Một số vấn đề về không gian dãy

nói về điều kiện cần và đủ để một tập con của không gian là đóng: "Tập hợp con Fcủa không gian mêtric là đóng khi và chỉ khi với một dãy xn những tử của F, nếulim xn = x0 ∈X thì x0 ∈ F"

Trờng đại học Vinh Khoa Toán

Lớp : 40A 2

♣2 Một số tính chất của không gian dãy 16

Mở đầu

Không gian mêtric là một không gian tôpô rất quen thuộc đối với chúng ta

Có nhiều tính chất hay của không gian này đã đợc khái quát lên và từ đó xuất hiệnnhững không gian tôpô đặc biệt rất đáng quan tâm Một trong những tính chất đó

3

nói về điều kiện cần và đủ để một tập con của không gian là đóng: "Tập hợp con Fcủa không gian mêtric là đóng khi và chỉ khi với một dãy (xn) những tử của F, nếulim xn = x0 ∈X thì x0 ∈ F"

Khái quát tính chất này lên ta đợc lớp các không gian dãy đợc định nghĩa

nh sau: " Không gian tôpô X là không gian dãy khi và chỉ khi tập con A của X

đóng nếu không có dãy nào trong A hội tụ về điểm ngoài A" Đối với không gianmêtric sự hội tụ đợc xây dựng dựa trên mêtric có trong không gian đó, nh vậy xemxét định nghĩa về không gian dãy ta thấy rằng ở đây cần xây dựng khái niệm hội

tụ của dãy trong không gian tôpô tổng quát

Sau khi xây dựng khái niệm hội tụ của dãy trong không gian tôpô , luận văn

đã đa ra khái niệm không gian dãy, kèm theo đó là khái niệm không gian Frechet :

"Không gian tôpô X là không gian Frechet nếu với mọi A ⊂ X và mọi x ∈ A tồntại dãy (xn) trong A hội tụ đến x" Khái niệm không gian Frechet cũng là kháiniệm đợc xây dựng dựa trên việc khái quát một tính chất đặc biệt trong không gianmêtric

Trong khuôn khổ hạn hẹp của luận văn, chúng ta chỉ đề cập đến một số vấn

đề cơ bản về không gian dãy, đó là một số tính chất về không gian dãy nh tính ditruyền, những tính chất gắn liền với khái niệm tôpô yếu và liên quan đến ánh xạ

đóng, ánh xạ thơng, không gian dãy và tính compact

Cụ thể, ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luậnvăn đợc bố cục nh sau:

♣1 Một số khái niệm cơ bản Phần này trình bày khái niệm không gian

dãy, không gian Frechet, không gian với tôpô yếu và một số mệnh đề nói về tínhchất của một số loại ánh xạ với mục đích chuẩn bị cho việc trình bày các phầntiếp theo

♣2 Một số tính chất của không gian dãy Phần này trình bày về tính di

truyền của không gian dãy và tính chất của không gian dãy liên quan đến ánh xạ

♣3 Không gian dãy và tính compact Phần này trình bày một số tính chất

compact trong không gian dãy

Trong khoá luận này các không gian đều là T2, các ánh xạ đều toàn ánh liêntục

Cuối cùng nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Trần Văn Ân,ngời trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn Đồng thời cho tôi gửi lời cảm ơntới các thầy cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình làmluận văn

Mặc dù đã cố gắng nhiều nhng do điều kiện thời gian và hạn chế về mặttrình độ, luận văn chắc không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy côgiáo và bạn đọc góp ý để luận văn đợc hoàn chỉnh hơn

Vinh, tháng 4 năm 2003.

