Đề tài Nghiên cứu khoa học môn Toán: Một số vấn đề về không gian độ đo Được thực hiện tại trường Đại học Trình bày rõ ràng, dễ hiểu Đề tài Nghiên cứu khoa học môn Toán Một số vấn đề về không gian độ đo
Trang 10.1 C¡c kh¡i ni»m mð ¦u
ành ngh¾a 1 : Cho X l mët tªp hìp v A l mët σ - ¤i sè trong P(X) (ngh¾a l A
âng k½n èi vîi ph²p l§y ph¦n bò v l hñp ¸m ÷ñc) Khi â (X,A) l mët khæng gian
o ÷ñc v B ∈ A l o ÷ñc èi vîi A Ta nâi B húu h¤n o µ tr¶n (X,A) l mët h m
A → R+∪ {+∞} thäa m¢n
µ(∅) = 0
v
µ([Bn) = XµBn, trong â {Bn : n = 1, } ⊆ A l mët hå ¸m ÷ñc Mët khæng gian ë o (X,A, µ) gçm mët khæng gian o ÷ñc (X,A) v mët ë o µ
V½ dö: L§y tòy þ mët tªp X v mët σ - ¤i sè A ⊆ P(X), cè ành x v ành ngh¾a
∀B ∈ A, δxB =
0, n¸u x /∈ B
1, n¸u x ∈ B
(X,A,δx) l mët khæng gian ë o δx l æ o Dirac èi vîi x
Cho khæng gian ë o (X,A, µ), khi â h m f: X → R l o ÷ñc hay A- o ÷ñc hay µ - o ÷ñc n¸u thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n sau:
a)∀α ∈ R, {x : f(x) > α} ∈ A,
b)∀α ∈ R, {x : f(x) ≥ α} ∈ A,
c)∀α ∈ R, {x : f(x) < α} ∈ A,
d)∀α ∈ R, {x : f(x) ≤ α} ∈ A,
e)∀U ⊆ R, mð, f−1
(U ) ∈ A v f−1(±∞) ∈ A
(Xem [1].Pro 2.7)
ành ngh¾a 2: Cho (X,A, µ) l mët khæng gian ë o X (ho°c l µ) l húu h¤n ( bà ch°n) n¸u µ X< ∞, v X (hay µ) l σ -húu h¤n n¸u nh÷ câ mët d¢y {Bn: n = 1, } ⊆ A sao cho µBn< ∞ vîi méi n v S Bn = X Rã r ng, ta câ thº luæn xem {Bn : n = 1, }
l mët hå ríi nhau
ành ngh¾a 3: Cho (X,A, µ) l mët khæng gian ë o Ta ành ngh¾a h m ìn gi£n f: X → R n¸u
f=
n
X
1
ajχBj vîi Bj ∈ A, aj ∈ R, χB j l k½ hi»u h m °c tr÷ng cõa Bj
Trang 2Khi â t½ch ph¥n cõa h m ìn gi£i f l
Z
f dµ =XajµBj n¸u Bj = {x : f (x) = aj}v µBj < ∞ Ta câ thº vi¸t b¬ng c¡ch kh¡c
Z
B
f dµ =
Z
χBf dµ vîi B ∈ A
Cho h m f : X → R, µX < ∞ , l bi ch°n, µ - o ÷ñc Ta ành ngh¾a µ -kh£ t½ch cõa f l
Z
f dµ = inf {
Z hdµ : f ≤ h vîi h l h¬ng sè}
Tø ¥y, º thuªn ti»n hìn khi · cªp ¸n khæng gian c¡c h m µ - kh£ t½ch, ta k½ hi»u
L1
µ(X)
ành ngh¾a 4: Cho (X,A) l mët khæng gian o ÷ñc Mët h m
µ : A → R∗(t÷ìng tü vîi C)
