Một số tính chất của CS môđun và CESS môđun luận văn thạc sĩ toán học

Trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản có liên quan đến chương sau của luận văn như: tổng trực tiếp, môđun con tối đại, môđun con cốt yếu, môđun con đóng, môđun đơn, mô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HUỲNH THANH TƯỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HUỲNH THANH TƯỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN, 2012

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hạng tử trực tiếp 5

1.2 Môđun suy biến 5

1.3 Môđun con cốt yếu, môđun đều, chiều đều 5

1.4 Môđun con tối đại, môđun con đóng, bao đóng của một môđun, bù giao 8

1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn 11

1.7 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh 12

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN 2.1 CS-môđun: 13

2.2 CESS-môđun: 27

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết môđun đã góp phần không nhỏ đến sự phát triển của chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã

mở rộng ra nhiều lớp môđun Các lớp môđun như: môđun tựa nội xạ, môđun giả nội xạ đã được nghiên cứu bởi S K Jain and S Sigh (1967), M

L Teply (1975), H Q Dinh (2005),…; Các lớp CS-môđun, môđun liên tục

cũng được Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, M Okado, S H Mohamed and P J Muler,… phát triển, xây dựng mối quan hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết môđun

Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo “CESS-MODUNLES Tr.J.of

Mathematics 22 (1998), 69-75, của C Celik” (xem [2]), nhằm tìm hiểu sự

tổng quát hóa của CS-môđun cụ thể CESS-môđun, CS-môđun yếu, môđun thỏa mãn điều kiện (P) và tìm hiểu một số tính chất cũng như mối liên hệ

giữa các lớp môđun đó

Ngoài phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản

có liên quan đến chương sau của luận văn như: tổng trực tiếp, môđun con tối đại, môđun con cốt yếu, môđun con đóng, môđun đơn, môđun nửa đơn, môđun đều, bao đóng của một môđun, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh…

Chương 2 Trình bày có hệ thống và chứng minh chi tiết một số tính

chất của CS- môđun và CESS- môđun.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến Thầy, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại

số và Lý thuyết số, Khoa Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp cao học 18 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số kiến thức cơ sở của Đại số liên quan đến việc trình bày của Chương 2, chủ

yếu dựa trên tài liệu [1] và [6] Trong suốt toàn bộ luận văn, vành R luôn

được giả thiết là vành có đơn vị ký hiệu là 1 và môđun là môđun phải unita

1.1 Hạng tử trực tiếp

Định nghĩa Môđun con A của M gọi là hạng tử trực tiếp (direct summand)

của M, ký hiệu A≤⊕ M nếu và chỉ nếu tồn tại môđun con B của M sao cho

0

A B∩ = và A B M+ = Khi đó, ta viết M A B= ⊕ Môđun A≠ 0 được gọi là

không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử trực tiếp duy nhất trong A.

1.2 Môđun suy biến

Định nghĩa Cho M là R- môđun Đặt

i) Ta có Z(M) là một môđun con của M và gọi là môđun con suy biến của M.

ii) Các phần tử của Z(M) gọi là các phần tử suy biến.

không suy biến nếu Z(M)=0

1.3 Môđun con cốt yếu, môđun đều, chiều đều

1.3.1 Định nghĩa Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong

R-môđun M nếu với mọi môđun con K khác không của M ta đều có

0

N∩ ≠K (Một cách tương đương, nếu N∩ =K 0 thì K=0) Nếu N là

môđun con cốt yếu trong M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential

Sau đây là một số ví dụ cụ thể về môđun cốt yếu

1.3.2 Ví dụ a) Đối với mỗi môđun M ta đều có M ≤e M

b) Xem vành số nguyên ¢ như là ¢ -môđun trên chính nó Khi đó, mỗi

môđun con khác không trong ¢ đều cốt yếu Thật vậy, giả sử N là môđun

con khác không của ,¢ lấy K là môđun con khác không bất kì của ¢ Khi

đó, N có dạng a¢ , K có dạng b¢ với , a b là các số nguyên khác 0 và do đó

0 ab a≠ ∈ ¢ ∩b¢ hay N ∩ ≠K 0. Vậy N là môđun con cốt yếu trong ¢

Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu, ta có một số tính chất sau:

