Một số tính chất của p môđun mở rộng

Mở rộng các lớp môđun và nghiên cứu tính chất của các mở rộng đó là một vấn đề đang đợc các nhà nghiên cứu về Lý thuyết vành và môđun quan tâm.. F đã giới thiệu và nghiên cứu cấu trúc củ

Bộ giáo dục và đào tạoTrờng đại học Vinh - o0o -

võ duy tuấn

Một số tính chất của p-môđun mở

Trang

Lời nói đầu ……… 2 Bảng kí hiệu ……… 4 Chơng 1 Kiến thức cơ sở ……… 5

1.1 Các khái niệm cơ bản ……… 5

1.2 Môđun nội xạ và các mở rộng .10

Chơng 2 Lớp môđun N – nội xạ chính. nội xạ chính. ……… 12

2.1 Môđun nội xạ chính .12

2.2 Môđun tựa nội xạ chính 15

Chơng 3 Một số tính chất của P – nội xạ chính. môđun mở rộng .17

3.1 Các mở rộng của P - nội xạ môđun .17

3.2 Một số tính chất của P- nội xạ môđun mở rộng .18

Kết luận .26

Tài liệu tham khảo .27

Lời nói đầu

Ngày nay, Toán học hiện đại thực sự phát triển mạnh mẽ Lý thuyết môđun

có nhiều bớc phát triển và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu về Lý thuyết vành

Mở rộng các lớp môđun và nghiên cứu tính chất của các mở rộng đó là một vấn đề đang đợc các nhà nghiên cứu về Lý thuyết vành và môđun quan tâm Trong [8], Nicholson W K và Yousif M F đã giới thiệu và nghiên cứu cấu trúc của vành nội xạ chính, đa ra một số đặc trng của những lớp vành này theo những điều kiện nội tại của vành Khái niệm môđun nội xạ chính đã đợc đa ra Môđun M đợc gọi là nội xạ chính nếu mọi R  đồng cấu từ một iđêan chính phải tới một môđun M có thể mở rộng tới R Năm 2002, Wongwai S ([9]) đã

mở rộng khái niệm này khi thay iđêan chính phải bởi môđun con xyclic của

M Ta thấy cũng nh khái niệm môđun nội xạ, đối với môđun nội xạ chính,

các mở rộng của nó đã thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà Lýthuyết vành và môđun trong những năm gần đây Chính vì vậy, trong luận vănnày chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu vào lớp vành và mô đun nội xạ chính vàcác mở rộng của nó.

Luận văn đợc chia làm ba chơng :

Chơng I Kiến thức cơ sở

Trong chơng này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống một số khái niệm vàtính chất có liên quan đến luận văn

Chơng II Lớp môđun N – nội xạ chính. nội xạ chính

Nghiên cứu và trình bày khái niệm và tính chất của môđun nội xạ chính,môđun tựa nội xạ chính

Chơng III Một số tính chất của P – nội xạ chính. môđun mở rộng.

Hệ thống và nghiên cứu một số tính chất của P – nội xạ chính môđun mở rộng

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh, dới sự hớngdẫn khoa học của thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tôi xin đợc bày tỏ lòngbiết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy, ngời đã hớng dẫn tận tình, chu đáo và

động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn các anh chị em trong Xêmina “Lý thuyết vành và môđun” đã

đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trong quá trình hoàn thành luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn tới các thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại họcTrờng Đại học Vinh và các bạn học viên Cao học 14 chuyên nghành Đại số – nội xạ chính

Lý thuyết số đã động viên và có nhiều ý kiến đóng góp trong việc hoàn thiệnluận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu và đồng nghiệp TrờngTHPT_DTNT Tân Kỳ đã động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốtthời gian học tập

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót Tác giả rất mong nhận đợc những góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn

đọc để luận văn đợc hoàn thiện tốt hơn

Vinh, tháng 10 năm 2008

Tác giả

B¶ng kÝ hiÖu

KÝ hiÖu chñ yÕu dùa theo Anderson F W - Fuller K R [1], P.F Smith,

R Wisbauer; Dung N V ; Huynh D V [3], Kamal M.A - Elmnophy O.A[5],Mohamed S H - Muller B J [7]

A M : A lµ m«®un con cña m«®un M

Chơng I Kiến thức cơ sở.