l mët ë o d§u (t÷ìng tü l ë o phùc) n¸u µ(∅) = 0 v
µ(
∞
[
1
Bn) =
∞
X
1
µBn
vîi måi d¢y ríi nhau {Bn : n = 1, } N¸u µ l mët ë o d§u (phùc),chóng ta s³ xem
kþ hi»u (X,A, µ ) nh÷ l mët ë o d§u (phùc) hay l mët khæng gian ë o d§u (phùc) Chó þ r¬ng méi ë o tr¶n (X,A) l mët ë o d§u
M»nh · : Cho (X,A, µ ) l mët ë o d§u Khi â µ khæng thº l§y c£ hai gi¡ trà +∞v −∞
Thªt vªy, gi£ sû tçn t¤i hai tªp B1, B2 ∈ A sao cho µ(B1) = +∞, µ(B2) = −∞ Khi â, µ(B1∪ B2) = µ(B1) + µ(B2) = +∞ − (+∞) (væ l½)
ành ngh¾a 5: Cho (X,A, µ ) l mët ë o d§u Khi â B ∈ A l tªp khæng ¥m (d÷ìng) n¸u
∀E ⊆ B m E ∈ A ,ta câ µE ≥ 0 (t÷ìng tü vîi µE ≤ 0)
Vîi méi B ∈ A, chóng ta ành ngh¾a
µ+B = sup{µE : E ⊆ B, E ∈ A}
Trang 3µ−B = sup{−µE : E ⊆ B, E ∈ A}
Khi â
| µ |= µ+B + µ−B
Vîi µ v ν l c¡c ë o, ta nâi µ li¶n töc tuy»t èi èi vîi ν ( k½ hi»u µ ν ) n¸u nh÷
∀B ∈ A, | ν | (B) = 0 ⇒ µB = 0
0.2 C¡c ành lþ
ành lþ 1: Cho Cho (X,A, µ) l mët khæng gian ë o d§u Ta câ
a)(X,A, | µ |) l khæng gian ë o
b)C¡c tªp hñp khæng ¥m (d÷ìng) l âng d÷îi ph²p hñp ¸m ÷ñc
c)N¸u B ∈ A l khæng ¥m (d÷ìng) th¼ µ B= µ+B (µB = −µ−B)
d)N¸u µ B= µ+B < ∞ (−µB = µ−B < ∞)th¼ B l khæng ¥m (d÷ìng)
Chùng minh :
a) Ta chùng minh (X,A, µ+) v (X,A, µ−) l c¡c khæng gian ë o
Rã r ng µ±
(∅) = 0 do µ(∅) = 0
Vîi méi B ∈ A, ∅ ⊆ A, v¼ vªy µ±B ≥ 0
Cho mët d¢y ríi nhau {Bn : n = 1, } ⊆ A Chóng ta s³ chùng minh r¬ng µ+(S Bn) =
P µ+Bn; chùng minh t÷ìng tü èi vîi µ−
Ta c¦n bi¸t r¬ng n¸u B ⊆ D, v B,D ∈ A, th¼
µ+B ≤ µ+D
L§y E ⊆ B, v E ∈ A th¼ µE ≤ µ+D theo ành ngh¾a cõa µ+D v v¼ B ⊆ D i·u n y
óng vîi måi E n¶n ta k¸t luªn µ+B ≤ µ+D
N¸u µ+Bn = ∞ vîi v i gi¡ trà n th¼ µ+Bn ≤ µ+(S Bj), câ ngh¾a l µ+(S Bj) = ∞; v¼ vªy, µ+ ≥ 0v µ+Bn= ∞ v¼ sü cëng t½nh húu h¤n cõa µ+
Do â, gi£ sû r¬ng µ+B+ < ∞vîi méi n
Cho ε > 0 v chån En ⊆ Bn, vîi En∈ A sao cho µEn≥ µ+Bn− ( ε
2 n) {En : n = 1, }l mët d¢y ríi nhau v¼ {Bn : n = 1, } l d¢y ríi nhau Do sü cëng t½nh húu h¤n cõa µ+
n¶n,
µ([En) =XµEn ≥Xµ+Bn− ε;
v theo ành ngh¾a cõa µ+, ta câ
µ+([Bn) ≥Xµ+Bn
Trang 4L§y b§t k¼ λ < µ+(S Bn); õ º th§y r¬ng λ < P µ+Bn.
