Một số vấn đề về không gian lồi địa phương

Lý do chọn ñề tài khóa luận: Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian vectơ ñược trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liê

MỞ ðẦU

1 Lý do chọn ñề tài khóa luận:

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian vectơ ñược trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng Ra ñời vào những năm ñầu của thế kỷ XX, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm, ñến nay giải tích hàm tích lũy ñược những thành tựu quan trọng và nó ñã trở thành chuẩn

mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học

Tại trường ðại học Hùng Vương, sinh viên chuyên ngành toán ñã ñược làm quen, tìm hiểu về lĩnh vực này mà bắt ñầu là học phần “Tôpô ñại cương” Tôpô ñại cương là môn toán cơ sở về lý thuyết giới hạn và liên tục Tôpô ñại cương trình bày những khái niệm cơ bản của tôpô, phân loại các không gian tôpô… ðây là những kiến thức cơ bản cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán học

khác nhau như: Lý thuyết ñộ ño và tích phân, hình học vi phân …

Khi nghiên cứu sâu về tôpô ta nhận thấy có rất nhiều không gian thỏa mãn

là một không gian tôpô khi ta trang bị một tôpô trên nó Các tôpô này chủ yếu ñược xây dựng từ các tập mở, hoặc từ một họ các ánh xạ cho trước Trong số các không gian vectơ tôpô, một lớp không gian ñặc biệt quan trọng là các không gian lồi ñịa phương

Không gian lồi ñịa phương E là một không gian vectơ tôpô mà 0∈E có một cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi Tôpô trên không gian này ñược gọi là tôpô lồi ñịa phương, có thể có một hoặc nhiều tôpô khác nhau trên cùng một không gian lồi ñịa phương, và tôpô sinh bởi họ gồm tất cả các tập lồi, cân, hút trong E ñược gọi là tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất trên E

Ngoài những ñặc ñiểm tương tự các không gian mà ta ñã biết, thì không gian lồi ñịa phương cũng có một số tính chất và ñặc ñiểm khác Vậy cụ thể không gian lồi ñịa phương là không gian như thế nào? Và nó có những tính chất gì? Nó thể hiện như thế nào trong một số không gian lồi ñịa phương thường gặp? Việc trả lời những câu hỏi này chính là lý do tôi chọn ñề tài khóa luận:

“Một số vấn ñề về không gian lồi ñịa phương” Tôi hi vọng khóa luận này sẽ là

một tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên ngành Toán

2 Mục tiêu khóa luận:

+ Khóa luận trình bày những khái niệm, tính chất cơ bản về không gian tôpô, tập lồi… làm cơ sở ñể nghiên cứu không gian lồi ñịa phương Từ ñó trình bày một cách có hệ thống từ ñịnh nghĩa tới tính chất của không gian lồi ñịa phương, và

làm rõ một số không gian lồi ñịa phương thường gặp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu :

+ Nghiên cứu về không gian tôpô, không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, không gian vectơ tôpô, không gian lồi ñịa phương

+ Chứng minh một số không gian là không gian lồi ñịa phương

4 Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc các tài liệu, giáo trình có liên quan ñến không gian tôpô, không gian vectơ tôpô, không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và

không gian lồi ñịa phương

+ Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: Chủ yếu là giảng viên hướng dẫn

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức

về vấn ñề nghiên cứu một cách ñầy ñủ, khoa học và chính xác

5 ðối tượng và phạm vi nghiên cứu:

+ ðối tượng nghiên cứu của khóa luận là các kiến thức liên quan ñến không gian lồi ñịa phương Bên cạnh ñó khóa luận còn nghiên cứu về không gian tôpô làm

cơ sở ñể nghiên cứu ñối tượng chính

+ Phạm vi nghiên cứu là các tính chất của không gian lồi ñịa phương

6 Bố cục của khóa luận : Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì

khóa luận gồm hai chương chính:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