Tác giả

t1 một số kháI niệm cơ bản 1.1 Định nghĩa a Cho tập X ≠ ∅ Họ τ các tập con của X đợc gọi làmột tôpô trên X nếu thoả mãn :

Lúc đó cặp (X,τ) đợc gọi là không gian tôpô , mỗi A∈τ gọi là một tập

mở Phần bù của tập mở đợc gọi là tập đóng, mỗi phần tử xủa X gọi là một điểm

trong không gian tôpô (X,τ) Nếu không sợ nhầm lẫn, ta viết không gian tôpô(X,τ) là không gian X

b Cho không gian tôpô (X,τ) và B ⊂τ B đợc gọi là cơ sở của tôpôτ

nếu với mọi V∈τ và với mọi x∈V tồn tại U∈B sao cho x∈U⊂V

c Cho không gian tôpô (X,τ), x∈X Tập U ⊂ X chứa x đợc gọi là lân cận của điểm x nếu tồn tại V∈τ sao cho x∈U⊂V

Gọi U (x) là họ tất cả các lân cận của x Họ con B(x) của U(x) đợc gọi là

cơ sở lân cận tại điểm x nếu với mọi V∈U(x) , tồn tại U∈B(x) sao cho x∈U⊂V

1.2 Mệnh đề ([1]) Cho họ B các tập con của tập X ≠∅ thoả mãn:

Dãy (xn) đợc gọi là hội tụ về điểm x nếu với lân cận V bất kỳ của x thì

bắt đầu từ lúc nào đó, các phần tử của dãy (xn) đều nằm trong V

Ký hiệu dãy xn hội tụ về x là xn→ x Lúc đó ta gọi x là điểm hội tụ của dãy xn

1.4 Định nghĩa a Không gian tôpô X đợc gọi là không gian dãy nếu

tập con A của X là đóng khi và chỉ khi A chứa mọi điểm hội tụ của dãy bất kỳtrong A

b Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet nếu với mọi A⊂ X vàmọi x ∈A, luôn tồn tại dãy (xn) trong A mà xn hội tụ về x

c Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu với mọi điểm x∈X luôn có cơ sở lân cận đếm đợc

1.5 Định lí Mọi không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất đều là

không gian Frechet và mọi không gian Frechet đều là không gian dãy

Chứng minh.• Giả sử X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất

A⊂X và x∈A Ký hiệu {Ui |i=1,2, } là cơ sở lân cận đếm đợc tại điểm x Vì

U1∩U2∩ ∩Ui là lân cận của x và x∈A nên tồn tại xi∈ U1∩U2∩ ∩Ui∩A.Khi đó {xi}⊂A và xi hội tụ về x Do vậy X là không gian Frechet

• Giả sử X là không gian Frechet và A⊂X là tập chứa mọi điểm hội tụ củadãy bất kỳ trong A Lấy tuỳ ý x ∈A Vì X là không gian Frechet, nên tồn tại dãy(xn) trong A hội tụ về x Theo giả thiết ta có x ∈ A Vậy A đóng Vì vậy X làkhông gian dãy

1.6 Ví dụ a Mọi không gian mêtric đều là không gian thoả mãn tiên đề

1 1

+ })), k0, n0∈N*}

B = B (1i +1j ) ∪ B (1i ) ∪ B (0)

Ta sẽ chứng minh B là cơ sở của một tôpô trên X Thật vậy :

Bây giờ ta có nhận xét: Xi∩Xk = ∅ với i ≠ k Thật vậy, giả sử i > k, ta có

i2> i2-1 = (i-1)(i +1) ≥ k(i+1), suy ra i2 > k(i+1), tức là k1 >1i + 2

Nếu U∈ B (1i +1j ) hoặc V∈ B (1i +1j ) thì ta có hoặc U∩V = ∅ hoặc U∩V

= {1i +1j } do đó U∩V∈ B

Nếu U∈B (1i ) và V∈ B (k1 ) với i ≠ k thì vì U⊂Xi và V⊂Xk nên từ nhậnxét trên ta có U∩V = ∅

Nếu U,V∈B ( 1i ) thì ta có thể xem U = Xi \ {1i +1j }, V= Xi \ j∪ =ni2 {1i +1j}

Khi đó U∩V= Xi \ max{j∪ =mi2,n}{1i +1j }∈ B

Nếu U∈ B (1i ), V∈ B (0) ta có

Nếu Xi∩V = ∅ thì U∩V = ∅

Nếu Xi∩V ≠∅ thì với x∈ U∩V ta có các trờng hợp:

Trờng hợp x = 1i +1j với j ≥ i2 nào đó thì chọn W = {x}∈ B ta đợc

Nếu U,V∈ B (0) thì hiển nhiên U∩V∈ B (0)

Vậy trong mọi trờng hợp ta đều chỉ ra đợc W sao cho x∈W⊂ U∩V (2)

