Một số vấn đề về không gian sn mêtric hoá dược

11 1.3 Đặc trưng của các không gian với sn -lưới đếm được theo điểm.. Dựa vào tính chất của sn - lưới người ta đưa ra cáckhái niệm về không gian snf - đếm được, sn - mêtric hóa được và n

Lời nói đầu 3

Chương 1 Các không gian với sn - lưới 5

1.1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1.1 Định nghĩa 5

1.1.2 Nhận xét 5

1.1.3 Định nghĩa 5

1.1.4 Định nghĩa 6

1.1.5 Định nghĩa 7

1.1.6 Định nghĩa 7

1.1.7 Định nghĩa 7

1.1.8 Định nghĩa 8

1.1.9 Định nghĩa 8

1.2 sn - lưới và mối quan hệ với các loại lưới khác 8

1.2.1 Mệnh đề 8

1.2.2 Mệnh đề 10

1.2.3 Mệnh đề 10

1.2.4 Mệnh đề 11

1.3 Đặc trưng của các không gian với sn -lưới đếm được theo điểm 11

1.3.1 Bổ đề 11

1.3.2 Định lý 11

1.3.3 Định lý 13

1.3.4 Bổ đề 14

1.3.5 Định lý 15

1.3.6 Bổ đề 18

1.3.7 Định lý 18

1.3.8 Hệ quả 20

Chương 2 Không gian sn - mêtric hoá được 21

2.1.1 Định nghĩa 21

2.1.2 Định nghĩa 21

2.1.3 Định nghĩa 21

2.1.4 Định nghĩa 21

2.1.5 Mệnh đề 22

2.2 Các đặc trưng của không gian sn - mêtric hoá được 23

2.2.1 Bổ đề 23

2.2.2 Định lý 23

2.2.3 Định lý 24

2.2.4 Hệ quả 24

2.2.5 Bổ đề 24

2.2.6 Bổ đề 24

2.2.7 Bổ đề 24

2.2.8 Định lý 25

2.2.9 Bổ đề 27

2.2.10 Bổ đề 27

2.2.11 Định lý 27

2.3 Các định lý ánh xạ về không gian sn - mêtric hoá được 29 2.3.1 Bổ đề 29

2.3.2 Hệ quả 30

2.3.3 Bổ đề 30

2.3.4 Định lý 30

2.3.5 Bổ đề 33

2.3.6 Định lý 33

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

lời nói đầu

Lý thuyết về các phủ, đặc biệt là các phủ đếm được theo điểm đã vàđang được nhiều chuyên gia tôpô trên thế giới quan tâm sn - lưới đượcgiới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi S.Lin[8], nó rộng hơn cs - lưới vàhẹp hơn cơ sở yếu Dựa vào tính chất của sn - lưới người ta đưa ra cáckhái niệm về không gian snf - đếm được, sn - mêtric hóa được và nghiêncứu đặc trưng của các không gian này Hướng nghiên cứu này đã thu hút

sự quan tâm của nhiều tác giả, những người đạt những kết quả đáng kểtrong lĩnh vực này phải kể đến là S.Lin, Y.Ge, Y.Tanaka, Zh.Luo, Mục đích của chúng tôi là tiếp cận hướng nghiên cứu này để tìm hiểucác tính chất, mối quan hệ của sn - lưới với các loại lưới khác, các tínhchất của các không gian với sn - lưới và các không gian sn - mêtric hóađược

Với mục đích trên, luận văn được viết thành hai chương

Chương 1 Các không gian với sn - lưới

Phần đầu của chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm

và kết quả cơ bản về các loại lưới, các loại không gian tôpô, các loại ánh

xạ đặc biệt như cs - lưới, cs* - lưới, ánh xạ compăc, σ - ánh xạ, màchương cần dùng trong luận văn

Phần thứ hai, trình bày các tính chất của sn - lưới với các loại lướikhác

Phần thứ ba, trình bày các đặc trưng của không gian với sn - lướiđếm được theo điểm

Chương 2 Không gian sn - mêtric hóa được.

