Một số tính chất của lớp Môđun icgiả nội xạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN SỸ QUỲNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LỚP MÔĐUN IC-GIẢ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2013... TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN SỸ QUỲNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LỚP MÔĐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN SỸ QUỲNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LỚP MÔĐUN IC-GIẢ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN SỸ QUỲNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LỚP MÔĐUN IC-GIẢ NỘI XẠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐINH ĐỨC TÀI

Nghệ An, 2013

1.3 Môđun con cốt yếu và các điều kiện C i 8

2.1 Môđun giả nội xạ 112.2 Môđun ic - giả nội xạ 17

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, R-môđun N được gọi là M-nội xạ nếu với mọi môđun con X của M , mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu ψ : M → N Môđun N được gọi là tựa

nội xạ nếu N là N- nội xạ Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N

là A-nội xạ với mọi A trong Mod-R Có thể nói, môđun nội xạ là một

trong những lớp môđun đóng vai trò đặc biệt trong lý thuyết vành.Khái niệm môđun nội xạ đã được các nhà nghiên cứu lý thuyết vànhquan tâm mở rộng, chẳng hạn như: môđun nội xạ trực tiếp (directinjective module), môđun nội xạ tối tiểu (min-injective module), Trong [8], S Sing và S K Jain đã đưa ra khái niệm môđun giả

M-nội xạ: R-môđun N được gọi là giả M-nội xạ (pseudo M-injective) nếu với mọi môđun con X của M , mọi đơn cấu ϕ : X → N đều có thể

mở rộng được thành một đồng cấu ψ : M → N Theo hướng nghiên

cứu này, trong [4], các tác giả Mehdi S Abbas và Samir M Saied đã

đưa ra khái niệm ic-môđun con và môđun ic-giả nội xạ: Giả sử M,

N là các R-môđun Môđun M được gọi là môđun ic-giả N-nội xạ

(ic-pseudo-N-injective) nếu với mỗi ic-mô đun con A của N , mọi đơn cấu

từ A tới M đều có thể mở rộng thành một đồng cấu từ N tới M Trong

đó, môđun con A của N được gọi là ic-môđun con (ic-submodules) nếu

A đẳng cấu với một môđun con đóng của N

Theo định nghĩa trên, rõ ràng mọi môđun giả nội xạ đều là môđunic-giả nội xạ, tuy nhiên điều ngược lại không hoàn toàn đúng (xem [5]).Đây là một hướng mở rộng mới của lớp môđun nội xạ nói chung vàlớp môđun giả nội xạ nói riêng, hiểu biết các tính chất của lớp môđun

này sẽ giúp chúng ta có được một cách tiếp cận mới các tính chất củamột số lớp vành như: vành Artin nửa đơn, vành Noether,

Với các lý do đã nêu, trên cơ sở tài liệu tham khảo [4], chúng tôilựa chọn đề tài nghiên cứu: "Một số tính chất của lớp môđun ic-giả nộixạ" nhằm mục đích tìm hiểu một số tính chất của lớp môđun này.Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luậnvăn gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở Nội dung chính của chương này chủ yếutrình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản nhằm phục vụ nội dungcủa chương 2

Chương 2 Môđun ic-giả nội xạ Nôi dung của chương 2 được trình bàytrong 2 phần:

2.1 Môđun giả nội xạ Nội dung chính của phần này dành để trình bàyđịnh nghĩa, ví dụ và một số tính chất của lớp môđun giả nội xạ.2.2 Môđun ic-giả nội xạ Có thể nói đây là nội dung chính của luậnvăn Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất của lớpmôđun ic và ic-giả nội xạ; mối liên hệ giữa lớp môđun ic-giả nội xạ vớicác lớp môđun liên tục, CS,

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh từ tháng 1 năm

2013 dưới sự hướng dẫn của TS Đinh Đức Tài Tác giả xin gửi tớiThầy lòng biết ơn chân thành về sự tận tình hướng dẫn trong thờigian qua Xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Các Thầy giáo, Cô giáotrong Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh; Phòng Đàotạo Sau đại học; bạn bè và gia đình về sự giúp đỡ, động viên cả về tinhthần lẫn vật chất, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thànhkhóa học này

Nghệ An, tháng 6 năm 2013

Tác giả

BẢNG KÍ HIỆU

A ⊆ ⊕ B : A là hạng tử trực tiếp của B

A ,→ e B : A là môđun con cốt yếu của B

A ∼ = B : A đẳng cấu với B

A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm)

E(M ) : Bao nội xạ của môđun M

Soc(M ) : Đế của môđun M

End(M ) :Vành các tự đồng cấu của môđun M

u-dim(M) : Chiều Goldie của môđun M

Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng)