1.3.3 Mệnh đề a) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con

= ≤

c) Nếu : Mϕ →N là đồng cấu môđun và B≤e N thì ϕ− 1( )B ≤e M

chỉ khi mỗi phần tử m khác không của M tồn tại r R∈ sao cho

0≠mr A∈

Chứng minh a) Giả sử E là môđun con khác 0 của C và M có dãy các

môđun con A B C≤ ≤ trong đó A≤e C, ta cần chứng minh B≤e C hay ta cần chứng minh E∩ ≠B 0. Thật vậy, vì E là môđun con khác 0 của C và e

b) Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo n Với n=1, ta có

e

M ≤ M mệnh đề đúng theo giả thiết Giả sử mệnh đề đúng với n-1,

= I ≤ Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n Thật vậy, giả sử E 0≠ là một môđun con của M Do An cốt yếu trong M nên

0

n

A ∩ ≠E Vì A cốt yếu trong M nên A∩(A n ∩E) 0,≠ suy ra (A∩ A n)∩ ≠E 0, do đó A∩ A n ≤e M W c) Giả sử E là một môđun con của M và E∩ϕ− 1( ) 0B = , ta cần chứng minh ϕ−1( )B ≤e M hay E=0 Thật vậy, vì E∩ϕ−1( ) 0B = nên

(⇐) Giả sử B là môđun con khác 0 của M Khi đó, lấy 0 m B≠ ∈ theo

giả thiết điều kiện cần ta tìm được r∈R sao cho 0 mr A≠ ∈ Vì mr∈B

nên B∩ ≠A 0 Điều này chứng tỏ A≤e M W e) Giả sử A≤e B ta cần chứng minh B A là suy biến Thật vậy, đặt

Giả sử y R ann b∈ \ ( ) Khi đó, do by ∉A nên từ A≤e B ta suy ra có một

phần tử z ∈R sao cho byzA\ 0 { } Do đó 0≠ ∈yz ann b( ) Ta suy ra rằng (*) thỏa mãn, theo (d) Ta có điều phải chứng minh W

1.3.4 Định nghĩa Môđun U gọi là môđun đều (uniform) nếu bất kì môđun

con A và B khác không của U thì A∩ ≠B 0, hay mọi môđun con khác

không của U là môđun cốt yếu trong U.

1.3.5 Ví dụ a) ¢ -môđun ¢ là đều Thật vậy, cho 0≠ A B, ≤¢ ta có A=n,

¢ B=m¢ , với n m, ∈¥*. Khi đó A∩ =B [ , ]n m ¢ ≠0, suy ra A≤e M Vậy

¢ là ¢ -môđun đều Wb) Xét ¢ –môđun ¤ Khi đó, ¤ là môđun đều Thật vậy, lấy 0≠ A B, ≤ ¤

0 an A B≠ ∈ ∩ hay A B∩ ≠0 Vậy ¤ là ¢ -môđun đều W

1.3.6 Định nghĩa Số tự nhiên n được gọi là chiều đều (uniform dimension)

của môđun M, nếu tồn tại hữu hạn n môđun con đều U i của M sao cho

1

n i

i U

=

⊕

là cốt yếu trong một môđun con của M, ký hiệu là udim(M)=n Khi M =0

ta quy ước udim(M)=0.

1.4 Môđun con tối đại, môđun con đóng, bao đóng của một môđun, phần bù giao

1.4.1 Định nghĩa Môđun con A của M được gọi là tối đại (maximal) nếu

nếu A B M≤ ≤ và A M≠ thì B A= hoặc B M=

1.4.2 Định nghĩa Cho R-môđun M và N≤M được gọi là đóng (closed)

trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K khác không của M mà e

N ≤ K thì N=K.

