Phương trình đa thức trên các trường số

Trên cấu trúc trờng bài toán giải phơng trình bậc nhất ax+b = 0 và ax = b với 0 ≠ a coi nh đợc giải quyết hoàn toàn, tuy nhiên đối với phơng trình bậc cao hơn, phơng trình không định ngh

§1 Ph¬ng tr×nh ®a thøc trªn trêng h÷u tØ

§2 Ph¬nh tr×nh ®a thøc trªn trêng sè thùc vµ trêng sè phøc 17

§3 Ph¬ng tr×nh ®a thøc trªn trêng h÷u h¹n 28

KÕt luËn 35

Tµi liÖu tham kh¶o 36

lời nói đầu

Môn học Đại số đại cơng và số học đã giúp cho chúng ta hiểu biết thêm khá nhiều về phép toán hai ngôi, cấu đại số và lý thuyết giải phơng trình

Trên cấu trúc trờng bài toán giải phơng trình bậc nhất ax+b = 0 và ax = b với

0

≠

a coi nh đợc giải quyết hoàn toàn, tuy nhiên đối với phơng trình bậc cao hơn, phơng trình không định nghĩa đợc bậc nh: phơng trình lợng giác, phơng trình logarit, đối với chúng tôi còn là những vấn đề khó, nhng rất cần biết Qua các bài giảng về phơng pháp giải toán và toán sơ cấp, đặc biệt là qua sự hớng dẩn của thầy giáo chúng tôi nhận ra rằng vấn, đề cốt yếu là phải có nhiều hiểu biết về phơng trình đa thức(nghĩa là phơng trình f(x) = 0, với f(x) là một đa thức trên một trờng nào đó)

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài phơng trình đại số Rõ ràng, sự tồn tại nghiệm của một phơng trình đại số f(x) = 0 phụ thuộc vào trờng cơ sở mà ở trờng phổ thông chúng ta chỉ mới biết trờng số thực Đối với bậc đại học,chúng tôi đã đợc học thêm khá đầy đủ ba loại trờng vô hạn: trờng số hữu tỉ (Q), trờng các số thực (R), trờng các số phức (C) và các mở rộng của các trờng đó, trờng hữu hạn: trờng

p

Z với p là số nguyên tố

Do đó, nội dung mà khoá luận chúng tôi tập trung vào là phơng trình đa

thức trên các trờng số: vô hạn hoặc hĩu hạn Riêng lý thuyết phơng trình đa

thức trên trên trờng hữu hạn là một vấn đề mới, có chổ khác biệt nhiều với trờng vô hạn, vì năng lực và thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ có thể xem xét vấn đề trong lớp các trờng Z pvới p là số nguyên tố Khoá luận đợc chia làm 4 phần chính

Đ 0 Các khái niệm cơ bản

Đ1 Phơng trình đa thức trên trờng hữu tỉ

Đ2 Phơng trình đa thức trên trờng số thực và trờng số phức

Đ3 Phơng trình đa thức trên trờng hữu hạn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS: Nguyễn Quý Di– đã hớng dẩn tận tình và chỉ ra nhiều thiếu sót trong suốt quá trình làm khoá luận.

Cuối cùng vì thời gian và năng lực có hạn nên khoá luận không thể tránh khỏi các thiếu sót , rất mong đợc sự góp ý của quí thầy cô giáo và bạn đọc

Vinh:4/2004

Sinh viên: Ngô Văn Bình

phơng trình đa thức trên các trờng số.

Đ0 các khái niệm cơ bản

I Khái niệm về trờng

1 Định nghĩa tr ờng Tập X trên đó xác định hai phép toán cộng “+” và nhân “.” đợc gọi là trờng nếu thoả mãn các điều kiện sau

1 a,b ∈X thì a+b ∈X và a.b∈X

Phép nhân phân phối đối với phép cộng

9 a.(b+c) = a.b + a.c

(a, b, c, e∈X ,X* =X − { } 0 )

Ví dụ: Các tập Q , R , C là các trờng đối với phép cộng và nhân các số thông

th-ờng nhng các tập Z, N không là trth-ờng

2 Trờng con

Định nghĩa: Cho X là trờng, A là tập con của X A đợc gọi là trờng con

của X nếu: A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trờng

Chú ý: (tiêu chuẩn trờng con)

Cho X là trờng, A là tập con của X A là trờng con của X khi và chỉ khi:

c b

a

Q Q

∈

−

⇒

− +

= +

=

∈

∈

β α β

α

β α

7 ) ( ) (

, , ,

; 7 ,

7 )(

7

1

d c

b a d

c b a

+

+

= +

+

− αβ

7

( 7

7 7

) 7 )(

7 (

2 2 2 2 2

bc ad d

c

bd ac d

c

d c b a

−

+

− +

* Vành X có a là ớc của 0 nếu a≠ 0 và tồn tại b≠0 sao cho a.b = 0

* Miền nguyên là vành giao hoán có đơn vị và không có ớc của 0

3 Đặc số của tr ờng

Cho X là một trờng có phần tử đơn vị là 1

* Nếu n.1 ≠ 0 , ∀ n ∈N*thì ta nói trờng X có đặc số không

* Nếu tồn tại n≠ 0 , (n∈N∗) sao cho n.1=0 thì ta gọi số nguyên dơng bé nhất

p sao cho p.1=0 , là đặc số của trờng X (n gọi là đặc số của trờng X nếu n

là số nguyên dơng bé nhất để n.e = 0)

Chú ý: n.e = e+e+ +e (n lần e)…

Ví dụ : 1/ Trờng Z p có đặc số p : (p là số nguyên tố)

2/ Các trờng Q , R , C có đặc số 0, vì n.1= n ≠ ,0 ∀ n ∈N*

Mệnh đề 1: Đặc số p≠ 0 của trờng X là số nguyên tố

Thật vậy: Giả sử trờng C có đặc số p≠ 0 với p là hợp số

Khi đó ta có : p=l.k,(l<k,l,k∈N)

Do đó : p 1 = (kl).( 1 ) = (k1 ).(l1 ) = 0

⇒k.1=0 hoặc l 1 = 0, mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của p

Mệnh đề 2: Trong trờng X có đặc số p≠ 0 tacó:

p p p

a x a x

f( ) = 0 + 1 + +

0 (1)

Các ai,i= ( 1 ,n) gọi là các hệ tử của đa thức

Chú ý : * Bậc của đa thức khác không.Số tự nhiên n > 0, sao cho:

n n

n

n x a x a

x a x

a

x

− 1 11

Hệ tử a nđợc gọi là hệ tử cao nhất của f(x)

* Ngời ta không định nghĩa bậc của đa thức 0

III Nghiệm của một đa thức

Định nghĩa: Giả sử c là phần tử tuỳ ý của vành A

n

n x a x

a x a x

f( ) = 0 0 + 1 + + là một đa thức tuỳ ý của vành A[x] phần tử : = + + + n∈

nc a c

a a c

f ( ) 0 1 A

đợc bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f(x) tại c

Nếu f(c) = 0 thì c gọi là nghiệm của f(x)

Việc tìm nghiệm của f(x) trong A gọi là giải phơng trình đại số bậc n:

( 0)

, 0 + 0 = ≠

Giả sử A là một trờng , c ∈ A, f(x)∈A[x] D của phép chia f(x) cho x-c

là f(c) , c đợc gọi là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x-c

Vì r = f( )c ta suy ra một phơng pháp (phơng pháp Hoocne) để tính f(c) bằng sơ

đồ sau đây:

a0 a1 an an

c b0 b1 bn− 1 r

Trong đó mỗi phần tử của dòng thứ nhì đợc tính bằng cách cộng vào phần tử

t-ơng ứng của dòng thứ nhất tích của c với phần tử đứng trớc dòng thứ nhì

V Phần tử đại số , phần tử siêu việt

Giả sử A là một trờng con của trờng K , c ∈ K và n

n x a x

a a x

f( ) = 0 + 1 + + là một đa thức của vành A[x] Lúc đó vì a0, a1 an ∈A nên a0, a1 an ∈K

do đó f(x) là một đa thức lấy hệ tử trong K và f(c) là một phần tử thuộc K

Nếu f(c) = 0 thì c gọi là nghiệm của một đa thức f(x)

Định nghĩa : Giả sử A là một trờng con của trờng K Một phần tử c ∈ K gọi

là đại số trên A ,nếu c là nghiệm của một đa thức khác không lấy hệ tử trong A

c gọi là siêu việt trên A trong trờng hợp ngợc lại

Nh vậy: c là đại số trên A có nghĩa là tồn tại những phần tử ai ∈A, 0 ≤i ≤n

không bằng không tất cả,sao cho : 0 + 1 + + n = 0

n

c a a

Ví dụ : Các phần tử của trờng A đều đại số trên A

Thật vậy, α ∈Athì α là nghiệm của đa thức f(x) =x− α

VI Các tr ờng số :

Tập hợp các số hữu tỉ (Q), các số thực (R) , các số phức (C) cùng với phép cộng và nhân các số lập thành các trờng tơng ứng gọi là trờng các số hữu

Chú ý: a, Quan hệ thứ tự " ≥ "trên trờng K đợc gọi là có tính chất toàn phần ( tuyến tính ) nếu mọi a,b∈K ta có a≥b hoặc b≥a

b, Một trờng K mà trên đó đã xác định một mối quan hệ thứ tự " ≥ "

toàn phần đợc gọi là một trờng sắp thứ tự nếu quan hệ thứ tự này (tơng thích )

đối với các phép toán cộng và nhân trên K, nghĩa là: ∀a,b,c∈K ta có

(i) a > b ⇒ a+c > b+c

(ii) a≥ b ⇒a.c ≥ b.c

2 Mở rộng đầy đủ của trờng số thực R.

Định nghĩa1 Cho K là trờng sắp thứ tự, nếu mọi dãy trên K đều là dãy hội tụ, thì ta nói K là một trờng sắp thứ tự đầy đủ

Nhận xét

Q không phải là trờng sắp thứ tự đầy đủ, vì trong Q có những dãy cơ bản mà

không có giới hạn, ví dụ dãy x ∑

=

= n

k n

k

0 !

1

không là dãy hội tụ

Định nghĩa2 Nếu K là một trờng con của trờngΦ, thì ta nóiΦ là một ờng mở rộng của K, ký hiệu là Φ /K

Trờng số thực R là trờng đầy đủ, nghĩa là: mọi dãy cơ bản các số thực đều là dãy hội tụ trong R

* Đa thức bất khả qui trên trờng K

Cho f(x)∈K [x],bậc của f(x)≥ 1

Ta gọi f(x) khả qui trên K khi và chỉ khi f(x) = g(x).h(x), trong đó g(x) và h(x)∈K [x] và bậc của g(x) và h(x)≥ 1

f(x) đợc gọi là bất khả qui trong trờng hợp ngợc lại

Ví dụ 1/ Mọi đa thức bậc nhất là đa thức bất khả qui trên K,

vì f(x) = ax+b = a(x+ ), ∀a ≠ 0

b a

2/ Mọi đa thức bậc 2 và bậc 3 vô nghiệm trên trờng K thì bất khả qui trên K

Đ1 ph ơng trình đa thức trên tr ờng số hữu tỉ

Phơng trình đa thức trên trờng số hữu tỉ là phơng trình có dạng : f(x) = 0, trong đó f(x) =a n.x n +a n 1.x n−1+ +a0, (a n ≠ 0 ,a i∈Q,i= 1 , 2 , ,n)

= + + x

3

2 2

= +

− x x

Nhân cả hai vế với n− 1

n

a ta đợc ( ) + ( 1 ) −1+ + 1 −2.( ) + 0 −1 = 0

n n

bằng 1

Do vậy muốn có các nghiệm của g(x) ta chỉ tìm nghiệm của h(x)

Một vấn đề đặt ra, bây giờ ta hãy tìm các nghiệm hữu tỉ của các đa thức f(x)

Để hạn chế số lần thử, ta đa ra vài nhận xét sau đây

* Giả sử α là một nghiệm nguyên của f(x) Thế thì f(x) chia hết cho

) 1

f

Vì vậy,trớc hết ta tính f(1) và f(-1) để xem 1 và -1 có phải là nghiệm của f(x) hay không, rồi ta xét các ớc α ≠ ± 1 của a0sao cho : 1 − α

) 1 (

f

là những

số nguyên, để thử xem chúng có phải là nghiệm của f(x) và do đó số lần thử của chúng ta đợc bớt đi

Ví dụ 1:Tìm nghiệm hữu tỉ của phơng trình f(x) = x3 − 6x2 + 15x− 14 = 0

Giải: Giả sử f(x) có nghiệm = ⇒

q p

α q là ớc của 1, do đó q=± 1

Các ớc của –14 là: ± 1 , ± 2 , ± 7 , ± 14 Bằng cách thử trực tiếp ta suy ra

Vậy x=2 là nghiệm của phơng trình

Ví dụ 2: Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức:

f(x) = x5− 8x4+ 20x3− 20x2+ 19x− 12

Giải: Nhận thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 nên 1 là nghiệm của f(x)

Bằng sơ đồ Hoocne ta tính đợc các hệ số của đa thức thơng g(x) trong phép chia f(x) cho x-1 1 -8 20 -20 19 -12

1 1 -7 13 -7 12 0

Do đó các nghiệm còn lại của f(x) là các nghiệm của g(x)

12 7 13 7

và do đó các nghiệm của f(x) là: 1, 3, 4

2 Đa thức bất khả qui của vành Q[x]

Đối với trờng số thực R và trờng số phức C, vấn đề xét xem một đa thức đã cho của vành R[x] hay C[x] có bất khả qui hay không là không phức tạp cho

lắm, nhng trong vành Q[x] với Q là trờng số hữu tỉ thì vấn đề đó phức tạp hơn rất nhiều.

Đối với đa thức bậc hai và bậc ba của Q[x], việc xét xem có bất khả qui hay không đợc đa về việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức đó

Nếu các đa thức đó không có nghiệm hữu tỉ thì bất khả qui trên Q[x] Đối với các đa thức bậc lớn hơn 3 thì vấn đề phức tạp hơn rất nhiều Chẳng hạn đa thức (2x2 + 1 ) 2rõ ràng không có nghiệm hữu tỉ nào nhng có một -

ớc thực sự 2x2 + 1 Vậy không phải là bất khả quy

Định nghĩa: Giả sử f(x) là một đa thức với hệ số nguyên, f(x) gọi là nguyên

bản nếu các hệ số của f(x) không có ớc chung nào khác ngoài ± 1

Nhận xét: + Tính bất khả quy của đa thức f(x) phụ thuộc vào trờng K

Ví dụ: Đa thức:2x2 + 1 bất khả quy trên Q và R

Nhng khả quy trên C, vì 2x2 + 1 = ( 2x+i)( 2x−i)

+ Đa thức f(x) bậc n có nhiều nhất là n nghiệm trên một trờng

a/ Tính bất khả quy và tính có nghiệm của đa thức trên Q

i q

p a Q

(Nhân hai vế của f(x) với bội chung nhỏ nhất của (q , i p i))

* Định lí về tính bất khả quy của f(x) ∈Q[x] (tiêu chuẩn Ai denstai nơ)

Giả sử f(x) =a0+a1x+ +a .x n(n> 0 )

n là một đa thức với hệ số nguyên, và giả sử có một số nguyên tố p không chia hết cho hệ số cao nhất a n, nhng p chia hết cho các hệ số còn lại và p2không chia hết cho số hạng tự do a0 Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trong Q[x]

Chứng minh: Giả sử f(x) có những ớc thực sự trong Q[x], lúc đó f(x) có thể

viết dới dạng: f(x)=g(x).h(x), trong đó

n s Z c x c x

c c x

h

n r Z b x b x

b b x

g

i

s s i

r r

<

<

∈ +

+ +

=

<

<

∈ +

+ +

=

0 , ,

) (

0 , ,

) (

1 0

1 0

Theo giả thiết p chia hết cho a0 =b0c0, do p là nguyên tố nên hoặc p chia hết

cho b0 hoặc p chia hết cho c0

Giả sử pc0 ⇒ pkhông chia hết cho c0, vì nếu thế thì p2 a=b0c0(trái giả thiết p không thể chia hết mọi hệ số của g(x), vì nếu thế thì p sẻ chia hết cho a n =b r c s

), trái với giả thiết

Vậy giả sử b k là hệ số đầu tiên của g(x) không chia hết cho p

Ta xét a k =b k c0 +b k−1c1+ +b0c k, trong đó a k,b k−1, ,b0 đều chia hết cho

p Vậy b k c0 phải chia hết cho p Vì p là nguyên tố ta suy ra hoặc b kp hoặc

p

c 0 mâu thuẩn với giả thiết về b k vàc0

Ví dụ: Chứng minh rằng đa thức f(x) = x4− 8x3+ 12x2− 6x+ 2 là bất khả qui trên Q[x]

Thật vậy: Ta thấy p = 2 thì a n = 1 | 2 ; a0 , ,a n−1 chia hết cho 2 và a0 = 2

không chia hết cho 2 2, do đó f(x) bất khả qui⇒ f(x) = 0 vô nghiệm trên Q *** Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tìm nghiệm hữu tỉ của phơng trình:

b/ Các ớc của 14 là:± 1 , ± 2 , ± 7 , ± 14 1 -6 15 -14

f(1) = -4, f(-1) = -36, f(2) = 0 2 1 -4 7

Ta có bảng sau: 7 1 3 28≠ 0

Vậy f(x) có một nghiệm hữu tỉ là x = 2 ; -7 1 -11 84≠ 0

Ví dụ 2 Dùng tiêu chuẩn Adenstainơ để chứng minh đa thức sau là bất khả

Đa thức g(y) bất khả qui trong Q[y], vì theo tiêu chuẩn Aidenstainơ với p = 2,

do đó đa thức f(x) bất khả qui trong Q[x]

nghiệm trong trờng số thực Dới đây ta sẽ thấy mọi đa thức bậc n với hệ số phức

Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số phức, có ít nhất một nghiệm phức

Chứng minh: Giả sử f(x) là một đa thức bậc n > 0

n

an x

a a x

f( ) = 0 + 1 + + , với các a i là liên hợp củaa i,i = 0 ,n Xét đa thức g(x) =f(x).f(x)

Ta có g x b b x b x b a a j k n

k j

i i k

i i

= +

,

(theo bổ đề 3) ta suy ra g(x) có ít nhất một nghiệm phức z=s+it

g(z) = f(z)f(z)

Do đó hoặc f(z) = 0 hoặc f(z) = 0

* Nếu ( ) = 0+ 1 + + n = 0

n z a z

a a z

n

n

n z a a z a z a

z a

a0+ 1 + + = 0+ 1 + + , tức

là f(z) = 0

Nh vậy hoặc z hoặc z là nghiệm của f(x) (đpcm)

Hệ quả 1: Các đa thức bất khả quy của vành C[x], C trờng số phức là các đa

thức bậc nhất

Thật vậy: Ta đã biết mọi đa thức bậc nhất là bất khả quy trên mọi trờng Bây

giờ ta chứng minh mọi đa thức của C[x] có bậc lớn hơn 1 đều không bất khả quy

Từ định lí 1, suy ra f(x) có bậc lớn hơn 1, do đó f(x) có một nghiệm phức c Vậy f(x) có một ớc thật sự x-c, do đó f(x) không bất khả quy

Hệ quả 2: Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức co n nghiệm phức.

Chứng minh: (Bằng qui nạp theo n, n là bậc của f(x) )

n = 1theo hệ quả1, ta có hệ quả 2 đúng

Giả sử hệ quả 2 đúng với mọi đa thức có bậc bé hơn n Ta chứng minh hệ quả đúng đối với đa thức bậc n

Thật vậy, f(x) có bậc n> 1, khi đó f(x) là đa thức khả qui trong C[x]

f(x) = g(x).h(x), với 1 ≤ degg(x) =n1<nvà 1 ≤ degh(x) =n2 <n,n1+n2 =n.Theo giả thiết qui nạp g(x) có n1nghiệm, h(x) có n2nghiệm Từ đó f(x) có

n

n

n1+ 2 = nghiệm (đpcm).

Hệ quả 3: Các đa thức bất khả quy của R[x], R là trờng số thực, là các đa

thức bậc nhất và các đa thức bậc hai ax2 +bx+cvới ∆ =b2− 4ac< 0

Chứng minh: Ta đã biết các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai với ∆ < 0

là những đa thức bất khả quy của R[x]

Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy của R[x] với bậc lớn hơn 1, nên p(x) không có nghiệm thực Theo ( định lí 1 ) p(x) có một nghiệm phức z và do đó p(x) chia hết cho đa thức bậc hai với hệ số thực

g(x) =x2 − (z+z)x+ z

g(x) không khả nghịch và là ớc của phần tử bất khả quy p(x), vậy g(x) phải liên kết với p(x), tức là : p(x) = u.g(x),0 ≠u∈R (đpcm).

* * *

Trong chơng trình toán phổ thông chúng ta đã biết cách giải phơng trình đa thức bậc nhất và bậc hai trên các trờng số hữu tỉ và số thực, đối với trờng số phức C mặc dù chúng ta cha làm quen ở phổ thông song việc giải nó cũng không thật

sự khó Trong đề tài này chúng tôi xin trình bày cách giải phơng trình đa thức bậc ba và bậc bốn ( giải bằng căn thức ), trên các trờng số thực và trờng số phức

A Ph ơng trình bậc ba:

1 Ph ơng trình bậc ba trên tr ờng số phức :

a Định nghĩa: Phơng trình:

a0x3+a1x2+a2x+a3 = 0 ; (a i∈C,a0 ≠ 0 ,i= 0 , 3 ) (1) đợc gọi là phơng trình bậc ba trên trờng số phức

b Thuật toán giải :

Ta luôn có thể đa phơng trình (1) về phơng trình tơng đơng:

x3+ax2 +bx+c= 0,(

0

3 0

2 0

a

a c a

a b a

a y x

a x

Thay vào phơng trình (2) ta đợc

3 ( ) 3 ( ) 3

hay y3+py+q= 0 (3)

Với p=b−a q= a −ab+c

3 27

2 , 3

3 2

Để giải phơng trình (3) ta đặt y = u+v (4)Thay vào (3) ta đợc: u3+v3+ (u+v)( 3uv+ p) +q= 0 (5)

Ta tìm các số phức u và v thoả (5)