1.1 Không gian tôpô

1.1.1 ðịnh nghĩa và ví dụ

1.1.2 Lân cận của một ñiểm, ñiểm trong, tập ñóng

1.1.3 So sánh hai tôpô

1.1.4 Cơ sở của một không gian tôpô

1.1.5 Xây dựng tôpô có cơ sở cho trước hoặc có các tập ñóng cho trước

1.1.6 Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô và phép ñồng phôi

1.1.7 Tôpô ñầu xác ñịnh bởi một họ ánh xạ

1.1.8 Tôpô cuối xác ñịnh bởi một họ ánh xạ

1.1.9 Các tiên ñề tách

1.2 Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn

1.2.1 ðịnh nghĩa không gian vectơ

1.2.2 ðịnh nghĩa không gian vectơ con

1.2.3 ðịnh nghĩa sơ chuẩn, nửa chuẩn, chuẩn

1.2.4 ðịnh nghĩa không gian tuyến tính ñịnh chuẩn

1.2.5 ðịnh nghĩa tập lồi, cân, hút

1.2.6 Các tính chất sơ cấp của tập lồi

1.2.7 Phiếm hàm Minhowsh

1.3 Không gian vectơ tôpô

1.3.1 ðịnh nghĩa và ví dụ

1.3.2 Các tính chất suy ra từ tính liên tục của các phép toán ñại số

1.3.3 Cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô

1.3.4 Các tính chất của tôpô vectơ

Chương 2 Không gian lồi ñịa phương

2.1 ðịnh nghĩa và ví dụ

2.2 Một số tính chất cơ bản của không gian lồi ñịa phương

2.3 Xác ñịnh một tôpô lồi ñịa phương bởi một họ sơ chuẩn

2.4 Tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất

2.5 Một số không gian lồi ñịa phương thường gặp

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của khóa luận:

7.1 Ý nghĩa khoa học:

Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán có mong muốn tìm hiểu sâu về không gian tôpô và một trường hợp riêng là không gian lồi ñịa phương

7.2 Ý nghĩa thực tiễn:

Với bản thân khi làm ñề tài khóa luận này, ñã giúp cho tôi có kỹ năng, kinh nghiệm trong việc nghiên cứu và trình bày một vấn ñề khoa học, ñồng thời cũng giúp tôi hiểu sâu hơn về không gian tôpô và một lớp không gian ñặc biệt quan trọng – không gian lồi ñịa phương, là cơ sở ñể tôi nghiên cứu những lĩnh

vực tiếp theo của giải tích hiện ñại

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KHÔNG GIAN TÔPÔ

1.1.1.ðịnh nghĩa và ví dụ:

ðịnh nghĩa: Không gian tôpô là một cặp (X,τ ) trong ñó X là một tập khác rỗng và τ là một họ những tập con của X (τ ⊂ P(X)), thỏa mãn các ñiều kiện: a) ∅∈τ và X∈ τ

2) Giao hữu hạn những tập mở là tập mở

3) Hợp tùy ý những tập mở là tập mở

Ví dụ 1: Cho X là một tập tùy ý khác rỗng vàτ = P(X) là họ tất cả các tập con của X Khi ñóτ là một tôpô trên X và (X,τ ) ñược gọi là không gian tôpô rời rạc

Ví dụ 2: Cho X là một tập tùy ý khác rỗng vàτ = {∅,X} Khi ñóτ cũng là một tôpô trên X và (X,τ ) ñược gọi là không gian tôpô phản rời rạc hay không gian tôpô tầm thường

Ví dụ 3: Cho X là một tập hợp, a∈ X Họτ = { } {∅ ∪ A⊂X : a A∈ }là một tôpô trên X Tôpô này gọi là tôpô có ñiểm ñặc biệt Một trường hợp ñặc biệt của tôpô này là tôpô Sierpinski trên X= { }0,1 cho bởi τ = {∅, 0 ,X{ } }

Ví dụ 4: Cho X là một tập hợp, a∈ X Họτ = { }X ∪ {A⊂X :a X∉ }là một tôpô trên X Tôpô này ñược gọi là tôpô bỏ ñi một ñiểm

1.1.2 Lân cận của một ñiểm, ñiểm trong, tập ñóng

a Lân cận của một ñiểm:

Cho X là không gian tôpô, x∈X Tập con V của X ñược gọi là một lân cận

của x nếu tồn tại U∈ : τ x∈ ⊂U V

ðịnh lí 1: Nếu V x là họ tất cả các lân cận của ñiểm x thì

(i) x∈ với mọi V∈ V V x

(ii) Nếu V1, V2 ∈ V xthì V1 ∩V2 ∈ V x

(iii) Nếu V1 ∈ V xvà V2 ⊃ V1 thì V2 ∈ V x

(iv) Với mỗi V∈ V x có một W ∈ V x sao cho V ∈ V y cho mọi y ∈W

Ngược lại, nếu với mỗi x ∈ X có một họ V xcác tập con của X sao cho thỏa mãn

các ñiều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X nhận mỗi V xlàm họ tất cả các

