

W = n

1

i = (K i , U i ),

Vì f ∈ (K i , U i ) với mọi i = 1, ,n nên f(K i ) ⊂ U i với mọi i = 1, ,n Vì f là ánh

i = (K i , V i ) Khi đó V là lân cận của f Ta còn phải chứng minh V là tập

có

(K i , V i ) = x∈K i ({x}, V i ). (1)Thật vậy với mỗi f∈ (K i , V i ) ta có f(K i ) ⊂ V i Do đó

Do đó g(x) ∈ V i với mọi x∈ K i hay g(K i ) ⊂ V i Bao hàm thức này chứng tỏ

g∈(K i , V i ) Vậy, ta có

(K i , V i ) = x∈K i ({x}, V i ).

C(X, Y) hay C(X, Y) \ ({x}, V i ) là tập mở Với bất kỳ ϕ ∈ C(X, Y) \ ({x},V i ) ta có

C(X, Y) chứa ϕ Rõ ràng, nếu ψ ∈ ({x}, Y \ V i ) thì ψ(x) ∈ Y \ V i Do đó

ψ∉({x},V i ) Từ đó suy ra

({x}, Y \ V i ) ⊂ C(X, Y) \ ({x},V i )

Y) Từ đó ta có V là tập đóng trong C(X, Y).

Đ3 Tính paracompact của không gian C(X, Y)

paracompact ở đây các ánh xạ đợc giả thiết là liên tục, toàn ánh và các không

3.1 Định lý Nếu Y là ℵ – không gian paracompact và X là ℵ0 –

không gian thì C(X, Y) là ℵ– không gian paracompact.

lên miền giá trị của nó.

Φ(g) = Φ(h) Khi đó g o f = h o f Vì f là ánh xạ phủ compact nên f là toàn ánh và

= h(x) với mọi x ∈ X Vậy g ≡h.

Vì h ∈ Φ (C(X, Y) nên tồn tại g ∈ C(X, Y) sao cho Φ(g) = h hay g o f = h Vì

Φ-1 (h) ∈ V nên Φ-1 (h) ∈ (K i , U i ) với mọi i = 1, , k hay

g o f(S i ) ⊂ U i với mọi i = 1, , k

của h trong Φ (C(X, Y) thoả mãn Φ-1 (U) ⊂ V.

Vậy Φ-1 liên tục Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

3.3 Mệnh đề ([7]) Giả sử S là tiền cơ sở của không gian tôpô X Khi

đó X có k–lới σ –hữu hạn địa phơng khi và chỉ khi X có S–k–lới σ–hữu hạn địa phơng.

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Bây giờ ta chứng minh điều

các họ có tính chất hữu hạn địa phơng là họ có tính chất hữu hạn địa phơng ta

vì vậy họ

F =  {F (E) : E ∈ m }

U= n 1

i = {S i : S i∈S }.

Với mỗi i = 1, , n, vì P là S–k–lới của X nên tồn tại một hợp hữu hạn R i các phần tử của P sao cho C ⊂ R i ⊂ S i Suy ra

và C compact trong X nên tồn tại B 1 , , B n ∈B sao cho

Đặt C i = C ∩ B i , i = 1, , n Khi đó C i là tập compact và C i ⊂ U i ∈ B Theo

3.4 Mệnh đề ([7]) Cho X là ℵ0 –không gian với giả cơ sở đếm đợc P

và Y là ℵ–không gian với k–lới σ–hữu hạn địa phơng ℑ = n ∈ωℑn Giả sử K compact trong C(X, Y), C compact trong X và U mở trong Y sao cho K ⊂ (C, U) Khi đó tồn tại P n∈ P với C ⊂ P n và một hợp hữu hạn R các phần tử của ℑ sao cho

K ⊂ (P n , R) ⊂ (C, U).

Chứng minh Có thể giả sử rằng các họ hữu hạn địa phơng ℑn bao gồm

với phép lấy giao hữu hạn và hợp hữu hạn Gọi Rn là họ tất cả các họ con hữu

F(A) = {f(x) : f ∈ F và x ∈ A}.

Φ: C(X, Y) ì C → Y

(f, x)  f(x)

( f, x) ∈Φ -1 (N) Vì f liên tục trên C nên tồn tại tập compact M là lân cận của

Vì K compact trong C(X, Y), C compact trong X và Φ liên tục nên Φ(

KìC) = K(C) compact trong Y.

B = {B 1 , B 2 , , B k }

là H(A) ⊂  B và H(A) ∩ B i ≠∅ với mọi i = 1, , k Khi đó, họ

{ BB∈Rn , K(C) < B và  B⊂ U }

Gọi {Bn} là họ các phần tử của n ∈ωRn sao cho K(C) < Bn và

U V× K compact trong C(X, Y) vµ A compact trong X nªn K(A) compact trong

Y V× ℑ lµ k–líi cña Y nªn tån t¹i B∈n ∈ ωRn sao cho

m

m ) ⊂ R '

m , R '

m ) ⊂ (C, U).