Phần thứ nhất, dành cho việc bổ sung thêm một số khái niệm và kếtquả cơ bản cần dùng về sau

Phần thứ hai, trình bày một số điều kiện để một không gian tôpô là

sn - mêtric hóa được thông qua các tính chất của sn - lưới

Phần thứ ba, trình bày một số đặc trưng của không gian sn - mêtrichóa được bởi ảnh của các không gian mêtric qua các ánh xạ đặc biệt.Các kết quả trong luận văn chủ yếu là đã có trong các tài liệu thamkhảo, chúng tôi đã hệ thống trình bày theo bố cục mới, chứng minh chitiết nhiều kết quả mà trong các tài liệu không chứng minh hoặc chứngminh còn vắn tắt như: Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.2.4 Bên cạnh đó chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả mới như Định lý1.3.5, Định lý 1.3.7, Hệ quả 1.3.8 và Định lý 2.2.11

Luận văn được hoàn thành tại khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đạihọc Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng.Nhân dịp này tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và cảm ơncác thầy giáo trong tổ giải tích đã giảng dạy, chỉ bảo cho tôi trong suốtthời gian học tập và nghiên cứu Cũng nhân dịp này cho tôi được gửi lờicảm ơn các thầy giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học, bạn bè và giađình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn và không tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp củathầy cô giáo và bạn bè để luận văn ngày được hoàn thiện

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

chương 1 các không gian với sn -lưới

Trong mục này chúng tôi đưa ra các tính chất cơ bản, mối quan hệcủa một số loại lưới, đặc biệt là sn - lưới, cs - lưới, k - lưới, sn - lướiđều , và một số tính chất liên quan Trong luận văn này, nếu không giảithích gì thêm thì các không gian được hiểu là T1, chính qui còn các ánh

xạ là toàn ánh và liên tục

1.1 Kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày những kiến thức cơ bản cần dùng trong luận văn1.1.1 Định nghĩa ([11]) Giả sử X là không gian tôpô và P là mộtphủ của X

(1) P được gọi là k - lưới nếu mỗi tập compact K và mỗi lân cận Vcủa K tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ V Trong đó

ta viết ∪F thay cho ∪{P : P ∈ F }

(2) P được gọi là cs - lưới nếu với mỗi x ∈ X và V là lân cận của x, mỗidãy {xn} hội tụ tới x tồn tại P ∈ P sao cho {xn; n > m}∪{x} ⊂ P ⊂ Vvới m ∈ N∗ nào đó

(3) P được gọi cs* - lưới nếu mỗi x ∈ X, và mỗi lân cận V của x,mọi dãy {xn} ⊂ X mà xn → x tồn tại dãy con {xnk} và P ∈ P sao cho{xnk ; k ∈ N∗}∪{x}⊂ P ⊂ V

(4) X được gọi là ℵ không gian nếu X có k - lưới σ - hữu hạn địaphương

1.1.2 Nhận xét cs - lưới ⇒ cs∗ - lưới

1.1.3 Định nghĩa([10]) Giả sử X là không gian tôpô và P ⊂ X.(1) Dãy {xn} được gọi là có đuôi ở trong P hay ở trong P từ một lúcnào đó nếu xn → x và tồn tại m ∈ N∗ sao cho {xn ; n > m} ∪ {x}⊂ P

(2) Giả sử x ∈ X P được gọi là lân cận dãy của x nếu {xn} ⊂ X mà

xn → x thì {xn} có đuôi ở trong P Nói cách khác, P là lân cận dãy của

x nếu mỗi dãy {xn} ⊂ X mà xn → x thì tồn tại m ∈ N sao cho xn ∈ Pvới mọi n ≥ m

(3) P được gọi mở dãy trong X nếu P là lân cận dãy của mọi điểmthuộc P

(4) X được gọi là không gian dãy nếu mỗi tập mở dãy của X là mởtrong X

(5) X được gọi là không gian Fréchet, nếu mọi A ⊂ X và mọi x ∈ A,tồn tại dãy trong A hội tụ đến x

(6) Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompăc, nếu mỗiphủ mở của X tồn tại một phủ mịn mở hữu hạn địa phương

1.1.4 Định nghĩa ([3]) Giả sử P là họ các tập con của X

(1) P là họ đếm được theo điểm (tương ứng hữu hạn theo điểm) nếumỗi x ∈ X thì x thuộc đếm được (tương ứng thuộc hữu hạn) phần tửcủa P