lân cận của ñiểm x

vì với mọi x∈G1∩G2 ta có G1∈V x (do x∈G1), G2 ∈V x (do x∈G2) và do ñó theo (ii), G1∩G2 ∈V x Nếu Gα ∈G thì ∪αGα∈G, vì với mọi x∈∪αGα ta có

x∈

0

Gα ( với một α0nào ñó ) và

0

Gα ∈V x do ñó theo (iii) ∪αGα∈V x Vậy G

là một tôpô trên X Trong tôpô ñó, ta hãy chứng minh rằng mỗi V x là họ tất cả

các lân cận của x Thật vậy, nếu V là một lân cận của x thì theo ñịnh nghĩa

phải có một tập G ∈G ⊂V, và vì x∈G nên theo ñịnh nghĩa của G, G∈V x rồi

do ñó theo (iii) V∈V x Ngược lại, cho V∈V x và gọi G là tập tất cả các ñiểm y

sao cho V ∈ V y Với mỗi y ∈G, vì V ∈ V y nên theo (iv) có một Wy ∈ V y sao cho V ∈ V z cho mọi z ∈Wy : ñiều này có nghĩa là Wy ⊂G và do ñó G ∈ V y

(theo(iii)) Vậy G ∈ G và vì x∈G ⊂V nên V là một lân cận của x Tóm lại G

là tôpô nhận mỗi V x làm họ tất cả các lân cận của x Nếu có một tôpô G * cũng

có các tính chất ñó thì dễ thấy rằng G = G *

b ðiểm trong:

X là một không gian tôpô, A⊂X, x0 ñược gọi là ñiểm trong của A nếu tồn tại

một lân cận U của x0 sao cho U ⊂A

Nhận xét: A là mở khi và chỉ khi ∀x∈A : x là ñiểm trong của A

Chứng minh:

⇒ A mở Ta cần chứng minh x∀ ∈ A ñều là ñiểm trong của A

Do A là mở nên A là lân cận của x ( x∀ ∈ A )

Mặt khác: A ⊂ A ⇒ x là ñiểm trong của A ( x∀ ∈ A )

⇐ x∀ ∈ A, x là ñiểm trong của A, ta cần chứng minh A là mở

Vì x là ñiểm trong của A nên tồn tại một lân cận U x của x mà U x⊂ A

Tập con A của không gian tôpô (X,τ ) ñược gọi là tập ñóng nếu X \ A ∈ τ

Ví dụ 1: Trong không gian tôpô (X,τ ) thì X và ∅ vừa là tập ñóng vừa là tập

(ii) Giả sử { }A (i 1,n )i = là một họ các phần tử của D ðặt

n i

1.1.4 Cơ sở của một không gian tôpô

a Cơ sở của một không gian tôpô

Cho không gian tôpô (X,τ ), B⊂ ñược gọi là một cơ sở của không gian τ

tôpô X nếu với mọi A ∈ τ tồn tại { }Bi i I∈ , Bi∈ B, ∀ ∈i I sao cho A = i

i I

B

∈

∪

thì không tồn tại U ∈ B sao cho U ⊂ A

⇒Mâu thuẫn với giả thiết B là cơ sở

⇒ ∀x∈X tồn tại U ∈B sao cho x ∈U (ñpcm)

b Cơ sở lân cận của không gian tôpô tại một ñiểm

Giả sử x là một ñiểm của không gian tôpô X Họ B(x) những lân cận của x

ñược gọi là một cơ sở lân cận của không gian tôpô (X,τ ) hay cơ sở lân cận của tôpô τ tại ñiểm x nếu với mỗi lân cận V của x tồn tại một tập hợp U ∈B(x) sao

cho U ⊂V

Ví dụ 1: X là không gian tôpô rời rạc,∀ x ∈X thì {x} là cơ sở lân cận tại x

ðịnh lí 4: X là không gian tôpô, ∀ x ∈X, Bx là cơ sở lân cận tại x Khi ñó lớp

{ Bx }x ∈ X có tính chất :

(i) ∀ U ∈ Bx thì x ∈U và ∀x ∈X thì Bx ≠ ∅

(ii) ∀ x ∈U ∈ Bx , tồn tại V ∈ Bx sao cho x ∈ V⊂U

(iii) ∀ U1 ∈ Bx , ∀ U2 ∈ Bx , tồn tại U ∈ Bx sao cho U ⊂ U1 ∩U2

Lớp { Bx }x ∈ X gọi là hệ thống ñầy ñủ các lân cận của không gian tôpô (X,τ )

