Một số tính chất của f môđun suy rộng

Mở đầu Trong suốt luận văn chúng tôi luôn giả thiết R, m là vành Noether địa chính quy lọc viết tắt là f-dãy cho môđun nh sau: Một dãy các phần tử x 1 , x 2 ,.. Khái niệm này là một mở

Bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

Vinh 2010

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 2

1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 các khái niệm cơ sở 5

1.2 Kiểu đa thức 9

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 11

1.4 Dãy chính quy và độ sâu 11

1.5 Dãy chính quy lọc và f- độ sâu 12

1.6 Môđun đối đồng điều địa phơng 12

1.7 Môđun Cohen Macaulay và môđun Cohen Macaulay suy rộng 13

1.8 Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun 14

2 f- môđun suy rộng 15

2.1 Dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng 15

2.2 f- môđun suy rộng 18

2.3 Đặc trng của f- môđun suy rộng thông qua số bội và môđun đối đồng điều địa phơng 22

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

Mở đầu

Trong suốt luận văn chúng tôi luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa

chính quy lọc (viết tắt là f-dãy) cho môđun nh sau: Một dãy các phần tử (x 1 ,

x 2 , , x r ) của m đợc gọi là dãy chính quy lọc của môđun M nếu với mọi i = 1, , r, x i∉ p,∀ p ∈ Ass (M/ (x 1 , , x i-1 ) M)\{m} Khái niệm này là một mở

rộng thực sự của khái niệm dãy chính quy Lớp môđun thoả mãn điều kiện

gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Đây là lớp môđun quen thuộc trong

chính quy lọc gần đây càng chứng tỏ là công cụ hữu ích trong Đại số giao

rộng nh sau: Một dãy x 1 , , x r các phần tử của m đợc gọi là một dãy chính

quy suy rộng của M nếu x i∉ p, ∀ p ∈ Ass (M/ (x 1 , , x i-1 ) M) thoả mãn điều kiện dim R/p > 1 Khái niệm này là một mở rộng thực sự

của dãy chính quy lọc nói trên

chính quy suy rộng đã đợc L T Nhàn và M Morales nghiên cứu trong [9] và

rộng Vì thế, việc làm rõ cấu trúc của các môđun này là điều thú vị và thực sựcần thiết.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn đợc chialàm hai chơng

Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày một

số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn Ngoài rachúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho chứng minh

ở phần sau

Chơng 2: f -môđun suy rộng Trong chơng này chúng tôi trình bày ba phần.

Phần 2.1 chúng tôi trình bày về khái niệm và các tính chất của dãy chính quysuy rộng và độ sâu suy rộng Phần 2.2 và 2.3, chúng tôi trình bày các tính

môđun đối đồng điều địa phơng Nh một hệ quả tức khắc, ta thấy rằng khi

quỹ tích không Cohen-Macaulay không quá 1 và tất cả các iđêan nguyên tốtối thiểu của nó đều có chiều d hoặc chiều 1 (xem Hệ quả 2.3.2), nhng nếu

hơn

Vinh dới sự hớng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp nàytác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, ngời đã hớng dẫn tận tình, chu

đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Cũng nhândịp này tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Trờng Đại học Vinh, các đồng nghiệp,bạn bè đã tạo điều kiện thuận lơi và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập vàhoàn thành luận văn

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp củacác thầy giáo, cô giáo và đồng nghiệp.

Tác giả

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chơng này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở phục vụ cho

1.1 Các khái niệm cơ sở

1.1.1 Phổ của vành Iđêan p của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠

R và với mọi a,b ∈ R, ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p Ký hiệu SpecR là tập tất cả

Với mỗi iđêan I của R, ta ký hiệu V(I) = { p ∈ Spec R p ⊇ I }

1.1.2 Giá của môđun Tập con

Supp R M = {p∈ SpecR  M p ≠ 0}

Với mỗi x ∈ M , ta ký hiệu

Ann R (x) = {a ∈ R  ax = 0 },

Ann R (M) = {a ∈ R ax = 0, ∀x ∈ M }.

linh hoá tử của môđun M Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp R M = V(Ann R M).

1.1.3 Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m- adic Cho (R, m) là một vành địa

m t, t = 0, 1, 2, Chú ý rằng cơ sở lận cận của một phần tử tuỳ ý r ∈ R gồm

các lớp ghép r + m t với t = 0, 1, 2, Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m- adic

của R kí hiệu bởi đợc định nghĩa bằng cách thông thờng theo ngôn ngữ của dãy

Cauchy nh sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy (r n ) các phần tử của R sao

cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 để r n - r m∈ m t với mọi n, m > n 0

Dãy (r n ) đợc gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự

nhiên n 0 để r n - 0 = r n∈ m t với mọi n > n 0

Hai dãy Cauchy (r n ) và (s n ) đợc gọi là tơng đơng, kí hiệu là (r n )

∽(s n ) nếu dãy (r n - s n ) là dãy không Khi đó quan hệ ∽ trên tập các dãy Cauchy

là quan hệ tơng đơng Ta kí hiệu là tập các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy Chú ý rằng nếu (r n ) và (s n ) là các dãy Cauchy thì các dãy (r n + s n ), (r n s n )

cũng là các dãy Cauchy và lớp tơng đơng của các dãy (r n + s n ), (r n s n ) là không

phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy

n ) Vì thế đợc trang bị 2 phép toán hai ngôi + và , cùng với

ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành

R→

r → ,

trong đó là dãy mà tất cả các phần tử của nó là r.

{m t M} Khi đó là một - môđun với phép nhân vô hớng nh sau: Cho a= (a 1 ,

a 2 , ) ∈ , x = (x 1 , x 2 , ) ∈ Ta có ax = (a 1 x 1 , a 2 x 2 , ) ∈

1.1.4 Chiều Krulll của môđun Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành

R

p 0 ⊃ p 1⊃ ⊃ p n

các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 = p đợc gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht(p).

Cho I là một iđêan của R khi đó độ cao của iđêan I đợc định nghĩa nh

sau:

ht(I) = inf { ht(p) / p ∈ Spec R, p ⊇ I }.

chiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R.

Cho M là một R-môđun Khi đó dim(R/ Ann R M) đợc gọi là chiều Krull

Khi đó dim M = max {dim M ’ , dim M ’’ }.

1.1.5 Chiều Noether của môđun Chiều Noether của M, ký hiệu bởi

N-dim R M, đợc định nghĩa nh sau: Nếu M = 0 thì ta đặt N-dim R M = -1 Khi đó,

bằng quy nạp theo d, với d ≥ 0 ta đặt N-dim R M = d nếu N-dim R M < d là sai và

với mỗi dãy tăng M 0 ⊆ M 1 ⊆ các môđun con của M, tồn tại một chỉ số n 0

sao cho N-dim R (M n /M n + 1) < d với mọi n > n 0

1.1.6 Hệ tham số Cho R là vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan cực

đại duy nhất m, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M =

d > 0.

(i) Một hệ gồm d phần tử := (x 1 , , x d ) của m đợc gọi là một hệ tham

số của M nếu ℓ(M/(x 1 , , x d)M) < ∞

(ii) Nếu := (x 1 , , x d ) là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần

tử (x 1 , , x i ) đợc gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, , d

1 Hệ d phần tử := (x 1 , , x d ) của m là hệ tham số của M khi và chỉ khi

x i ∉ p, ∀ p ∈ Ass M/ (x 1 , , x i-1 ) M thoả mãn dim R/p = d - i + 1.