M (I) : ⊕ i∈I M (tổng trực tiếp của I bản sao của M)

M R(R M) : M là một R-môđun phải (trái)

M n (S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S

Mod-R: Phạm trù các R-môđun phải

Rad(M ) : Căn của môđun M

J(R) : Căn Jacobson của vành R

Z(M) : Môđun con suy biến của môđun M

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là

môđun unita phải (nếu không nói gì thêm)

Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bảncủa Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm và tínhchất này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôichủ yếu tham khảo trong các tài liệu [7], [10]

1.1.1 Định nghĩa Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn

n + 1 các môđun con của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ M n = 0 được

gọi là dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) nếu

M i−1 /M i là đơn

Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành kháiniệm về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:

1.1.2 Định lý Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành

có độ dài hữu hạn thì mọi cặp dãy hợp thành đó đều có cùng độ dài.

1.1.3 Định nghĩa Một môđun M có sự phân tích thành dãy hợp thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp thành được gọi là độ dài của M Ký hiệu lg(M) hoặc length(M).

Sau đây là định nghĩa và một số tính chất của dãy khớp.

1.1.4 Định nghĩa Một cặp các đồng cấu M 0 → f M → g M ” được

gọi là khớp (exact) tại M nếu Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng

0 → M 0 → f M → g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn (short exact sequence).

Đối với dãy khớp chúng ta có một số tính chất sau:

1.1.5 Mệnh đề Cho M và N là các R-môđun và f : M → N là một

đồng cấu Khi đó ta có:

1 0 → M → f N là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đơn cấu.

2 M → f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là toàn cấu.

3 0 → M → f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu.

1.1.6 Định nghĩa Nếu f : M → N , f 0 : N → M là các đồng cấu thỏa mãn f f 0 = 1N thì ta nói rằng f là một toàn cấu chẻ (split

epimorphism) và f 0 là một đơn cấu chẻ (split monomorphism).

Dãy khớp ngắn 0 → M 0 → f M → g M” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn chẻ (split exact) nếu f là đơn cấu chẻ và g là toàn cấu chẻ.

Môđun M được gọi là môđun đều (uniform) nếu giao của hai môđun con khác không bất kỳ của M là một môđun con khác không.

Trong phần này chúng tôi tập trung giới thiệu về lớp môđun nội xạ

và một số tính chất cơ bản của lớp môđun này

1.2.1 Định nghĩa R-môđun N được gọi là M-nội xạ nếu với mọi môđun con X của M , mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu ψ : M → N Môđun N được gọi là tựa nội

xạ nếu N là N- nội xạ Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N là A-nội xạ với mọi A trong Mod-R.

1.2.2 Nhận xét Như vậy chúng ta có, môđun N là nội xạ nếu và chỉ nếu N là R R -nội xạ Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn

một trong các điều kiện tương đương sau:

1 Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu

f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từ

4 R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự.

Chúng ta có một số tính chất của môđun nội xạ

1.2.3 Mệnh đề Tích trực tiếp và các hạng tử trực tiếp của môđun

nội xạ là môđun nội xạ.

1.2.4 Định nghĩa Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N-nội xạ và ngược lại.

Về tính chất nội xạ lẫn nhau ta có một số kết quả sau

1.2.5 Bổ đề Cho G = ⊕ i∈I G i và M là một R-môđun phải Khi đó G

là M- nội xạ nếu và chỉ nếu G i là M-nội xạ với mọi i ∈ I.

1.2.6 Bổ đề Nếu G là M- nội xạ và N ⊆ M thì G là N- nội xạ và (M/N)- nội xạ.

Kết quả sau còn được biết đến với tên gọi bổ đề Azumaya maya’s Lemma)

(Azu-1.2.7 Bổ đề Nếu G và M = M1⊕ M2⊕ ⊕ M n là các R-môđun phải thì G là M- nội xạ nếu và chỉ nếu G là M i - nội xạ với mỗi i = 1, 2, , n.

1.2.8 Định nghĩa Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội

xạ E thì E được gọi là bao nội xạ hay R-bao nội xạ của môđun N.

Kí hiệu E(N).

1.3 Môđun con cốt yếu và các điều kiện Ci

1.3.1 Định nghĩa Môđun con A của R- môđun M được gọi là môđun

con cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂ ∗ M (t.ư., A ⊂ ◦ M) nếu và chỉ nếu với mọi

môđun con U ⊂ M , A ∩ U = 0 ⇒ U = 0 (t.ư A + U = M ⇒ U = M) Nếu A ,→ e M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của A.