Chån E ⊆ S Bn sao cho µE > λ V¼ µ l cëng t½nh húu h¤n, n¶n
µE =Xµ(E ∩ Bn)
V¼ P µ(E ∩ Bn) ≤ µ+Bn,ta th§y r¬ng
λ < µE ≤ Xµ+Bn
Tø ¥y suy ra µ+(S Bn) =P µ+Bn v suy ra i·u ph£i chùng minh
b) ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành ngh¾a tªp khæng ¥m (d÷ìng)
c)Gi£ sû B l tªp khæng ¥m, vªy µD ≥ 0 vîi méi D ∈ A v D ⊆ B V¼ B\ D ⊆ B n¶n vîi méi D ta câ µD ≤ µB; do â theo ành ngh¾a cõa µ+, µ+B ≤ µB V¼ B v D nh÷ nhau n¶n µ+B = µB
d) N¸u B khæng l tªp khæng ¥m th¼ tçn t¤i D ⊆ B vîi D ∈ A sao cho µD < 0
V¼ µ l cëng t½nh v B=(B\D)∪D,µB = µD + µ(B\D) Do â n¸u gi£ thuy¸t µB < ∞ th¼ ta câ µB < µ(B\D) v¼ µD < 0
M°t kh¡c B\D ⊆ B suy ra µ+B ≥ µ(B\D) v nh÷ vªy µ+B > µB, tr¡i vîi gi£ thuy¸t
ành lþ 2:( Hahn decomposition) Cho (X,A, µ) l mët khæng gian ë o d§u Khi â tçn t¤i tªp hñp P ∈ A khæng ¥m sao cho N=X\P l tªp khæng d÷ìng
Chùng minh : Gi£ sû µ+X < ∞ °t λ =sup {µ+B : B ∈ A} v µ−B = 0
V¼ µ+ l mët ë o v µ+X < ∞n¶n ta câ 0 ≤ λ < ∞
Chån mët d¢y c¡c tªp {Bn : n = 1, } ⊆ A sao cho µ−Bn = 0 v µ+Bn → λ °t P=S Bn
Chó þ r¬ng µ−P = 0 v¼ µ−P ≤P µ−Bn v¼ th¸ P l tªp khæng ¥m
V¼ Bn⊆ P n¶n ta câ µ+P ≥ µ+Bn v v¼ vªy µ+≥ λ
M°t kh¡c, P ∈ A v µ−P = 0 suy ra λ ≥ µ+P, do â λ = µ+P
Cuèi còng ta chùng minh N=X\P l tªp khæng d÷ìng
Gi£ sû tçn t¤i tªp D ⊆ N thäa µD > 0 Khi â tçn t¤i E ⊆ D sao cho µ+E = µE ≥ µD > 0 Theo â, v¼ µ+X < ∞n¶n theo inh lþ 1.d ta x¡c ành E l tªp khæng ¥m
V¼ E ∩P = ∅ n¶n
µ+(P ∪ E) = µ+P + µ+E = λ + µ+E > λ
M µ−P = 0 (theo nh÷ tr¶n), n¶n
µ−(P ∪ E) = µ−P + µ−E = µ−E = 0
do F ⊆ E suy ra µF ≥ 0 v
0 ≤ µ−E = sup(−µF : F ⊆ E) ≤ 0 ⇒ µ−E = 0
Trang 5Do â, theo ành ngh¾a cõa λ ta câ B=P∪E Suy ra N l tªp khæng d÷ìng.
C¡c tªp P v N l mët Hahn decomposition cõa ë o d§u (X,A, µ)
ành lþ 3:(Radon-Nykodym) Cho µ v ν l c¡c ë o bà ch°n tr¶n khæng gian o ÷ñc (X,A) Gi£ sû µ ν Khi â tçn t¤i duy nh§t f ∈ L1
µ(X) sao cho
∀B ∈ A, µB =
Z
B
f dν
Chùng minh :
Vîi méi r ∈ R, ta x²t ë o d§u µ − rν l§y gi¡ trà thüc v Pr v Nr l mët Hahn decomposition cõa X èi vîi µ − rν
a) Cho r<s Ta kiºm tra
i)µB ≤ rνB ≤ sνB n¸u B ⊆ Nr,
ii)sνB ≤ µB n¸u B ⊆ Ps,
iii)νB = µB = 0 n¸u B ⊆ Nr\Ns
V¼ Nr\Ns⊆ X\Ns = Ps v µ ν n¶n iii) l h» qu£ cõa i) v ii)
Chùng minh i): V¼ Nr l tªp khæng d÷ìng n¶n (µ − rν)B ≤ 0 suy ra µB ≤ rνB V¼ ν
l mët ë o v r<s n¶n rνB ≤ sνB
Chùng minh ii): V¼ Ps l tªp khæng ¥m n¶n (µ − sν)B ≥ 0 suy ra sνB ≤ µB
b) °t
E=[
s∈Q
[
r<s,r∈Q
(Nr\Ns),
Rr = Nr\E,
v
G = X\(∪Rr\ ∩ Rs)
Chóng ta s³ chùng minh
i) νE = 0,
ii) r<s ⇒ Rr⊆ Rs,
iii)ν( T
r∈Q
Rr) = 0,
iv)ν(X\ S
r∈Q
Rr) = ν(T Rc
r) = 0 trong â Rc
r l ph¦n bò cõa Rr, v)νG = 0
Chùng minh i): Theo c¡ch °t cõa E thi ta câ E l mët tªp ¸m ÷ñc, k¸t hñp vîi a.iii) ta suy ra νE = 0
Chùng minh ii): Tø c¡ch °t cõa E v Rr ta suy ra ngay i·u ph£i chùng minh
Trang 6Chùng minh iii): Rã r ng,
∀s ∈ Q, \
r∈Q
Rr ⊆\Nr ⊆ Ns,
v¼ vªy (µ − sν)( T
r∈Q
Rr) ≤ 0
Do â, n¸u ν( T
r∈Q
Rr) > 0, v ta cho sn → ∞, ta ÷ñc µ(T Rr) = −∞ v i·u n y m¥u thu¨n vîi µ bà ch°n
Chùng minh iv): Ta câ
X\ ∪ Rr =\(X\(Nr\E)) =\((X\Nr)[E) = E[(\Nrc)
Ta câ Pr ⊆ Ps; gi£ sû ν(T Pr) > 0, ta nhªn ÷ñc i·u m¥u thu¨n Suy ra ν(T Pr) = 0
Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh
Chùng minh v):a
G = ([Rr\\Rs)c= [([Rr) ∩ ((\Rs)c)]c
= [([Rr) ∩ ([Rcs)]c
= (\Rcr[(\Rs)
Vªy νG = 0 theo iii) v iv)
c) °t
f =
sup{s ∈ Q : x /∈ Rs}, n¸u x /∈ G
Ta s³ ch¿ ra r¬ng f l ν - o ÷ñc Thªt vªy, n¸u α ≤ 0 th¼ khi â
{x : f (x) < α} = [
r<α,r∈Q
Rr,
v n¸u α > 0 th¼
{x : f (x) < α} = G[( [
r<α,r∈Q
Rr)
d) Cho r<s v B ⊆ Rs\Rr (tø b.ii)
Ta chùng minh
| Z
B
f dν − µB |≤ (s − r)νB (1)
Ta nhªn ra r¬ng Rr\Rs ⊆ ((∪Rt)\T
u
Ru) v v¼ vªy B ∩ G = ∅
B¥y gií, x ∈ Rt n¸u v ch¿ n¸u f(x) ≥ t Do â,
r ≤ f (B) ≤ s,
Trang 7v nh÷ vªy rνB ≤ R
B
f (x)dν(x) ≤ sνB (2) Hìn núa, Rr\Rs = (Ns\E)\(Nr\E) v vªy l µB ≤ sνB khi B ⊆ Ns Ta câ B ⊆ Pr khi
Rr\Rs ⊆ (Ns\E)\Nr ⊆ X\Nr v nh÷ vªy µB ≥ sνB
Do â, tø (1) v (2), ta thu ÷ñc −sνB ≤ −µB ≤ −rνB
e) Ti¸p ¸n, ta s³ ch¿ ra r¬ng n¸u B ⊆ Rn+1\Rn th¼
µB = Z
B
f (x)dν(x) (3)
Vîi måi sè nguy¶n tè p, Bj = B ∩ (Rn+(j\p)\Rn+[(j−1)\p]),j=1, p
Rã r ng {Bj : j = 1, } l mët d¢y ríi nhau v B = S Bj Tø d), ta câ
|µB −
Z
B
f dν| ≤
p
X
j=1
|µBj −
Z
B j
f dν| ≤
p
X
j=1
νBj = 1
pνB,
v nh÷ vªy (3) ÷ñc chùng minh vîi p tòy þ
f) Cho B ∈ A, ta vi¸t
B = (B ∩ G)[([
j
Bj), vîi {Bj : j = 1, } l mët d¢y ríi nhau v vîi méi j câ mët n=n(j) ùng vîi méi
B ⊆ Rn+1\Rn
Do â,
µB = µ(B ∪ G) + µ([
j
Bj),
v tø (3) ta câ
µB = µ(B ∪ G) +
Z
B
f dν
( ¥y l Lebesgue decomposition cõa µ )
Ta câ νG = 0 (theo b.v) v gi£ thuy¸t µ ν Do â,
µB = Z
B
f dν
V¼ f l ν - o ÷ñc v RBf dν tçn t¤i vîi méi B ∈ A, ta ch¿ ra ÷ñc f ∈ L1
µ(X) Cho (X,A) l khæng gian o ÷ñc v gi£ sû µ v ν thäa m¢n
µ ∈ M(X)
v ν l mët σ -húu h¤n o
N¸u µ ν th¼ ành lþ tr¶n câ thº mð rëng º kh¯ng ành sü tçn t¤i duy nh§t f ∈ L1
µ(X) vîi ∀B ∈ A, µB = RBf dν
Trang 80.3 T i li»u Tham Kh£o
[1] John J.Benedetto; Real Variable and Integeration with Historical Notes [2] J Yeh; 2nd Edition, Real Analysis, Theory of Measure and Integration