Một số tính chất của tích tenxơ

NGUYỄN THỊ THU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH TENXƠ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN CHUY£N NGÀNH: §¹I Sè Vµ Lý THUYÕT Sè CÀN BỘ HƯỚNG DẪN kho¸ luËn TS.. Phần 1 trình

VINH 2010

NGUYỄN THỊ THU

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

TÍCH TENXƠ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN

CHUY£N NGÀNH: §¹I Sè Vµ Lý THUYÕT Sè

CÀN BỘ HƯỚNG DẪN kho¸ luËn

TS Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viªn thực hiện: Nguyễn Thị Thu

Lớp 47 BTo¸n

VINH 2010

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: kiến thức cơ sở 4

1.1 Môđun hữu hạn sinh 4

1.2 Môđun tự do 4

1.3 Dãy khớp chẻ ra 4

1.4 Địa phơng hóa 5

CHƯƠNG 2: tích tenxơ của hai môđun 7

2.1 Xây dựng tích tenxơ của hai môđun 7

2.2 Một số tính chất cơ bản của tích tenxơ 12

2.3 Một số ví dụ về tích tenxơ 20

2.4 Tích tenxơ và dãy khớp 24

2.5 Tích tenxơ và địa phơng hóa 26

Kết luận 30

Tài liệu tham khảo 31

xạ song tuyến tính f : M ì N → Q (Q l mà ột R-môđun) đều tồn tại duy nhất mộtđồng cấu R-môđun h : T → Q để f = hg.

g

M ì N T

f h Q

Nhận xét rằng R-môđun T như thế nếu tồn tại thì sẽ duy nhất sai khác một đẳng cấu.Bằng con đường kiến thiết người ta đã chỉ ra rằng luôn tồn tại một môđun T như vậy

v gà ọi l tích tenxà ơ của R-môđun M v N, kí hià ệu l M N.à

Mục đích của khoá luận l dà ựa v o các t i lià à ệu tham khảo để tìm hiểu về tíchtenxơ của hai R-môđun

Ngo i phà ần mở đầu, kết luận v t i lià à ệu tham khảo, nội dung của khoá luậnđược chia th nh hai chà ương Chương 1 trình b y các kià ến thức cơ sở có liên quanđến chương 2 Chương 2 trình b y nà ội dung chính của khoá luận Chương n y gà ồm

5 phần Phần 1 trình b y cách xây dà ựng tích tenxơ của hai môđun trên v nh giaoàhoán bằng con đường kiến thiết Phần 2 trình b y mà ột số tính chất cơ bản của tíchtenxơ Phần 3 trình b y mà ột số ví dụ về tích tenxơ Phần 4 v 5 trình b y mà à ối liên

hệ giữa tích tenxơ với dãy khớp v à địa phương hoá

Để ho n th nh luà à ận văn n y tôi đã nhà ận được sự hướng dẫn nhiệt tình, tậntâm của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp n y tôi xin chân th nh cà à ảm ơn TS.Nguyễn Thị Hồng Loan , cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt l tà ổ Đại

Số đã giúp đỡ cho tôi ho n th nh luà à ận văn n y Mà ặc dù đã hết sức cố gắng nhưng

khoá luận chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót, vì vậy, tôi rất mong muốn nhậnđược ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo v các bà ạn.

VINH, THÁNG 5/2010

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương n y chúng tôi trình b y các khái nià à ệm v kà ết quả cần dùng cho cácchứng minh ở Chương 2

1.1 Môđun hữu hạn sinh

1.1.1 Định nghĩa Giả sử S l mà ột tập con của một R-môđun M, khi đó giao của tất

cả các môđun con chứa S của M cũng l mà ột môđun con của M Môđun con n yàđược gọi l môà đun con của M sinh bởi S Nếu môđun con sinh bởi S chính l M thìà

ta bảo rằng S l hà ệ sinh của M Nếu M có hệ sinh hữu hạn thì ta nói M l mà ột

môđun hữu hạn sinh.

1.1.2 Bổ đề Nakayama Cho M l m à ột môđun hữu hạn sinh trên v nh giao hoán R à

v I l iđêan c à à ủa R chứa trong căn Jacobson J(R) của R Thế thì từ IM = M sẽ kéo theo M = 0.

1.2 Môđun tự do

1.2.1 Định nghĩa Tập con S của một R-môđun M được gọi l mà ột tập độc lập tuyếntính nếu từ mỗi đẳng thức

a1x1 + … + anxn = 0với x1, …, xn ∈ S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a1 = … = an = 0 Nếu trái lại thì Sđược gọi l tà ập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M có một hệ sinh S độc lập tuyếntính thì nó được gọi l à môđun tự do v tà ập S được gọi l mà ột cơ sở của M

1.2.2 Định lý Cho M l m à ột R-môđun tự do với cơ sở S v N l m à à ột R-môđun bất kì Khi đó mỗi ánh xạ g : S → N đều mở rộng được th nh m à ột đồng cấu duy nhất

1.3.2 Định lý Dãy khớp ngắn

f g

0 → N → M → P → 0 chẻ ra nếu v ch à ỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn

(i) Tồn tại một đồng cấu f ' : M → N sao cho f 'f = id N ;

(ii) Tồn tại một đồng cấu g ' : P → M sao cho gg' = id P

1.4 Địa phương hóa

1.4.1 Định nghĩa Cho R l mà ột v nh giao hoán, có à đơn vị Một tập con S của Rđược gọi l mà ột tập nhân đóng của R nếu 1 ∈ S v và ới mọi a, b ∈ S thì ab ∈ S Cho M l mà ột R-môđun v S l mà à ột tập nhân đóng của R Trên tập M ì S ta xácđịnh quan hệ : như sau:

(x, s) : (y, t) nếu tồn tại r ∈ S sao cho r(tx - sy) = 0

Dễ d ng chà ứng minh được rằng : l mà ột quan hệ tương đương trên M ì S Tập cáclớp tương đương của M ì S theo quan hệ n y à được kí hiệu l Sà -1M Còn lớp tươngđương có đại diện l phà ần tử (x, s) được kí hiệu l x/s Trong trà ường hợp đặc biệt M

= R, ta có tập S-1R Chúng ta có thể trang bị cho S-1M một cấu trúc R-môđun, cũngnhư S-1R-môđun (sau khi xây dựng cấu trúc v nh cho Sà -1R) nh sau

(1) S -1 M l m à ột nhóm Aben cộng Trên S-1M ta trang bị phép toán cộng như sau:

+ = Với phép toán cộng n y thì Sà -1M lập th nh mà ột nhóm Aben với phần tử không là0/1, còn phần tử đối của x/s l (-x)/s.à

(2) S -1 M l m à ột R-môđun Phép nhân ngo i các phà ần tử của R với các phần tử của

S-1M được cho bởi

a = Với các phép toán vừa được trang bị, ta thấy ngay S-1M trở th nh mà ột R-môđun.(3) S -1 R l m à ột v nh à Với phép cộng đó trang bị như đối với S-1M thì S-1R trở th nhàmột nhóm Aben Còn phép toán nhân trên S-1R l à

= Hai phép toán trên l m cho Sà -1R trở th nh mà ột v nh giao hoán có à đơn vị l 1/1.à

(4) S -1 M l m à ột S -1 R-môđun Thêm phép nhân ngo i các phà ần tử của S-1R với S-1Mđược cho bởi

=

sẽ l m cho Sà -1M trở th nh Sà -1R-môđun

1.4.2 Định nghĩa Cho R l mà ột v nh giao hoán Già ả sử M l mà ột R-môđun v S là àmột tập nhân đóng của R Khi đó S-1R v Sà -1M được gọi l v nh các thà à ương vàmôđun các thương của R v M bà ởi tập nhân đóng S Nếu P l mà ột iđêan nguyên tốcủa R thì S = R\P l mà ột tập nhân đóng trong R Khi đó người ta viết S-1R = RP v Sà -

1M = MP, v gà ọi chúng tương ứng l à địa phương hóa của R v M tà ại iđêan nguyên

tố P

CHƯƠNG 2 Tích tenxơ của hai môđun

2.1 Xây dựng tích tenxơ của hai môđun

2.1.1 Định nghĩa Cho M, N l các R-môà đun Lấy S = M ì N l tích Descartes cà ủacác tập M v N Gà ọi F l R-môà đun tự do có cơ sở S, nghĩa l mà ỗi phần tử của F códạng , trong đó axy∈ R, bằng không với hầu hết (x, y) ∈ S Gọi D l môà đun con của

F sinh bởi tất cả các phần tử có dạng:

(x + x', y) - (x, y) - (x', y),(x, y + y') - (x, y) - (x, y'),(ax, y) - a(x, y),(x, ay) - a(x, y)với a ∈ R, x, x' ∈ M, y, y' ∈ N Khi đó môđun thương T = F/ D được gọi l à tích

tenxơ của M với N v à được kí hiệu l M à ⊗RN, hoặc gọn hơn l M à ⊗ N khi v nh Rà

đã rõ Ảnh của phần tử (x, y) ∈ M ì N trong M ⊗ N được kí hiệu l x à ⊗ y v à đọc

l x tenxà ơ với y

2.1.2 Mệnh đề Cho M, N l các R-mô à đun Khi đó với mọi a ∈ R v v à ới mọi x, x'

∈ M, y, y' ∈ N, ta có:

(i) (x + x') ⊗ y = x ⊗ y + x' ⊗ y;

(ii) x ⊗ (y + y') = x ⊗ y + x ⊗ y';

(iii) (ax) ⊗ y = a(x ⊗ y);

(iv) x ⊗ (ay) = a(x ⊗ y).

Chứng minh Do

(x + x', y) - (x, y) - (x', y) ∈ D,(x, y + y') - (x, y) - (x, y') ∈ D,(ax, y) - a(x, y) ∈ D,

(x, ay) - a(x, y) ∈ D,

∀a ∈ R, x, x' ∈ M, y, y' ∈ N nên từ định nghĩa của tích tenxơ của M với N, ta suy ra

(x + x') ⊗ y - x ⊗ y - x' ⊗ y = 0,

x ⊗ (y + y') - x ⊗ y - x ⊗ y' = 0, (ax) ⊗ y - a(x ⊗ y) = 0,

x ⊗ (ay) - a(x ⊗ y) = 0,

∀a ∈ R, x, x' ∈ M, y, y' ∈ N V× thế ta nhận được

(x + x') ⊗ y = x ⊗ y + x' ⊗ y,

x ⊗ (y + y') = x ⊗ y + x ⊗ y', (ax) ⊗ y = a(x ⊗ y),

x ⊗ (ay) = a(x ⊗ y),

∀a ∈ R, x, x' ∈ M, y, y' ∈ N Ξ

Như vậy, ¸nh xạ

g : M × N → M ⊗ Ncho bởi g(x, y) = x ⊗ y thỏa m·n

g(x +x', y) = g(x, y) + g(x', y),g(x, y + y') = g(x, y) + g(x, y'),

g(ax, y) = ag(x,y),g(x, ay) = ag(x,y)

∀a ∈ R, x, x' ∈ M, y, y' ∈ N, tức l g l mà à ột ¸nh xạ song tuyến tÝnh Ta gọi g là

x ⊗ 0 = 0 ⊗ y = 0 với ∀x ∈ M, y ∈ N

(ii)V× mỗi phần tử t ∈ M ⊗ N cã dạng t = z + D, với z ∈ F Viết

z = ,

ta được

t = + D = Như vậy {x ⊗ y │ x ∈ M, y ∈ N} l mà ột hệ sinh của M ⊗ N Ξ

2.1.4 Chú ý (i) x ⊗ y có thể bằng 0 khi cả x v y à đều khác 0 Chẳng hạn, trong tíchtenxơ của các Z-môđun M = Z v N = à Z2 ta có :

2 ⊗ _

1 = (1 ⊗ _

1) = 1 ⊗ (2 1_) = 1 ⊗_

0 = 0

(ii) Không phải mọi phần tử của M ⊗ N đều có dạng x ⊗ y với x ∈ M, y ∈ N Ta chỉ

có thể kết luận rằng mỗi phần tử của M ⊗ N đều biểu diễn được (nói chung làkhông duy nhất) dưới dạng một tổng hữu hạn , với ∈ M, ∈ N, i = 1,…,n

2.1.5 Hệ quả Nếu M, N l các R-mô à đun hữu hạn sinh thì M ⊗ N cũng là một môđun hữu hạn sinh.

Chứng minh Giả sử M, N có hệ sinh tương ứng l {xà 1,x2,…,xn} v {yà 1,y2,…,yn}.Khi đó với mỗi x = ∈ M v y = à ∈ N, ta có

x ⊗ y = () ⊗ () = Vì các phần tử x ⊗ y sinh ra M ⊗ N, ta suy ra M ⊗ N có một hệ sinh hữu hạn l {à

⊗ │11 i 1 n, 1 1 j 1 m} Ξ

2.1.6 Định lý Giả sử M, N l các R-mô à đun v g : M à ì N → M ⊗ N l ánh à xạ tenxơ Khi đó với mỗi ánh xạ song tuyến tính f : M ì N → P với P l m à ột R- môđun, tồn tại duy nhất một đồng cấu R-môđun h : M ⊗ N → P sao cho f = hg Chứng minh Vì F l môà đun tự do sinh bởi S = M ì N nên theo Định lý 1.2.2 tồn tạiduy nhất đồng cấu R-môđun f* : F → P l mà ở rộng của f Vì f l mà ột ánh xạ songtuyến tính nên ∀x, x' ∈ M, y ∈ N, ta có

f*((x + x', y) - (x, y) - (x', y)) = f*(x + x', y) - f*(x, y) - f*(x', y)

= f(x + x', y) - f(x, y) - f(x', y) = 0

Tương tự, f* cũng l m trià ệt tiêu các phần tử có dạng:

(x, y + y') - (x, y) - (x, y'), (ax, y) - a(x, y),

(x, ay) - a(x, y)

với a ∈ R, x ∈ M, y, y' ∈ N Từ đó bởi định nghĩa của D ta suy ra D ⊆ kerf* Ta có,

f* cảm sinh ra một đồng cấu R-môđun

k(t) = k() = = = = h(t)

Vậy k = h v à Định lý được chứng minh Ξ Định lý n y à được gọi l Đà ịnh lý về tính phổ dụng của tích tenxơ

Như vậy tích tenxơ của hai môđun có thể được định nghĩa như sau

2.1.7 Định nghĩa Cho M, N l hai R-môà đun. Tích tenxơ của M v N l cà à ặp (T, θ)trong đó T l mà ột R-môđun v à θ : M ì N → T l mà ột ánh xạ song tuyến tính cótính chất l : Và ới mỗi R-môđun T' v mà ột ánh xạ song tuyến tính f : M ì N → T ',tồn tại duy nhất một đồng cấu R-môđun _f : T → T ' sao cho _f θ = f, tức l bià ểu đồ

θ

M ì N T

f _f

T 'giao hoán

Tương tự như định nghĩa tích tenxơ của hai môđun, ta cũng có thể định nghĩa tíchtenxơ của một họ hữu hạn môđun như sau

2.1.8 Định nghĩa Giả sử M1, M2,…, Mn là các R-môđun v gà ọi F l R-môà đun tự do

sinh bởi S, nghĩa l mà ỗi phần tử của F có dạng :

,trong đó = 0 với hầu hết α∈ S Gọi D l môà đun con của F sinh bởi các phần tử códạng:

(i) (x1,…, + ,…,xn) - (x1,…, ,…, xn) - (x1,…, ,…, xn);

(ii) (x1,…, a,…, xn) - a(x1,…, ,…, xn)

trong đó i = 1,…, n, , ∈ với mọi i v a à ∈ R Đặt

M1⊗ … ⊗ Mn = F/D

Gọi g : S → F/D l ánh xà ạ xác định bởi g = poi, với i : S → F l ánh xà ạ nhúng v à

p : F → F/D l phép chià ếu chính tắc Dễ thấy rằng g l mà ột ánh xạ đa tuyến tính Do

F l R-môà đun tự do sinh bởi S nên tồn tại duy nhất một đồng cấu f* : F → P sao cho

f* oi = f Vì f l ánh xà ạ đa tuyến tính nên

f*((x1,…, + ,…,xn) - (x1,…, ,…, xn) - (x1,…, ,…, xn)) = f*((x1,…, + ,…,xn)) - f*((x1,…, ,…, xn))

cảm sinh đồng cấu h : F/D → P thỏa mãn hop = f* Vậy

hog = ho(poi) = (hop)oi = f* oi = f

Bây giờ giả sử còn có đồng cấu k : F/D → P sao cho kog = f Lấy phần tử tùy ý

u = + D ∈ F/D,trong đó = 0 với hầu hết α∈ S Khi đó

2.2 Một số tính chất cơ bản của tích tenxơ

2.2.1 Định lý Cho M l m à ột R-môđun Khi đó

R M ≅ M ≅ M R.

Chứng minh Xét ánh xạ song tuyến tính f : R ì M → M cho bởi f(a, x) = ax, ∀a ∈

R v x à ∈ M Bởi Định lý 2.1.6, tồn tại đồng cấu h : R M → M sao cho hg = f với g :

R ì M → R M l ánh xà ạ tenxơ Khi đó h(a ⊗ x) = ax, ∀a ∈ R v x à ∈ M

Vì các phần tử a ⊗ x sinh ra R M nên kh = i Như vậy h v k l nhà à ững đẳng cấu và

ta có R M ≅ M Chứng minh tương tự ta nhận được M R ≅

M Ξ

Đẳng cấu h : R M → M cho bởi

h() = được gọi l à đẳng cấu chính tắc từ R M đến M

2.2.2 Định lý Cho M, N, P l nh à ững R-môđun Khi đó:

(i) M ⊗ N ≅ N ⊗ M;

(ii) M ⊗ (N ⊗ P) ≅ (M ⊗ N) ⊗ P.

Chứng minh Xét ánh xạ f : M ì N → N ⊗ M xác định bởi f(x, y) = y ⊗ x ∀(x, y) ∈

M ì N Khi đó f l mà ột ánh xạ R-song tuyến tính, vì

f(ax, y) = y ⊗ (ax) = a(y ⊗ x) = af(x, y),f(x, ay) = (ay ⊗ x) = a(y ⊗ x) = af(x, y),f(x + x', y) = y ⊗ (x + x') = y ⊗ x + y ⊗ x' = f(x, y) + f(x', y),

f(x, y + y') = (y + y') ⊗ x = y ⊗ x + y' ⊗ x = f(x, y) + f(x, y')

∀a ∈ R, x, x' ∈ M, y, y' ∈ N Từ đó, theo Định lý 2.1.6 tồn tại R-đồng cấu

h : M ⊗ N → N ⊗ M xác định bởi h(x ⊗ y) = y ⊗ x Ho n to n tà à ương tự, tồn tại đồng cấu g : N ⊗ M → M ⊗ N xác định bởi g(y ⊗ x) = x ⊗ y Do đó h, g l haiàđồng cấu nghịch đảo của nhau Vậy M ⊗ N ≅ N ⊗ M

R-(ii) Với mỗi x ∈ M cố định, đặt : N ì P → (M ⊗ N) ⊗ P xác định bởi (y, z) = (x

⊗ y) ⊗ z Dễ kiểm tra thấy l mà ột ánh xạ song tuyến tính Do đó tồn tại R-đồng cấucũng kí hiệu l : N à ⊗ P → (M ⊗ N) ⊗ P xác định bởi

Đồng cấu nghịch đảo của h cũng được xây dựng tương tự Ξ

2.2.3 Định lý Giả sử ϕ : M → M' v à ψ : N → N' l nh à ững đồng cấu R-môđun Khi đó ta có các khẳng định sau:

(i) Tương ứng

ϕ⊗ψ : M ⊗ N → M' ⊗ N' cho bởi

ϕ⊗ψ() =

l m à ột đồng cấu;

(ii) Nếu ϕ v à ψ l các to n c à à ấu thì ϕ ⊗ ψ cũng l m à ột to n c à ấu v Ker à ϕ ⊗ ψ