(2) P là họ sao - đếm được (tương ứng sao - hữu hạn) nếu mỗi P ∈ Pthì P giao với đếm được (tương ứng hữu hạn) các phần tử thuộc P.(3) P là họ đếm được (tương ứng hữu hạn) địa phương nếu mỗi x ∈ Xtồn tại lân cận U của x sao cho U giao với không quá đếm được (tươngứng hữu hạn) các phần tử của P

(4) P là họ σ - (P) nếu

P = ∪∞

n=1Pn,trong đó Pn là họ có tính chất (P ) với mọi n ∈ N∗

(5) Họ P = {Pα : α ∈ ∧} được gọi là bảo tồn phép lấy bao đóng ditruyền (nói gọn HCP ) nếu:

(a) Px là lưới tại x nghĩa là x ∈ ∩Px và mỗi lân cận U của x trong

X tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ U , trong đó ta viết ∩Px thay cho

∩{P : P ∈ Px}

(b) Nếu U, V ∈ Px tồn tại W ∈ Px sao cho W ⊂ U ∩ V

(1) P được gọi là cơ sở yếu của X nếu với G ⊂ X, x ∈ G tồn tại

P ∈ Px sao cho P ⊂ G thì G là tập mở trong X Khi đó Px được gọi là

cơ sở yếu tại x

(2) P được gọi là sn - lưới của X nếu mỗi phần tử thuộc Px là lâncận dãy của x Khi đó ta cũng gọi Px là sn - lưới tại x

1.1.7 Định nghĩa ([13]) Giả sử X là không gian tôpô

(1) X được gọi g - mêtric hoá được (tương ứng sn - mêtric hoá được)nếu X có cơ sở yếu (tương ứng sn - lưới) σ - hữu hạn địa phương

(2) X được gọi là gf - đếm được (tương ứng snf - đếm được) nếu X

có cơ sở yếu (tương ứng sn - lưới)

x∈X

Px

sao cho Px là đếm được với mọi x ∈ X

1.1.8 Định nghĩa ([13]) Giả sử P là phủ không gian X, kí hiệuInts(∪F ) = {x ∈ X : ∪ F là lân cận dãy của x}

P được gọi là có tính chất (B) nếu với mọi x ∈ X, mọi lân cận U của

x tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho:

1.2 sn - lưới và mối quan hệ với các loại lưới khác

Mục này trình bày mối quan hệ giữa sn - lưới, sn - lưới đều với cơ sởyếu, cs - lưới , cs∗ - lưới,

1.2.1 Mệnh đề Giả sử P là phủ của không gian tôpô X Khi đó(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4), trong đó

(1) P cơ sở yếu,

(2) P là sn - lưới,

(3) P là cs - lưới,

(4) P là cs* - lưới

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử P là cơ sở yếu của X Khi đó tacần chứng minh mỗi P ∈ Px là lân cận dãy của x Thật vậy, giả sửtồn tại P0 ∈ Px mà P0 không là lân cận dãy của x Khi đó tồn tạimột dãy {xn} ⊂ X \ P0, {xn} hội tụ tới x Ta có {xn} không là mộttập đóng vì x /∈ {xn}, do đó X \ {xn} không là tập mở Mặt khác,

1.2.2 Mệnh đề ([9]) Nếu X là không gian dãy thì mỗi sn - lưới trong

X là cơ sở yếu

Chứng minh Giả sử P là sn - lưới và P = ∪{Px ; x ∈ X} Khi đó

P thoả mãn hai điều kiện trong Định nghĩa (1.1.6) Ta chỉ cần chứngminh A mở trong X khi và chỉ khi, với x ∈ A tồn tại P ∈ Px sao cho

P ⊂ A Giả sử A mở trong X Khi đó, với x ∈ A thì A là lân cận mởchứa x nên tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A Ngược lại giả sử A ⊂ X mà

x ∈ A luôn tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A nhưng A không mở, tức là

X \ A là không đóng Khi đó tồn tại dãy {xn} ⊂ X \ A sao cho xn → x

mà x /∈ X \ A hay x ∈ A Mặt khác theo giả thiết, tồn tại P ∈ Px saocho P ⊂ A Vì P là sn - lưới nên P là lân cận dãy của x Do đó tồn tại

n0 ∈ N sao cho xn ∈ P ⊂ A với mọi n > n0 Điều này mâu thuẫn với

1.2.3 Mệnh đề ([9]) Nếu X là không gian với cơ sở yếu đều thì X

là không gian gf - đếm được

Chứng minh Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} là cơ sở yếu đều trong

