Một số vấn đề về đồ thị và đường kính khuyết của đồ thị luận văn thạc sỹ toán học

Một số vấn đề về lý thuyết đồ thị Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về đồthị, các loại đồ thị, đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đồ thị đơn, đa đồ thị,tính liê

Vế THANH BèNH

và đờng kính khuyết của đồ thị

CHUYấN NGÀNH: HèNH HỌC - Tễ Pễ

Mó số: 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS PHẠM NGỌC BỘI

VINH - 2011

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 4

1.1 Các khái niệm cơ bản 4

1.2 Đồ thị liên thông 8

1.3 Chu số, sắc tố 14

1.4 Cây và bụi 17

1.5 Đồ thị Euler 20

1.6 Đồ thị Hamilton 23

Chương 2 ĐƯỜNG KÍNH KHUYẾT HỖN HỢP 25

2.1 Các định nghĩa và ví dụ 25

2.2 Đường kính khuyết cạnh, đỉnh 27

2.3 Đường kính khuyết hỗn hợp 30

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

LỜI NÓI ĐẦU

Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta thường bắt gặp những hình ảnhnhư mạng lưới của hệ thống điện, sơ đồ các mạch điện trong các thiết bị điện,bản đồ các thành phố, hình ảnh các mũi tên chỉ dẫn đường đi,vv Các hìnhảnh như vậy rất phổ biến trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau như:giao thông vận tải, điện kỹ thuật, vật lý tinh thể, hóa học, sinh học, toánhọc,vv

Nhà toán học D.Koning là người đầu tiên đề nghị một tên chung:

“graph” (đồ thị) cho các loại sơ đồ như vậy và đề nghị nghiên cứu một cách

có hệ thống các tính chất của chúng Sau công trình nổi tiếng của Euler về bàitoán 7 cây cầu ở Konigsberg (1736), nhiều nhà toán học khác đã quan tâmxây dựng lý thuyết này và để lại nhiều kết quả nổi tiếng

Trong mấy chục năm gần đây, lý thuyết đồ thị phát triển cực kỳ nhanhchóng và lớn mạnh về mặt số lượng và chất lượng các công trình đã trở thànhmột công cụ hữu hiệu để nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác nhau về lýthuyết cũng như ứng dụng Lý thuyết đồ thị và các vấn đề liên quan là chủ

đề luôn được quan tâm của các nhà toán học Luận văn với chủ đề “Một số vấn đề về đồ thị và đường kính khuyết của đồ thị” tập trung vào việc trình

bày một số khái niệm cơ bản về đồ thị, tính liên thông của nó và đường kínhkhuyết của đồ thị

Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Một số vấn đề về lý thuyết đồ thị

Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về đồthị, các loại đồ thị, đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đồ thị đơn, đa đồ thị,tính liên thông của đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton

Chương 2 Đường kính khuyết hỗn hợp

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm đường kính của đồ thị,đường kính của đồ thị con, đường kính khuyết hỗn hợp

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinhdưới sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Nhân dịpnày tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn HữuQuang, TS Nguyễn Duy Bình, PGS TS Phan Thành An và các thầy cô giáotrong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã tận tâm dạybảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua Qua đây, tác giả cũng chânthành cảm ơn tới các học viên K17 Hình học-Tô pô, Ban Giám hiệu trườngTHPT Ngô Trí Hòa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng vì năng lực có hạn nên trong quátrình nghiên cứu không tránh khỏi sai sót về kiến thức cũng như cách trìnhbày Tôi rất mong nhận được đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn đểluận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 Các khái niệm cơ bản về đồ thị

 Cho V là một tập hữu hạn và EVV Một cặp GV E,  được gọi

là đồ thị; trong đó V (viết rõ hơn là V G( )) được gọi là tập hợp đỉnh của G; E

(viết rõ hơn làE G( )) là tập con của tích Đềcác VV, được gọi là tập hợp cạnh của G Cho một đồ thị GV E,  ta còn dùng kí hiệu đồ thị này ở dạng

( ) ( )

G V G UE G

 Cho hai đỉnh A và B, nếu A,BE(G)thì AB được gọi là cạnh nối

đỉnh A với đỉnh B và cạnh AB được gọi là cạnh vô hướng

 Cho hai đỉnh A và B, cạnh nối đỉnh A với đỉnh B đồng thời chỉ rõ

hướng (hướng từ A đến B hay hướng từ B đến A) được gọi là cạnh có hướng.