2 Nếu := (x 1 , , x d ) là một hệ tham số của môđun M và : = (n 1 , , n d ) là bộ gồm d số nguyên dơng thì () = (x, , x) cũng là một hệ tham

3 Nếu := (x 1 , , x d ) là một hệ tham số của môđun M thì dim M/(x 1 , , x i ) M = d - i, ∀ i = 1, , d.

4 Nếu := (x 1 , , x d ) là một hệ tham số của môđun M thì cũng là hệ

1.1.7 Số bội Cho R là vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan cực đại

các phần tử := (x 1 , , x t ) của m sao cho ℓ(M/(x 1 , , x t )M) < ∞ đợc gọi làmột hệ bội của môđun M; ở đây nếu t = 0 thì ta có thể hiểu điều kiện này có

lại là không đúng Khi đó kí hiệu bội e(x; M) của môđun M đối với hệ bội x đợc

định nghĩa quy nạp theo t nh sau:

e(x 1 , x 2 , , x t ; M) = e(x 2 , , x t ; M / x 1 M) - e(x 2 , , x t ; 0: x 1 ).

Sau đây là một số tính chất cơ bản của số bội e(x; M)

1 0 ≤ e(x 1 , x 2 , , x t ; M) ≤ ℓ(M/(x 1 , x 2 , , x t )M) Đặc biệt, nếu tồn tại i

sao cho x i n M = 0 với mọi n là số tự nhiên nào đó thì e(x 1 , x 2 , , x t ; M) = 0.

2 e(x 1 , x 2 , , x t ; M) = 0 khi và chỉ khi t > d.

3 e(x, , x; M) = n 1 n t e(x 1 , , x t ; M)

Xét I(x 1 , , x d; M) nh một hàm số nhận giá trị nguyên và xác định theo

d biến nguyên dơng n 1 , , n d Chú ý rằng I (x 1 , , x d; M) luôn nhận giá trị

không âm, nó không nhất thiết là đa thức theo biến n 1 , , n d khi n 1 , ,

n d đủ lớn, nhng nó đợc chặn trên bởi các đa thức Đặc biệt, bậc nhỏ nhất của các

đa thức theo các biến n 1 , , n d chặn trên hàm I(x 1 , , x d; M) là độc lập với

kí hiệu bởi p(M).

1.2.2 Bổ đề Giả thiết rằng p (M) > 0 Khi đó

p (M) = Hơn nữa, nếu x ∉ p với mọi p ∈∪ Att (H (M))\ thì

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết

1.3.1 Định nghĩa Giả sử M là một R-môđun Một iđêan nguyên tố p của R đợc

gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈M sao cho p = Ann R (x).

M (hay Ass M nếu ta không để ý đến vành R)

1.3.2 Mệnh đề Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun khi đó

Ass R M ⊆ Supp R M và với bất kỳ phần tử tối tiểu nào của Supp R M theo quan

hệ bao hàm đều thuộc Ass R M.

1.3.3 Mệnh đề Giả sử M là R-môđun Noether khi đó tập Ass R M là hữu hạn

1.3.4 Mệnh đề Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

O → M ’→ M → M ’’ → O

Khi đó Ass M ’⊆ Ass M ⊆ Ass M ’∪ Ass M ’’

1.4 Dãy chính quy và độ sâu

Dãy các phần tử x 1 , , x r ∈ m đợc goi là dãy chính quy của M hay còn

gọi là M- dãy nếu x i∉ p, ∀ p ∈ Ass M/ (x 1 , , x i-1 ) M, ∀i = 1, , r.

Cho I là một iđêan tuỳ ý của R và (x 1 , , x r ) là một M -dãy trong I Khi

đó (x 1 , , x r ) đợc gọi là một dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại y

∈ I sao cho (x 1 , , x r , y ) là dãy chính quy của M Ta biết rằng mọi dãy chính

hiệu là depth I M Đặc biệt, nếu I = m thì depth m M đợc gọi là độ sâu của M và

ký hiệu là depth M.

Nếu (x 1 , , x r ) là một dãy chính quy của M thì nó cũng là một phần hệ

1.5 Dãy chính quy lọc và f- độ sâu

Dãy các phần tử x 1 , , x r của m đợc gọi là một dãy chính quy lọc của

M nếu x i ∈ p, ∀ p ∈ Ass (M/ (x 1 , ,x i-1 ) M )\ {m}, ∀ i = 1, , r.