Từ (1) và (2) và mệnh đề 1.2 ta suy ra B là cơ sở của một tôpô nào đó trên X

Ta có không gian X không phải là không gian Frechet Thật vậy:

Vì mọi lân cận của 0 đều chứa những phần tử dạng 1i +1j ∈ X \ {0,1,1/2, } nên

ta có 0∈ X \ 0{ 1, 1, 2/ , } Tuy nhiên không có dãy nào trong X \ {0,1,1/2, } hội tụ về 0.Giả sử ngợc lại nếu tồn tại dãy xn hội tụ về 0 Khi đó xn∈X \ {0,1,1/2, } với mọi

j i

đếm đợc tại x nên tồn tại dãy (xk) mà xk∈Vk∩A và xk hội tụ về x , do đó x∈A

Nếu x= 0, giả sử ngợc lại 0∉A Trớc hết ta nhận xét rằng tồn tại một dãy {k}

các số nguyên dơng để

k

1

∈ A Thật vậy nếu điều này không xẩy ra thì tồn tại

k1∈N* sao cho với mỗi k ≥ k1 thì ta có k1 ∉ A Suy ra với mỗi k ≥ k1, tồn tại lâncận Vk của k1 mà Vk ∩ A = ∅ Đặt V = {0}∪ ( ∪=∞

1

k

k Vk ) thì V là lân cận của 0nhng V ∩ A = ∅ Điều này mâu thuẫn với giả thiết 0 ∈A Vậy tồn tại dãy {k}

Vì vậy ta suy ra nếu x∈A thì x∈A Do đó A đóng trong X hay X là khônggian dãy

1.7 Định lí Cho X là không gian Frechet, nếu x là điểm giới hạn của dãy

(x n ) trong không gian X thì tồn tại dãy con ( xnk ) của dãy (x n ) hội tụ về x.

Chứng minh Vì x là điểm giới hạn của dãy xn nên x ∈{x n n∈N*} Do X làkhông gian Frechet nên tồn tại dãy (xnk ) ⊂ (xn) để xnk hội tụ về x

*Nhận xét Điều này không còn đúng đối với không gian dãy

Ví dụ : Nếu lấy không gian dãy X ở ví dụ 1.6b , thì ta có:

Tập A = X \ {0,1, 21 , } đếm đợc nên có thể đánh số thành dãy xn ,

0 ∈ Lim xn vì {xn} chứa tất cả các phần tử dạng 1i +1j trong khi lân cận tuỳ ý của

0 chứa đợc vô hạn phần tử nh vậy Tuy nhiên từ chứng minh ở ví dụ 1.6.b, ta suy

ra không có dãy con nào của dãy ( xn) hội tụ về 0

1.8 Định nghĩa Giả sử X,Y là các không gian tôpô.

a ánh xạ ƒ : X → Y là ánh xạ đóng khi và chỉ khi ƒ(F) đóng trong Y nếu F

đóng trong X

b ánh xạ liên tục ƒ : X → Y từ không gian X lên không gian Y đợc gọi là

ánh xạ thơng nếu tồn tại phép đồng phôi g : X/E → Y sao cho ƒ = goq trong đó E

là quan hệ tơng đơng trên X, X/E là không gian thơng xác định bởi không gian X

và quan hệ E, q : X → X/E là phép chiếu tự nhiên từ X lên X/E

ánh xạ ƒ : X →Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y đợc gọi là ánh xạ thơng di truyền nếu với mỗi B ⊂Y thì hạn chế ƒ|ƒ-1(B) là ánh xạ thơng

c ánh xạ liên tục ƒ : X →Y từ không gian X lên không gian Y đợc gọi là

ánh xạ giả mở nếu với mọi y ∈ Y và với mọi lân cận U mở của ƒ-1(y) thì ƒ(U) làlân cận của y

1.9 Mệnh đề Giả sử ƒ : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y Khi đó các điều kiện sau tơng đơng:

(a) ƒ là ánh xạ thơng.

(b) ƒ-1 (U) mở trong X khi và chỉ khi U mở trong Y.

(c) ƒ-1 (F) đóng trong X khi và chỉ khi F đóng trong Y.