Ta có một số tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con bé:1.3.2 Bổ đề

1 A ¿ M ⇔ ∀U ⊂ M ta có A + U ⊂ M.

2 A ,→ e M ⇔ ∀0 6= U ⊂ M ta có A ∩ U 6= 0.

3 A ¿ M 6= 0 ⇒ A 6= M

4 A ,→ e M 6= 0 ⇒ A 6= 0.

5 0 ¿ M và M ,→ e M với mọi R- môđun M.

Nếu K là một môđun con của môđun M, sử dụng bổ đề Zorn, tồn tại môđun con tối đại C của M thỏa mãn C ∩ K = 0 Khi đó C được gọi là môđun con bù (complement) của K trong M Do đó, K ,→ e M

nếu và chỉ nếu 0 là bù của K.

Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của môđun con bù

1.3.3 Mệnh đề Cho C là một môđun con của môđun M Các điều

kiện sau tương đương:

1 C đóng trong M;

2 Nếu C ,→ e N ⊆ M thì C = N ;

3 Nếu C ⊆ N ,→ e M thì N/C ,→ e M/C;

4 Nếu D là môđun con bù bất kỳ của C trong M thì C là môđun con

bù của D trong M.

Bổ đề sau còn được gọi là bổ đề cốt yếu (Essential Lemma)

1.3.4 Bổ đề Giả sử K là một môđun con của môđun M Nếu C là

một môđun con bù bất kỳ của K trong M thì:

1 K ⊕ C ,→ e M

2 (K ⊕ C)/C ,→ e M/C.

1.3.5 Định nghĩa Cho M R là R- môđun phải Ta định nghĩa các

điều kiện sau:

• (C1) : Mọi môđun con của M R là cốt yếu trong một hạng tử trực

tiếp của M R Hay nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M R

là hạng tử trực tiếp của M R

• (C2) : Nếu A và B là các môđun con của M R đẳng cấu với nhau

và A là hạng tử trực tiếp của M R thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M R

• (C3) : Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M R và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M R

• (1 − C1) : Nếu U là một môđun con đóng, đều của M R thì U là một hạng tử trực tiếp của M R

Điều kiện (1 − C1) là mở rộng của điều kiện C1 và từ điều kiện C2suy ra điều kiện C3

1.3.6 Định nghĩa Môđun M R được gọi là CS-môđun (extending

module) nếu M R thỏa mãn điều kiện (C1) Môđun M R được gọi là

liên tục (continuous) nếu M R thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2)

Môđun M R được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu M R thỏa

mãn các điều kiện (C1) và (C3) Môđun M R được gọi là (1 − C1

)-môđun (uniform extending) nếu M R thỏa mãn điều kiện (1 − C1)

Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:

Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1)

Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđun

trên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng

1.3.7 Định nghĩa Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục)

vành phải nếu R R là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trênchính nó Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liêntục trái và vành tựa liên tục trái

Tiếp theo chúng ta có một số tính chất

1.3.8 Mệnh đề R- môđun phải (trái) có tính chất (C1) nếu và chỉ

nếu mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp.

Một trong những mối liên hệ giữa lớp môđun tựa liên tục và lớpmôđun này được thể hiện trong bổ đề sau

1.3.9 Mệnh đề Môđun M không phân tích được và có tính chất (C1)

nếu và chỉ nếu M đều Mọi môđun đều M là môđun tựa liên tục.

Chúng ta có mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là một môđunnội xạ Mệnh đề sau là kết quả tương tự trên lớp môđun thỏa mãn các

điều kiện (C i)3i=1

1.3.10 Mệnh đề Các điều kiện (C i)3i=1 có tính chất di truyền đối với các hạng tử trực tiếp Đặc biệt, mọi hạng tử trực tiếp của một môđun liên tục (tựa liên tục) là một môđun liên tục (t.ư., tựa liên tục).

CHƯƠNG 2MÔĐUN IC - GIẢ NỘI XẠ

2.1.1 Định nghĩa Cho M , N là các R-môđun phải Môđun N được gọi là M- giả nội xạ (pseudo M - injective) nếu với mọi môđun con A của M , mọi đơn cấu từ A tới N đều có thể mở rộng thành một đồng cấu từ M tới N Môđun N được gọi là môđun giả nội xạ nếu N là môđun giả N- nội xạ.

2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa trên ta thấy:

1 Môđun N R được gọi là giả nội xạ nếu với mọi đơn cấu β : 0 →

A → N và α : 0 → A → N, tồn tại γ ∈ End(N ) sao cho β = γα.