 Ta nói cạnh vô hướng hoặc cạnh có hướng u kề với đỉnh A của đồ thị

nếu A là đỉnh đầu hoặc đỉnh cuối của cạnh u

 Hai đỉnh A và B được gọi là kề nhau (còn gọi là láng giềng) nếu

chúng được nối với nhau bởi một cạnh

 Đồ thị mà có tất cả các cạnh đều vô hướng thì được gọi là đồ thị vô hướng (xem Hình 1.1)

 Đồ thị mà có tất cả các cạnh đều có hướng thì được gọi là đồ thị có hướng (xem Hình 1.2 )

 Một đỉnh được nối với chính nó bởi một cạnh được gọi là khuyên.

 Đồ thị không có khuyên và giữa hai đỉnh có không quá một cạnh nối

giữa chúng được gọi là đồ thị đơn (xem Hình 1.1).

 Đồ thị kép (còn gọi là đa đồ thị) là đồ thị hoặc có khuyên hoặc tồn

tại hai đỉnh nào đó mà giữa chúng có ít nhất hai cạnh nối giữa chúng (xemHình 1.3)

 Đồ thị có hữu hạn đỉnh được gọi là đồ thị hữu hạn.

 Đồ thị mà mỗi cạnh của nó được gán cho một giá trị được gọi là đồ

thị có trọng số (xem Hình 1.4 ).

1.1.3 Đường đi, chu trình, độ dài của đường đi ([1])

 Trong một đồ thị hai cạnh được gọi là nối tiếp nếu chúng có chung

một đầu mút

 Một dãy n cạnh k k1 , , , 2 k n được gọi là kề nhau nếu không có cạnh

nào xuất hiện hai lần và đỉnh cuối của cạnh bất kỳ là đỉnh đầu của cạnhtiếp theo

 Một dãy cạnh nối tiếp(A1,A2), (A2,A3), , (A n1,A n)được gọi là đường đi

(còn gọi là quỹ đạo) từ đỉnh A1đến A n nếu như không có đỉnh nào được đi quahai lần và kí hiệu A1A2 A n Trong đó đỉnh A1 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh A n

được gọi là đỉnh cuối của đường đi Còn các đỉnh A i(2   i n 1)là đỉnh trong (điểm trong) của đường đi Chiều dài của một quỹ đạo P, kí hiệu l ( )P là sốcạnh của P

 Trong một đồ thị G khoảng cách giữa hai đỉnh x và y của đồ thịđược kí hiệu d G ( y x, ) là quỹ đạo có chiều dài ngắn nhất nối giữa đỉnh x và y

trong G Nếu không có một quỹ đạo nào giữa x và y thì ta qui ước

 Một đường đi khép kín (có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau) được

gọi là một chu trình.

1.1.4 Định nghĩa bậc của đỉnh ([1])

 Bậc của một đỉnh v trong đồ thị G là tổng số cạnh được nối với nó và

số khuyên có đỉnh là v (các khuyên sẽ được tính gấp đôi) Ta ký hiệu bậc của

1.1.6 Định nghĩa ([1]) Trong đồ thị có hướng bậc vào của đỉnh v được ký

hiệu là deg(v) là số các cạnh có đỉnh cuối là v Bậc ra của đỉnh v được ký

hiệu là deg(v) là số các cạnh có đỉnh đầu là v

Ta thấy: deg(v) + deg(v) = deg(v)

1.1.7 Định lí Cho G = (V,E) là một đồ thị vô hướng, có số cạnh là n

Khi đó 2n =

V v

v)

deg( .

Chứng minh Theo định nghĩa bậc của đỉnh v thì trong tổng trên mỗi cạnh

của G được tính hai lần, do đó tổng các bậc của các đỉnh trong G gấp hai lần

) deg(

) deg(

) deg(

V v V

v V

v

v v

v Vì v là số chẵn với mọi

vV1 do đó tổng 

 1

) deg(

V v

v là số chẵn Mặt khác vế phải của tổng trên là chẵn

(theo Định lí 1.1.7), do đó ta suy ra 

 2

) deg(

V v

một số đồ thị con đôi một không có điểm chung Những đồ thị con như vậy

được gọi là các thành phần liên thông của đồ thị G.