1.4.3 Ví dụ A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M = ⊕A B thì

môđun B là đóng trong M.

1.4.4 Định nghĩa Môđun con K được gọi là bao đóng (closure) của

môđun con N trong M, ký hiệu E(K) nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K.

1.4.5 Định nghĩa Cho R-môđun M và A, B là hai môđun con của M

Môđun B được gọi là bù giao (complement) của A trong M nếu B là môđun con tối đại của M thỏa mãn A∩ =B 0 Môđun con B được gọi là bù giao

của A trong M.

1.4.6 Bổ đề Zorn Cho A là tập sắp thứ tự Nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn

phần trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại.

1.4.7 Mệnh đề Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu K là

môđun con đóng thì K là bù giao trong M và ngược lại).

là A Từ đó, ta chứng minh được K là bù giao của A trong M.

(⇐) Giả sử K là bù giao trong M Ta chứng minh K đóng trong M Thật

vậy, giả sử K ≤e X ≤M. Ta chứng minh X =K. Thật vậy, do K là bù giao trong M nên tồn tại môđun con A của M sao cho K tối đại trong M và

0

K ∩ =A Khi đó:

• Ta có X ∩ =A 0 Thật vậy, giả sử ngược lại X ∩ ≠A 0, suy ra tồn tại a X∈ sao cho a∈A và a≠0 Khi đó aR X aR A≤ ; ≤ Do K ≤e X,suy ra aR∩ ≠K 0, do đó A∩ ≠K 0 (vô lí vì K ∩ =A 0)) Vậy

a= (do X∩ =A 0). Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K với

tính chất K∩ =A 0 suy ra X =K. Vậy K đóng trong M W

1.4.8 Mệnh đề Nếu K là môđun con của M và L là bù giao của K Khi đó:

1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn

1.5.1 Định nghĩa R-môđun M khác 0 được gọi là đơn (simple) nếu nó chỉ

có hai môđun con là 0 và chính nó

1.5.2 Ví dụ i) K là một trường, mọi K-không gian vectơ 1-chiều là

K-môđun đơn

ii) Với ¢ là ¢ -môđun Khi đó, ¢ không là môđun đơn Vì 2¢ là môđun con thực sự của ¢

1.5.3 Mệnh đề Cho N là môđun con của R-môđun M Khi đó, R-môđun N

là tối đại nếu và chỉ nếu môđun thương M N là đơn.

không có môđun con P nào của M sao cho N P M≤ ≤≠ ≠ , tức là môđun

thương M N khác không chỉ có hai môđun con là 0 và chính nó Theo định nghĩa thì môđun thương M N là đơn W

1.5.4 Định nghĩa Môđun M được gọi là nửa đơn (semisimple) nếu M là

tổng của các môđun con đơn của nó

1.5.5 Định lí Đối với R-môđun M, các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M là môđun nửa đơn;

(ii) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M

1.5.6 Hệ quả (i) Mỗi Môđun con của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.

(ii) Môđun đẳng cấu với môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.

(iii) Tổng các môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.

1.6 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh

1.6.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Môđun Q được gọi là nội xạ

theo M (hay Q là M-nội xạ) nếu mọi môđun con N của M và mọi đồng cấu

:

f N →Q đều tồn tại mở rộng R-đồng cấu g sao cho f =g i o (với i là

phép nhúng đồng nhất), tức là biểu đồ sau đây giao hoán:

g Q

f

Môđun Q là môđun nội xạ nếu Q là M-nội xạ, với mọi R-môđun M.