được sinh bởi những phần tử dạng x ⊗ y với x ∈ Kerϕ hoặc y ∈ Kerψ Từ đó nếu

ϕ v àψ l nh à ững đẳng cấu thì ϕ⊗ψ cũng l m à ột đẳng cấu;

(iii) Cho thêm các đồng cấu R-môđun

ϕ' : M' → M'' v àψ ': N' → N''

l mà ột ánh xạ song tuyến tính Theo Định lý 2.1.6, tồn tại duy nhất một đồng cấu

à : M ⊗ N → M' ⊗ N'sao cho à(x ⊗ y) = ϕ(x) ⊗ψ(y) ∀x ∈ M v y à ∈ N Dễ thấy rằng khi đó

à() = Đồng cấu n y à được gọi l tích tenxà ơ của hai đồng cấu ϕ v àψ v à được kí hiệu là

ϕ⊗ψ

(ii) Nếu ϕ v àψ l các to n cà à ấu thì :

M' ⊗ N' = ϕ(M) ⊗ψ(N)

Do đó, nếu x' ⊗ y' ∈ M' ⊗ N' (với (x', y') ∈ M' ì N' ) thì tồn tại phần tử (x, y) ∈ M ì

N để ϕ(x) = x' v à ψ(y) = y', dẫn đến ϕ⊗ ψ(x ⊗ y) = x' ⊗ y' Lại do {x ⊗ y │(x, y)

∈ M ì N} l mà ột hệ sinh của M ⊗ N nên ϕ⊗ψ l mà ột to n cà ấu

Kí hiệu K l môà đun con của M ⊗ N sinh bởi các phần tử x ⊗ y với x ∈ Kerϕ hoặc

y ∈ Kerψ Rõ r ng K à ⊆ Ker(ϕ⊗ψ) Do đó ϕ ⊗ψ cảm sinh đồng cấu

h : P = (M ⊗ N) / K → M' ⊗ N'

u + K ↦ (ϕ⊗ψ)(u)

Để chứng minh K = Ker(ϕ ⊗ψ), ta cần chỉ ra h l mà ột đơn cấu

Vì ϕ, ψ l nhà ững to n cà ấu nên ta có thể xây dựng một quy tắc k : M' ì N' → P chobởi

k(x', y') = (x ⊗ y) + K,trong đó x ∈ M, y ∈ N thoả mãn ϕ(x) = x', ψ(y) = y' Quy tắc n y xác à định một ánh

xạ Thật vậy, nếu m ∈ M, n ∈ N thỏa m·n ϕ(m) = x', ψ(n) = y' th× x - m = α ∈

k*h = idP.Điều n y chà ứng tỏ h l mà ột đơn cấu Vậy Ker(ϕ⊗ψ) = K

Nếu ϕ, ψ l nhà ững đẳng cấu th× từ điều vừa chứng minh ở trªn ta suy ra Ker(ϕ⊗

ψ) = 0 Mặt kh¸c, do ϕ, ψ l nhà ững to n cà ấu nªn ϕ⊗ψ cũng l mà ột to n cà ấu Vậy

Chứng minh (i) Dễ thấy tương ứng f : R / I × M → M / IM x¸c định bởi

f(a + I, m) = am +IM ∀a ∈ R, m ∈ M l mà ột ¸nh xạ, v hà ơn nữa, l mà ột ¸nh xạsong tuyến tÝnh Theo Định lý 2.1.6, tồn tại R-đồng cấu

g : R / I ⊗RM → M / IMx¸c định bởi c«ng thức:

(1 + I) ⊗ m = (1 + I) ⊗ (n + ) = (1 + I) ⊗ n +

Chứng minh Ta có mỗi phần tử của M đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng ,

trong đó ∈ bằng không với hầu hết i ∈ I, trừ ra hữu hạn phần tử có thể khác 0.Kiểm tra được tương ứng

f : M ì N → ( ⊗ N) (, y) ↦

l mà ột ánh xạ song tuyến tính Bởi Định lý 2.1.6, f cảm sinh ra một đồng cấu