 Đường kính của một đồ thị liên thông G, kí hiệu d (G) là khoảng cáchlớn nhất giữa hai đỉnh bất kỳ trong G

 Đồ thị đơn vô hướng có n đỉnh và có đường kính bằng 1 được gọi là

đồ thị đầy đủ n đỉnh và kí hiệu K n

 Một đỉnh của đồ thị liên thông G được gọi là đỉnh mút nếu đồ thị thu

được sau khi xóa đỉnh này đi không còn liên thông

1.2.2 Ví dụ Đồ thị ở Hình 1.5 là một ví dụ về đồ thị không liên thông, nó có

Chứng minh Điều kiện cần Hiển nhiên

Điều kiện đủ Giả sử G có hai thành phần liên thông X và Y rời nhau, theo

định nghĩa thì G không liên thông, bởi vì khi đó trong X có đỉnh A và trong Y

có đỉnh B mà không có đường đi nào nối A với B

1.2.4 Chú ý Từ nay về sau ta sử dụng đến các thuật toán xóa đỉnh và xóa

cạnh của đồ thị Khi nói xóa một đỉnh nào đó nghĩa là xóa đi đỉnh đó cùng vớitất cả các cạnh kề đỉnh đó, khi nói xóa một cạnh nào đó thì không xóa đi cácđiểm mút của nó

1.2.5 Định nghĩa

i) Một tập đỉnh của đồ thị liên thông G được gọi là tập đỉnh tách nếu ta

xóa các đỉnh này đi (theo quy tắc xóa nói trên) thì phần còn lại của G không

liên thông Tập đỉnh cắt của đồ thị G là tập đỉnh tách mà mọi tập con thực sự

của nó không phải là tập đỉnh tách

ii) Số liên thông (nói đầy đủ là số liên thông đỉnh) của đồ thị liên thông

G, kí hiệu là k (G)là số đỉnh ít nhất trong tất cả các tập đỉnh cắt của G

iii) Ta nói đồ thị G là k - liên thông (nói đầy đủ là k- liên thông đỉnh)

nếu k là số tự nhiên thỏa mãn 0 k  k(G)

1.2.6 Định nghĩa

 Một tập cạnh của đồ thị liên thông G được gọi là tập cạnh tách nếu ta

xóa các cạnh này đi (theo quy tắc xóa nói trên) thì phần còn lại của G không

liên thông Tập cạnh cắt của đồ thị lien thông G là tập cạnh tách mà mọi tập

con thực sự của nó không phải là tập cạnh tách

 Số liên thông cạnh của đồ thị liên thông, kí hiệu là (G) là số cạnh ítnhất trong tất cả các tập cạnh cắt của G

 Ta nói đồ thị G là k - liên thông cạnh nếu k là số tự nhiên thỏa mãn

iii) Khi xóa các cạnh của một tập cạnh cắt thì đồ thị luôn còn lại với đúng hai thành phần

- Các tập cạnh {1,2}, 1; 2;5 và tập 3;6;7;8 trong Hình 1.6 là các tậpcạnh tách

là đồ thị trong Hình 1.7 là không liên thông

Vậy G là 1-liên thông đỉnh, 2- liên thông đỉnh nhưng không là 3- liên thông đỉnh

2) Đồ thị trong Hình 1.6 thì ta thấy(G) = 2 vì xóa đi 1 cạnh bất kỳ thì phần còn lại liên thông và nếu xóa đi hai cạnh 1 và 2 thì phần còn lại là Hình 1.8 không liên thông Do đó G là 1-liên thông cạnh, 2-liên thông cạnh nhưng không 3-liên thông cạnh

B

C E

Hình 1.10

4) Mỗi thành phần liên thông của đồ thị trong Hình 1.10 là một đồ thị

2-liên thông cạnh vì khi ta xóa đi một cạnh tùy ý thì phần còn lại vẫn liênthông nhưng nó không phải là đồ thị 3-liên thông cạnh vì khi ta xóa đi haicạnh tùy ý thì phần còn lại không liên thông nữa

5) Đồ thị đầy đủ K n có k(K n) n 1 (ta quy ước  là đồ thị liên thông)

1.2.10 Định lý Nếu G là một đồ thị hai thành phần thì mỗi chu trình của G

có độ dài là một số chẵn.

Chứng minh Vì G là đồ thị hai thành phần, nên ta có thể chia đỉnh của nó

thành hai tập rời nhau A và B sao cho mỗi cạnh của G nối một đỉnh của tập Avới một đỉnh của tập B Giả sử v0  v1   v m  v0 là một chu trình trong G

và không mất tính tổng quát đỉnh v0 nằm trong tập A thì đỉnh v1 nằm trong B,2

v nằm trong tập A ,vv và v m phải nằm trong B do đó chu trình của G có độdài là một số chẵn

phần thị số m cạnh của G thỏa mãn :

2

) 1 )(

(   





 n k n k m

k

Chứng minh Ta chứng minh mn kbằng phương pháp quy nạp theo số cạnh của G Nếu G là một đồ thị rỗng thì kết quả là hiển nhiên

Nếu G chứa một cạnh (chẳng hạn như m0) thì ta xóa đi cạnh bất kỳ của Gthì số thành phần phải tăng lên bằng 1 và đồ thị còn lại có nđỉnh, có k 1

thành phần và m0  1 cạnh Điều này được cho từ giả thiết m0  1 n (k 1 ),suy ra m0 n k

Ta có thể tổng quát rằng mỗi thành phần của G là một đồ thị liênthông Giả sử rằng có hai thành phần C ivà C j với n i và n j đỉnh, ở đây

) 2 )(

1 ( ) 1 ( 2

) 1 ( )

j j

j i

i i

n

là một đại lượngdương

2

) 2 )( 1 (n n

cạnh là liên thông.

1.3 CHU SỐ, SẮC TỐ

phần liên thông Ta đặt  ( )G  n p; c G( ) m  ( )G m n p  Số c G( )được

gọi là chu số của đồ thị G.

1.3.3 Định lí ([3]) Cho G là một đồ thị kép, giả sử G’ là đa đồ thị thu được

từ G bằng cách nối hai đỉnh A và B của G bởi một cạnh mới

i) Nếu A và B trùng nhau hoặc có thể nối với nhau bởi một đường đi trong

G thì ta có : ( ')G   ( )G , c G( ') c G( ) 1  .

ii) Trong trường hợp ngược lại thì  ( ')G   ( ) 1G  và c G( ') c G( )

Chứng minh Rõ ràng G' có số đỉnh n' n, số cạnh m' m 1 và giả sử G'

có p' thành phần phần liên thông

i) Trong trường hợp này thì A và B vẫn liên thông nên phép biến đổi từ

G sang G' không làm thay đổi số thành phần liên thông, nênp' p, do đó  ( ')G  n' p'   ( )G ;c G( ') m'   ( ')G m  ( ) 1G  Suy ra c G( ') c G( ) 1 

ii) Vì A và B không liên thông trong G nhưng lại liên thông trong G'

nên phép biến đổi từ G sang G' đó làm giảm bớt một thành phần liên thông (

màu ổn định nếu như không có láng giềng nào của A được tô màu của A.

 Một cách tô màu các đỉnh của đồ thị G được gọi là một cách tô màu

ổn định nếu như đỉnh nào của G cũng được tô màu ổn định.

 Giả sử G là một đồ thị được tô màu ổn định Số nhỏ nhất các màu có thể tô các đỉnh của G một cách ổn đỉnh được gọi là sắc tố, kí hiệu là p(G)

1.3.5 Nhận xét

 Đồ thị có khuyên thì không có cách tô màu ổn định các đỉnh của nó

 Nếu G’ là đồ thị thị p(G’) = p(G) với G là đồ thị đơn thu được từ G’bằng cách thay cạnh kép của G’ bởi một cạnh đơn

 Với mỗi đồ thị đơn G với n đỉnh ta có thể tô màu ổn đỉnh của chúngbởi n màu, với mỗi một đỉnh ta tô một màu

 Đồ thị điểm có sắc tố bằng 1

 Đồ thị rỗng có sắc tố bằng 0

Chứng minh Đồ thị G có bậc lớn nhất , nghĩa là mỗi đỉnh của G có

số láng giềng không vượt quá 

Nếu ta có   1 màu khác nhau thì ta có thể tô màu ổn định n đỉnh của

đồ thị bằng một cách tùy ý từ đỉnh 1 tới đỉnh thứ n như sau: Ta tô màu đỉnhthứ nhất bởi một trong   1 màu, đỉnh này có số láng giềng không vượt quá

, ta sẽ chọn số màu bằng số láng giềng của đỉnh này trong  màu còn lại.Tiếp tục xuất phát từ một đỉnh kề của đỉnh thứ nhất ta tiếp tục tô các đỉnh lánggiềng của nó sao cho màu của đỉnh láng giềng của nó sao cho màu của cácđỉnh láng giềng khác với màu của đỉnh kề nó Quá trình này luôn được tiếnhành cho đến khi tô hết các đỉnh của G Vì khi tô một đỉnh ta còn  màu, mà

số đỉnh của nó không vượt quá 

1.3.7 Định lý Một đồ thị cho trước G với ít nhất một cạnh có sắc tố bằng 2

khi và chỉ khi G không có chu trình lẻ cạnh.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh cho đồ thị liên thông là đủ Vì nếu

đồ thị có nhiều thành phần liên thông thì sắc tố của đồ thị đó bằng sắc tố lớnnhất của thành phần liên thông

Điều kiện cần Nếu đồ thị G với ít nhất một cạnh có sắc tố bằng 2 thì G

không có chu trình lẻ cạnh Thật vậy, gọi C là chu trình bất kỳ của G, khi đócác đỉnh của chu trình sẽ được tô màu xen kẽ dọc theo chu trình Do đó chutrình có số đỉnh chẵn.Vậy chu trình có số cạnh là chẵn

Điều kiện đủ Giả sử G là đồ thị có ít nhất một cạnh và không có chu

trình lẻ cạnh Khi đó G sẽ có sắc tố bằng 2 nghĩa là ta có thể tô màu ổnđịnh bằng 2 màu

Đầu tiên ta chọn một đỉnh P0 của G, với mỗi đỉnh P của đồ thị G luônluôn tồn tại một con đường W nối P0 với P (vì G là liên thông)

Ta sẽ tô màu đỉnh P bởi màu đỏ nếu độ dài l (W)là số chẵn, ngược lại

ta tô đỉnh P màu xanh nếu l (W)là lẻ Màu của đỉnh P không phụ thuộc vào

việc chọn con đường Thật vậy vì nếu có một con đường khác là W’ nối P0

với P thì W’ cũng có độ dài chẵn hoặc lẻ giống với W

Thật vậy, giả sử W có độ dài cạnh chẵn, nếu tồn tại con đường W’ nối

P0 với P mà có độ dài lẻ cạnh thì khi đó trong G có chu trình lẻ cạnh Điềunày mâu thuẫn với giả thiết G không có chu trình lẻ cạnh

Tiếp theo ta đi tô màu các đỉnh láng giềng của P Giả sử Q là một đỉnhláng giềng của P trong đồ thị G và được nối với nhau bởi một cạnh k Ta xétcon đường W0 có độ dài ngắn nhất nối P0 với P Ta sẽ chọn con đường nối P0

với Q trong các trường hợp Q thuộc và không thuộc W0

- Nếu Q nằm trên W0 thì ta thu được một con đường nối P0 với Q có độdài là l (W ) 1 0 

- Nếu Q không nằm trên W0 ta nối thêm cạnh k vào W0 và thu đượccon đường nối P0 với Q có độ dài là l (W ) 1 0 

Do tính chẵn lẻ của con đường nối P0 với P và con đường nối P0 với Q

là khác nhau, nên màu của P và màu của Q là khác nhau Do đó tất cả cácđỉnh láng giềng của P đều được tô màu khác P Suy ra P được tô nàu ổn định.Vậy cách tô màu này là một cách tô màu ổn định

1.4 CÂY VÀ BỤI

1.4.1 Định nghĩa ([1])

 Một cây là đồ thị đơn vô hướng không có chu trình với ít nhất một

đỉnh (Hình 1.11 là hình gồm có hai cây)

 Một đồ thị mà mỗi thành phần liên thông của nó đều là cây được gọi

là bụi, (Hình 1.11 là một bụi nó gồm hai thành phần liên thông).