(iii) ∀U1 ∈ Bx , ∀U2 ∈ Bx ⇒ U1 ∩U2 là một lân cận của x

Do Bxlà cơ sở tôpô nên tồn tại U ∈ Bx sao cho x ∈U ⊂ U1 ∩U2

1.1.5 Xây dựng tôpô có cơ sở cho trước hoặc có các tập hợp ñóng cho trước:

Chúng ta ñã biết là một cơ sở B của không gian tôpô (X,τ ) có các tính chất: a) Với mọi U1, U2∈ B, với mọi x∈ U1∩U2, tồn tại ∈U B sao cho:

∈ ⊂U U1∩U2

xb) Với mọi x∈X, tồn tại U∈ B sao cho : x∈U

Vậy nếu một họ B những tập con của một tập hợp X thỏa mãn hai ñiều kiện trên thì có tồn tại hay không một tôpô trên X nhận B làm cơ sở

ðịnh lí 5: Giả sử họ B những tập con của một tập hợp X thỏa mãn:

a) Với mọi U1, U2∈ B, với mọi x∈ U1∩U2, tồn tại U ∈ B sao cho:

∈ ⊂U U1∩U2x

b) Với mọi x∈X, tồn tại U ∈ B sao cho : x∈U

Khi ñó tồn tại một tôpô τ trên X sao cho B là một cơ sở của không gian tôpô (X,τ )

Vậy ñể chứng minh U V∩ ∈ τ ta chỉ cần chứng minhUs∩ ∈Vt τ với mỗi t ∈T,

s∈S Từ (a) ta có với mỗi x∈Us∩Vt luôn tồn tại Ux∈ sao cho: B

Theo ñịnh lý 2 ta có tập hợp các tập ñóng của không gian tôpô (X,τ ) có các tính chất:

ðịnh lí 6: Giả sử T là tập hợp khác rỗng, D là một họ các tập con của một tập

hợp X thỏa mãn ba ñiều kiện:

Khi ñó họ τ ={X \ F: F D∈ }là một tôpô trên X Các tập thuộc D và chỉ các tập

ñó là các tập hợp ñóng của không gian tôpô (X,τ ).Tôpô τ ñược xác ñịnh như trên gọi là tôpô xác ñịnh bởi họ tập ñóng

 Giả sử Bi∈D ( i ∈I ) ⇒ X \ Bi ∈ τ

Ta có:

⇒τ là một tôpô trên X và nhận D là tập ñóng (ñpcm)

1.1.6 Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô, phép ñồng phôi

a Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô

ðịnh nghĩa: Cho hai không gian tôpô (X,τX) và ( Y,

Y

τ )

Ánh xạ f : X →Y gọi là liên tục tại x0∈ X nếu mọi lân cận V của f (x0) thuộc Y tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U) ⊂ V

f ñược gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈X

Nhận xét: f : X →Y là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y,

f liên tục tại x0∈X khi và chỉ khi với mọi lân cận U của f (x0) trong Y thì

( )

1 U

−

f là lân cận của x0 trong X

ðịnh lí 7: Cho hai không gian tô pô X, Y và ánh xạ f : X → Y bx là cơ sở

của X tại x D f x( ) là một cơ sở trong Y tại f (x) Khi ñó f liên tục tại x khi

và chỉ khi với mọi V ∈ D f x( ) thì tồn tại U ∈ bx sao cho f (U) ⊂ V

⇐ Giả sử G là một lân cận của f (x), vì D f x( )là một cơ sở trong Y tại

f (x) nên tồn tại V ∈ Df x( ) sao cho V ⊂ G

Theo giả thiết tồn tại U ∈ bx sao cho f (U) ⊂ V suy ra f (U) ⊂ G Vậy f liên tục

ðịnh lí 8: Cho hai không gian tôpô ( X,τX) và ( Y,τY) Ánh xạ f : X → Y liên tục khi và chỉ khi với mọi V ∈ τYta ñều có − 1( )V

f ∈ τX

(ii) Tạo ảnh của mỗi tập ñóng trong Y là một tập ñóng trong X

(iii) Với mỗi tập A ⊂ X ta ñều có f( )A ⊂ f ( )A

(iv) Với mọi B ⊂ Y ta ñều có f−1( )B ⊂ f−1( )B

(v) Với mọi B ⊂ Y ta ñều có f −1(Int B) ⊂ Int f−1( )B

Chứng minh:

(i) ⇒(ii) Giả sử F là tập ñóng trong Y khi ñó Y \ F là mở trong Y Theo ñịnh lý

8 thì: f−1(Y \ F) = X \ f −1( )F là mở trong X

ðịnh nghĩa : Ánh xạ f từ không gian X ñến không gian Y ñược gọi là ánh xạ

mở (ñóng) nếu ảnh của mỗi tập mở (ñóng) trong X qua f là tập mở (ñóng) trong Y

b Phép ñồng phôi:

ðịnh nghĩa: Ánh xạ f : X → Y từ không gian X ñến không gian Y ñược gọi

là phép ñồng phôi nếu f là song ánh và f , 1

f − ñều là các ánh xạ liên tục Khi

ñó hai không gian X và Y ñược gọi là ñồng phôi với nhau

ðịnh lí 11: f : X → Y là song ánh liên tục từ không gian X lên không gian

Y Khi ñó các mệnh ñề sau là tương ñương :

b⇒c Giả sử F là ñóng khi ñó X \ F là mở Do f là ánh xạ mở nên ta có:

là ñóng suy ra f( )U là mở trong Y hay f( )U ∈ τY

⇒ ( )f −1 −1( )U ∈ τY

⇒ 1

f− liên tục

Vậy f là phép ñồng phôi

1.1.7 Tôpô ñầu xác ñịnh bởi một họ ánh xạ

Giả sử (X,τ ) là một không gian tôpô, { (Y ,s τs) }s S

∈

là một họ không gian tôpô

và { }fs s S∈ là một họ ánh xạ liên tục fs : X → Y Hiển nhiên nếu ta thay s τ bằng

τ ′ (trên X) mạnh hơn τ thì mỗi ánh xạ fs của họ ánh xạ ñó vẫn liên tục

f là một họ ánh xạ từ X vào Ys Trong họ các tôpô trên X sao

cho tất cả các ánh xạ fs ñều liên tục tồn tại một tôpô τ yếu nhất Họ B tất cả các

⇒ i 1( )

s Vi

f − là lân cận của x trong X

∩ là lân cận của x trong X (∀i = 1,k , s ∈S)

Vậy B thỏa mãn hai ñiều kiện của ñịnh lý nên tồn tại một tôpô τ trên X có cơ

sở B

Mỗi ánh xạ fs ñều liên tục ñối với tôpô τ và τ là yếu nhất trong các tôpô trên

X sao cho mỗi ánh xạ fsñều liên tục Thật vậy, giả sử τ ′là một tôpô trên X sao cho tất cả fsñều liên tục Khi ñó với mỗi V là mở trong Y thì s 1( )

s V

f − ∈ τ ′

⇒ Mỗi tập hợp dạng (*) ñều thuộc τ ′

Mỗi tập U ∈ τ là hợp của một họ nào ñó những tập hợp dạng (*) thì U ∈ τ ′

⇒ τ ⊂ τ ′

Vậy τ là tôpô yếu nhất trên X (ñpcm)

ðịnh lí 13: Giả sử { }fs s S∈ là một họ ánh xạfs : X →Ystừ tập hợp X vào không gian tôpô (Y ,s τs), τ là tôpô ñầu xác ñịnh bởi họ ánh xạ { }fs s S∈ và

g : Z → X là ánh xạ từ không gian tôpô ñầu (Z, τZ ) vào không gian tôpô (X,τ ) Khi ñó g liên tục khi và chỉ khi với mọi s ∈S thì ánh xạ :

(trên Y) yếu hơn τ thì mỗi ánh xạ fs của họ ánh xạ ñó vẫn liên tục

Nhưng nếu ta thay τ bằng một tôpô mạnh hơn là τ ′′thì tính liên tục của các ánh xạ fs có thể không ñược bảo toàn

ðịnh lí 14: Giả sử { (X ,s τs) }s S

∈ là một họ không gian tôpô, Y là một tập hợp

và { }fs s S∈ là một họ ánh xạ trong ñó fs : Xs → Y từ không gian tôpô X vào stập Y Trong tất cả các tôpô trên Y sao cho tất cả các fs ñều liên tục tồn tại một tôpô τ mạnh nhất Với mọi V ⊂ Y, V ∈ τ khi và chỉ khi 1( ) s

s V

f− τ

∈ ,∀s ∈S Tôpô τ ñược gọi là tôpô cuối xác ñịnh bởi họ ánh xạ { }fs s S

∈

Chứng minh:

Ta thấyτ xác ñịnh như trên là một tôpô trên Y Ta sẽ chứng minhτ là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tôpô trên Y sao cho tất cả các fs ñều liên tục (∀s ∈S ) Giả sử τ ′ là một tôpô trên Y sao cho mọi fs ñều liên tục và U ∈ τ ′ Khi ñó :

g : Y → Z là ánh xạ từ không gian tôpô (Y, τ ) vào không gian tôpô (Z, τZ) Khi

ñó g liên tục khi và chỉ khi ∀s ∈S ánh xạ hợp g o sf : Xs → Z ñều liên tục

ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,τ ) ñược gọi là một T0 – không gian (hay

không gian Kolmogov) nếu với hai phần tử khác nhau bất kì x, y của X tồn tại

một tập hợp U ∈ , τ x∈U,y∉Uhoặc tồn tại một tập hợp V ∈τ,y∈V,x∉V

b T 1 – không gian:

ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,τ ) ñược gọi là một T1 – không gian nếu với

hai phần tử khác nhau bất kỳ x và y của X luôn tồn tại các lân cận U của x và

Vcủa y sao cho:

y∉U và x ∉ V

Nhận xét: T1 – không gian là T0 – không gian

c T 2 – không gian ( Không gian Hausdorff )

ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,τ ) ñược gọi là T2 – không gian (hay không

gian Hausdorff ) nếu với mỗi cặp ñiểm khác nhau bất kì x, y ∈X luôn tồn tại một lân cậnU của x và một lân cận V của y sao cho:

U ∩ V = ∅

Nhận xét: Mỗi T2 – không gian ñều là T1 – không gian

Ví dụ 1: Không gian tôpô rời rạc (X,τ ) là T2 – không gian

d T 3 – không gian ( Không gian chính qui )

ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,τ ) ñược gọi là T3 – không gian (hoặc không gian chính qui) nếu X là T1 – không gian và với mọi x ∈X, với mọi tập ñóng

F ⊂X, ∀ x ∉ F, luôn tồn tại tập U, V ∈τ , U x∋ , V⊃ sao cho U F ∩V = ∅

f (x) = 0 ; f (y) = 1 (∀y∈F )

Không gian hoàn toàn chính qui còn ñược gọi là không gian Tichonov

g T 4 - không gian ( Không gian chuẩn tắc )

ðịnh nghĩa: Không gian tôpô X ñược gọi T4 – không gian ( hay không gian chuẩn tắc ) nếu X là một T1 – không gian và với hai tập ñóng rời nhau bất kì A,

B trong X tồn tại các tập U, V∈τ sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U ∩ V = ∅

1.2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ðỊNH CHUẨN

1.2.1 ðịnh nghĩa không gian vectơ

Giả sử K là trường số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ Tập hợp X khác rỗng cùng với hai ánh xạ ( gọi tắt là phép cộng và phép nhân vô hướng):

Phép cộng xác ñịnh trên X ×X và lấy giá trị trong X

(x, y) → x + y ; x, y ∈X

Phép nhân vô hướng xác ñịnh trên K ×X và lấy giá trị trong X

( λ, x) →λx , λ ∈K, x ∈X

gọi là một không gian tuyến tính ( hoặc không gian vectơ) nếu các ñiều kiện sau ñây ñược thỏa mãn:

a) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X

b) (x + y ) + z = x + ( y +z ) với mọi x, y, z ∈ X

c) Tồn tại một phần tử 0 của X sao cho x + 0 = x với mọi x ∈X

d) Với mỗi phần tử x của X tồn tại một phần tử - x của X sao cho x +(-x) = 0

e) λ(x + y) = λx + λy với mọi λ∈K và với mọi x, y ∈X

Ví dụ 1: Giả sử T là một tập hợp tùy ý Gọi K Tlà tập hợp các hàm số

x : T → K xác ñịnh trên tập hợp T và lấy giá trị trong K Ta trang bị hai phép toán:

( x + y) (t) = x (t) + y (t) t T ∀ ∈

(λx ) (t) = λx (t) ∀ x, y ∈ K T, λ∈K, t T∀ ∈ Khi ñó KT cùng với hai phép toán xác ñịnh như trên là một không gian vectơ