X Ta cần chứng minh X có cơ sở yếu P0 = ∪{Px0 : x ∈ X}, trong đó

Px0 là đếm được với x ∈ X Với x ∈ X, lấy bất kì P1, P2 ∈ Px Vì P là

cơ sở yếu nên tồn tại P3 ∈ Px sao cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 Khi đó, từ P1,

P2, P3 ∈ Px, suy ra tồn tại P4 ∈ Px sao cho P4 ⊂ P1 ∩ P2 ∩ P3 Tiếptục lập luận tương tự ta xây dựng được tập con Px0 ⊂ Px với

Px0 = {P1, P2, P3, }

thoả mãn Pn ⊂ Tn

i=1Pi với mỗi n ∈ N Vì P là cơ sở yếu đều nên

Px0 lưới tại x Nếu U, V ∈ Px0 thì hiển nhiên tồn tại W ∈ Px0 sao cho

W ⊂ U ∩ V

Giả sử G ⊂ X sao cho với mỗi x ∈ G, tồn tại P ∈ Px0 sao cho

P ⊂ G Do Px0 ⊂ Px và P là cơ sở yếu nên G là mở trong X Vậy

P0 = ∪{Px0 : x ∈ X} là cơ sở yếu trong X và Px0 là đếm được với mỗi

1.2.4 Mệnh đề ([9]) Với không gian tôpô X hai điều kiện sau làtương đương

(1) X có cơ sở yếu đều

(2) X là không gian dãy với sn - lưới đều

Chứng minh (1) suy ra (2) Giả sử điều kiện (1) được thoả mãn.Khi đó theo Mệnh đề 1.2.3 thì X là không gian gf - đếm được và do đótheo [17] thì X là không gian dãy Mặt khác mỗi cơ sở yếu trong X là

Mục này chúng ta sẽ trình bày một số đặc trưng của không gian với

sn - lưới đếm được địa phương hoặc σ - đếm được địa phương thông qua

cs - lưới, k - lưới

1.3.1 Bổ đề ([6]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó các tính chấtsau là tương đương

(1) X có k - lưới đếm được địa phương

(2) X có cs - lưới đếm được địa phương

(3) X có cs* - lưới đếm được địa phương

1.3.2 Định lý ([9]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó các tínhchất sau là tương đương

(1) X có sn - lưới đếm được địa phương.

(2) X là không gian snf - đếm được với cs - lưới đếm dược địa phương(do đó X có k - lưới, cs* - lưới - đếm được địa phương)

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử X có sn - lưới đếm được địa phương

P = ∪Px Vì P là tập đếm được địa phương nên Px là tập đếm đượchay X là không gian snf - đếm được Mặt khác, do P là sn - lưới nên

P là cs - lưới Vậy P là cs - lưới đếm được địa phương của X

(2) ⇒ (1) Giả sử X là snf - không gian đếm được với cs- lưới đếmđược địa phương Khi đó, ta có thể giả thiết X có cs- lưới P đếm đượcđịa phương và khép kín với phép giao hữu hạn Với mỗi x ∈ X, giả sử{B(n, x) : n ∈ N } là sn- lưới giảm tại x Đặt

P không là lân cận dãy của x Do đó F là sn - lưới Mặt khác F ⊂ P

nên F là đếm được địa phương Vậy F là sn - lưới đếm được địa phương

1.3.3 Định lý ([9]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó (1) ⇔ (2)

⇒ (3) trong đó

(1) X có sn - lưới σ - đếm được - địa phương

(2) X là không gian snf - đếm được với cs - lưới σ - đếm được địaphương

(3) X là không gian snf - đếm được với k - lưới σ đếm được - địaphương

Chứng minh (1) ⇒ (2) Từ Định lý 1.3.2 ta có ngay điều phảichứng minh

(2) ⇒ (3) Giả sử X là snf - đếm được với cs - lưới σ - đếm được địaphương, tức là tồn tại P = ∪{Pn : n ∈ N∗} sao cho P cs - lưới và Pnđếm được địa phương trong X Giả sử K ⊂ X là tập compăc và V làlân cận mở của K Với mỗi n ∈ N∗ ta đặt