Chứng minh (a)⇒ (b) Giả sử ƒ là ánh xạ thơng, khi đó tồn tại phép đồng phôi

g : X/E → Y sao cho ƒ = goq Khi đó ta có ƒ-1(U) = (goq)-1(U) = q-1(g-1(U)) Ta có

ƒ-1(U) mở trong X khi và chỉ khi q-1(g-1(U)) mở trong X khi và chỉ khi g-1(U) mởtrong X/E Vì g là phép đồng phôi nên điều này xảy ra khi và chỉ khi U mở trong

Y

(b)⇒ (c) Vì X\ ƒ-1(F) = ƒ-1(Y\ F), nên ƒ-1(F) đóng trong X khi và chỉ khi X\ ƒ-1(F) mở trong X tức là khi và chỉ khi ƒ-1( Y\ F) mở trong X Điều này xảy rakhi và chỉ khi Y\ F mở trong Y tức là khi và chỉ khi F đóng trong Y

(c)⇒ (a) Ký hiệu X/E = {ƒ-1(y) | y∈Y}.Đặt g: X/E → Y cho bởi g(ƒ-1(y)) = y.Khi đó phép chiếu q : X → X/E liên tục và g là song ánh Bây giờ ta chứng minh g

là đồng phôi Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh rằng với U ⊂ X/E,

(c) Nếu y ∈ A với A ⊂ Y thì f -1 (y) ∩ f − 1 (A)≠∅

Chứng minh (a) ⇒ (b) Giả sử S là tập hợp con bất kì của Y và U ⊂ S là tập

mà (ƒ|ƒ-1(S))-1(U) mở trong ƒ-1(S) Khi đó tồn tại tập hợp mở V trong X để

(ƒ|ƒ-1(S))-1(U) = ƒ-1(U) ∩ƒ-1(S) = V ∩ƒ-1(S)

Do đó ƒ(ƒ-1(U)) ∩ƒ-1(S) = ƒ(V ∩ ƒ-1(S)) Suy ra U ∩ S = ƒ(V) ∩ S Vì U ⊂ S nên

U = ƒ(V) ∩ S Hơn nữa với mỗi y ∈ U ⊂ S thì (ƒ-1 (y) ⊂ƒ-1 (U) ∩ ƒ-1 (S) ⊂ V nên

V là lân cận của ƒ-1 (y) Vì ƒ là ánh xạ giả mở nên ƒ(V) là lân cận của y trong Y

Do đó U = ƒ(V) ∩ S là lân cận của y trong S Từ đó suy ra U là tập mở trong S.Vậy ƒ|ƒ-1(S) : ƒ-1(S) → S là ánh xạ thơng

(b) ⇒ (a) Giả sử y là điểm bất kỳ thuộc Y và U là lân cận mở của f-1(y) Đặt

A = Y\ƒ(U), B = ƒ-1 (A), Y' = A ∪ {y}, X' = ƒ-1(Y') thì ta có

X' = ƒ-1(A) ∪ƒ-1(y) = B ∪ƒ-1(y)

Lúc đó U ∩ B = ∅ và ƒ-1(y) ⊂ U , do đó U ∩ X' = U ∩ (B ∪ ƒ-1(y)) = ƒ-1(y) Vì U

mở trong X nên ƒ-1(y) mở trong X' Xét ánh xạ ƒ|X' : X' → Y', ƒ|X' là ánh xạ thơng,vì thế từ ƒ-1(y) = (ƒ|X')-1 (y) mở trong X' ta suy ra {y} mở trong Y' Do đó y ∉A ,nghĩa là

y ∈ Y \ A =Y\ )(\UfY= Int ƒ(U)

Vì vậy ƒ(U) là lân cận của y trong Y

(a) ⇒ (c) Nếu y ∈ A , giả sử ngợc lại ƒ-1(y) ∩ f− 1 (A) = ∅ Khi đó ƒ

-1(y) ⊂ X \ f− 1 (A) , do đó X\ f− 1 (A) là lân cận của ƒ-1(y) Vì ƒ là ánh xạ giả mởnên ƒ (X \ 1 ( )

A

f− thì x ∉ƒ-1(A) nên ƒ(x) ∉A Do đó

ƒ (X \ f− 1 (A)) ∩ A = ∅,mâu thuẫn với điều vừa suy ra ở trên Vậy ƒ-1 (y) ∩ 1 ( )

A

f − ≠∅.(c) ⇒ (a) Giả sử y là điểm bất kỳ thuộc Y và U là lân cận mở tùy ý của ƒ-1(y)trong X Vì U ∩ƒ-1(Y \ ƒ(U)) = ∅ và U mở trong X nên

U∩ f− 1 ))U(f\Y( = ∅.

Mà ƒ-1(y) ⊂ U nên ƒ-1(y) ∩f − 1 ))U(f\Y(= ∅ Từ đó theo giả thiết (c) ta có y∉

)U(f\Y hay y ∈ Y\ )U(f\Y = Intƒ(U) ⊂ƒ(U) Vậy ƒ(U) là lân cận của y trong Y

1.11 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là có tôpô yếu với cái phủ V

nếu F ⊂ X là đóng trong X khi và chỉ khi F ∩ C đóng trong C với mọi C∈V.

*Nhận xét Nếu thay từ “ đóng” bởi từ “mở” trong định nghĩa trên ta đợc địnhnghĩa tơng đơng Thật vậy, với F ⊂ X , ta có :

(X\ F) ∩ C = C\ F = C\ (F ∩ C)

Do đó F ∩ C mở trong C khi và chỉ khi (X\ F) ∩ C đóng trong C và F ∩ C

đóng trong C khi và chỉ khi (X\ F) ∩ C mở trong C Vì vậy, nếu X thoả mãn địnhnghĩa 1 thì ta có F ∩ C mở trong C với mọi C∈V khi và chỉ khi X\F đóng trong X

tức là khi và chỉ khi F mở trong X Do đó X thoả mãn định nghĩa 2

Chiều ngợc lại chứng minh tơng tự

1.12 Mệnh đề Cho ƒ : X → Y là ánh xạ đóng từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y và X chính qui

Khi đó X có tôpô yếu với cái phủ U = { ƒ-1 (Cα) | α ∈Λ} khi và chỉ khi Y có

tôpô yếu với cái phủ V = { Cα|α∈Λ}

Chứ2ng minh a Cần Giả sử X có tôpô yếu với cái phủ

U = {ƒ-1(Cα) |α∈Λ}.Khi đó vì ƒ là toàn ánh nên ta có :

Nhận xét rằng nếu ƒ : X → Y là ánh xạ liên tục thì với mọi B ⊂Y, ánh xạ

ƒ| ƒ-1(B) cũng liên tục Do đó ta có ƒ-1(F ∩ Cα) đóng trong ƒ-1(Cα) với mọi α ∈ Λ

hay ƒ-1(F) ∩ƒ-1(Cα) đóng trong ƒ-1(Cα) với mọi α∈Λ Theo giả thiết của điều kiệncần ta suy ra ƒ-1(F) đóng trong X Vì ƒ đóng nên ta có F = ƒ (ƒ-1(F)) đóng trong Y

Từ (1) và (2) ta suy ra Y có tôpô yếu với cái phủ V = { Cα|α∈Λ}

b Đủ Giả sử Y có tôpô yếu với cái phủ V = { Cα| α∈Λ}

Khi đó ta có :

(1) ∪∈Λ

α ƒ-1(Cα) = ƒ-1( ∪Λ

α Cα) = ƒ-1(Y) = X

(2) Giả sử E ⊂ X và E ∩ƒ-1(Cα) đóng trong ƒ-1(Cα) với với mọi α∈Λ

Ta chứng minh rằng E đóng trong X Giả sử E không đóng trong X Khi đótồn tại xo ∈ E\ E Vì ƒ(xo) ∈ Y = ∪Λ

α Cα nên tồn tại αo∈Λ sao cho ƒ(xo) ∈ Cαo (*)

Ta có xo∉ E ∩ƒ-1(ƒ(xo)) (i) Nhờ (*) ta có ƒ-1(ƒ(xo)) ⊂ƒ-1 (Cαo), do đó

E ∩ƒ-1(ƒ(xo)) = E ∩ƒ-1(ƒ(xo)) ∩ƒ-1(Cαo)

