Về mở rộng bậc hữu hạn của các truờng số

Một minh chứng rõ nhất đó là Định lý cơ bản của Đại số học cổ điển khẳng định, mọi đa thức hệ số phức với bậc dơng đều có ít nhất một nghiệm phức.. Về sau, Đại số học trở thành khoa học

Trờng đại học Vinh

Khoa Toán _

Ngµnh cö nh©n khoa häc to¸n

Gi¸o viªn híng dÉn

PGS.TS NguyÔn Thµnh Quang

Sinh viªn thùc hiÖn: NguyÔn ThÞ Anh

Líp 41E3 Khoa To¸n - §¹i häc Vinh –

Đ1 Các kiến thức cơ sở về trờng ……… 3

Đ2 Mở rộng trờng ………… ……… 9

Đ3 Mở rộng đơn ……… 13

Đ4 Kết nối nghiệm ……… ……… 16

Đ5 Mở rộng bậc hữu hạn của các trờng số ………… 19

Đ6 Một số ví dụ về mở rộng hữu hạn của trờng các số hữu tỉ………

24 Kết luận ……… 26

Lời nói đầu

Cho tới đầu thế kỷ 20, Đại số học chủ yếu nghiên cứu việc giải các phơng trình

đại số Một minh chứng rõ nhất đó là Định lý cơ bản của Đại số học cổ điển khẳng

định, mọi đa thức hệ số phức với bậc dơng đều có ít nhất một nghiệm phức

Về sau, Đại số học trở thành khoa học nghiên cứu cấu trúc đại số trừu tợng, mà trong đó cấu trúc trờng là một cấu trúc đại số cơ bản có nhiều ứng dụng sâu sắc trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Giải phơng trình đại số là một vấn đề cơ bản của toán học, đợc gắn liền với bài toán mở rộng trờng, đặc biệt là mở rộng bậc hữu hạn của các trờng số

Với ý nghĩa trên, khoá luận tập trung nghiên cứu về lớp các mở rộng bậc hữu hạn trên các trờng số; tìm các tính chất đặc trng của các mở rộng này Các kết quả chính thu đợc của khoá luận này là đa ra đợc một số chứng minh mới so với tài liệu hiện có, để khẳng định rằng:

• Mọi mở rộng hữu hạn của trờng R các số thực hoặc là trờng R hoặc là trờng C các

số phức

• Nếu F là một mở rộng bậc nguyên tố của trờng Q và u ∈F, u ∉Q thì F = Q(u).

• Nếu F là mở rộng bậc hai của trờng số hữu tỉ Q thì F = Q( d), trong đó d là số nguyên khác 1 và không có ớc chính phơng.

• Trờng K là trờng đóng đại số nếu và chỉ nếu K không có mở rộng hữu hạn nào khác nó; từ đó thu đợc hệ quả rằng, trờng các số phức C chỉ có mở rộng hữu hạn duy nhất

Tác giả trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán và các thầy cô giáo trong chuyên ngành

Đại số & Lý thuyết số và Khoa Toán, đã giảng dạy cho chúng tôi trong thời gian 5 năm học tập đại học vừa qua.

Lần đầu tiên đợc tiếp cận với việc tập dợt nghiên cứu khoa học, nên không tránh khỏi sự bỡ ngỡ, và chắc không tránh khỏi nhiều thiếu sót Tác giả kính mong nhận đợc

sự chỉ bảo của các thầy cô giáo.

Vinh, 28 tháng 4 năm 2005

Sinh viên Nguyễn Thị Anh

Đ1 Các kiến thức cơ sở về trờng

1.1 Nhắc lại khái niệm trờng.

Trờng là một tập hợp K có nhiều hơn một phần tử, đợc trang bị hai phép toán cộng và nhân, ký hiệu bởi dấu (+) và dấu (.), thoả mãn các quy tắc sau đây:

1 Phép cộng có tính chất kết hợp: (a + b) +c = a + (b +c).

2 Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a.

3 Phép cộng có phần tử đơn vị : ∃ 0∈ K: a + 0 = a

4 Tồn tại phần tử đối: ∀a∈K, ∃-a∈ K: a + (-a) = 0

5 Phép nhân có tính chất kết hợp: (ab)c = a(bc).

6 Phép nhân có tính chất giao hoán: ab = ba.

7 Phép nhân có phần tử đơn vị 1: ∃1∈ K sao cho a1 = a.

8 Tồn tại nghịch đảo: ∀a∈ K, a ≠ 0, ∃ a-1∈ K: aa-1 = 1.

9 Phép cộng và phép nhân thỏa mãn luật phân phối:

a(b+c) = ab + ac; ∀ a, b, c∈ K.

Ví dụ 1) Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trờng.

2) Trờng Q các số hữu tỉ; trờng R các số thực; trờng C các số phức; trờng Zp các

số nguyên modp, với p là số nguyên tố

1.2.1 Định nghĩa Giả sử K là một trờng, A là một tập con của K ổn định đối với hai

phép toán cộng và nhân trong K, nghĩa là:

K xy K y x K y

x ∈ ⇒ + ∈ ∈

Ta gọi A là một trờng con của trờng K nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A, là một trờng

1.2.2 Định lý Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trờng K Khi đó,

các điều kiện sau là tơng đơng:

a) A là một trờng con của trờng K.

b) ∀x,y∈A⇒x−y∈A; x−1∈A (x≠ 0 ).

Ví dụ 1) Cho K là trờng K là trờng con của trờng K Bộ phận {0} gồm phần tử không

của trờng K không phải là trờng con của K

2) Trờng Q các số hữu tỉ là trờng con trờng R các số thực; trờng R các số thực là

trờng con của trờng C các số phức.

1.3 Đồng cấu trờng.

1.3.1 Định nghĩa Cho K và E là các trờng ánh xạ f: K → E đợc gọi là một đồng cấu trờng nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn với mọi phần tử a, b thuộc K:

i) f(a + b) = f(a) + f(b),

ii) f(ab) = f(a)f(b).

1.3.2 Các tính chất đơn giản của đồng cấu trờng.

Cho f: K → E là một đồng cấu trờng, ta có:

1) f là đồng cấu từ nhóm cộng của trờng K vào nhóm cộng của

trờng E, và do đó f có mọi tính chất của một đồng cấu của nhóm cộng, chẳng hạn: f(0)

= 0; f(a - b) = f(a) - f(b), ∀a,b∈K.

2) f(1) = 0 hoặc f(1) = 1.

3) f là đơn cấu ⇔ f(1) = 1.

4) f là đồng cấu không ⇔ f(1) = 0.

5) f là đồng cấu không hoặc f là đơn cấu.

6) Nếu f khác đồng cấu khác không thì f là đồng cấu của nhóm nhân K * vào nhóm nhân E * , do đó trong trờng hợp này f có mọi tính chất của một đồng cấu nhóm nhân, chẳng hạn: f(a−1 ) = f(a)−1, với ∀a∈K,a≠ 0.

1.4 Trờng các thơng.

1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là một miền nguyên và X là một trờng Ta gọi trờng X là trờng các thơng của miền nguyên X nếu tồn tại một đơn cấu miền nguyên f: X → X sao cho mọi phần tử của X có dạng f(a)f(b) -1 với a,b ∈X,b≠ 0

1.4.2 Định lý về sự tồn tại của trờng các thơng ([8]) Giả sử X là miền nguyên Khi

đó, tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu một trờng X và một đơn cấu miền nguyên f: X

→ X sao cho mọi phần tử của X có dạng f(a)f(b) -1 với a, b ∈X,b≠ 0 Nói khác đi, ờng các thơng của miền nguyên X là tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu

tr-Trờng Q các số hữu tỉ đợc định nghĩa là trờng các thơng của miền nguyên Z các

số nguyên Trờng K(x) các phân thức f(x)/g(x) đợc định nghĩa là trờng các thơng của

miền nguyên K[x] các đa thức của ẩn x trên trờng K

Ví dụ Các trờng Q, R, C có đặc số 0 Trờng Zp có đặc số p

Nhận xét Nếu trờng K có đặc số p ≠ 0 thì p là số nguyên tố

Thật vậy, giả sử ngợc lại p là hợp số, tức p=kl, 2 ≤k,l ≤ p− 1 , khi đó ta có

Nhận xét Mỗi một trờng tuỳ ý đều chứa một trờng con nguyên tố duy nhất

Thật vậy, ta gọi P là giao của tất cả các trờng con của trờng K Khi đó, P là trờng

con bé nhất của K và do đó P là trờng con nguyên tố duy nhất của K

1.7 Định lý về các kiểu trờng nguyên tố Cho K là một trờng và P là trờng con nguyên tố của K Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trờng Q các số hữu tỉ Nếu K có

đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trờng Z p các số nguyên modp.

Chứng minh Lập ánh xạ f: Z → K từ vành số nguyên Z tới trờng K, xác định bởi f(m) =

me, với e là phần tử đơn vị của trờng K Ta chứng minh f là đồng cấu vành Thật vậy, với

mọi m,n ∈Z, ta có

* f(m + n)e = (m + n)e = me + ne = f(m) + f(n)

* f(m.n) = (mn)e = (me)(ne) = f(m).f(n), (do e 2 = e).

Do đó, ta suy ra f là một đồng cấu vành.

Hạt nhân của đồng cấu vành f là: Ker(f) = { m ∈Z; f(m) = 0}.

a) Trong trờng hợp trờng K có đặc số 0, ta có

m ∈ Ker(f) ⇔ f(m) = 0 ⇔ me = 0 ⇔ m = 0

Vậy Ker(f) = 0, hay f là đơn cấu vành, do đó ta có một đẳng cấu vành:

Z ≅ Im(f) = { me\ m ∈ Z }.

Đẳng cấu vành này cảm sinh ra một đẳng cấu giữa trờng các thơng của vành số nguyên

Z với trờng các thơng của Im(f).

Do đó ta có đẳng cấu trờng Q ≅ P, bởi vì trờng các thơng của Z là Q, còn trờng

các thơng của Im(f) chính là P.

b) Trong trờng hợp K có đặc số nguyên tố p, ta có

m ∈ Ker(f) ⇔ f(m) = me = 0 ∈ K ⇔ m  p ⇔ m ∈ pZ.

Vì vậy, Ker(f) = p Z Theo định lý đồng cấu vành, ta có: Z /Ker(f) ≅ Im(f),

hay Z/pZ = Zp ≅ Im(f) Do Zp là trờng nên Im(f) cũng là trờng Mặt khác, Im(f) là trờng

con bé nhất của K nên Im(f) = P, và ta có Zp ≅ P

1.8 Mệnh đề Trong một trờng K với đặc số nguyên tố p, ta có:

, , )

Chứng minh Với ∀ a,b ∈K, ta có

* f(a + b) = (a + b) p = a p + b p = f(a) + f(b) (theo mệnh đề 1.5)

* f(ab) = (ab) p = a p b p = f(a)f(b).

Ngoài ra, vì f(1) = 1 p = 1≠ 0 k , nên f khác tự đồng cấu không của trờng K Vì vậy, f là

một tự đơn cấu của trờng K

1.10 Hệ quả Nếu K là trờng đặc số nguyên tố p thì ánh xạ a  a p n là một tự đơn cấu của trờng K, với mọi số nguyên n≥ 1.

Chứng minh Vì trờng K có đặc số p, cho nên ánh xạ a→a p là một tự đơn cấu của trờng

K ( theo định lý 1.7) Vì vậy, ánh xạ tích n lần của f:

n p

cũng là một tự đơn cấu của trờng K

1.11 Mệnh đề Mọi tự đồng cấu khác không của trờng Z p các số nguyên modp đều là

1.12 Hệ quả (Định lý Fermat bé) Với mọi số nguyên a và với mọi số nguyên tố p, ta có

đồng d thức sau đây: a p ≡a (mod p)

Chứng minh Vì trờng Zp có đặc số nguyên tố p cho nên ánh xạ p

a

a  là một tự đơn cấu của trờng Zp Theo mệnh đề 1.8, ta suy ra f là tự đẳng cấu đồng nhất của trờng Zp Do

đó, ta có a p =a, ∀a∈Z, hay có a p =a. Từ đẳng thức này, ta suy ra đồng d thức cần chứng minh: a p ≡a (mod p)

Đ2 mở rộng trờng

2.1 Định nghĩa mở rộng trờng.

Giả sử K là một trờng con của trờng E Khi đó, ta nói E là một mở rộng của trờng K

Ta ký hiệu E/ K là mở rộng E của trờng K

Giả sử E là một mở rộng của trờng K, ta có thể xem E là một không gian vectơ trên K Nếu E là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trờng K, thì ta nói E là mở rộng bậc hữu hạn của trờng K Số chiều n của không gian vec tơ E trên K đợc gọi là bậc của

mở rộng E trên K Ký hiệu [E : K] là bậc của mở rộng E trên K, ta có: n = dim K E = [ E :

K]. Mỗi cơ sở của không gian vectơ E trên K đợc gọi là một cơ sở của mở rộng E / K.

2.2 Phần tử đại số Phần tử siêu việt

Cho K là một trờng và E là một mở rộng của K Phần tử u∈E đợc gọi là phần tử

đại số trên K nếu tồn tại một đa thức khác không f(x) ∈K[x] sao cho f(u) = 0 Phần tử u

∈E không đại số trên K, gọi là phần tử siêu việt trên K

Cho u∈E là phần tử đại số trên K Ta chọn trong tất cả các đa thức khác không thuộc K[x] nhận u làm nghiệm một đa thức đơn hệ (hệ số cao nhất bằng 1) có bậc nhỏ

nhất, ký hiệu là q(x) Với mỗi phần tử đại số u∈E, đa thức nh vậy đợc xác định duy nhất

Ta gọi q(x) là đa thức tối tiểu của phần tử đại số u∈E

Nói khác đi, một phần tử u là siêu việt trên trờng K nếu và chỉ nếu với mọi hệ thức đa thức có dạng:

a 0 + a 1 u + + a n u n = 0, (a i ∈ K)

kéo theo ai = 0, ∀i = 0 n

Một số phức đại số trên trờng số hữu tỉ Q đợc gọi là số đại số

Ví dụ 1/ Các số hữu tỉ (nghiệm của đa thức a0+a1x ∈Q[x]); các số có dạngn a , a∈Q (nghiệm của đa thức xn- a ∈ Q[x]) là số đại số

2/ Các số e và πlà siêu việt Ngời đầu tiên phát hiện ra số siêu việt là nhà toán học Pháp Liouville (1851) Đến năm 1873 nhà toán học Pháp Hermite chứng minh đợc rằng số e, cơ số của hệ thống logarit tự nhiên là siêu việt Nhà toán học Đức Lindemann chứng minh rằng, số π, tỷ số của độ dài đờng tròn trên độ dài của đờng kính của nó, cũng

là số siêu việt (xem [5])

Nhận xét Cho u∈E là phần tử đại số trên K Đa thức cực tiểu qα(x) của u là đa thức bất khả quy trên trờng K Ngợc lại, mỗi đa thức đơn hệ f(x) bất khả quy trên K nhận u làm nghiệm là đa thức cực tiểu của u

2.3 Mở rộng đại số và mở rộng siêu việt.

Ta gọi mở rộng E của trờng K là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử u∈E đều

là phần tử đại số trên K

Ta gọi mở rộng E của trờng K là mở rộng siêu việt trên K nếu mở rộng E không

phải là mở rộng đại số trên K

2.4 Định lý Mọi mở rộng bậc hữu hạn của trờng K đều là mở rộng đại số trên K

Chứng minh Giả sử E là mở rộng hữu hạn bậc n trên K Khi đó, với mỗi α∈E, ta xét hệ gồm (n+1) phần tử thuộc K sau đây:

1, α , α2 , α3 , , αn.Vì mọi hệ (n+1) véctơ trong không gian vectơ n - chiều đều phụ thuộc tuyến tính, cho

i c i x i ∈K[x]

để cho f(α) = 0, hay α là phần tử đại số trên trờng K

2.5 Định lý Giả F là một mở rộng bậc hữu hạn của trờng K có một cơ sở là u 1 , u 2 , ,

u n và E là mở rộng bậc hữu hạn của trờng F có cơ sở là v 1 , v 2 , , v m Thế thì E là mở rộng bậc hữu hạn của trờng K có một cơ sở gồm nm phần tử u i v j , với

) j 1

1 , aj ∈ F, j = 1 , m Do aj∈ F, nên ta có:

) m 1, (j ,

n

i ij i j j

n

i ij i

v u a v

u a

Vậy { }i , n

m , j

Từ định lý 2.5 vừa đợc chứng minh ở trên, ta tức khắc suy ra

2.6 Định lý Giả sử K 0 là trờng trung gian của mở rộng E/ K Nếu các mở rộng E/ K 0

và K 0 /K có bậc hữu hạn thì mở rộng E/ K cũng có bậc hữu hạn và ta có công thức:

[E : K] = [E : K0] [K0 : K].

2.7 Định nghĩa Một trờng K đợc gọi là trờng đóng đại số nếu mọi đa thức khác không

f(x) ∈ K[x], với bậc f(x) ≥ 1, đều có ít nhất một nghiệm trong K Mở rộng E trên K đợc gọi là mở rộng đóng đại số trên K nếu E là một trờng đóng đại số.

2.8 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là tơng đơng:

i) K là trờng đóng đại số,

ii) Mọi đa thức 0 ≠ f ∈ K [x] với bậc f ≥ 1 đều có ớc bậc nhất x - u trong K[x] iii) Mọi đa thức 0 ≠ f ∈ K[x] với bậc f ≥ 1 đều phân tích đợc thành tích các nhân

tử tuyến tính f = c(x - u 1 )(x - u 2 ) (x - u n ), trong đó c ∈ K * , và u i ∈ K, i = 1, , n

iv) Các đa thức bất khả quy của K[x] chỉ gồm các đa thức bậc nhất.

v) Không tồn tại một mở rộng đơn đại số nào của K khác K (nói cách khác, K không có mở rộng đơn đại số thực sự nào).

vi) Mỗi đa thức thuộc vành K[x] bỏ đi một giá trị, sẽ là hằng số.

Ví dụ: 1) Theo định lý cơ bản của Đại số học cổ điển, trờng C các số phức là một trờng

đóng đại số

2) Trờng các số phức Cp là trờng đóng đại số (xem [12 ])

3) Mọi trờng K đều có một trờng mở rộng đóng đại số (xem [6])

Đ3 mở rộng đơn

3.1 Định nghĩa Giả sử K là một trờng, E là mở rộng của trờng K, phần tử u ∈E Ký hiệu K(u) là trờng con bé nhất chứa K và phần tử u Khi đó, K(u) đợc gọi là mở rộng đơn

của trờng K sinh bởi phần tử u

Ví dụ Q( 2 ) là mở rộng đơn sinh bởi trờng Q và số thực 2 Ta có:

Q( 2 )= {a+b 2| a,b ∈Q}

3.2 Định lý Giả sử K là một trờng, E là mở rộng của trờng K, u∈ E

i) Nếu u là phần tử siêu việt trên K thì mở rộng đơn K(u) đẳng cấu với trờng các phân thức K(x) qua một đẳng cấu trờng:

Ψ : K(x) ≅ K(u) sao choΨ (x) = u; Ψ (a) = a; a ∈ K

ii) Nếu u là phần tử đại số trên trờng K thì mở rộng đơn K(u) đẳng cấu với trờng K[x]/ (q) qua một đẳng cấu trờng:

ϕ : K[x]/(q) ≅ K(u)

sao cho ϕ (x + (q)) = u , ϕ (a + (q)) = a, ∀a ∈ K, trong đó q là đa thức cực tiểu của u Chứng minh Lập đồng cấu vành hu : K[x] → K[u]

f(x)  f(u)

Ta có : Imhu = K[u] ⊂ K(u) là vành con của trờng phân thức K(u).

Kerhu= { f(x) ∈ K[x] | f(u) = 0} là Iđêan của vành đa thức K[x]

i) Nếu u siêu việt trên K, thì với mọi đa thức f(x) ∈ K[x], điều kiện f(u) = 0 tơng đơng với

f = 0, cho nên Kerhu = {0}, hay hu là một đơn cấu, do đó hu là một đẳng cấu Đẳng cấu hu

này cảm sinh ra một đẳng cấu giữa trờng các thơng tơng ứng Ψ : K(x) ≅ K(u) 

ii) Nếu u là đại số trên trờng K, tức là tồn tại một đa thức 0 ≠f(x) ∈ K[x] sao cho f(u) =

0, thì Kerhu ≠ {0} Vì K[x] là vành chính, cho nên Kerhu= (q) là Iđêan chính của K[x] sinh bởi một đa thức bất khả quy q ∈ K[x] Hơn nữa, Kerhu = (q) là một Iđêan tối đại của K[x] (do q là đa thức bất khả quy) nên vành thơng K[x]/(q) là một trờng

Theo định lý đồng cấu vành, ta có: K[x]/Kerhu = K[x]/(q) ≅ Imhu = K[u] Vì K[x]/(q) là trờng, nên vành K[u] cũng là trờng chứa K và u, do đó K[u] = K(u)

Vậy trong trờng hợp này, ta có đẳng cấu ϕ : K[x]/(q) ≅ K(u), sao cho

ϕ (x + (q)) = u và ϕ (a + (q)) = a, ∀a ∈ K 

3.3 Hệ quả Mở rộng đơn siêu việt K(u) của trờng K có dạng:

K(u) = {f(u)/g(u) | f, g ∈ K[x], g ≠ 0}

Chứng minh hệ quả (3.3) đợc suy ra trực tiếp từ định lí (3.2)

3.4 Hệ quả Nếu u là phần tử đại số của trờng K, thì:

i) u là nghiệm của đa thức bất khả quy:

q = c o + c 1 x + + c n x n ; c i ∈ K (i = 1, ,n), c… n ∈ K* ii) Nếu đa thức bất khả quy f(x) ∈ K[x] nhận u làm nghiệm thì f là bội của q trong K[x]

iii) Mở rộng đơn đại số K(u) gồm các phần tử có dạng:

K(u) = { ω = a o + a 1 u + + a n-1 u n-1 | a i ∈K, i = 0 , n - 1}.

Chứng minh i) Là hệ quả trực tiếp của định lý (3.2).

ii) Vì mỗi đa thức f(x) ∈ K[x] mà có f(u) = 0, có nghĩa là f(x) ∈ Kerh u = (q), cho nên f

= g.q, với q ∈ K[x] 