3.5 Mệnh đề ([7]) Giả sử X là không gian mêtric khả li và Y là

ℵ–không gian paracompact Khi đó C(X, Y) là ℵ–không gian

K là tập con compact, U là tập con mở trong X sao cho K ⊂ U Khi đó, với mọi

a ∈ K ắt tồn tại j a ∈ N sao cho B(a,

j 2

1

) ⊂ U.

Từ B ( x a i ,

i a

j 2

1

Chứng minh Mệnh đề 3.5 Giả sử P = {P 1 , P 2 , } là k–lới đếm đợc của X

Fn, m = {(P m , B ∩ R)  B ∈Bn , R ∈ (ℑn )* và P m∈P }

Khi đó, mỗi F n, m là hữu hạn địa phơng Thật vậy, lấy f ∈ C(X, Y) và x m ∈ P m Vì

hạn các họ có tính chất hữu hạn địa phơng là họ có tính chất hữu hạn địa phơng

vì vậy họ

G =  {F(E) : E ∈ m }

⊂ (C, U) Từ Mệnh đề 3.4 ta suy ra tồn tại P m∈ P và R ∈ (ℑn )* với n nào đó

K(P m ) ⊂ R ⊂ U.

Vì Bn là phủ của Y nên cũng là phủ của K(C) compact Do đó tồn tại phủ

Vì Y là T 1 – không gian, chính qui nên tồn tại lân cận đóng W(y) của y trong K(C) sao cho

y ∈ W(y) ⊂ B i (y).

f (V(x)) ⊂ W(y) ⊂ B i (y).

Họ { V(x) : x ∈ C} là phủ mở của C compact nên tồn tại phủ con hữu hạn {V k

: k = 1, , p} phủ C , trong đó V k = V(x k ) và x k ∈ C với k = 1, , p.

Với mỗi x ∈ C, tồn tại V k với k ∈ {1, , p} sao cho x ∈ V k Vì X là T 1

H kj = { f ∈ K : f(x k ) ∈ W j }.

Ta có

H kj = ({x k },W j ) ∩ K ⊂ K.

Với mỗi k, j tập ({x k },W j ) là đóng trong C(X, Y) (xem chứng minh trong

tại W j sao cho f(x k ) ∈ W j Do đóf ∈ H kj⊂ K Vì thế

K =  { H kj : k = 1, ,p ; j = 1, ,s}.

Với mỗi k = 1, , p và f ∈ H kj tồn tại B i∈ {B i : i = 1, , t} sao cho

f(x k ) ∈ f( V k ) ⊂ W j ⊂ B i Suy ra

f ∈ ( V k , B i ) ⊂ (C k , B i ).

Do đó H kj⊂ (C k , B i ).

Mệnh đề 3.4 ta suy ra tồn tại P k∈P sao cho C k⊂ P k và H kj (P k ) ⊂ B i

Từ P = {P 1 , P 2 , } khép kín đối với phép lấy giao hữu hạn ta có thể giả sử mỗi

G Do đó G là S–k–lới của C(X, Y)

Vậy C(X, Y) là ℵ –không gian

3.7 Mệnh đề ([7]) Giả sử S = n∈ωSn là tiền lới của không gian tôpô Z

và giả sử rằng với mỗi n ∈ ω, tồn tại phủ hữu hạn địa phơng mở vn của Z sao cho mỗi phần tử của họ này chỉ cắt một số hữu hạn các phần tử của Sn Khi

đó, Z là σ–không gian, paracompact

Chứng minh Có thể giả sử Sn ⊂Sn+1 với mỗi n∈ω Từ điều kiện của vn ta

W(T, n) =  { V ∈ vn : V ∩ T ≠∅ }.

U(z) = Z –  { V : z ∉ V , V ∈ vn }

là lân cận của z cắt W(T, n) chỉ nếu tồn tại V ∈ vn và T ∈ℑn sao cho V∩ T≠∅

và z ∈ V Vì z ∈ V chỉ với hữu hạn V ∈ vn (vn hữu hạn địa phơng) và V∩

T≠∅ chỉ với một số hữu hạn T ∈ℑn nên họ Wn = { W(T, n) : T ∈ℑn }

là hữu hạn địa phơng

ℑn (U) = { T ∈ℑn : T ⊂ U T với U T nào đó thuộc U}.

W'(T) = W(T,n) ∩ U T

và

W '

n = {W (T) : T ’ ∈ℑn (U) }.

n là hữu hạn địa phơng Khi đó

3.8 Mệnh đề ([7]) Không gian C(X, Y) trong Mệnh đề 3.5 thoả mãn

điều kiện của Mệnh đề 3.7.

Để chứng minh Mệnh đề ta cần Bổ đề sau

3.9 Bổ đề Giả sử X là không gian tôpô Nếu X có k–lới đếm đợc thì X có giả cơ sở đếm đợc.

Chứng minh Giả sử P là k–lới đếm đợc của X Khi đó P * là giả cơ sở