1.2.2 ðịnh nghĩa không gian vectơ con:

ðịnh nghĩa: Cho V là một không gian vectơ, U là một tập con khác rỗng của

V U ñược gọi là không gian vectơ con của V nếu các phép toán cộng và phép nhân vô hướng của V thu hẹp trên U là ñóng kín U, ñồng thời U cùng với các phép toán ñó làm thành một không gian vectơ

Ví dụ 1: Tập {0} chỉ gồm vectơ – không là không gian con của không gian

vectơ V

Ví dụ 2: Tập V cũng là không gian con của V

1.2.3 ðịnh nghĩa sơ chuẩn, nửa chuẩn, chuẩn

Giả sử X là một không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực hay các

số phức Hàm số thực ρ: X →ℝ xác ñịnh trên X

c) ρ(x + y ) ≤ ρ(x) +ρ(y) với mọi x, y ∈X

1.2.4 ðịnh nghĩa không gian tuyến tính ñịnh chuẩn:

Cặp (X, ), trong ñó X là một không gian tuyến tính và là một chuẩn trên

X, gọi là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn

n

i i

1.2.5 ðịnh nghĩa tập lồi, cân , hút

Tập con X trong không gian vectơ E gọi là:

(ta (1 t)b) 1 ta (1 t)b B

ρρ

<

+ Vậy B là tập lồi cân và hút

1.2.6 Các tính chất sơ cấp của tập lồi:

Giao của một số bất kỳ tập lồi là tập lồi

Thật vậy, nếu các tập Dλlồi với mọi λ∈ và I

a, b D∈ thì : ta (1 t)b+ − ∈Dλ ∀ ∈ λ I

⇒ ta (1 t)b D+ − ∈nên D là tập lồi

Cho trước một tập A bất kỳ trong không gian X, bao giờ cũng có ít nhất một tập lồi bao hàm A ñó là X Giao của tất cả các tập lồi bao hàm A ñương nhiên là tập lồi nhỏ nhất bao hàm A: Ta gọi nó là bao lồi của A và kí hiệu convA

Một tổ hợp lồi của k phần tử bất kỳ x x1, 2, ,xkcủa X là một phần tử x có dạng:

(ii) Nếu D là tập cân thì với mọi λ∈K, λ ≤ ta có 1

Nếu một tập lồi D có một ñiểm trong a và nếu b∈D thì mọi ñiểm

c = a (1α + −α)b với 0<α≤ cũng là ñiểm trong của D 1

Thật vậy, cho S là một ε- lân cận của a nằm trong D Khi ấy S′ =αS 1+ −( α)b

sẽ là (αε)- lân cận của c nằm trong D vì S′- c =α(S a− )nên chứng tỏ S′là hình cầu tâm c, bán kính αε và lại có S (1α + −α)b⊂ Ddo D lồi Mỗi tập lồi

D ⊂ X có một ña tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa nó kí hiệu affD, ñó là giao của tất cả các ña tạp tuyến tính chứa D Nếu X là một không gian ñịnh chuẩn thì mỗi

tập trong X là một không gian mêtric, với mêtric xác ñịnh bởi chuẩn Một ñiểm

a ∈D gọi là một ñiểm trong tương ñối của D nếu a là ñiểm trong của D xét trong không gian mêtric affD Tập hợp các ñiểm trong tương ñối của D ñược kí hiệu riD

Một tập lồi D trong không gian ℝkbao giờ cũng có ít nhất một ñiểm trong tương ñối ( nói cách khác riD ≠ ∅ )

Thật vậy, bằng một phép tịnh tiến có thể cho rằng 0 D∈ Cho e1, ,ehlà một số phần tử của D sao cho chúng ñộc lập tuyến tính, nhưng khi thêm bất kỳ D

x∈ nào vào thì hệ x e, , ,1 ehcũng sẽ phụ thuộc tuyến tính (vì số phần tử ñộc lập tuyến tính trong ℝkkhông thể vượt quá k, nên e1, ,eh bao giờ cũng tồn tại) Không gian con M sinh bởi e1, ,ehchứa D vì rằng theo cách chọn ñiểm này thì mọi x∈ ñều là tổ hợp tuyến tính của các D e1, ,eh Vậy M chính là affD Mỗi

ñiểm x∈Mcó thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng h