Một số tính chất của tích LIE đối với các hàm và liên thông trên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC... Nghệ An - 2014BỘ GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN TRUNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM

VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN TRUNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM

VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ

CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC – TÔPÔ.

Mã số: 62.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Nguyễn Hữu Quang.

Nghệ An - 2014

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG I ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE 4

I Đại số và đại số Lie 4

II Đạo hàm Lie trên đại số Lie 13

CHƯƠNG II TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE 20

I Tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số G 20

II Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G 22

III Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến 27

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

LỜI MỞ ĐẦU

Vào cuối thế kỷ 19 trong các công trình của Xôphux Lie và Phêlix Klein đã xuất hiện sự kết hợp giữa lý thuyết nhóm và hình học Riemann Sự kết hợp này được xem là những công trình mở đầu của lý thuyết mới, đó là lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie Sự ra đời của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đã liên kết các chuyên ngành Hình học – Tôpô, Giải tích và Đại số Do đó đại số Lie là một bộ phận của toán học hiện đại

Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đang được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học Đặc biệt nó được xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình học trên các đa tạp Riemann

Hiện nay, lý thuyết đại số Lie đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [7] và một phần mở đầu của đại số Lie được trình bày trong các bài giảng về đại số Lie và nhóm Lie cho các lớp cao học chuyên ngành Hình học – Tôpô ở các trường đại học

Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang chúng tôi chọn

đề tài: “Một số tính chất của tích Lie đối với các đạo hàm và liên thông trên đại số”.

Luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1 Đạo hàm Lie trên đại số Lie.

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niện cơ bản và một số tính chất

về đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie và đạo hàm Lie trên F Đây là kiến thức cơ sở

để chuẩn bị cho việc trình bày chương 2 Chương 1 được chia làm hai phần:

Chương 2 Tích Lie của đạo hàm Lie và liên thông tuyến tính trên đại số Lie

Trong chương này, chúng tôi trình bày ba nội dung chính là: Tích Lie của đạo hàm Lie, tích Lie của đạo hàm hiệp biến và tích Lie của đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến Chương này được chia làm ba phần

II Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G

III Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã chỉ dẫn tận tình tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, phòng đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

Vinh, tháng 10 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG I ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Lie

I ĐẠI SỐ VÀ ĐẠI SỐ LIE.

1.1 Đại số.

Như ta đã biết, một môđun G trên vành K (K giao hoán, có đơn vị 1 (1≠0)),

đó là một nhóm cộng Aben G với phép nhân vô hướng

+) Nếu x.y = 0; ∀x y G, ∈ thì đại số G được gọi là đại số tầm thường.

+) Trong luận văn này, ta quy ước viết: x.y = xy

1.1.2 Ví dụ Giả sử M là một đa tạp khả vi thực n chiều

Ta ký hiệu: F (M) ={ |f f : M→R f, khả vi} là tập các hàm khả vi trên đa tạp

M Các phép toán được trang bị trên F (M) là:

Khi đó, F(M) là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R

Thật vậy: +) F(M) cùng với phép toán 1) và 2) là một không gian véc tơ

+) Để chứng minh F(M) là một đại số, ta cần kiểm tra các điều kiện của 3

*) ( ( )af g x) ( ) ( ) ( ) ( )= af x g x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Chú ý: +) Điều kiện i) có thể thay bằng [ ]x x, =0; ∀ ∈x G

+) Chiều trên K của môđun G được gọi là chiều của đại số Lie G

1.2.2 Nhận xét.

• Mọi đại số tầm thường G đều là đại số Lie

• Cho G là một không gian n-chiều trên K Cấu trúc đại số Lie trên G, có thể được cho bởi từng cặp véctơ của cơ sở {e e1, , ,2 e đã chọn trong G như n}

sau :

ij 1

1 Không gian véctơ R với tích Lie của hai véctơ là tích có hướng thông 3

thường của hai véctơ, thì R là một đại số Lie trên R.3

Nhắc lại, tích có hướng được định nghĩa như sau :

x(x1, x2, x3), y(y1, y2, y3) Î R , ta có : 3

[x,y] = x yÙ =( x y2 3- x y x y3 2, 3 1- x y x y1 3, 1 2- x y2 1)

Thật vậy, ở đây ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie

• [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính

Với mọi x(x1, x2, x3), y(y1, y2, y3), z(z1, z2, z3) Î R và a, b Î K ta có :3

* [ax + by, z] = (ax+by) Ù z

= a(xÙz)+ b(y Ùz) = a[x,z] + b[y,z]

* éëx y z, ,[ ]ù= ÙÙû x (y z).

