Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kếtquả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tácgiả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ côngtrình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Diệp

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của PGS TS Tạ Thị Hoài An và GS TSKH Hà Huy Khoái Lờiđầu tiên, tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tớiPGS TS Tạ Thị Hoài An, người Cô nghiêm khắc và mẫu mực, đã địnhhướng nghiên cứu, đặt bài toán và hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáotrong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án

Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và gửi lời cảm ơn sâu sắc tới

GS TSKH Hà Huy Khoái, người đã thường xuyên quan tâm, tạo mọiđiều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên, khích lệ tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin được cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Sau đạihọc, Ban Giám hiệu, các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh

đã tạo các điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mộtnghiên cứu sinh Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệptrong Khoa Toán, Tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tậptrung học tập và nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Viện Toán học, phòng

Lý thuyết số, phòng Đại số, các nhà khoa học của Viện Toán đã giúp đỡtác giả, tạo môi trường học tập cũng như tham gia các buổi sinh hoạtkhoa học của Viện để tác giả có thể hoàn thành luận án

Nhân dịp này tác giả xin cảm ơn đến TS Chu Trọng Thanh đã quantâm cũng như giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Xin cảm ơn các thầy cô, bạn bè về những trao đổi, chia sẻ trong công

việc cũng như trong cuộc sống Xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứusinh của Viện Toán, của Trường Đại học Vinh về những chia sẻ, độngviên trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin kính dâng luận án này đến hương hồn Bố, kínhtặng Mẹ, tặng em Ngọc Bảo Chính Mẹ và em đã chấp nhận mọi khó khăn

và dành hết tình thương yêu cho tác giả trong suốt những năm tháng qua

để tác giả có thể hoàn thành luận án này

Nghệ An, 2014

Nguyễn Thị Ngọc Diệp

Lời cảm ơn ii

1.1 Đa tạp đại số 11

1.2 Cấu xạ giữa các đa tạp 13

1.3 Đường cong phẳng 15

1.4 Không gian Hyperbolic 18

2 Các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong trên trường số phức 20 2.1 Phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian 20 2.2 Một số bổ đề 22

2.3 Một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1 28

2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I 28

2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I 33

2.4 Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 34

iv

2.4.1 Bội giao 34

2.4.2 Phép biến đổi toàn phương 37

2.4.3 Điều kiện cần và đủ để đường congP (x) = Q(y) có thành

phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 39

Danh mục công trình của NCS liên quan đến luận án 80

MỘT SỐ KÝ HIỆU

C : Trường các số phức

k : Trường

An(k) : Không gian afin n chiều trên trường k

Pn(k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường k k[x1, , xn] : Vành đa thức n biến trên trường k

degf : Bậc của đa thức f

V (S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số được nhiều nhàtoán học đặc biệt quan tâm là bài toán giải phương trình Diophant.Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên của những phương trìnhDiophant với các hệ số là những số nguyên Sau đó, việc xem xét nghiệmcủa các phương trình Diophant được mở rộng trên tập các số hữu tỷ vàtrên trường các hàm như hàm phân hình phức, hàm phân hình khôngAcsimet, hàm hữu tỷ

Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k Bàitoán tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình

P (f ) = Q(g) từ lâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học.Bên cạnh đó, bài toán về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân

tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k làmột trường số cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu Theo Định lýFaltings và Định lý Picard, hai bài toán này liên quan chặt chẽ với nhau.Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài toánnày đã được đưa ra bởi các công trình của J F Ritt [36], sau đó là A.Ehrenfeucht [19], H Davenport, D J Lewis và A Schinzel [16], M Fried[22], Khi Q = cP, C C Yang và P Li trong [44] đã giới thiệu khái niệm

đa thức duy nhất mạnh Cụ thể, đa thức P (x) trên trường đóng đại số k

được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi

hàm f, g ∈ F và hằng số c khác không nào đó mà P (f ) = cP (g) thì c = 1 và

f = g Cho đến nay bài toán tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duynhất mạnh đối với một họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trườnghợp phức cũng như trong trường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình,hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43])

Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mởrộng tự nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồntại nghiệm của phương trình P (x) = Q(y) Theo Định lý Picard, phươngtrình P (f ) = Q(g) không có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác hằng nếu

và chỉ nếu đường cong P (x) − Q(y) = 0 không chứa bất kỳ thành phần nào

có giống 0 hoặc 1 Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0

không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J F Ritt ([36]) và U

M Zannier ([46]) R M Avanzi và U M Zannier ([11]) đã đưa ra mộtđiều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống

1 Trong trường số phức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q

để phương trình P (x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hình khác hằngcũng được xem xét bởi các tác giả H H Khoái và C C Yang trong [31],

C C Yang và P Li trong [45] Gần đây, trong [7], T T H An và A.Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet Họ đã đưa

ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệulần đầu tiên bởi Fujimoto trong [24], và điều kiện cần và đủ khi degP =degQ.

Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không

có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở Đồngthời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trên trường các hàm hữu

tỷ là đề tài thời sự đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nướcquan tâm

Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên

cứu cho luận án của mình là: Phương trình đa thức trên trườngcác hàm hữu tỷ và ứng dụng.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu

tỷ của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thờixem xét các điều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trườngđóng đại số

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ,hàm phân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đạisố

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình họcđại số, lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lýthuyết độ cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chínhquy kiểu Wronskian trên một đường cong đại số

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

6.1 Ý nghĩa khoa học

Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề khi nào phương trình đa thứchai biến trên trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hìnhkhác hằng

6.2 Ý nghĩa thực tiễn

Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, họcviên cao học và nghiên cứu sinh, giúp ích cho việc xây dựng những nhómnghiên cứu về giải tích phức, số học và hình học đại số

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Bài toán giải phương trình Diophant từ lâu đã luôn hấp dẫn các nhàtoán học Một trong những bài toán khó và nổi tiếng nhất là Bài toánFermat: không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y và z thoả mãn

x n + y n = z n, trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2 Bài toán Fermat

đã là bài toán mở trong suốt hơn ba thế kỷ vừa qua và cuối cùng nó

đã được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 Bên cạnh việc xemxét nghiệm nguyên của các phương trình Diophant ban đầu với các hệ

số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét các phươngtrình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức,trường các hàm phân hình không Acsimet, trường các hàm hữu tỷ

Cho phương trìnhP (x) = Q(y), trong đó P và Qlà các đa thức một biếntrên trường đóng đại số k Có hai vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên:Thứ nhất, tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phươngtrình P (f ) = Q(g)? Thứ hai, vấn đề về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y)

thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đathức này khi k là một trường số

Liên quan tới các hướng nghiên cứu này ta có những kết quả củaFaltings và Picard Khi k là trường số phức, Định lý Picard nói rằngphương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm là các hàm phân hình kháchằng f và g khi đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có các thành phần

bất khả quy có giống 0 hoặc 1. Tương tự, một định lý của Faltings nóirằng nếu đường cong phẳng P (x) = Q(y)không có các thành phần bất khảquy có giống bé hơn 2, thì với mỗi trường số k mà trên đó P và Q đượcxác định, phương trình P (x) = Q(y)chỉ có hữu hạn nghiệm k- hữu tỷ Nhưvậy, thực chất hai vấn đề trong hai hướng nghiên cứu nêu trên có liênquan rất chặt chẽ với nhau.

Cả hai hướng nghiên cứu này liên quan đến một vấn đề đã được nêu

ra bởi D Hilbert trong bài toán thứ 10 của ông tại Đại hội Toán học thếgiới lần thứ hai ở Paris năm 1900, đó là tồn tại hay không thuật toán tổngquát để giải các phương trình Diophant? Câu trả lời phủ định được đưa

ra bởi Yu Matijasievich năm 1970 Như vậy, những vấn đề được các nhàtoán học quan tâm là tìm điều kiện của các đa thức P và Q để phươngtrình P (x) = Q(y) có hữu hạn nghiệm nguyên, xem xét tính bất khả quycủa đa thức P (x) − Q(y), đồng thời xem xét sự tồn tại nghiệm là các hàmkhác hằng của phương trình P (x) = Q(y)

Những vấn đề này đã thu hút được nhiều tác giả nghiên cứu Khi bậccủa P và Q nguyên tố cùng nhau, theo tiêu chuẩn của Ehrenfeucht ([19],[42]) ta có đường cong P (x) − Q(y) bất khả quy Trong một số trườnghợp đặc biệt và với giả thiết P không phân tích được (nghĩa là, P khôngthể viết được dưới dạng hợp thành của hai đa thức có bậc lớn hơn 1),Tverberg đã xác định trong [42, Ch 2] khi nào P (x) − P (y)

x − y có thể chứanhân tử tuyến tính hoặc bậc hai Tương tự, Bilu trong [13] đã xác địnhtất cả các cặp đa thức sao cho P (x) − Q(y) chứa nhân tử bậc hai

Trong trường hợp đa thức Q = cP với c khác 0, cho đến nay bài toánvới phương trình hàm P (f ) = cP (g) đã được giải quyết trọn vẹn ([2], [3],[4], [5], [8], [24], [30], [43]) Trong trường hợp tổng quát, bài toán tìm điềukiện để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0 hoặc 1vẫn còn nhiều vấn đề cần quan tâm J F Ritt ([36]) và U M Zannier

([46]) đã đưa ra một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không

có nhân tử có giống 0 Sau đó, R M Avanzi và U M Zannier ([11]) đãđưa ra một điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân

tử có giống 1 Bằng cách sử dụng lý thuyết kỳ dị và tính toán giống củacác đường cong đại số dựa vào đa giác Newton, H H Khoái và C C.Yang trong [31] đã đưa ra một số điều kiện đủ đối với các bậc của P vàQ.Trong trường số phức, các điều kiện chi tiết hơn khi bậc của P và Q là 2,

3, 4 được xác định bởi C C Yang và P Li ([45]) Với trường hợp trường

số phức, R M Avanzi và U M Zannier trong [12] đã mô tả đường cong

có dạng P (x) = P (y) có giống ít nhất bằng 1 Khi đa thứcP thoả mãn Giảthiết I của Fujimoto (tức P là đơn ánh trên tập các nghiệm của đạo hàmcủa P), các đặc trưng đầy đủ của đường cong P (x) − cP (y) = 0 có tất cảcác thành phần bất khả quy có giống ít nhất bằng 2 được đưa ra trong[2], [4] và [24], trong đó c là một hằng số phức khác 0 Năm 2008, T T

H An và A Escassut ([7]) đã xem xét vấn đề này trong trường khôngAcsimet Họ đã đưa ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, vàđiều kiện cần và đủ khi P và Q có cùng bậc Cho đến nay, vấn đề thiếtlập đặc trưng đầy đủ của đường cong không có nhân tử có giống bé hơnhoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở

Để tiếp cận bài toán nêu trên, người ta thường sử dụng hai phươngpháp chính Phương pháp thứ nhất là dùng Lý thuyết phân bố giá trịcủa R Nevanlinna để đánh giá hàm đặc trưng Phương pháp thứ hai là

sử dụng các kết quả cổ điển của Lý thuyết số để nghiên cứu tính bất khảquy và giống của đường cong P (x) − Q(y) Tuy nhiên cả hai phương phápnày đều có những mặt hạn chế Năm 2003, T T H An, J T Y Wang

và P M Wong trong [3] đã đưa ra một phương pháp tiếp cận mới, đó làxây dựng các 1-dạng chính quy không tầm thường Với phương pháp này,các tác giả không cần quan tâm đến tính bất khả quy của đường cong,

đồng thời việc ước lượng, tính toán cũng đơn giản hơn nhờ vào việc xemxét các điểm kỳ dị của đường cong đó.

Tiếp tục sử dụng phương pháp nói trên của T T H An, J T Y Wang

và P M Wong, trong luận án này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ

để đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có thành phần bất khả quy cógiống 0 hoặc 1, trong đó P và Q là các đa thức một biến trên trường sốphức Khi hai đa thức thoả mãn Giả thiết I của Fujimoto và có bậc bằngnhau, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để đường cong phẳng đó cóthành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1

Khi k là trường đóng đại số bất kỳ có đặc số 0, C là đường cong trơn

có giống g trên k, và K là trường hàm của nó, chúng tôi đưa ra một sốđiều kiện đối với P và Q sao cho nếu f và g là các phần tử của K thoảmãn phương trình P (f ) = Q(g), thì các độ cao của f và g bị chặn trên Từ

đó chúng tôi đưa ra điều kiện đối với P, Qđể phương trình P (x) = Q(y) cónghiệm hàm hữu tỷ khác hằng

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương

Chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất làm kiến thức

cơ sở cho các chương sau, bao gồm bốn mục Mục 1.1, trình bày về đatạp đại số; Mục 1.2, trình bày về cấu xạ giữa các đa tạp; Mục 1.3, trìnhbày về đường cong phẳng; Mục 1.4, trình bày về không gian hyperbolic.Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các nhân tử bất khả quy có giống thấpcủa đường cong xác định bởi các đa thức biến tách trên trường số phức,bao gồm năm mục Mục 2.1, trình bày phương pháp xây dựng các 1-dạngchính quy kiểu Wronskian; Mục 2.2, trình bày một số bổ đề cần cho việcchứng minh các kết quả chính trong luận án; Mục 2.3, trình bày một sốđiều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của đường cong P (x) = Q(y)

có giống lớn hơn 1; Mục 2.4, trình bày điều kiện cần và đủ để đường cong

P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1; Mục 2.5, trìnhbày một số ứng dụng và ví dụ cụ thể về sự tồn tại hoặc không tồn tạinghiệm hàm phân hình khác hằng của phương trình P (x) = Q(y) với P và

Q là các đa thức một biến trên trường số phức

Chương 3, chúng tôi trình bày những kết quả về độ cao của các hàmhữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách, bao gồm bốn mục Mục 3.1,trình bày một số kết quả bổ trợ cần cho việc chứng minh các kết quảchính; Mục 3.2, trình bày về chặn trên của độ cao của các hàm hữu tỷthoả mãn phương trình biến tách; Mục 3.3, trình bày về phương trìnhbiến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I; Mục 3.4, trình bàyđiều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng.Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại:

• Xemina tổ Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh

• Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp, Huế, 8/2012

• Xemina nhóm nghiên cứu ở Viện nghiên cứu cao cấp về Toán

Các kết quả trong luận án đã được đăng ở các tạp chí: InternationalJournal of Mathematics, Journal of Number Theory, Journal of ScienceVinh university

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản dùngtrong việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau Các khái niệm vàtính chất này chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [27], [28], [29],[32], [33] và [40]

Tổng quát hơn, nếu S là tập các đa thức bất kỳ trong k[x 1 , x 2 , , x n ],thì

V (S) = {P ∈ An(k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S}

gọi là tập đại số trong An (k)

Do hợp của hai tập đại số là một tập đại số, giao của họ tuỳ ý các tậpđại số là một tập đại số, tập rỗng và toàn bộ không gian An (k) là các tập

đại số nên ta có thể trang bị một tôpô gọi là tôpô Zariski trên An (k) bằngcách coi các tập đại số là các tập đóng Từ đây về sau, các tập đóng vàcác tập mở đều được hiểu theo tôpô Zariski.

1.1.2 Định nghĩa. (1) Một tập đại số V ⊂ An(k) được gọi là khả quy nếu

V = V1∪ V2, trong đó V1, V2 là các tập đại số trong An (k) và Vi 6= V, i = 1, 2.

Ngược lại, V được gọi là bất khả quy

(2) Một tập đại số bất khả quy trong An (k) gọi là một đa tạp afin.(3) Một tập con mở của một đa tạp afin gọi là đa tạp tựa afin

1.1.3 Định lý ([27]). Giả sử V là tập đại số trong An (k) Khi đó, tồn tạiduy nhất các tập đại số bất khả quy V1, V2, , Vm sao cho V = V1∪V2∪ .∪Vm

và V i 6⊂ V j với mọi i 6= j

CácVi được gọi là các thành phần bất khả quy củaV;V = V1∪V2∪ .∪Vm

là sự phân tích V thành các thành phần bất khả quy

1.1.4 Nhận xét. Với bất kỳ tập con X của An (k),

I(X) = {F ∈ k[x1, , xn] | F (a1, , an) = 0 với mọi (a1, , an) ∈ X}

là một iđêan của k[x1, , xn]

1.1.5 Định nghĩa I(X) được gọi là iđêan của X

Cho V ⊂ A n (k) là một đa tạp afin Khi đó, I(V ) là một iđêan nguyên

tố trong k[x1, , xn], vì vậy k[x1, , xn]/I(V ) là một miền nguyên Ta gọi

k[x1, , xn]/I(V ) là vành toạ độ của V, ký hiệu là Γ(V )

1.1.6 Định nghĩa. (1) Với mỗi tập S không rỗng gồm các đa thức thuầnnhất trong k[x1, x2, , xn+1] thì

V (S) = {P ∈ Pn(k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S}

được gọi là tập đại số xạ ảnh trong Pn (k)

(2) Một tập đại số V ⊂ P n (k) được gọi là bất khả quy nếu nó không làhợp của hai tập đại số bé hơn thực sự

(3) Một tập đại số bất khả quy trong Pn (k) được gọi là một đa tạp xạảnh

(4) Một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh gọi là đa tạp tựa xạ ảnh

Ví dụ: đường cong xạ ảnh trong P2 (k) là tập các không điểm của một

đa thức thuần nhất khác hằng thuộc k[x1, x2, x3].

Cho V 6= ∅ là một tập điểm tuỳ ý trong An (k) Ta ký hiệu J (V, k) là tậptất cả các hàm từ V vào k J (V, k) được trang bị cấu trúc vành theo cáchthông thường: nếu f, g ∈ J (V, k),

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (f g)(x) = f (x)g(x),

với mọi x ∈ V

1.2.1 Định nghĩa. Cho V ⊂ A n (k)là một đa tạp afin, hàm f ∈ J (V, k)đượcgọi là hàm đa thức nếu tồn tại một đa thức F (x1, , xn) ∈ k[x1, , xn] saocho f (a1, , an) = F (a1, , an) với mọi (a1, , an) ∈ V

Tập các hàm đa thức trênV lập thành một vành con củaJ (V, k)chứak

Ta có F |V = G|V khi và chỉ khi(F −G)(a1, , an) = 0 với mọi(a1, , an) ∈ V,tức là F − G ∈ I(V ) Vì vậy, ta có thể đồng nhất Γ(V ) với vành con k[V ]

của J (V, k) chứa tất cả các hàm đa thức trên V

1.2.2 Định nghĩa. Cho V ⊂ A n (k), W ⊂ A m (k) là các đa tạp afin Ánh

xạ ϕ : V −→ W được gọi là ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức

ϕ 1 , , ϕ m ∈ k[x 1 , , x n ] sao cho

ϕ(a 1 , , a n ) = (ϕ 1 (a 1 , , a n ), , ϕ m (a 1 , , a n ))

với mọi (a1, , an) ∈ V Ta gọi ϕi là hàm toạ độ thứ i của ϕ.

1.2.3 Nhận xét. (1) ϕ là ánh xạ đa thức nếu ϕ1, , ϕm là các hàm đathức

(2) Cho ϕ : V −→ W là ánh xạ tuỳ ý Khi đó, ϕ cảm sinh một đồng cấuvành

ϕ : J (W, k) −→ J (V, k),

trong đó ϕ(f ) = f ◦ ϕe Nếu ϕ là ánh xạ đa thức, thì ϕ(Γ(W )) ⊂ Γ(V )e , do đó

e

ϕ hạn chế thành một đồng cấu từ Γ(W ) vào Γ(V ).

1.2.4 Mệnh đề([27]). ChoV ⊂ An(k), W ⊂ Am(k) là các đa tạp afin Khi đótồn tại phép tương ứng tự nhiên 1 - 1 giữa các ánh xạ đa thức ϕ : V −→ W

và các đồng cấu vành ϕ : Γ(W ) −→ Γ(V ).e Mỗi ánh xạ đa thức ϕ như thế là

sự thu hẹp của một ánh xạ đa thức từ An (k) vào Am (k).

1.2.5 Định nghĩa. Ánh xạ đa thức ϕ : V −→ W được gọi là đẳng cấu nếutồn tại một ánh xạ đa thức ψ : W −→ V sao cho ψ ◦ ϕ = idV và ϕ ◦ ψ = idW

Từ Mệnh đề 1.2.4 ta thấy hai đa tạp afin đẳng cấu khi và chỉ khi cácvành toạ độ của chúng đẳng cấu

1.2.6 Định nghĩa. Với mọi tập X trong Pn (k), ta gọi

I(X) = {F ∈ k[x1, , xn+1] | F (a1, , an+1) = 0 với mọi (a1, , an+1) ∈ X}

là iđêan của X

Cho V là đa tạp xạ ảnh trong Pn (k) I(V )là một iđêan nguyên tố, do đóvành thương Γh(V ) = k[x1, , xn+1]/I(V ) là một miền nguyên Γh(V ) đượcgọi là vành toạ độ thuần nhất của V Giả sử kh(V ) là trường thương của

Γh(V ); kh(V ) được gọi là trường hàm thuần nhất của V

1.2.7 Định nghĩa. Cho V là đa tạp xạ ảnh trong Pn (k) Trường hàm của

Tập hợp các điểm P ∈ V tại đó hàm hữu tỷ z không xác định được gọi

là tập hợp cực điểm của z

Cho X là đa tạp tựa afin hay đa tạp tựa xạ ảnh, U là một tập con mởkhác rỗng của X Ký hiệu Γ(U, OX)là tập các hàm hữu tỷ trên X xác địnhtại mỗi P ∈ U:

1.2.9 Định nghĩa. Cho X ⊂ An(k) và Y ⊂ Am(k) là hai đa tạp afin Haicấu xạ f1 : U1 −→ Y và f2 : U2 −→ Y từ các tập mở không rỗng Ui, i = 1, 2,của X vào Y gọi là tương đương nếu các hạn chế của chúng lên U1∩ U2 làbằng nhau Một lớp tương đương các cấu xạ như thế được gọi là ánh xạhữu tỷ từ X vào Y

1.2.10 Định nghĩa. Một ánh xạ hữu tỷ F từ X vào Y được gọi là songhữu tỷ nếu tồn tại các tập mở U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu f : U −→ V đạidiện F Ta nói rằng X và Y là tương đương song hữu tỷ nếu tồn tại mộtánh xạ song hữu tỷ từ X vào Y

1.2.11 Định nghĩa. Một đa tạp được gọi là hữu tỷ nếu nó tương đươngsong hữu tỷ với An (k) (hoặc Pn (k)) với n nào đó

Giả sử

F =YFei

i ,

trong đó Fi là các nhân tử bất khả quy củaF và ei ≥ 1 Ta nói rằng các Fi

là các thành phần của F và ei là bội của thành phần Fi Ta nói Fi là thànhphần đơn nếu ei = 1, và thành phần bội nếu ei > 1.

Vì vành đa thức k[x, y] là vành Gauss nên mọi đa thức F (x, y) ∈ k[x, y]

đều có phân tích duy nhất thành nhân tử bất khả quy

Khi đó, F (x, y, z) b là đa thức thuần nhất bậc n thuộc k[x, y, z] và được gọi

là sự thuần nhất hoá của đa thức F (x, y) Ta gọi đường cong

b

C := {(x : y : z) ∈ P2(k) | b F (x, y, z) = 0}

là đường cong xạ ảnh tương ứng của đường cong C Ta nhận thấy rằng

(x, y) ∈ C khi và chỉ khi (x, y, 1) ∈ b C, C bất khả quy khi và chỉ khi C b bấtkhả quy Nếu C có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy

C = C 1 ∪ C 2 ∪ ∪ C r

thì C b cũng có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy tương ứng

b

C = b C1∪ b C2∪ ∪ b Cr 1.3.1 Định nghĩa. Cho đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định bởi

F (x, y) = 0, P = (a, b) ∈ C P được gọi là điểm đơn của C nếu ∂F

P

(x − a) + ∂F

∂y

P

(y − b) = 0

được gọi là đường tiếp tuyến với C tại P. Một điểm không phải là điểmđơn thì được gọi là điểm kỳ dị Đường cong được gọi là trơn nếu mọi điểmcủa nó là điểm đơn

1.3.2 Định nghĩa. Cho đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định bởi

F (x, y) = 0, P = (0, 0) Ta viết

F = Fm+ Fm+1+ + Fn

trong đó Fi là đa thức thuần nhất bậc i trong k[x, y], Fm 6= 0. Ta gọi m là

số bội của C tại P = (0, 0), và viết m = mP(F ) = mP(C) Lưu ý rằng P ∈ C

2, )

Nếu C có m tiếp tuyến đơn phân biệt tại P thì ta nói rằng P là điểm

kỳ dị chính tắc của C

Giả sử F = Q F e i

i là phân tích F thành thành phần bất khả quy Khi

đó mP(F ) = P e i mP(Fi); và nếu L là đường tiếp tuyến của Fi với số bội ri

thì L là tiếp tuyến của F với số bội P eiri

1.3.3 Chú ý. Để mở rộng các định nghĩa này cho điểm P = (a, b) 6= (0, 0),

ta thực hiện phép tịnh tiến T (x, y) = (x + a, y + b) biến (0, 0) thành P Khi

đó FT = F (x + a, y + b) Ta định nghĩa mP(F ) chính là m(0,0)(FT)

1.4 Không gian Hyperbolic

Mục này dành cho việc trình bày các khái niệm và một số kết quả vềkhông gian hyperbolic

1.4.1 Định nghĩa. Giả sử D = D(0, 1) là đĩa đơn vị trong C Khoảng cáchhyperbolic giữa hai điểm a, b ∈ D được xác định bởi hệ thức:

dhyp(a, b) := 1

2 log

1 +

b − a

1 − ¯ ab

... chỉnhhình địa phương ln tồn với  đủ bé Một hàm hữu tỷ Q đườngcongC biểu diễn dạngA/B Avà< small>B đa thức thuầnnhất... đa thức đa thức< /p>

P0(x) Q0(y) tương ứng Khi đó,

2.2.3 Bổ đề ([7]). Các. .. Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng.Trong suốt chương này, giả sử P Q đa thức biến trêntrường số phức C, có bậc tương ứng n m