2 Mọi môđun tựa nội xạ (nội xạ) đều là môđun giả nội xạ Tuynhiên, điều ngược lại không hoàn toàn đúng

Ví dụ, xét I là tập vô hạn và {M i } i∈I là tập hợp các R− môđun trái giả nội xạ sao cho mỗi môđun đều có đế khác không Với mỗi i ∈ I, giả sử tồn tại r i ∈ R sao cho: r i m = m, ∀m ∈ M i và r i m = 0, ∀m ∈

M j , j ∈ I \ {i} Với mỗi i ∈ I, lấy m i ∈ Soc(M i ) sao cho (0 : m i) là

một iđêan trái tối đại Ta định nghĩa M là R- môđun con của Π i∈I M i

sinh bởi LΣi∈I M i và < m i > Nếu H = {r ∈ Rkr ∈ (0 : m i) với hữu

hạn một số phần tử i ∈ I} là một iđêan trái tối đại của R Khi đó, nếu tập hợp S = {i ∈ I tồn tại một đơn cấu f : Rm i → M i sao cho

f (m i ) 6= m i } có lực lượng hữu hạn thì M là R - môđun trái giả nội xạ

nhưng không là môđun tựa nội xạ (Mark L Teply, [3])

Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát một tính chất của lớp môđun này.

2.1.3 Mệnh đề Cho M là một R- môđun phải Khi đó, các phát biểu

sau là tương đương:

1 M R là một môđun giả nội xạ;

2 Với mọi đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → N trong

đó N nhúng được trong M thì tồn tại γ ∈ Hom R (N, M ) sao cho

β = γα;

3 Với mọi đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → N trong đó N

là một môđun con của M thì tồn tại γ ∈ Hom R (N, M ) sao cho

β = γα;

4 Với mọi đơn cấu β : 0 → N → M trong đó N là một môđun con của M đều có thể mở rộng thành một tự đồng cấu của M

Chứng minh (1) ⇒ (2) : Xét đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 →

A → N trong đó N nhúng được trong M Khi đó, tồn tại đồng cấu

γ1 : 0 → N → M Chúng ta dễ kiểm tra được γ1α : 0 → A → M

là một đơn cấu Theo giả thiết, M R là môđun giả nội xạ nên tồn tại

γ2 ∈ End(M R ) sao cho β = γ2γ1α Đặt γ2γ1 = γ : N → M thì β = γα,

ta có điều phải chứng minh

(2) ⇒ (3) : Theo giả thiết của (3), N là môđun con của M nên N nhúng được trong M Do đó (2) suy ra (3) là điều hiển nhiên.

(3) ⇒ (4) : Hiển nhiên vì đây là trường hợp đặc biệt của (3) khi

N = M.

(4) ⇒ (1) : Xét các đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → M Khi đó, α : A → Im(α) là một đẳng cấu do đó tồn tại đồng cấu

α −1 : Im(α) → A sao cho α −1 α = 1 A Ta có βα −1 : 0 → Im(α) → M

là một đơn cấu Do đó, tồn tại γ ∈ End(M R ) sao cho γ |Im(α) = βα −1

Với mọi a ∈ A, γα(a) = βα −1 α(a) = β(a) Điều này có nghĩa rằng

γα = β.

Từ các kết quả của Mệnh đề 2.1.3 ta có hệ quả sau:

2.1.4 Hệ quả Cho M R là một môđun giả nội xạ Khi đó:

1 Mọi đơn cấu α ∈ End(M R ) đều chẻ ra.

2 Với mọi đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → A tồn tại

γ ∈ Hom R (A, M ) sao cho β = γα.

3 Mọi đơn cấu α ∈ Hom R (M, N ) trong đó N nhúng được trong M

đều chẻ ra.

Chứng minh (1) Với mọi đơn cấu α ∈ End(M R) và 1M ∈ End(M R),

ta luôn có sự tồn tại β ∈ End(M R) thỏa mãn 1M = βα Điều này có nghĩa α là đồng cấu bị chẻ.

(2) Xét các đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → A Từ

A nhúng được trong M nên theo Bổ đề 2.1.3 (2), tồn tại đồng cấu

γ ∈ Hom R (A, M ) thỏa mãn β = γα Điều phải chứng minh.

(3) Xét đơn cấu α ∈ Hom R (M, N ) Khi đó, với α : 0 → M → N

và 1M : 0 → M → M, theo Bổ đề 2.1.3 (2) ta có sự tồn tại của

β ∈ Hom R (N, M ) thỏa mãn 1 M = βα Điều này có nghĩa là α là một

đồng cấu chẻ ra

Tiếp theo chúng ta có một tính chất khác của tổng trực tiếp cácmôđun giả nội xạ

2.1.5 Mệnh đề Giả sử {U a } a∈I là tập hợp các R - môđun phải Nếu

⊕ I U a là một môđun giả nội xạ thì mọi đơn cấu β : 0 → K → U a và

α : 0 → K → U b trong đó a, b ∈ I,tồn tại đồng cấu γ ∈ Hom R (U b , U a)