P = Pj, j ∈ N∗.Ta chọn l > m sao cho nl > j Khi đó xnl ∈ Pj Điềunày mâu thuẫn với K * Si6nPi, n ∈ N∗ Vậy ta có (2) suy ra (3).(2) ⇒ (1) Giả sử X là snf - đếm được và có cs - lưới σ - đếm được

địa phương Khi đó P = ∪{Pn , n ∈ N∗} là cs - lưới, Pn là đếm đượcđịa phương Với x ∈ X, ta có {B(n, x) : n ∈ N∗} là lưới tại x Đặt

F = ∪{Fm : m ∈ N } là σ - đếm được địa phương trong X 21.3.4 Bổđề ([9]) Không gian paracompăc với k - lưới σ - đếm đượcđịa phương là ℵ - không gian

Chứng minh Giả sử X là không gian paracompăc với k lưới σ đếm được địa phương Khi đó X có P = ∪{Pi : i ∈ N }, Pi là đếm đượcđịa phương nên tồn tại họ {Ui} là họ các tập mở sao cho mỗi phần tử của

-Ui giao đếm được với các phần tử Pi Vì X là không gian paracompăcnên tồn tại họ {Vi} là họ mịn mở của {Ui}, Vi là hữu hạn địa phương

compăc và W là tập mở chứa K tồn tại i ∈ N và Pi∗ ⊂ Pi sao cho

K ⊂ ∪Pi∗ Do đó K ⊂ ∪Vi∗ với Vi∗ ⊂ Vi Khi đó Pi∗ ∩ Vi∗ là họ hữuhạn của Pn∩ Vi Ta có K ⊂ ∪(Pi∗ ∩ V∗

i) ⊂ W , do đó S

i∈N(Pn∩ Vn) là

Trong Định nghĩa 1.1.8, ta đã định nghĩa phủ có tính chất (B) Bâygiờ ta nghiên cứu mối quan hệ giữa sn - lưới, cs - lưới và phủ có tínhchất (B) Định lí sau đây cho ta mối quan hệ đó

1.3.5 Định lý Với không gian X các điều kiện sau là tương đương.(1) X có sn - lưới sao - đếm được

(2) X là không gian snf - đếm được có cs - lưới sao - đếm được

(3) X là không gian snf - đếm được với phủ đếm được có tính chất (B).Chứng minh.(1) ⇒ (3) Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} là sn - lướisao - đếm được trong X Khi đó Px là lưới tại x và mỗi P ∈ Px là lâncận dãy của x Do đó với mỗi U mở trong X ắt tồn tại P ∈ Px sao cho

x ∈ P ⊂ U và x ∈ Ints(P ) Từ đó ta có

x ∈ Ints(P ) ⊂ P ⊂ U

Như vậy P là sao đếm được, có tính chất (B) Mặt khác từ P là sao đếm được suy ra Px đếm được với mỗi x ∈ X, tức là X là không giansnf - đếm được

-(3) ⇒ (2) Giả sử X là không gian snf - đếm được với phủ P có tínhsao - đếm được và tính chất (B) Mỗi x ∈ X đặt

Px = {P ∈ P : x ∈ P }

(Px)∗ = {∪L : L ⊂ Px, trong đó ∪ L là họ con hữu hạn của Px}

Gx = {G ∈ (Px)∗ : x ∈ Ints(G)}

G = ∪{Gx : x ∈ X}

Từ tính chất sao - đếm được của P suy ra Px là đếm được, do đó(Px)∗ đếm được với mỗi x ∈ X Giả sử {xn} là dãy trong X, hội tụ tới

x ∈ X và U là tập mở trong X sao cho x ∈ U Khi đó, vì P có tính chất(B) nên tồn tại họ con hữu hạn L của P sao cho

Pi chỉ có thể giao với không quá đếm được phần tử G0 ∈ G Vậy G sao đếm được

-(2) ⇒ (1) Giả sử X là không gian snf - đếm được với cs - lưới sao

- đếm được Khi đó X có một sn - lưới B = ∪{Bx :x ∈ X}, trong đómỗi Bx là đếm được và một cs - lưới sao - đếm được P Vì mỗi Bx làđếm được nên ta có thể kí hiệu