* éëz x y, ,[ ]ù= ÙÙû z (x y)

* éëy z x, ,[ ]ù= ÙÙû y (z x).

Khi đó : éëx y z, ,[ ]ù éû ë+ z x y, ,[ ]ù éû ë+ y z x, ,[ ]ùû= 0.

2 Ta ký hiệu tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K là Matn (K) Trên Matn (K)

ta trang bị tích Lie [x, y] = xy – yx với mọi x, yÎ Matn (K) Khi đó, Matn (K) với tích Lie như trên là một đại số Lie

Ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie

• [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính

Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K Ta đặt:

[ ]x y, =xy−yx; ∀x y G, ∈ Khi đó, G là đại số Lie Chứng minh

Ta kiểm tra tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của [ ],

Giả sử V là không gian véctơ trên trường K Ta xét tích Lie:

[ f g, ] = f g g fo − o với , f g En V∈ d( ). Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K, ( ở đây End(V) là tập các tự đồng cấu tuyến tính: V →V )

+) Một đồng cấu Lie ϕ được gọi là đẳng cấu Lie nếu ϕ là song ánh.

Chú ý :

+) :ϕ G→G' , ϕ đẳng cấu Lie thì ϕ− 1 đẳng cấu Lie

+) Nếu có đẳng cấu Lie :ϕ G→G' thì ta nói G đẳng cấu với G’ và ta viết '

G G:

+) Quan hệ đẳng cấu Lie trong tập hợp các đại số Lie là một quan hệ tương đương

+) Ta ký hiệu ( ) { |L G = ϕ ϕ là các tự đẳng cấu của đại số Lie G} Khi đó,

L(G) lập thành một nhóm với phép nhân là phép hợp thành các tự đẳng cấu Lie

1.3.2 Ví dụ.

a) Cho G là đại số Lie trên trường R Khi đó, ánh xạ đồng nhất trên G là một đồng cấu Lie

b) Ta xét G={(0,0, , , ) | , ,a b c a b c R∈ }

Trên G ta trang bị phép toán tích Lie như sau :

Với mọi x(0,0,a1,b1,c1) , y(0,0,a2 ,b2,c2) ∈G thì

[ ]x y, =(0,0,b c1 2−c b c a1 2, 1 2 −a c a b1 2, 1 2 −b a1 2)

Khi đó, ánh xạ ϕ: G → R3, (0,0, , , )a b c a ( , , )a b c

là một đồng cấu Lie

Ở đây R3 là đại số Lie trên R với tích Lie trong ví dụ 1.2.3

Thật vậy, G với tích Lie trên là một đại số Lie

Vậy ϕ[ ] [x y, = ϕ( ), ( )x ϕ y ]

1.3.3 Mệnh đề

Giả sử G, G’ là hai đại số Lie kết hợp trên K và :ϕ G→G' là một đồng cấu Lie Khi đó :

i) Imϕ là đại số Lie con của G’.

ii) er K ϕ là Iđêan của G.

Suy ra ax by K+ ∈ erϕ⇒Kerϕ là môđun con của G.

Bây giờ ta chứng minh: [G K, erϕ] ⊂ Ker ϕ

Như vậy, adx là một ánh xạ đạo hàm.

*) Trong trường hợp G = R3, khi đó :

d :x

d ( )x

Là một ánh xạ đạo hàm trên không gian R3

Ta ký hiệu F = { X | X là phép đạo hàm trên đại số Lie G} Các phép toán trên F được xác định bởi:

.

+) Rõ ràng, với các phép toán (1) và (2) thì F là một môđun trên K.

+) Ở đây ta cần kiểm tra hai tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong F

[[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 0.

Ga với hai phép toán (1) và (2) là một môđun trên K

Ở đây, ta kiểm tra tính phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong Ga

Ta suy ra Ga là đại số Lie trên K

Để chứng minh Ga là đại số con của F ta kiểm tra các phép toán trên F

Ta suy ra Ga là đại số con của F.

Vậy Ga là đại số Lie con của F

CHƯƠNG 2 TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE

VÀ LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về tích Lie của các đạo hàm Lie, tích Lie của các đạo hàm hiệp biến, tích Lie của đạo Lie và đạo hàm hiệp biến

1.1 Đạo hàm Lie trên đại số G.

Ta giả thiết G là đại số Lie trên K, F= { X | X là ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie

G}

Ta nhận thấy L với hai phép toán trên là một môđun trên K.

1.2 Tích Lie của các đạo hàm Lie trên đại số G.

1.2.3 Nhận xét L là một đại số Lie trên K với tích Lie [L , ]X L Y =L[ , ]X Y .

Thật vậy, ta kiểm tra các tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong L

+) [ , ]L L X Y =L[ , ]X Y

[ , ] [ , ]

II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ G.

Trong mục này, ta luôn giả thiết G là đại số Lie giao hoán, kết hợp, có đơn vị

e trên K và F = { X| X là đạo hàm trên đại số Lie G}

2.1 Liên thông tuyến tính trên đại số G.

Khi đó, ∇ được gọi là một liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và ∇X Y được gọi là đạo hàm của trường véctơ Y dọc theo X đối với ∇.

2.1.2 Mệnh đề.

Giả sử G = F(RRn), F =B( n), ∇ là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G,

S là ánh xạ song tuyến tính từ F F× →F Khi đó ∇ + S là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G.

Chứng minh

Ta kiểm tra các tiên đề của một liên thông tuyến tính:

1: ∇X(Y Z+ )+S X Y Z( , + ) =∇X Y + ∇X Z S X Y+ ( , )+S X Z( , )

=(∇X Y S X Y+ ( , )) (+ ∇X Y S X Z+ ( , ));∀X Y Z F, , ∈ 2: ∇X Y+ Z S X Y+ ( + , Z) =∇X Z+ ∇Y Z S X Z+ ( , ) S(Y, Z)+

=(∇X Z S X Z+ ( , )) (+ ∇Y Z S Y Z+ ( , ));∀X Y Z F, , ∈ 3: ∇fX Y S f Y+ ( X, )= ∇f X Y +( , )X Y

= (f ∇X Y S X Y+ ( , )); X,Y F,∀ ∈ f ∈G.4: ∇X(fY)+S X f( , Y) X= [ ]f Y + ∇f X Y +( , )X Y

Thật vậy, ∀X X Y Y, ', , '∈F;∀x y G, ∈ Ta kiểm tra 4 điều kiện của liên thông tuyến tính của ∇.

Giả sử X ∈F và ∇ là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G Đạo hàm của ∇

theo hướng X được ký hiệu L X∇ và được xác định như sau:

L X∇:F F× → F

(Y Z, ) (a L X∇) (Y Z, ) =L X (∇Y Z) − ∇Y(L Z X ) − ∇[ , ]X Y Z .

2.2.2 Ví dụ.

Trong R2 , với X( 2x ; y), Y(x ; xy), Z(xy ; x2y)

Tính (L X∇)( , )Y Z với ∇ =D thông thường

TÍCH LIE CỦA CÁC ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN.

III.1 Đạo hàm hiệp biến.

( )

X X X X

c) Vậy ∇G với hai phép toán trên là một môđun trên K.

III.2 Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến.

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi đã đạt được các kết quả chính sau đây:

1 Hệ thống một số khái niệm, chứng minh chi tiết một số tính chất về đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm Lie trên đại số Lie

2 Trình bày một số định nghĩa và tính chất về tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số, tích Lie của các đạo hàm hiệp biến, tích Lie của đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến

3 Phát biểu và chứng minh mệnh đề về tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục khảo sát tính ứng dụng của tích Lie các đạo hàm hiệp biến trên các đại số vào độ cong, độ xoắn trên đại số.

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt.

[1] Khu Quốc Anh (2011), Lý thuyết liên thông và hình học Riemann, NXB

Đại học sư phạm Hà Nội, 68 - 220

[2] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie và nhóm Lie, Đại học

Vinh

[3] Trần việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên

nghành hình học – tôpô, Đại học Vinh

[4] Nguyễn Hữu Quang (2013), Bài giảng Hình học của nhóm Lie, Đại học

Vinh

[5] Đoàn Quỳnh (2011), Hình học vi phân, NXB giáo dục, 52 - 256.

Tiếng Anh.

[6] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge University Prees.

[7] A.Ya.Sultanov (2010), Derivations of linear algebras and linear connections, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3, 364 – 403 [8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications, 30 -

132