Cho I là một iđêan tuỳ ý của R thoả mãn dim M/IM >1 và (x 1 , , x r ) là

chính quy lọc cực đại trong I nếu không tồn tại y ∈ I sao cho (x 1 , , x r , y ) là

gọi là độ sâu lọc của M trong I, ký hiệu là f - depth (I; M).

1.6 Môđun đối đồng điều địa phơng

1.6.1 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành R Với mỗi R–môđun M, đặt

ΓI (M) = (0 : I n )= {x∈ M ∃n, xI n = 0} Ta có ΓI (M) là một môđun con của M.

Với mỗi R- đồng cấu f: M→ N, ta có f (ΓI (M)) ⊆ΓI (N) Vì thế có một R- đồng

cấu ΓI (f) : ΓI (M) → ΓI (N), xác định bởi ΓI (f) (x) = f(x),∀ p ∈ΓI (M) Khi đó ΓI

trù R–môđun ΓI đợc gọi là hàm tử I-xoắn.

Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI đợc ký hiệu là H

và đợc gọi là hàm tử đối đồng điều địa phơng thứ i với giá là I.

địa phơng thứ i của môđun M với giá là I.

1.6.2 Mệnh đề.(i) H(M) là R-môđun Artin với ∀ i ≥ 0.

(ii) H(M)= 0 ∀ i > d hoặc i < depth (M) Đặc biệt H(M) ≠ 0 và H(M) là môđun Artin khi d > 0.

(iii) Cho i ∈ N, khi đó nếu H(M) là hữu hạn sinh với ∀ j = 0, , i -1 thì Ass H(M) là hữu hạn.

(iv) Cho i ∈ N, nếu Supp H(M) là hữu hạn với ∀ j ≤ i -1 thì Ass H(M) là tập hữu hạn.

1.7 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng

hiệu

I(x; M) = ℓ(M / xM) - e(x; M).

Đặt I(M) = Sup I(x; M), với Sup lấy trên tập tất cả các hệ tham số của M.

1.7.1 Định nghĩa (i) M đợc gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu I(x;

M ) = 0 với mọi hệ tham số x của M.

môđun Cohen-Macaulay suy rộng cần dùng trong luận văn

1.7.2 Mệnh đề M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi một trong các

điều kiện tơng đơng sau đợc thoả mãn:

(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x 1 , , x d ) để I(x; M) = 0;

(iii) Với mọi hệ tham số x = (x 1 , , x d ) ta có I(x; M) = 0;

(iv) H i

m (M) = 0 với mọi i ≠ d;

(v) p(M) = - ∞ (quy ớc bậc của đa thức không bằng -∞)

1.7.3 Mệnh đề M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi một

trong các điều kiện tơng đơng sau đợc thoả mãn:

(i) ℓ(H (M) < ∞ với mọi i ≠ d;

(ii). p(M) ≤ 0.

1.7.4 Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M p là môđun

Cohen-Macaulay ∀ p ∈ SuppM \ {m}

1.8 Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun

Một R-môđun X đợc gọi là môđun thứ cấp nếu với mọi r ∈ R phép nhân

là một phân tích X = X 1 + X 2 + + X n, trong đó X i là môđun con p i-thứ cấp vớimọi i = 1, , n Biểu diễn trên đợc gọi là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của X nếu

các p i đôi một khác nhau và không có X i nào là thừa Khi đó tập {p 1 , p 2 , , p n }

hiệu bởi Att R X (hoặc Att X nếu không chú ý đến vành R)

Chơng 2 f - môđun suy rộng

trình về khái niệm dãy chính quy suy rộng, độ sâu suy rộng, các tính chất cơ

đối đồng điều địa phơng

2.1 Dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng

2.1.1 Định nghĩa (i) Một phần tử x ∈ M đợc gọi là phần tử chính quy suy rộng của M nếu x ∉p, ∀p ∈ Ass M thoả mãn điều kiện dim R/ p >1