Bx = {B(x, n) : n ∈ N∗},

và có thể giả thiết B(x, n + 1) ⊂ B(x, n) với mọi n Đặt

P∗ = {∩L : L là họ con hữu hạn củaP}

Khi đó P∗ là cs - lưới và nó cũng có tính sao - đếm được Do đó ta cóthể giả thiết P khép kín với giao hữu hạn (nếu cần thì thay P bởi P∗).Với mỗi x ∈ X, từ tính sao - đếm được suy ra họ

Mặt khác theo cách xây dựng dãy {xk} thì tồn tại k sao cho k > k1,

xk = xnm với n > m > m0, tức là xk ∈ P/ m0 với k > k1 Ta có một điềumẫu thuẫn Do đó Lx 6= ∅ với mọi x ∈ X Đặt

L = ∪{Lx : x ∈ X}

Từ P là cs - lưới suy ra Lx là lưới tại x Hiển nhiên x ∈ ∩Lx Giả sử

P và P0 thuộc Fx Khi đó tồn tại B(x, n) ⊂ P và B(x, n0) ⊂ P0

Vì P khép kín với phép giao hữu hạn nên P ∩ P0 ∈ P Mặt khác vớin” = max(n, n0) Ta có B(x, n”) ⊂ P ∩ P0 Do đó P ∩ P0 ∈ Lx Cuốicùng, vì B là sn - lưới nên mỗi B(x, n) là lân cận dãy của x Từ đó suy

ra mỗi P ∈ Lx cũng là lân cận dãy của x Do đó L là sn - lưới trong X

Vì L ⊂ P mà P là sao - đếm được nên L cũng là sao - đếm được 21.3.6 Bổ Đề ([9]) Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} là họ HCP của X thì

họ P∗ tất cả các giao hữu hạn của các tập thuộc P cũng có tính chấtHCP

Chứng minh Ký hiệu Λ<ω là họ tất cả các tập con hữu hạn của Λ

(2) X là không gian snf - đếm được, có cs- lưới đếm được theo điểm,

σ - HCP (tương ứng σ - WHCP)

Chứng minh (1) ⇒ (2) là hiển nhiên

Bây giờ ta chứng minh (2) suy ra (1) Giả sử B = {Bx : x ∈ X}

là sn - lưới trong X, trong đó Bx là đếm được và P = {∪Px} là cs

-lưới đếm được theo điểm, trong đó mỗi Pn có tính chất HCP Khi đó,

ta có thể viết Bx = {Bx,1, Bx,2, } và giả thiết Bx,n+1 ⊂ Bx,n với mọi

n Vì hợp của một số hữu hạn HCP là họ HCP nên có thể giả thiết

Pn ⊂ Pn+, với mọi n Hơn nữa theo Bổ đề 1.3.6, (Pn)∗ cũng có tínhchất HCP , trong đó (Pn)∗ là họ giao hữu hạn các tập thuộc Pn Do đó

có thể giả thiết các Pn khép kín với giao hữu hạn

Trong chứng minh Định lý 1.3.5 khi chứng tỏ (2) suy ra (1) ta đãchỉ ra rằng mỗi x ∈ X họ {P ∈ Px : tồn tại B(x, n) ⊂ P } 6= ∅(Px = {P ∈ P : x ∈ P }) Do đó từ Pn ⊂ Pn+ với mọi n Ta xét họ

L là sn - lưới Từ cách xác định Lx ta suy ra Lx là lưới tại x với mỗi

x ∈ X Giả sử P và P0 thuộc Lx Khi đó tồn tại Bx,n và Bx, n0 thuộcsao cho Bx,n ⊂ P, Bx,n0 ⊂ P0 Đặt m = max(n, n0) ta có

Bx,m ⊂ Bx,n∩ Bx,n0 ⊂ P ∩ P0 ∈ Pm

Do đó P ∩ P0 ∈ Lm,x ⊂ Lx Từ mỗi Bx,n là lân cận dãy của x suy ra mỗi

P ∈ Lx là lân cận dãy của x Vậy L là sn - lưới trong X

Trường hợp P có tính chất σ - W HCP được chứng minh tương tự 21.3.8 Hệ quả Với không gian X các điều kiện sau là tương đương.(1) X có sn - lưới σ - hữu hạn địa phương.

(2) X là không gian snf - đếm được có cs - lưới σ - hữu hạn địa phương.Chứng minh Vì mỗi họ σ - hữu hạn địa phương là đếm được theođiểm và σ - HCP nên áp dụng Định lý 1.3.7 ta có ngay điều cần chứng