Chơng này chúng tôi sẽ đa ra những định nghĩa và các kết quả cơ bản liênquan đến luận văn Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu chúng tôi chủyếu dựa theo F.W Anderson, K.R Fuller [1]; N.V Dung, D.V Huynh, [3];S.H Mohamed, B.J Muller [7]

Trong suốt luận văn này, tất cả các vành là kết hợp, có đơn vị và các môđun làmôđun phải unita trên vành R (ký hiệu là M R) (nếu không nói gì thêm) Ta kýhiệu Hom M N R( , ) là nhóm cộng tất cả các R- đồng cấu môđun từ M tới N Vành tất cả các tự đồng cấu của M đợc ký hiệu là End M R( )

1.1 Các khái niệm cơ bản.

1.1.1 Môđun cốt yếu.

a Môđun con N của R  môđun M đợc gọi là môđun con cốt yếu (essential)

của M và kí hiệu là e

N M nếu với mọi môđun con khác không L của M

ta đều có LN 0 Khi đó ta nói M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N

b Nếu mọi môđun con khác không của môđun M là cốt yếu thì M đợc gọi là

môđun đều (uniform).

b Cho A và B là hai môđun con của M A đợc gọi là bù giao của B trong M

nếu A là tối đại với tính chất AB 0

1.1.2.1 Tính chất.

a Với mọi môđun con B của môđun M luôn tồn tại bù giao của B trong M

b Khái niệm bù giao và khái niệm đóng là tơng đơng.

c Cho môđun M , và AM khi đó

Chứng minh a Đặt   X X M X, B 0 Dễ thấy   vì tồn tại môđun

Gọi A là phần tử tối đại của , suy ra A là bù giao của B trong M

b Điều kiện cần Giả sử A là bù giao của B trong M  A đóng trong M.Thật vậy: Giả sử A A  M A, e A Ta có A (A B) (  A B ) A  0(theo

a )  AB 0 (do Ae A) Suy ra A A (Do A tối đại sao cho A B  0).Vậy A đóng trong M

Điều kiện đủ Giả sử A đóng trong M, suy ra tồn tại Blà bù giao của A trong

M (theo a) Do đó A là bù giao của B trong M Thật vậy: Giả sử

Vì Ae C, A đóng trong M  CA Do đó A là bù giao của B trong M 

Từ đó ta có các tính chất sau đây

1.1.3 Linh hóa tử và môđun suy biến.

Cho X là tập con của R  môđun phải M

Khi đó ann X R( )  r R Xr ,  0  là iđêan phải của R và đợc gọi là linh hóa tửphải của X trong R

Một phần tử m đợc gọi là phần tử suy biến (singular element) nếu iđêan phải

( )

R

ann m cốt yếu trong R R

Tập tất cả các phần tử suy biến của M ký hiệu là Z M( )

Ta có Z M( ) {  m M mE ,  0,với e

R

E R nào đó} đợc gọi là môđun con suy biến của M

Nếu Z M( ) = 0 thì M đợc gọi là môđun không suy biến (nonsingular)

Nếu Z M( ) = M thì M là môđun suy biến.

ii) f g End M  ( ) vì x y M,  ,    R

 f g x y (  ) f g x y (  ) f g x ( ) g y( ) f g x ( )f g y ( ) fg x( )  fg y( )  f g ( x) f g x (  ) f g x( )  f g x ( ) fg x( )

Vậy f g End M  ( )

iii) End M( ) là vành có đơn vị

- End M( ) là nhóm cộng Aben

a Phép cộng kết hợp : (f g)   h f (g h ), f g h End M, ,  ( )

b Phép cộng giao hoán : f g g f , f g h End M, ,  ( )

c Tồn tại phần tử không là đồng cấu không  : M M , với  ( ) 0x 

a Một môđun N gọi là A  nội xạ ( A - injective ) nếu với với mọi môđun con

X của A, với mọi đồng cấu : X  N đều mở rộng đợc thành đồng cấu

Chứng minh +) N là B  nội xạ Với mọi môđun X B ta có X A Vì N là

A  nội xạ nên với mọi đồng cấu  :X  N luôn mở rộng đợc thành đồng cấu

+) N là A

B  nội xạ Giả sử X BA B và :X  B Nlà đồng cấu bất kỳ

Gọi  :A  A B là đồng cấu tự nhiên,  là thu hẹp của  trên X .

Vì N là A  nội xạ nên tồn tại  :A  Nsao cho    i

Ta có BA và  ( )B  i B( )    ( )B   (0) 0  Vậy B Ker  hay Ker Ker

Do  là toàn cấu nên có thể chọn :A  B N cho   

Cho M là một R  môđun Ta có các điều kiện sau

 C1 Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

C2Nếu A và B là các môđun con của môđun M , A và B đẳng cấu vớinhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

d Một môđun M đợc gọi là 1 C 1  môđun nếu mỗi môđun con đều của M

cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay mỗi môđun con đóng đềucủa M là hạng tử trực tiếp

Ta có các quan hệ sau đây đúng với một R môđun phải

Nội xạ  Tựa nội xạ Liên tục Tựa liên tục CS  (1  C1 )

Chiều ngợc lại của các kéo theo trên không hoàn toàn đúng

Môđun nội xạ và các mở rộng đã thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu củacác nhà lý thuyết vành và môđun trong những năm gần đây

Chơng II Lớp môđun N – nội xạ chính nội xạ chính.

Trong chơng này, chúng ta sẽ nghiên cứu một lớp môđun mở rộng của

môđun nội xạ Nicholson và Yousif [8] đa ra khái niệm vành nội xạ chính

(principally injective rings) Lớp vành này đã thu hút nhiều sự quan tâm củamột số nhà lý thuyết vành trong những năm gần đây Cũng nh đối với kháiniệm nội xạ, khái niệm nội xạ chính cũng đợc nghiên cứu sâu hơn vào phơngdiện lý thuyết môđun và đã thu đợc một số kết quả phong phú

2.1 Môđun nội xạ chính.

2.1.1 Định nghĩa.

Một M  môđun phải trên một vành R đợc gọi là nội xạ chính (viết gọn là

P  nội xạ) nếu mọi R  đồng cấu từ một iđêan chính phải của R tới M có thể

mở rộng tới R

2.1.2 Định nghĩa

Cho M và N là các R  môđun Khi đó, môđun M đợc gọi là N  nội xạ

cyclic của N tới M có thể mở rộng tới N Tơng đơng với mỗi m M n N ,với r n R( ) r m R( ), đều tồn tại f Hom N M R( , ) sao cho mf n( )

2.1.3 Định nghĩa.

Cho Mlà R  môđun phải.

2 Với mỗi m M và n N với r n R( ) r m R( ), ta có SmHom N M n R( , ) ;

3 Với mỗi m M và n N với r n R( ) r m R( ), thì có một bù giao C của M trong NM với n m C  và NM  C M ;

4 Với mỗi n N , l r n M R( ) Hom N M n R( , ) ;

5 Với mỗi n N , và a R , ta có l MaR r n R( ) l a M( ) Hom N M n R( , ) .

Chứng minh 1)  2) Cho m M và n N với r n R( ) r m R( ) Vì M là N P nội xạ nên tồn tại một đồng cấu f N:  M sao cho mf n( ) Giả sử  S, ta

có  ( )m Hom N M n R( , ) Do đó SmHom N M n R( , )

2)  3) Cho m M và n N với r n R( ) r m R( ) Theo (2) tồn tại một đồngcấu f N:  M sao cho mf n( ) Do đó NM   f M , trong đó  f là đồthị của đồng cấu f N:  M (đồ thị của đồng cấu f N:  M là môđun con

f  n f n n N  của NM ) Do đó C f là bù giao của M trong

NM với NM  C M và n m C 

3)  4) Cho n N và x l r n M R( ), ta có r n R( ) r x R( ) Theo (3) tồn tại bù giao

C của M trong NM với n x C  và NM  C M Vì vậy, tồn tại một

đồng cấu f N:  M sao cho C f

Vì n x C  nên n x n    f n( )  , với mỗi nN Vậy ta có n n và

xf n f n Do đó x Hom N M n R( , ) , và l r n M R( ) Hom N M n R( , )

Chiều ngợc lại là hiển nhiên

4)  5) Cho n N , a R và x l MaR r n R( ) , ta có x aR r n(  R( )) 0  và

r na r xa Vì vậy l r xa M R( ) l r na M R( ) Hom N M na R( , ) (bởi (4))

Khi đó xaf na( ) f n a( ) , với f Hom N M R( , ) nào đó Ta có (x f n a ( ))  0 và( ) M( )

5) 1) Cho m M và n N với r n R( ) r m R( ), thì l r m M R( ) l r n M R( ) Theo (5),

ta có l r n M R( ) Hom N M n R( , ) Khi đó tồn tại một đồng cấu f N:  M sao cho

Nếu vành R là P  nội xạ thì R thỏa mãn ( )C2 .

Chứng minh Nếu T là một iđêan phải của R và T  eR, trong đó e2 eR, thì T  aR với a  R nào đó và T là môđun xạ ảnh Do đó r a  R R

 )

Cho vành R là một P  nội xạ và H K, là các iđêan hai phía của R Nếu

H K , là các iđêan phải của R , thì H K

2.1.8 Nhận xét

Trong Định lý 2.1.7, điều kiện P  nội xạ cho vành R là không bỏ đợc

Ta có những vành không thỏa mãn Định lý 2.1.7, chẳng hạn vành các sốnguyên Z

2.2 Môđun tựa nội xạ chính.

H K H K là các R  môđun con của M

Chứng minh Vì H K, nên tồn tại một R  đồng cấu phải : H  K Với mỗi

k K , ta có k   ( )h (với h nào đó, h H ) và r h H( ) r k H( ) Vì M là tựa – nội xạ chính nộixạ chính, nên Sh Sk (theo Định lý 2.1.4) Vì vậy Sk SH , với mọi k K Khi đó SK SH

Tơng tự, ta có SH SK Do đó SH SK 

2.2.3 Mệnh đề

Nếu M là môđun tựa nội xạ chính, thì M thỏa mãn (PC2).

Chứng minh Cho a b M,  với aR bR , bR  M Khi đó bR eM , với lũy

Khi đó  là một toàn cấu,  h e Ta có f h là một tự đồng cấu lũy đẳngcủa M Do đó fM h M h bR( ) heM hM Vậy ta có aR  M

 

2.2.4 Chú ý.

Ta biết rằng mọi iđêan phải là hạng tử trực tiếp của một vành R đều sinhbởi một phần tử lũy đẳng nào đó của R Nghĩa là mọi iđêan phải hạng tử trựctiếp là môđun cyclic Do vậy R thoả mãn (PC i) nếu và chỉ nếu R thỏa mãn(C i), với i  2 , 3 Vậy theo [7, Proposition 2.2] ta có nếu R thỏa mãn (PC2)thì

thỏa mãn (C3)

2.2.5 Mệnh đề

Cho M là R  môđun Nếu M thỏa mãn (PC2), thì M thỏa mãn (PC3)

 và bR  M

 với aR bR  0, khi đó aR eM  Ime, với e2  e End M( ) nào đó Vì vậy, ta có aR bR eM   (1  e bR)

Nếu M là môđun tựa nội xạ chính, thì M thỏa mãn (PC3).

Chơng III Một số tính chất của P – nội xạ chính môđun

mở rộng

Trong chơng trớc chúng ta đã tìm hiểu lớp môđun P  nội xạ (nội xạchính) và P  tựa nội xạ (tựa nội xạ chính) Trong chơng này, chúng ta tiếp tụcnghiên cứu các mở rộng của các lớp môđun này.

3.1 Các mở rộng của P – nội xạ chính. nội xạ môđun.

Nội xạ  Tựa nội xạ Liên tục Tựa liên tục CS  (1  C1)

Ngay sau đây chúng ta sẽ định nghĩa một cách tơng tự lớp các môđun là mởrộng của P  nội xạ

3.1.2 Định nghĩa

Với M là R  môđun phải, ta có

a M đợc gọi là P CS môđun nếu với mỗi môđun con cyclic của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M , hoặc tơng đơng với mọi EC  môđun

con đóng của M đều là hạng tử

M đợc gọi là FP CS môđun nếu với mọi EC  môđun con đóng, đều,cóchiều hữu hạn của M đều là hạng tử

b M đợc gọi là một P môđun liên tục nếu M là P CS , và thỏa mãn điềukiện (PC2)

c M đợc gọi là P tựa liên tục môđun nếu nó là P CS và thỏa mãn điềukiện (PC3)

Chứng minh Cho cRe C là EC  môđun con của M , và C1  C

 , thì

1 2

C C C , với mỗi môđun con C2 C Giả sử c c 1 c2, trong đó c1C1 và

2 2

c C Dễ thấy c R1 e C1 Do đó, C1 là EC  môđun con của M 

Ta suy ra ngay các Hệ quả sau đây

, với mọi A i đều, là một hạng tử trực tiếp.

Chứng minh Ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp Giả thiết bổ đề đúng

đều, có chiều hữu hạn, chứa một hạng tử trực tiếp đều.

Chứng minh Giả sử A 0 là một môđun con đóng của M , với u dim( )A  .Giả sử A1 là môđun con đều của A và U là một mở rộng cốt yếu tối đại của

3.2.10 Mệnh đề

Môđun M trên vành Noetherian R , là (1  C1) nếu và chỉ nếu M là P- CS Chứng minh Cho M là (1  C1) môđun, và cRe C là EC  môđun con đóngcủa M Vì R là vành Noetherian, nên C đều và có chiều hữu hạn Vì M là

Cho M M1M2, và CM1 là EC môđun con của M , với mọi EC



EC môđun con đóng C , thỏa mãn CM1 0, hoặc CM2  0,

là một hạng tử của M

Chứng minh +) Điều kiện cần Rõ ràng (theo Định nghĩa 3.1.2(a)).

+) Điều kiện đủ Cho cRe C là EC  môđun con đóng của M

Nếu CM1 0thì chúng ta đã làm Ngợc lại, theo giả thiết ta có CM1 là

EC  môđun con của M Giả sử C1 là một mở rộng cốt yếu tối đại của CM1

trong C, khi đó C1 là EC môđun con đóng của M , với C1M2  0 Vì vậytheo giả thiết, C1 là một hạng tử trực tiếp của M Ta viết M C1C2 Theoluật Modular, ta có C C 1 (C C 2) Theo Hệ quả 3.2.5, C C 2 là EC

môđun con đóng của M với (C C 2) M1 0 Do đó C C 2 là một hạng tửcủa M

Vậy C là một hạng tử của M , và khi đó M là P CS 

3.2.13 Định lý

Cho M M1M2, trong đó M1 đều, có chiều hữu hạn