(ii) Một dãy x 1 , , x r các phần tử của m đợc gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu x i ∉ p với mọi p ∈ Ass M / (x 1 , , x i-1 )M thoả mãn điều

kiện dim R/p > 1 với mọi i = 1, , r.

nhiên điều này không còn đúng cho dãy chính quy suy rộng Thật vậy ta có ví

dụ sau

2.1.2 Ví dụ Cho R = k[[x, y, z, t]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức của 4

biến trên một trờng k Đặt

M = R/(x)R ∩ (x 2 , y)R.

M Tuy nhiên {y, z} không là dãy chính quy suy rộng của M vì y ∈ (x, y)R

∈ Ass M và dim R/(x, y)R = 2

2.1.3 Mệnh đề Cho x 1 , , x r là một dãy các phần tử trong m Khi đó :

(i) {x 1 , , x r } là một dãy chính quy suy rộng của M nếu và chỉ nếu {x 1 /1, , x r /1 } là một dãy chính quy của M p với mọi p ∈ Supp M chứa x 1 , , x r thoả mãn điều kiện dim R/p >1, trong đó x i / 1 là ảnh của của x i

trong R p , ∀ i = 1, , r;

(ii) Nếu r ≤ d- 2 thì mỗi hoán vị của một dãy chính quy suy rộng của

M có độ dài r cũng là một dãy chính quy suy rộng;

(iii) Nếu {x 1 , , x r } là dãy chính quy suy rộng của M thì {x, , x} cũng

là dãy chính quy suy rộng của M với mọi số nguyên dơng n 1 , , n r

Chứng minh.(i) Hiển nhiên

(ii) Cho r ≤ d -2 và giả thiết rằng x 1 , , x r là một dãy chính quy suyrộng của M Kí hiệu T là tập các iđêan nguyên tố p ∈ Supp M chứa x 1 , , x r thoảmãn điều kiện dim R/p ≥ 2 Vì dim M/(x 1 , , x r ) = d - r >1 nên T ≠ ∅ Gọi ϕ

là một hoán vị tùy ý của tập {1, , r} Vì x 1 /1, , x r /1 là một dãy chính quy

của M p với mọi p ∈ T Suy ra xϕ(1) , , xϕ(r) là một dãy chính quy suy rộng của

M.

(iii) Cho n 1 , , n r là các số nguyên dơng Giả thiết rằng r ≤ d - 2 Khi

(ii) Theo (i), ta có x 1 /1, , x r /1 là một dãy chính quy của M p với mọi p ∈ T Vì

thế x/1, , x/1 là một dãy chính quy của M p với mọi p ∈ T Theo (i), ta thấy

x, , x cũng là một dãy chính quy suy rộng của M.

Cho r ≥ d - 1 Khi đó x, , x là một dãy chính quy suy rộng nếu và chỉ

nếu x, , x là một dãy chính quy suy rộng Từ đó suy ra x, , x là dãy chính

quy suy rộng của M □

2.1.4 Mệnh đề Cho x ∈ m Khi đó x là phần tử chính quy suy rộng của M nếu và chỉ nếu dim (0: x) ≤ 1.

Chứng minh Giả sử dim (0: x) > 1 Khi đó tồn tại p ∈ Ass(0: x) sao cho dim R/p > 1 Suy ra x∈ p và p ∈ Ass M Do đó x không thể là phần tử chính quy suy

rộng của M Khi đó x ∈ p với một iđêan nguyên tố liên kết p ∈ Ass M nào

đó thoả mãn tính chất dim R/p > 1 Do đó, tồn tại u ∈ M sao cho p = Ann u Từ

đây suy ra rằng dim (0 : x) ≥ dim (0 : p) ≥ dim Ru = dim R/p > 1 Điều

đợc gọi là phức Koszul sinh bởi x 1 , , x s trên R, để đơn giản đôi khi ngời ta kí