1.6.2 Định nghĩa Một R-môđun phải P được gọi là xạ ảnh (projective)

nếu mọi toàn cấu :f A→B và với mỗi đồng cấu :g P→B tồn tại đồng

cấu :h P→A sao cho g = °f h , hay biểu đồ sau giao hoán

Chương 2MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN

Trong chương này chúng tôi trình bày có hệ thống và chứng minh chi

tiết một số tính chất của CS-môđun và CESS-môđun, chủ yếu dựa trên tài

liệu [2]; [4]; [6]; [9] Ngoài ra, để hiểu thêm một số tính chất nói trên,

chúng tôi còn trình bày đế của một môđun, UC-môđun, CS-môđun yếu, môđun thỏa mãn điều kiện (P) và trình bày một số ví dụ cụ thể về các khái

niệm đó cũng như mối liên hệ giữa chúng

2.1 CS-môđun

2.1.1 Các điều kiện (C i ) của một môđun

Giả sử M là R-môđun Ta xét các điều kiện sau trên M:

cho U* là mở rộng cốt yếu của U.

hạng tử trực tiếp của M.

hạng tử trực tiếp của M.

2.1.2 Mệnh đề Nếu M thỏa (C 2 ) thì M thỏa (C 3 ).

tiếp của M, thỏa mãn A∩ =B 0 Ta sẽ chứng minh A B⊕ ≤⊕ M Thật vậy, giả sử M = ⊕A M1 Ta định nghĩa phép chiếu π :A⊕M1→M1→0 Thế thì A⊕ = ⊕B A π( )B Giả sử x,y∈B sao cho ( )π x =π( )y Khi đó,

(x y) 0

π − = , suy ra x y A− ∈ Nhưng ta lại có x-y∈B Vậy x y− =0, hay

x y= Do đó, Bπ là một đơn cấu Vậy ta có ( )π B ≤⊕ M (do điều kiện (C2)) Vì π( )B ≤M1 nên A⊕π( )B ≤⊕ M Vậy M thỏa mãn (C3) W

2.1.3 Định nghĩa Môđun M được gọi là CS-môđun (hay extending

2.1.4 Nhận xét R-môđun M là CS-môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con

đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Giả sử M là CS-môđun, N là môđun con đóng bất kỳ trong M

Do N là môđun con của M nên N cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M Mặt khác, do N là đóng trong M nên N cốt yếu trong chính nó và do đó N là hạng tử trực tiếp của M.

Ngược lại, giả sử mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M, khi đó với K là môđun con bất kỳ của M ta chứng minh K cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M Thật vậy, ta có E(K) là bao đóng của K và

E(K) là môđun con đóng trong M nên E K( ) ≤⊕ M, do đó K≤e E K( ) ≤⊕ M W

Sau đây là một số ví dụ cụ thể về CS-môđun:

2.1.5 Ví dụ (1) Mọi môđun nửa đơn là CS-môđun Thật vậy, giả sử M là

R-môđun nửa đơn Khi đó, mọi môđun con đóng của M đều là hạng tử trực

tiếp của M, do đó M là CS-môđun W

(2) Mọi môđun đều là CS-môđun Thật vậy, giả sử M là R-môđun đều Khi

đó, mọi môđun con khác không của M đều cốt yếu trong M Vậy M là

CS-môđun W

(3) Cho p là số nguyên tố Xét ¢ -môđun M =¢ p ⊕¢ p2. Khi đó, M là

(4) Cho p là số nguyên tố Xét ¢ -môđun M =¢ p ⊕¢ p3. Khi đó, M không

là CS-môđun Thật vậy, giả sử M là CS-môđun Khi đó, xét ¢ -môđun

3

K = +l p¢ p p+ ¢ là bù giao trong M có cấp p Nếu K là một hạng tử 2.

trực tiếp của M thì M = ⊕K K', với K’ là môđun con của M và K’ cũng có

2.1.8 Mệnh đề i) Giả sử A là một môđun con của R-môđun M tùy ý Nếu A

là đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A là môđun con đóng của M.

