Một số vấn đề về không gian Sobolev

Một số vấn đề về không gian Sobolev

vả, có những lúc vấp ngã em tưởng như mình không thể vượt qua Nhưng mong muốn được làm luận văn khi tốt nghiệp đã thúc đẩy em phấn đấu nhiều trong học tập Cuối cùng với kết quả đạt được trong các năm đầu, em được bộ môn phân công làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy Phạm Gia Khánh Được làm luận văn là một niềm vui, niềm vinh dự lớn đối với em Nhưng bên cạnh đó cũng có không ít nỗi lo và gặp nhiều khó khăn, nào là khan hiếm tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức thì mới và tương đối khó… Nhưng với kiến thức mà em được thầy cô bộ môn trang bị trong các năm qua cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phạm Gia Khánh cũng như sự động viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè, cuối cùng cuốn luận văn cũng được hoàn thành Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy hướng dẫn, các thầy cô khác trong bộ môn, cùng gia đình và bạn bè.

Cần Thơ, tháng 5 năm 2009

PHẦN MỞ ĐẦU



1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong

xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng bằng việc định lượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại lượng toán học Nhưng ta cũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa các tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến Tuy nhiên, khi đó xuất hiện những khó khăn toán học thực sự Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng ta buộc phải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sang tuyến tính hóa trong một lân cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán về bài toán tuyến tính Vẫn chưa

đủ, để giải bài toán này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối với giả thiết của bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển của bài toán mới vẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta xây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng minh nó là nghiệm cổ điển của bài toán Nói như vậy để thấy rằng, không gian nghiệm của bài toán được giải đã có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm của bài toán thực tế ban đầu Vì vậy, việc chọn các không gian hàm cho nghiệm của các bài toán có một vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán Một không gian phiếm hàm tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev

Có phần yêu thích toán học ứng dụng và được sự hướng dẫn gợi ý của thầy Phạm Gia Khánh để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa học cũng như bước đầu làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng hiện đại” em đã quyết định chọn đề tài

“Một số vấn đề về không gian Sobolev”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến không gian Sobolev Đặc biệt quan trọng và cũng là mục tiêu chính đó là xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và giải các bài tập có liên quan đến nó Qua đó,

giúp củng cố các kiến thức đã được học trong suốt 4 năm đại học như: giải tích 1,

2, không gian tôpô, độ đo và tích phân Lebesgue, giải tích hàm…

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Quá trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong quá trình nghiên cứu lí thuyết Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa

ra những nhận xét riêng Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ ràng

Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá cũng được kết hợp sử dụng trong giải và sắp xếp các bài tập Sau khi tổng hợp các bài tập từ các nguồn

tư liệu khác nhau, sẽ tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc các bài tập hay phù hợp với nội dung lí thuyết sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí Cuối cùng, tiến hành phân tích, đánh giá để giải một cách chi tiết, trình bày một cách rõ rang

4 NỘI DUNG LUẬN VĂN

Nội dung của luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Gồm 4 §, trong đó §1 Không gian L p, §2 Biến đổi Fourier,

§3 Hàm suy rộng, §4 Không gian Sobolev Ở đây, chỉ tập trung giới thiệu một

số định nghĩa, định lí, tính chất và các ví dụ có liên quan mà không quan tâm đến việc chứng minh các định lí, tính chất đó

Chương 2 Giải chi tiết và sắp xếp một cách tương đối hợp lí các bài tập có liên quan đến phần lí thuyết đã giới thiệu ở chương 1

PHẦN NỘI DUNG



CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§ 1 Không gian L p

1.1 Không gian L p

Cho (Ω, S,µ) là một không gian độ đo, trong đó Ω là một tập con mở của

không gian Euclide n chiều Rn, Slà σ -đại số trên tập đo được Lebesgue vൠlà

độ đo Lebesgue Cho 1≤ p≤∞, ta định nghĩa không gian L p như sau

Với 1≤ p<∞, ta định nghĩa

=

p

L { f : f là hàm đo được và ∫Ω f( )x p dµ( )x <∞}và

f =inf{K >0: f( )x ≤K hầu khắp nơi}

Chú ý Nói f( )x ≤k hầu khắp nơi tương đương với nói rằng

Cho 1≤ p≤∞, chỉ số q thỏa 1 + 1 =1

q

p được gọi là số mũ liên hợp của p

Ta thấy, p =1 thì q=∞ Ngược lại, p =∞ thì q =1

a ab

q p

1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski Nếu f,g∈L p thì

p p

g

f + ≤ + , với 1≤ p≤∞.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∃A, B∈R+, A2 +B2 ≠0 sao cho Af =Bg.

1.2.4 Định lí L plà không gian Banach

1.2.5 Định lí L plà không gian phản xạ, với 1< p<∞

0,

2

/ 1

x

x e x

Khi đó, f ∈C∞

a x e

x f

x a a

,0

,

)) /(

( 2 2 2

1 2

x n x

n

R R

1,

)) 1 /(

1

x

x e

π

• τy f( )x = f(x−y), với y thay đổi trên Rn, ( ) ( λ)

g

1 1

1

α Cho ξ∈Rn,

n

nα α α

2 1

j j x

• Cho f ∈L1(Rn), biến đổi Fourier của f được định nghĩa là

( )=∫n ( ) − ( )

R

x

i dm x e

x f

x

x C

x

2

2/

2/sin

; ( )=∏n( − )

j K

11

• (de la Vallie Pousin) (cho n=1) Vλ( )x =2K2λ( )x −Kλ( )x Khi đó,

λξξ

λ

2,0

2,

2

,1ˆ

2.6 Không gian Schwartz S

Không gian Schwartz S là không gian của các hàm tiêu chuẩn mà bất biến

đối với các phép toán biến đổi, phép nhân cân bằng, mở rộng, nhân bởi hàm đặc trưng, tích ánh xạ, phép tính tích phân và phép biến đổi Fourier Không gian

Schwartz S được mô tả

2.7 Hàm suy rộng điều hòa

2.7.1 Định nghĩa Không gian tôpô đối ngẫu S' của không gian Schwartz S được gọi là không gian của những hàm suy rộng điều hòa

dx x x

x f

11

nên hàm đã cho là hàm điều hòa

• Nếu µ là một độ đo thông thường trên Rn sao cho ( + x2)−kµ∈M

theo cách xác định ở trên Tµ ∈S' Độ đo đã cho được gọi là độ đo điều

hòa

2.7.3 Định lí Một hàm tuyến tính L trên S là một hàm điều hòa nếu và chỉ

nếu tồn tại một hằng số C>0và số nguyên l, m sao cho

( ) C ( ) S L

m l

2.7.4 Toán tử trong S′ Cho T ∈ S’.

• Phép tịnh tiến Nếu h∈Rn, định nghĩa ( )( )τh T φ =T(τ−hφ),∀φ∈S thì

'

S T

• Phép nhân với một phần tử của S Cho φ∈S, định nghĩa

( )( )φT ψ =T( )φψ Khi đó, φT∈S' Nếu P là một đa thức trên R n, PT được định nghĩa giống như trên cũng là một hàm điều hòa

(Công thức trên cho ta một phép tính tích phân) Do đó, DαT∈S'

• Tích chập Cho ψ ∈S định nghĩa ψ ∗T( ) (φ =Tψ ∗φ)∧ Khi đó,

• Biến đổi Fourier Định nghĩa Tˆ( )φ =T( )φˆ, ∀φ∈S Khi đó, Tˆ∈S'

Kết hợp phép biến đổi Fourier và phép vi tích phân, ta có

• δˆ=1,δˆ( ) ( )φ =φˆ 0

• φ ∗δ( )x =φ( )x

• ∂jφ =φ∗∂jδ , φ∈S, vi phân là một trường hợp đặc biệt của tích chập.

§ 3 Hàm suy rộng

3.1 Không gian các hàm chuẩn D( )Ω

3.1.1 Định nghĩa Một hàm tiêu chuẩn φ( ) (x =φ x1,x2, ,x n) trên Ω⊆Rn là một hàm khả vi vô hạn trên Ω và triệt tiêu ở bên ngoài miền giới hạn, miền giới hạn có thể phụ thuộc vào hàm tiêu chuẩn Không gian tất cả các hàm tiêu chuẩn trên Ω được kí hiệu là D( )Ω

1,

1 /

1 2

x

x e

x

x

φ

Dễ dàng kiểm tra φ là một hàm vô hạn khả vi, trừ trường hợp x= ± 1 Vì φ

là hàm chẵn, ta chỉ cần kiểm tra tính khả vi tại x= 1

Ta có,

0lim 1 1 1

Do đó, tất cả đạo hàm của φ bằng 0 tại x= 1

• Một hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu φ trên Rn được cho bởi

1,

1 /

1 2

x

x e

3.1.4 Một số tính chất

• Nếu φ1,φ2 ∈D( )Ω thì c1φ1 +c2φ2 ∈D( )Ω với mọi số thực c1 và c2

• Nếu φ thuộc D( )Ω và a khả vi vô hạn trên Ω thì a.φ cũng thuộc D( )Ω

• Nếu φ thuộc D( )Ω thì mọi đạo hàm riêng của φ cũng thuộc D( )Ω

• Cho hàm φ như trong ví dụ hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu, khi đó

φ , trong D( )Ω tồn tại một tập con compact cố định K ⊂Ω sao cho supp

( )φm ⊆K với tất cả m, φm và tất cả đạo hàm của nó đều hội tụ đều đến 0 trên K.

3.3 Định nghĩa về hàm suy rộng

Một hàm tuyến tính T trên D( )Ω được gọi là một hàm suy rộng trên Ω

nếu Tφm →0 với mọi dãy rỗng { }φm trong Ω Không gian các hàm suy rộng được

( ) ( )x D

Dễ dàng chứng minh rằng δx∈D'(Rn)

Trường hợp δ =δ0 được gọi là hàm suy rộng Dirac.

• Cho Tđược định nghĩa bởi

( ) n( )0

n

T φ =φ , φ∈D (R), n=1,2,

Khi đó, T n∈D'(R).

Trường hợp n=1, T1 được gọi là hàm suy rộng lưỡng cực

Nhận xét δ không được sinh ra bởi bất cứ hàm khả tích địa phương nào Thật vậy, nếu tồn tại một hàm khả tích địa phương f sao cho δ =T f , khi đó

dương, khi đó α được gọi là một đa chỉ số.

Kí hiệu một số phép toán liên quan đến đa chỉ số α

• α!=∏n i=1αi!

• xα =∏n i=1x iαi, x∈ Rn

Cho hai đa chỉ số α =(α1,α2, ,αn),β =(β1,β2, ,βn) Khi đó, α ≤β khi

và chỉ khi α ≤i βi, với mọi i=1,2,… ,n

α là một đa chỉ số, ta định nghĩa phép toán vi phân Dα là

D

α

Tính chất 1 Cho T∈D'( )Ω , với Ω là tập mở con của Rn, và đa chỉ số α

βαβ

0,1

x

x x

§ 4 Không gian Sobolev

4.1 Không gian Sobolev

Cho Ω là một tập mở con của Rn có biên là ∂ Ω Ta bắt đầu với định nghĩa

4.1.1 Định nghĩa Cho số nguyên m>0 và 1≤ p≤∞ Không gian Sobolev được định nghĩa

)()()

(Ω ⊂W m,p Ω ⊂L p Ω

)(

,p Ω

m

W là một không gian véctơ

Trên W m,p(Ω) ta trang bị một chuẩn m,p,Ω, như sau

Với 1≤ p<∞, ta định nghĩa

p

m

p L p

/ 1

, ,

) ( 0

L m

α

α α

,

),

Phép toán nhân trong này sinh ra m,Ω

Trong trường hợp Ω=Rn, H m(Rn) có một sự mô tả khác qua biến đổi Fourier

m m

2 ) ( (1 ξ ) u(ξ)

R R

Từ định nghĩa trên cho phép chúng ta định nghĩa H s(Rn), với mọi s≥0

4.1.4 Định nghĩa Cho s≥0, định nghĩa

(

s

H Rn) = ∈ 2( n)(1+ 2)s/2 ( )∈ 2( n)

R L u

R L

Kết hợp với chuẩn

2 2

2 ) ( (1 ξ ) u(ξ)

R R

i

p L

i p

u u

/ 1 1

u u W

đẳng cự Ta có một số tính chất

• W m,p(Ω) là không gian phản xạ, với 1≤ p<∞

• W m,p(Ω) là không gian tách được, với 1≤ p<∞

• H m(Ω)là không gian Hilbert tách được, với 1≤ p<∞

,

0m p Ω

W là một không gian con đóng của W m,p(Ω)

Phần tử của , ( )

0m p Ω

W gần giống trong không gian định chuẩn W m,p(Ω)

bằng những hàm thuộc C∞( )Ω có giá compact trên Ω

)(

Ta có thể nói rằng L p( )Ω là một tập gồm các lớp hàm Như vậy, khi nói “u

là một hàm liên tục trong L p( )Ω ” nghĩa là ta đang nói tới một lớp hàm mà có đại diện là hàm u liên tục

Kết quả sau đặc trưng cho W1 ,p( )Ω khi Ω= I ⊂R là một khoảng mở.

4.1.9 Định lí Cho I ⊂R là một khoảng mở, nếu u∈W1 ,p( )I thì u là hàm liên tục tuyệt đối

4.1.10 Chú ý Cho I ⊂R là một khoảng mở giới nội, ví dụ I =(0,1) Khi

đó, nếu u∈W1 ,p( )I thì ta có thể viết

( ) ( )x u u( )t dt

0 '0

Như vậy,

I L q

p

x

x u x u x dt t u x

u dt t u x u

/ 1 /

1 / 1 0

u dx x u

1 0

/ 1 1

)0

trong đó c1 không phụ thuộc u Cũng như vậy ta có

[ p I p I] p I I

u u

Lấy B(0,1)={u∈W1 ,p( )I : u1,p,I ≤1} là hình cầu đơn vị trong W1 ,p( )I

q I

u y u x

/ 1 ,

, 1 / 1

p L p

u

/ 1 ,

được xem là đạo hàm cao nhất của không gian định chuẩn L p

4.1.12 Bổ đề (Bất đẳng thức Poincare) Cho Ω là một tập mở giới nội

trong Rn Khi đó, tồn tại một số nguyên dương C =C(Ω,p) sao cho

p p

p p

p L

p L

,

α α

và

( )

p p

p L

, 1

,

4.1.13 Ví dụ Bất đẳng thức Poincare không đúng với miền không giới nội

Ví dụ, nếu lấy Ω=Rn và φ∈D(Rn), xác định bởi

1,

, ,

R L k R

Trong khi φk L p(R n) ≥µ(B(0,k))→∞, khi k →∞.

4.2 Không gian đối ngẫu của không gian Sobolev

Ở phần này ta xét không gian sobolev của số nguyên âm cũng như phân số

4.2.1 Định nghĩa Cho 1≤ p<∞, q là số mũ liên hợp của p Không gian đối ngẫu của không gian , ( )

f0, 1, , sao cho

∂

∂+

p i

f v

0 1

Và

( ) Ω

≤ Ω

− q = i n f i L q

F

0 ,

Khi Ω là tập giới nội, ta có thể giả sử rằng f0 =0

Giả sử định lí trên là đúng Vì D( )Ω trù mật trong W1 ,p( )Ω

0 , hàm tuyến tính thì xác định duy nhất nên nó cố định trong D( )Ω

Cho φ∈D( )Ω , (2.1) được viết lại như sau

i i

n

i i

x

f f

x f f

F

1

0 1

0

Như vậy,F có thể được xác định với hàm suy rộng ∑∫= Ω∂

∂

− n

i x

f f

sự mở rộng của hàm suy rộng trên W1 ,p( )Ω , nhưng sự mở rộng này không duy nhất

∈

−

−Ω

y u x u L

1+ξ s uξ ∈L (Rn)}

và

( 2) ( )2 1/2)

( n =∫ n 1+ ˆ 

s R

CHƯƠNG 2BÀI TẬPBài 1

a Chứng minh rằng nếu f , g là hàm liên tục có giá là tập compact thì supp

x

Vì cả A và B đều là compact nên A+B là compact Vì vậy,

supp(f ∗g)⊆ supp( )f + supp( )g

Bài 2 Cho f ∈L p(1≤ p≤∞) Chứng minh rằng

∫ µ

Do đó, vế phải luôn lớn hơn hoặc bằng vế trái Trường hợp đẳng thức xảy ra, giả

sử f p >0 ( f p =0 đẳng thức hiển nhiên đúng) Đặt g = f 1p−p f p−1sgn f Khi

Trường hợp 2 p=1 Khi đó, ∫ fgdµ ≤ f 1 g ∞ Như vậy một chiều của

bất đẳng thức xảy ra Giả sử f 1 ≠0 Đặt g=sgn f Khi đó, g ∞ =1 và

Do đó, phần trên là đúng cho mỗi α (0<α < f ∞)

Bài 3 Cho hàm f ∈L1loc( )a;b , ta nói hàm g∈L1loc( )a;b là đạo hàm suy rộng

g = ;' = Hãy chứng minh các tính chất sau của đạo hàm suy rộng

a Đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp nơi

Do đó, g1 =g2 hầu khắp nơi Hay đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp

b a

b a

b a

b a

0,1

x

x x

ϕϕ

x

x x

x x

x dx x

x x

x

ε ε

ε ε ε

ϕϕ

ϕ

lnlim

x

x

ε

ε ε

ϕϕ

εϕεϕε

lnlim

0

x

dx x

x x

ε ε

ε ε

g f

i i

một tập compact C sao cho x−K ⊆C va x+h−K ⊂C , với h đủ nhỏ Khi đó, f

là liên tục đều trên C Khi đó,

( + )− ∗ ( ) ≤∫ ( + − ) (− − ) ( )

∗

x g f h x g

Cho ε >0 Chọn δ >0 sao cho x+h−K ⊆C và

(x+h−y) (− f x− y) <ε

f với h <δ Do đó, f ∗g(x+h)− f ∗g( )x ≤ε g 1 hay g

f ∗ là hàm liên tục Xét e i =(0, ,1,0, ,0), trong đó 1 xuất hiện ở vị trí thứ i Khi

đó,

h

x g f he x g

với mọi θ, 0 <θ < 1 Vì ∂∂x f i là liên tục trên C và bị giới nội nên theo định lí về sự

hội tụ bị chặn của Lebesgue vế phải của (1) hội tụ về g( )x

x

f i

g f

i i

b Ta sẽ chứng minh cho trường hợp α =e i =(0,0, ,1, ,0) với 1 ở vị trí thứ

i Trường hợp α bất kì được chứng minh tương tự.

( )( ) ( ( ) ) ( ) [ ] [ ( ( ) ) ( ) ]

( )x x

T h

T

x T

h x

T x T h

x T x

T h he

x T x T h x

T

x

i x

he x h

he h

he h

he h

i h

i

i

i i

τφτ

φτφφ

τφ

φτ

φφ

φφ

0

0 0

0 0

lim

1lim

1lim

1lim

1lim

Ngoài ra,

( )x x

T x

T

T h x

T h x

T x

i

x i

x he h

he h

i

i i

τ

φττφ

τ

0 0

( ) ( )x y dy ( ) ( )x y dy

dy y y x x

2 1

2 1 2

1

φφτ

φφ

φφφ

φ

Tích phân cuối trên tập compact supp 

φ có thể được xem như giới hạn

khi ε → 0 của tổng Riemann ∑ ∨ ( ) ( )∨

p

pφ x φ εp

τε 1 2 trong đó tổng được mở rộng trên

tất cả điểm nút tích phân trên Rn

Do đó,

0 2

2 1

2 1 0

2 1 2

1

2

φφφ

φ

εφφτφ

φφ

φ

φ

ε ε

T T

Vì supp(T∗φ) là một tập đóng trong tập compact K+H nên nó là tập

compact Điều này chứng minh rằng T∗φ∈D(Rn) Trở lại vấn đề, để chứng minh

câu c ta cần chứng minh tại hàm gốc Xét ψ0∈D(Rn) sao cho

0

φψψ

φ

ψφψ

φψ

dy y y

T dy

y y T T

H K H

=+

Bài 9 Cho T i ∈D'(Rn), i=1,2,3 Khi đó,

a Nếu T1 hoặc T2 thuộc ε '(Rn) thì T1∗T2 =T2∗T1.

b Nếu ít nhất hai trong ba T i∈ε '(Rn), i=1,2,3 thì

Nếu T1∈ε '(Rn ) thì ta có thể sử dụng câu c của bài 8 và nếu T2∈ε '(Rn) thì

ta có thể sử dụng câu d của bài 7 để có

(T1∗T2) (∗ φ1∗φ2) (= T1∗φ2) (∗ T2∗φ1) (1)Ngoài ra, từ (1) ta cũng có