Mặt khác, vì E đóng trong ƒ-1(Cαo) nên ta có E = E′ ∩ ƒ-1(Cαo) với E′ là tập

đóng trong X, vậy E ∩ ƒ-1(ƒ(xo)) = E′ ∩ ƒ-1(Cαo) ∩ ƒ-1(ƒ(xo)) = E′∩ ƒ-1(ƒ(xo)) Vì

{ƒ(xo)} đóng trong Y nên ƒ-1(ƒ(xo)) đóng trong X Do đó E′ ∩ƒ-1(ƒ(xo)) đóng trong

X hay E ∩ ƒ-1(ƒ(xo)) đóng trong X (ii) Từ (i) và (ii) kết hợp với tính chính quicủa không gian X , ta chỉ ra đợc lân cận mở O của xo sao cho

-1(Cα) và nhờ tính đóng của ánh xạ ƒ ta suy ra ƒ(A) ∩ Cα đóng trong Cα Vì thế ta

có ƒ(A) ∩ Cα đóng trong Cα với mọi α∈Λ.Theo giả thiết của điều kiện đủ ta có

ƒ(A) đóng trong Y (iv) Từ (iii) và (iv) suy ra điều vô lí Vậy E phải đóng trong

X Do đó X có tôpô yếu với cái phủ U

1.13 Mệnh đề Cho ánh xạ thơng ƒ : X → Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y Nếu X có tôpô yếu với cái phủ C = {Cα| α∈Λ} thì Y có tôpô yếu với cái phủ ƒ (C) = { ƒ(Cα)| α∈Λ}.

Chứng minh Vì ƒ là toàn ánh nên ta có ∪∈Λ

α ƒ(Cα) = ƒ(α∪∈ΛCα) =ƒ(X) =Y.Mặt khác, nếu F⊂Y mà F∩ƒ(Cα) đóng trong ƒ(Cα) với mọi α∈Λ thì

F∩ƒ(Cα) = F’∩ƒ(Cα)với F′ đóng trong Y Lúc đó ta có

ƒ-1(F)∩Cα =ƒ-1(F∩ƒ(Cα))∩Cα = ƒ-1(F′∩ƒ(Cα))∩Cα =ƒ-1(F′)∩ƒ-1(ƒ(Cα))∩Cα = ƒ-1(F′)∩Cα

đóng trong Cα Vậy ƒ-1(F)∩Cα đóng trong Cα với mọi α∈Λ Từ giả thiết X có tôpôyếu với cái phủ C , suy ra ƒ-1(F) đóng trong X Do ƒ là ánh xạ thơng ta suy ra F

đóng trong Y Vậy Y có tôpô yếu với cái phủ ƒ(C )

1.14 Mệnh đề Cho ánh xạ liên tục ƒ : X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Khi đó nếu x là điểm giới hạn (điểm hội tụ) của dãy (x n ) trong X thì ƒ(x) là điểm giới hạn (điểm hội tụ) của dãy ƒ(x n ) trong Y

Chứng minh Giả sử x là điểm giới hạn của dãy (xn) trong X và V là lân cậnbất kì của ƒ(x) Vì ƒ liên tục nên ƒ-1(V) là lân cận của x, do đó tồn tại dãy con (xn

k ) của dãy (xn) sao cho xnk ∈ƒ-1(V) Khi đó ta có ƒ( xnk ) là dãy con của dãy ƒ(

xn) mà ƒ( xnk )∈V Vậy ƒ(x) là điểm giới hạn của dãy ƒ(xn) trong Y

Nếu x là điểm hội tụ của dãy (xn) thì chứng minh tơng tự ta suy ra ƒ(x) là

điểm hội tụ của dãy ƒ(xn)

1.15 Định lí Cho ƒ : X → Y là ánh xạ đóng, X và Y là các không gian chính qui, Y là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất Khi đó X thoả mãn tiên

đề đếm đợc thứ nhất khi và chỉ khi ƒ-1 (y) thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất với mọi y thuộc Y

Chứng minh a Cần Giả sử X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất, y là điểm

bất kì thuộc Y và x là điểm bất kì thuộc ƒ-1(y) Gọi U = {Ui | i =1,2, } là cơ sở lâncận đếm đợc tại x trong X Lúc đó V={Vi = Ui ∩ƒ-1(y)| i =1,2, } là cơ sở lân cận