Ký hiệu π: M1⊕M2 →M1 là phép chiếu chính tắc Giả sử A≤e B với B≤

M Khi đó ta có A=π(A)≤eπ(B)≤ M Vì A là đóng trong 1 M suy ra 1 π

(B)=A≤B, và do đó (1−π)( )B ≤B Vì

(1−π)( )B ∩ = −A (1 π)( )B ∩π( ) 0B = và A≤e B

nên (1−π)( ) 0.B = Do đó B=π( )B ≤M1. Vì A đóng trong M nên A=B và 1

ta cũng có A đóng trong M ii) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M Khi đó, tồn tại môđun con B của M

sao choM = ⊕A B. Lấy N≤M sao cho A≤e N Khi đó A B∩ ≤e N B∩ , từ đó

0≤e N∩ B, suy ra N B∩ =0. Xét phép chiếu : A Bπ ⊕ → A , ta có ker( ) Bπ =

mà N B∩ =0 nên N∩ker( ) 0,π = suy ra Bπ là đơn cấu Vì thế N nhúng

đơn cấu vào môđun A, mà A N≤ nên A=N Vậy A đóng trong M W

2.1.9 Mệnh đề Môđun không phân tích được M là CS-môđun khi và chỉ

khi M đều.

Theo giả thiết M là CS-môđun nên tồn tại M1, M là hạng tử trực tiếp của 2

M =M =M suy ra A≤e M do đó A B∩ ≠0 Vậy M đều (⇐) Giả sử M đều ta cần chứng minh M không phân tích được và M là

đó, theo giả thiết M đều nên A M≤e , B M≤e , suy ra M là CS-môđun Bây giờ

ta chứng minh M không phân tích được Thật vậy, giả sử M C D= ⊕ khi đó

0,

C D∩ = điều này mâu thuẫn với M đều Vậy M không phân tích được W

2.1.10 Mệnh đề Giả sử X là CS-môđun Khi đó, mỗi hạng tử trực tiếp của

X cũng là CS-môđun.

Chứng minh Giả sử X là CS-môđun và X có một sự phân tích không tầm

thường X = ⊕A B Ta chứng minh A cũng là CS-môđun Thật vậy, giả sử

U là môđun con đóng của A Khi đó, theo Bổ đề 2.1.6 thì U đóng trong X

Lại do X là CS-môđun nên U là hạng tử trực tiếp của X, tức là có sự phân

tích không tầm thường X U= ⊕H Theo luật Modunla ta có:

A A= ∩ = ∩X A U ⊕H = ⊕U A∩H .

Vậy U là hạng tử trực tiếp của A W

2.1.11 Mệnh đề Giả sử M là CS-môđun, với udim(M) = n Khi đó,

=

=⊕ , với k≤n,

trong đó mỗi M i i, =1,2, ,k là những môđun không phân tích được Vì M

là CS-môđun, suy ra mỗi M cũng là CS-môđun (theo Mệnh đề 2.1.10) i

Chọn một môđun M bất kì , ta sẽ chứng minh rằng i M là đều Thật vậy, i

giả sử ngược lại rằng M không phải là môđun đều Khi đó, i M chứa một i

môđun con U khác không sao cho U không phải là môđun con cốt yếu của

.

i

0≠ ≤U e V ≤⊕ M V i, ≠M i.Điều này chứng tỏ M có một sự phân tích không tầm thường, đây điều vô i

lý Khi đó, udim(M) = k Vậy k = n và

1

n i i

=

2.1.12 Mệnh đề Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun liên tục (tựa liên

tục) cũng là một môđun liên tục (tựa liên tục).

Chứng minh Ta xét các môđun liên tục (tựa liên tục) M, và giả sử

M =M ⊕M Ta chứng minh M là liên tục (tựa liên tục) Thật vậy, vì M 1

là môđun liên tục (tựa liên tục) nên M là CS-môđun và mỗi hạng tử trực tiếp của M cũng là CS- môđun (Mệnh đề 2.1.10).

Giả sử M là liên tục, và U ≤⊕ M V1, ≤M V U1, ≅ Khi đó ta cũng có

U ≤⊕ M và U,V cũng là các môđun con của M nên suy ra V ≤⊕ M (vì M

liên tục) Giả sử rằng M V= ⊕M ' Theo luật Modunla ta có: