CƠ SỞ LÝ THUYẾT TỔNG HỢP HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG DỰA TRÊN PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

Tính bền vững đối với sự thay đổi tham số và điều kiện làm việc của các hệ thống điều khiển trong công nghiệp và quốc phòng là một yêu cầu rất cấp thiết. Trong những năm gần đây, lý thuyết điều khiển bền vững được nghiên cứu và phát triển rất mạnh và là một công cụ mạnh trong phân tích và tổng hợp các hệ thống tuyến tính và phi tuyến. Nghiên cứu làm chủ công cụ lý thuyết này là nhu cầu cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau.

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 3

Chơng 1: Cơ sở lý thuyết tổng hợp hệ điều khiển bền vững dựa trên phơng trình đa thức 5

1.1 Phơng trình đa thức Diophantine và phơng pháp giải 5

1.1.1 Phơng trình đa thức 5

1.1.2 Phơng trình ma trận đa thức một phía (unilateral) 6

1.1.3 Phơng trình ma trận đa thức hai phía (bilateral) 7

1.2 Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 8

1.2.1 Bài toán chuẩn 8

1.2.2 ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s) trong RH∞ 10

1.2.3 Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 11

1.3 Bài toán làm trùng mô hình 13

1.3.1 Bài toán làm trùng mô hình (matching problem) 13

1.3.2 Giải bài toán làm trùng mô hình trong những trờng hợp đặc biệt 15

1.3.3 Thuật toán xác định nghiệm bài toán tối u trong trờng hợp T1, T2 và T3 là các hàm vô hớng 17

1.3.4 Giải bài toán làm trùng mô hình trong trờng hợp T1, T2 và T3 là các ma trận 19

1.4 Tổng hợp bộ điều khiển có chất lợng bền vững 22

1.5 Kết luận chơng 1 23

Chơng 2: Xây dựng th viện các hàm chuyên dụng trên môi trờng Matlab 24

2.1 Thiết kế th viện chuyên dụng Polynomial trên MATLAB 24

2.2 Một số phép toán điển hình đối với ma trận đa thức 26

2.3 Các hàm chuyển đổi dữ liệu 27

2.4 Xây dựng các hàm thực hiện giải phơng trình đa thức Diophantine 29

2.5 Thiết kế mô đun thực hiện tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 33

2.6 Tổ chức mô đun chuyên dụng tổng hợp bộ điều khiển bền vững theo phơng pháp phơng trình đa thức 36

2.6.1 Mô đun tổng hợp bộ điều khiển gần tối u (suboptimal) 37

2.6.2 Mô đun tổng hợp bộ điều khiển tối u trung tâm (central optimal) 41

2.7 Kết luận chơng 2 43

Chơng 3: Tổng hợp bộ điều khiển bền vững cho một dạng đối tợng bay 44

3.1 Mô hình toán chuyển động dọc của máy bay 44

3.2 Mô hình toán của cơn gió dạng vòng xoáy 46

3.3 Thiết lập bài toán điều khiển 49

3.4 Xây dựng bộ điều khiển gần tối u H điều khiển máy bay trong điều kiện có

nhiễu ngoài 52

3.5 Xây dựng bộ điều khiển tối u H2 điều khiển máy bay trong điều kiện có nhiễu ngoài 53

3.6 Kết luận chơng 3 54

Chơng 4: Mô phỏng khảo sát vòng điều khiển bền vững của đối tợng bay 56

4.1 Xây dựng chơng trình mô phỏng hệ thống điều khiển bền vững máy bay 56

4.2 Mô phỏng khảo sát hệ thống điều khiển bền vững máy bay 58

4.3 Đánh giá kết quả mô phỏng 63

4.4 Kết luận chơng 4 66

Kết luận 68

Tài liệu tham khảo 70

Phụ lục 71

Mở đầu

Tính bền vững đối với sự thay đổi tham số và điều kiện làm việc của các hệthống điều khiển trong công nghiệp và quốc phòng là một yêu cầu rất cấp thiết.Trong những năm gần đây, lý thuyết điều khiển bền vững đợc nghiên cứu và pháttriển rất mạnh và là một công cụ mạnh trong phân tích và tổng hợp các hệ thốngtuyến tính và phi tuyến Nghiên cứu làm chủ công cụ lý thuyết này là nhu cầu cầnthiết để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau

ứng dụng trong điều khiển thiết bị bay là một trong những ứng dụng điểnhình của điều khiển bền vững Khi vật bay hoạt động ở quỹ đạo có độ cao thấp hoặckhi hạ cánh, tác động nhiễu loạn của các cơn gió là nguyên nhân chính gây ra tainạn Bởi vậy, cần phải xây dựng các hệ thống điều khiển bay có khả năng phòngngừa đợc những tai nạn này Xuất phát từ thực tế đó, bài toán tổng hợp bộ điều khiểnbền vững máy bay đợc đặt ra Bài toán này đợc chuyển thể thành bài toán tối u H2

hoặc H∞ và tiến hành giải bằng phơng pháp Riccati – 2 Chất lợng các bộ điềukhiển bền vững xây dựng theo tiêu chuẩn tối u khác nhau cũng đợc nghiên cứu sosánh để chọn ra bộ điều khiển thích hợp với điều kiện thực tế [15] Trong luận vănnày, bài toán điều khiển bền vững đối tợng bay đợc đặt ra và giải bằng phơng phápphơng trình đa thức Luận văn gồm các nội dung sau:

Chơng 1 trình bày một cách khái quát các vấn đề có liên quan đến ph ơngtrình đa thức, thuật toán tổng hợp bộ điều khiển bền vững H∞ làm cơ sở cho việctổng hợp chúng dựa trên phơng pháp phơng trình đa thức

Trên cơ sở tổng hợp bộ điều khiển bền vững dựa trên phơng pháp đa thức, sửdụng các th viện công cụ có sẵn trên MATLAB, chơng 2 của luận văn đã đa ra cácchức năng cần thiết của th viện chuyên dụng Polynomial Th viện này là công cụ đểphân tích và tổng hợp các bộ điều khiển bền vững theo phơng pháp đa thức Một sốmô đun chuyên dụng của th viện đợc giới thiệu chi tiết trong chơng này

Chơng 3 trình bày các nội dung liên quan đến việc thiết lập bài toán điềukhiển bền vững máy bay và biến đổi bài toán điều khiển về dạng chuẩn để có thể ápdụng đợc mô đun tổng hợp bộ điều khiển tối u H∞ đã đợc trình bày trong chơng 2trên cơ sở sử dụng phơng pháp đa thức Phần cuối của chơng cũng trình bày sơ bộ vềthiết lập bài toán tổng hợp bộ điều khiển tối u H2 làm cơ sở cho việc tổng hợp trongchơng 4 nhằm đa ra đánh giá hiệu quả của hai dạng bộ điều khiển nói trên

Bên cạnh việc mô tả cấu trúc chơng trình khảo sát hệ thống điều khiển bềnvững máy bay theo phơng pháp đa thức, chơng 4 tập trung trình bày các kết quả tổnghợp bộ điều khiển tối u H∞ và H2 cho máy bay TU – 154 theo một quỹ đạo hạ cánh

cụ thể Các kết quả mô phỏng cho phép đa ra các đánh giá quan trọng về chất lợngcủa hai dạng bộ điều khiển này cũng nh khẳng định tính đúng đắn của thuật toántổng hợp bộ điều khiển bền vững dựa trên phơng trình đa thức.

Các nội dung trên đây đã đợc tác giả cố gắng trình bày một cách cẩn thận,song do thời gian có hạn nên không tránh khỏi những sai sót Tác giả xin trân thànhcảm ơn và mong nhận đợc ý kiến đóng góp xây dựng của các thầy và các bạn quantâm đến lĩnh vực này

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TSKH Nguyễn Công Định

và TS Lê Đình Thành đã nhiệt tình hớng dẫn trong thời gian thực hiện luận văn Tácgiả xin chân thành cảm ơn tập thể giáo viên khoa Kỹ thuật điều khiển – Học viện

Kỹ thuật quân sự đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu làm cơ sở hoàn thành luậnvăn này Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn tập thể cán bộ nghiên cứu của Trung tâmCông nghệ mô phỏng – Học viện Kỹ thuật quân sự, cảm ơn bạn bè đã quan tâmgiúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nội dung luận văn đúngthời hạn

Hà Nội, ngày 25 tháng 5 năm 2003

Tác giả

Chơng 1: Cơ sở lý thuyết tổng hợp hệ điều khiển bền vững

dựa trên phơng trình đa thức 1.1 Phơng trình đa thức Diophantine và phơng pháp giải

Phơng trình (1.1) có nghiệm khi và chỉ khi (a, b)|c

Giả sử x0, y0 là một nghiệm riêng của (1.1), sử dụng các quan hệ:

(a,b) = g, a = ga0, b = gb0, c = gc0 (1.2)cùng với điều kiện tồn tại nghiệm thì nghiệm tổng quát của (1.1) là:

t b x x

0 0 0 0

(1.3)với đa thức bất kỳ t R[d]

Để giải phơng trình (1.1), ta sử dụng thuật toán tìm ớc số chung lớn nhất gcủa a và b (xem mục 2.2)

g := (a,b)cùng với hai cặp đa thức nguyên tố cùng nhau p, q và r, s thoả mãn quan hệ

ap + bq = g

ar +bs = 0Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng:

y

rt pc

x

0 0

(1.4)Trong vô số cặp nghiệm (1.4), ta cần tìm một cặp nghiệm có ý nghĩa quantrọng nhất trong bài toán điều khiển, gọi đó là cặp nghiệm có bậc cực tiểu Chia x0

cho b0:

x0 = b0u + v, (bậc của v nhỏ hơn bậc của b0)Khi đó ta có: x = v – b0(t-u) Chọn t = u, nghiệm bậc cực tiểu của (1.1) là:

0

1.1.2 Phơng trình ma trận đa thức một phía (unilateral)

Phơng trình ma trận đa thức Diophantine một phía có dạng:

trong đó A Rlp[d], B Rlq[d], C Rlm[d] là các ma trận đa thức có kích thớc tơngứng là (l x p), (l x q), và (l x m); hoặc

trong đó A Rpm[d], B Rqm[d], C Rlm[d]

Phơng trình (1.7) có nghiệm khi và chỉ khi ớc số chung lớn nhất bên trái G1

của A và B là ớc số bên trái của C

Sử dụng các quan hệ: A = G1A0, B = G1B0, C = G1C1 Nghiệm tổng quát của(1.7) là:

T B X

X

1 0

1 0

(1.9)trong đó: X0, Y0 là nghiệm riêng của (1.7),

B1 Rp,p+q-n[d], A1 Rq,p+q-n[d] là các ma trận nguyên tố cùng nhaubên trái thoả mãn AB1 = BA1

T Rp+q-n,m[d] là ma trận đa thức bất kỳ

n = rank[A B]

Sử dụng thuật toán tìm ớc số chung lớn nhất bên trái G1 của ma trận A và Bcùng với hai cặp ma trận đa thức nguyên tố cùng nhau bên phải P1, Q1 và R1, S1 thoảmãn quan hệ

AP1 + BQ1 = G1

AR1 + BS1 = 0Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.7) có dạng:

T R C P X

1 1 1

1 1 1

U A Y Y V X

(1.11)Thuật toán giải phơng trình (1.8) hoàn toàn tơng tự nh thuật toán giải phơngtrình (1.7) trên đây Nghiệm tổng quát của (1.8) có dạng:

2

2 2

2

TS Q

C Y

TR P

C X

A U Y Y V X

(1.13)Trong (1.12) và (1.13), G2 là ớc số chung lớn nhất bên phải của A và B; P2,

Q2,và R2, S2 là hai cặp ma trận đa thức nguyên tố cùng nhau bên trái; C = C2G2

1.1.3 Phơng trình ma trận đa thức hai phía (bilateral)

Phơng trình ma trận đa thức hai phía có dạng:

trong đó A Rlp[d], B Rqm[d], C Rlm[d] là các ma trận đa thức Phơng trình(1.14) có nghiệm khi và chỉ khi:

0 là tơng đơng (xem chứng minh trong [14]).

Đặt SA = U1AAU2A và SB = U1BBU2B là dạng Smith của A và B Nghiệm X, Y

của (1.14) đợc tìm trong hai phơng trình sau:

1 1 1 2

j l

r i

c

s j

l r

i c

b y

m s

j r

i c

x a

s j

r i

c b

y x

a

ij

ij j

i j

ij ij

i

ij j

ij ij

i

, , 1

; , , 1

, 0

, , 2

, 1

; , , 1

,

, , 1

; , , 2

, 1 ,

, , 2

, 1

; , , 2

, 1 ,

(1.16)với c ij là các phần tử của ma trận C U1A CU2B

1.2 Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera

1.2.1 Bài toán chuẩn

Mục đích của việc thiết lập bài toán chuẩn là tổng quát hoá đợc các dạng của

bài toán tổng hợp điều khiển bền vững khác nhau có thể có, chẳng hạn nh bài toán

tổng hợp tối u dựa trên nguyên tắc cân bằng mô hình (matching), bài toán tuỳ động

(tracking), bài toán ổn định bền vững, và bài toán chất lợng bền vững

Đối tợng điều khiển đợc khảo sát trong bài toán chuẩn là đối tợng nhiều đầu

vào/ra (MIMO) (hình 1.1a) Trên hình vẽ, w là vec-tơ tín hiệu vào dạng nhiễu loạn,

u là vec-tơ tín hiệu điều khiển, z là vec-tơ tín hiệu ra không đo đợc hoặc không kiểm

soát đợc, y là vec-tơ tín hiệu ra đo lờng đợc.

Giả sử đối tợng đợc mô tả gần đúng bằng mô hình tuyến tính

W S Y Z

22 21 12 11

wu

zy

n

e

x

Hình 1.1: Đối t ợng tổng quát (a)

và mô hình điều khiển đối t ợng tổng quát (b)

trong đó S11, S12, S21, S22 là các ma trận hợp thức Đối tợng đợc điều khiển bằng khâuphản hồi đầu ra R(s) cũng đợc giả thiết là hợp thức Tại điểm phản hồi, ta giả thiết

có nhiễu n(t) tác động, chẳng hạn nh nhiễu của các sensor đo tín hiệu (hình 1.1b) Tín hiệu điều khiển vào đối tợng sẽ là sai lệch e(t) Hệ kín khi đó đợc mô tả bởi hệ

E

N Y

X

E S

W S

Y

E S

W S

Z

2 2 21

S

U RX

E

W S E

S

Z

21 22

11 12

I S

I S

X E Z

I S

R I

S I

0

0 0

0 0 0

W s G N U W I S

I S I

S

R I

S I X E

Z

) ( 0

0 0

0 0 0

0

0

21

11 1

1 22 21

1 22

1 22 22

1 22 21

1 22

1 22 12

22

1 22 12

12 21

1 22 12

11

)

(

R S I S

R S I S

R S I

R S I R S

R S I R I S

R S I R

R S I R S S R S I R S S S R S I R S S

) (s S S R I S R S

+ R(s) ổn định đối tợng S(s), hay mọi phần tử của các ma trận hàm truyền từ

w, u, n tới z, e, x thuộc RH∞ (bài toán ổn định)

+ ảnh hởng của vec-tơ tín hiệu vào ngoại sinh w(t) tới những tín hiệu ra không kiểm soát đợc z(t) theo quan điểm năng lợng là nhỏ nhất (bài toán chất lợng).

Điều này tơng đơng với

min





z w

1.2.2 ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s) trong RH ∞

Giả thiết S(s) ổn định đợc và

~ 1

~

PT R

N là những cặp ma trận nguyên tố cùng nhau bên trái Cùng với (1.21) và

(1.22), ta suy ra hình 1.2 và đi đến định lý sau:

Định lý về ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s) [4]:

Những phát biểu sau là tơng đơng:

a S(s) đợc ổn định nhờ bộ điều khiển R(s)

b Tất cả 9 ma trận truyền đạt từ w, u, n tới z, e, x (hình 1.2a) thuộc RH∞

c Tất cả 6 ma trận truyền đạt từ w, u, n tới v 1 , v 2 (hình 1.2b) thuộc RH∞

Nhìn lại hình 1.2a và công thức (1.18) về ma trận truyền đạt G(s) của hệ kín

ta có nhận xét một cách trực quan rằng để ổn định S(s) trớc tiên R(s) cần phải ổn

định ma trận phần tử S22(s), và ngợc lại S(s) chỉ có thể ổn định đợc nếu nh các điểmcực của nó cũng là điểm cực của S22(s) Với nhận xét nh vậy ta có hệ quả của định lýtrên nh sau:

Hệ quả của định lý ổn định đối tợng bằng R(s):

Giả sử

~ 1

~ 1

~

PT R

1

P v2

trong đó F, G; P, T là những cặp ma trận nguyên tố cùng nhau bên phải và

P T

1.2.3 Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera

Youla - Kucera đa ra công thức mô tả tổng quát cho tất cả các bộ điều khiểnR(s) có tác dụng làm ổn định đối tợng S(s)

Giả sử mô hình S(s) của đối tợng tuyến tính có dạng thực – hữu tỷ, hợp thức,

có tính ổn định đợc Phân tích S22 thành tích các ma trận nguyên tố cùng nhau trong

RH∞ sẽ đợc (xem thêm mục 2.4):

~ 1

~ 1

K

G G F

K L

K~,~

Từ (1.23) ta có:

I I

Q I L F

K G G F

K L

I

Q I

GQ K G G

F

G Q K F Q L

FQ L T GQ K

Q K

P   

Ta thấy



RH T P T

P, , ~,~

Mặt khác, từ (1.24a) ta có

I T F

P G G F

Công thức (1.25) nói rằng P, T nguyên tố cùng nhau bên phải; P~, T~ nguyên

tố cùng nhau bên trái Do đó, nếu chọn Q sao cho T hoặc T~ không suy biến thì do

P G

F

P T

T F

P G

~

~

~

~ 1

Bởi vậy, theo hệ quả của định lý về ổn định đối tợng, S(s) đợc ổn định bằng bộ điềukhiển:

1

~

~ 1

) (

Hai công thức (1.27) và (1.28) là nội dung tham số hoá bộ điều khiển theo

định lý Youla - Kucera Hơn nữa, ta còn có thể chỉ ra rằng mọi bộ điều khiển R(s)làm ổn định đối tợng S(s) đều đợc mô tả dới dạng (1.27) và (1.28) [4, 5]

1.3 Bài toán làm trùng mô hình

1.3.1 Bài toán làm trùng mô hình (matching problem)

Xét đối tợng tuyến tính có mô hình

12 11

S S

S S

thực – hữu tỷ, hợp thức, ổn định đợc và phần tử S22 của S(s) là hợp thức chặt Phântích S22 thành tích các ma trận nguyên tố cùng nhau trong RH∞ sẽ có

~ 1

~ 1

K G G F

K L

) (

R

Xuất phát từ

I K F L

~

G K F L G G

Thay (1.29) vào công thức (1.19) của ma trận hàm truyền đạt Gw->z(s) từ tín

hiệu ngoại sinh w tới tín hiệu ra z, ta có:

21

~

~ 12 11

~

~ 12

1 S S K G S

G S

T2  12

) (s T T QT

RH Q

 , bài toán (1.31) có lời giải khi tồn tại

Mục đích làm giảm đến mức tối thiểu sự ảnh hởng của nhiễu trong bài toán

điều khiển bền vững đã đợc chuyển thành dạng bài toán điều khiển tối u chuẩn H∞.Bởi vậy, ngời ta còn gọi đó là bài toán điều khiển tối u H∞

Q

T1

1.3.2 Giải bài toán làm trùng mô hình trong những trờng hợp đặc biệt

Trớc khi tìm lời giải cho bài toán (1.32) hoặc (1.33) một cách tổng quát, taxét những trờng hợp riêng đơn giản sau:

Trờng hợp 1: T2 và T3 không suy biến và có giá trị nghịch đảo thuộc RH∞

Do T1, T2 và T3 là hàm phức nên T2QT3 = T2T3Q Bởi vậy tích T2T3 có thể thaythế bằng T = T2T3 và T(s) = 0 cũng chỉ có một nghiệm s0 nằm bên phải trục ảo Suyra:

) (

0 ) Re(

1 3

) ( ) ( 1 01

s T

s T s T

sẽ đợc T1  T2T3Q  T1(s0) và QRH Do đó Q xác định theo (1.35) lànghiệm tối u Qmin

Trờng hợp 3: T1, T2 và T3 là những hàm phức thuộc RH∞ (ma trận 1 hàng, 1cột), tích T2T3 là hợp thức chặt Ngoài ra phơng trình T2(s)T3(s) = 0 không cónghiệm hữu hạn nào nằm bên phải trục ảo

Nh đã làm ở trờng hợp 2, tích T2T3 đợc thay thế bằng T = T2T3 và theo giảthiết đã cho thì lim ( ) 0

0 ) Re(

1 3

s

Nếu chọn

) (

) ( )

1

s T

T s T

sẽ đợc 1  2 3  1(  )

Q T T

T và QRH Do đó Q xác định theo (1.36) lànghiệm tối u Qmin

1.3.3 Thuật toán xác định nghiệm bài toán tối u trong trờng hợp T 1 , T 2 và T 3 là

các hàm vô hớng.

Để thoả mãn điều kiện tồn tại nghiệm Qmin của bài toán tối u (1.32), ta giảthiết rằng T(jω) = T2(jω)T3(jω) ≠ 0 với mọi 0 ≤ ω < ∞ Đồng thời, để tránh gặp trờnghợp giản đơn đã xét trên đây, ta giả thiết thêm rằng  

trong đó G: T T 1T1 T T(  s)T(s) RH (1.38)

U: T N QRH(1.39)

Phân tích G thành tổng của hai thành phần G = G1 + G2, trong đó G1RH

và G2 hợp thức chặt, có các điểm cực nằm bên trái trục ảo Sau đó xác định các matrận A, B, C của

Cx y

Bu Ax x

BB A

L AL

T T

T T

2 2 1 1

(1.42)Giải hệ (1.42) sẽ đợc L1 và L2 Nh vậy, α2 sẽ chính là giá trị riêng lớn nhấtcủa tích L1L2

 ( )

 

Gọi vec-tơ riêng bên phải của L1L2 ứng với α2 là w thì

Do các giá trị riêng của A đều có phần thực âm, nên 

RH2

F và K  RH2.Nghiệm Umin của  G Umin  là (xem chứng minh trong [4]):

) ( ) ( ) ( )

Thuật toán tìm α và Q min :

Kết hợp các kết quả thu đợc ở trên, ta có thuật toán xác định α và Qmin nh sau:

Bớc 1: Tìm hàm trong TT(s) và hàm ngoài TN(s) của T(s) = TT(s)TN(s) Sau đó,xác định G(s) theo (1.38) Phân tích G thành tổng G = G1 + G2, trong đó

Bu Ax x

BB A

L AL

T T

T T

2 2 1 1

để tìm hai ma trận L1 và L2 Xác định α là căn bậc hai giá trị riêng lớn nhấtcủa tích L1L2 cùng vec-tơ riêng bên phải w ứng với giá trị riêng đó

Bớc 4: Tính v, F(s) và K(s) theo (1.44), (1.46) và (1.47) Thay F, K, α, G vào

(supoptimal) Bài toán gần tối u đợc hình thành trên cơ sở (1.32) không có nghiệm

lời giải của bài toán tổng quát Từ đó ta hình dung các bớc tìm nghiệm suboptimal

nh sau:

- xác định γ

- tìm QRH thoả mãn (1.49)

Thuật toán xác định γ và nghiệm suboptimal Q sub

Bớc tìm thứ nhất đặt ra là xác định một giá trị thực dơng γ sao cho hiệu

RH Q

Gọi PP là thừa số phổ của P, nghĩa là PP thoả mãn phơng trình phân tích thừa

số phổ (xem thêm trong mục 2.2):

P

P JP P

Nh vậy, giá trị γ phải đợc chọn sao cho cả hai điều kiện (1.53a) và (1.53b)

đồng thời đợc thoả mãn Hơn nữa, để có

2 Tính T1  và xem đó là giá trị chặn trên của γ Gán 0 T1 

3 Thực hiện các bớc sau với k = 1,2, …

c Dừng thuật toán với kết quả γ = γk-1

Thuật toán tìm nghiệm suboptimal Q sub :

Tơng tự nh đã làm ở mục 1.3.3 và với giả thiết T3 = I có

Trong trờng hợp tổng quát T3 ≠ I, sử dụng thuật toán trên với các định nghĩasau đây:

N

T T T

T 2

V   T T T

V V

T

CN T T P Y Z

CN T QY Z

U  1



1.4 Tổng hợp bộ điều khiển có chất lợng bền vững

Khái niệm về chất lợng đợc hiểu là bộ điều khiển R(s) có khả năng làm chotoàn bộ hệ thống ít hoặc không bị ảnh hởng bởi nhiễu (sensivity reduction problem)

Cho dù nhiễu tác động rất nhỏ hoặc đã đợc lọc để có thể đủ nhỏ mà ta có thể

bỏ qua đợc, song khi đã có nhiễu thì không thể nói đợc rằng bộ điều khiển đạt đợc100% chỉ tiêu chất lợng đề ra Có thể nhìn thấy ở bài toán tổng hợp bộ điều khiển tối

u làm ví dụ Khi đã có tác động của nhiễu thì chắc chắn phiếm hàm mục tiêu Q môtả chỉ tiêu chất lợng không còn nhận giá trị nhỏ nhất nữa và do đó bộ điều khiểntổng hợp đợc không còn tối u nh đã định nghĩa Vì vậy, nhiệm vụ đặt ra là bộ điềukhiển tổng hợp đợc không những làm cho hệ thống có đợc chỉ tiêu chất lợng nhmong muốn mà còn phải có khả năng làm cho chất lợng đó của hệ thống không bị

ảnh hởng bởi nhiễu Mục đích cần giảm thiểu sự ảnh hởng của nhiễu trong bài toánbền vững đã đa nó thành dạng bài toán điều khiển tối u

Bài toán điều khiển tối u chọn khâu phản hồi R(s) sao cho độ nhạy của hệ kín

với nhiễu w(t) là nhỏ nhất đã đợc xét trong mục 1.3 Kết hợp với bài toán tham số

hoá bộ điều khiển theo Youla - Kucera, ta có thủ tục tổng hợp bộ điều khiển có chấtlợng bền vững nh sau:

1 Giải bài toán tối u (1.31) để tìm Qmin Điều kiện để cho hệ kín ổn địnhbền vững trong trờng hợp không có sai lệch mô hình hoặc mô hình đối t-ợng có sai lệch đợc xét đến nh là điều kiện biên của bài toán tối u này

2 Bộ điều khiển R(s) cần tìm có dạng (1.27) hoặc (1.28)

Chơng 2: Xây dựng th viện các hàm chuyên dụng trên môi

trờng Matlab 2.1 Thiết kế th viện chuyên dụng Polynomial trên MATLAB

Th viện công cụ chuyên dụng Polynomial đợc xây dựng nhằm mục đích hỗtrợ việc phân tích và tổng hợp bộ điều khiển bền vững theo phơng pháp đa thức Thviện này xây dựng dựa trên các th viện công cụ có sẵn nh Control System Toolbox,LMI Control Toolbox, Mu – Analysis and Synthesis Toolbox, Robust ControlToolbox, Symbolic Math Toolbox Th viện chuyên dụng này có các chức năng chínhsau:

- Tạo đối tợng đa thức và ma trận đa thức

- Các phép toán cơ bản và nâng cao trên đa thức và ma trận đa thức

- Chuyển đổi các dạng mô tả toán có sẵn khác nhau thành dạng ma trận đathức

- Giải phơng trình đa thức và phơng trình ma trận đa thức

- Thực hiện các phép tính thừa số phổ, thừa số nguyên tố của đa thức và matrận đa thức

- Phân tích hệ thống điều khiển bền vững bằng phơng pháp đa thức

- Tổng hợp hệ thống điều khiển bền vững bằng phơng pháp đa thức

- Hiển thị các kết quả phân tích (trực quan hoá)

- Mô hình hoá trên Simulink với các khối đợc mô tả dới dạng đa thức và matrận đa thức

- Trợ giúp và hớng dẫn sử dụng

Hình 2.1 là sơ đồ mô tả chức năng của th viện công cụ chuyên dụngPolynomial trên môt trờng MATLAB

2.2 Một số phép toán điển hình đối với ma trận đa thức

Các hàm tính chuẩn (.) :

Trong MATLAB, các chuẩn của ma trận đợc tính bằng hàm norm Sử dụng

hàm này ta cũng tính đợc chuẩn của ma trận đa thức, bằng cách tính thông qua matrận hệ số của ma trận đa thức Ví dụ: Tính chuẩn bậc 2 của ma trận đa thức

3 2 1

) (

s s s

s s

s P

ans = 4.8164Tơng tự, đối với chuẩn vô cùng, ta có:

norm(M, inf)ans =

7Chuẩn bậc 2 của phân số ma trận đa thức (PMF – Polynomial MatrixFraction) G = D-1N (hoặc G = ND-1) đợc tính bằng hàm h2norm(N, D, l )‘l’) ’) hoặc

h2norm(N, D, r )‘l’) ’) tơng ứng Ví dụ, tính chuẩn bậc 2 của G(s) có biểu thức sau:

1 )

6s - 5 3s + 12

4s + 3 2s + s - 3 8s - 6 - s - 1 -

6s + 1 s + 5

s G

13.7420

Tính thừa số phổ của ma trận đa thức: Cùng với phơng trình Diophantine,

phơng trình phân tích thừa số phổ là một trong những công cụ chính để tổng hợp các

bộ điều khiển bằng phơng pháp đa thức Ma trận đa thức A(s) thoả mãn A(s)=A*(s)

sẽ phân tích đợc thành dạng (phơng trình thừa số phổ):

A(s) = X*(s)JX(s)Hoặc dạng: A(s) = X(s)JX*(s)

Phép phân tích thừa số phổ với J = I (ma trận đơn vị) đợc dùng trong thiết kếcác bộ điều khiển LQ và LQG Phép phân tích thừa số phổ với J = diag(1, 1, …, 1, -

1, -1, …, -1) là công cụ quan trọng trong thiết kế bộ lọc và điều khiển bền vững dựatrên chuẩn H∞ Th viện Polynomial cung cấp hàm spf và spcof để tính thừa số phổ.

Ví dụ: Tìm thừa số phổ của ma trận đa thức A:

A = [s^2 1+s; 1-s 3];

[X, J] = spf(A)

X = 0.67 - 0.41s 1.8 0.67 + 1.1s 0.26

J =

1 0

0 -1

2.3 Các hàm chuyển đổi dữ liệu

Th viện Polynomial làm việc trên dữ liệu là ma trận đa thức, trong khi đó các

th viện công cụ khác lại thực hiện trên dữ liệu thông thờng của MATLAB Vì vậy,

để hỗ trợ cho các dạng dữ liệu khác nhau, th viện này cần thiết phải có các hàmchuyển đổi dữ liệu về dạng ma trận đa thức Các hàm chuyển đổi tiêu biểu:

Hàm pol, lop: Chuyển một ma trận constant hoặc một ma trận ở dạng biểu

thức ký tợng thành ma trận đa thức Hàm pol đợc dùng trong hầu hết các ứng dụng

có sử dụng th viện Polynomial

3 2 1

) (

s s s

s s

s P

có thể đợc biểu diễn về dạng:

2 2 1

3 0 1

0

0 1 1

2

2 1 )

P0 = [1 2;2 1]; P1 = [-1 0;0 1]; P2 = [0 3;-1 2];

A = [P0, P1, P2];

Sử dụng hàm pol ta thu đợc ma trận đa thức P(s) nh sau:

du cx y

bu ax x

D =

5 -4.2 + s - 7.1s^2

-3 + 11s -0.93 + 0.79s

Hàm ss, tf, lti2rmf, lti2lmf: Control Toolbox trong MATLAB chấp nhận đối

t-ợng LTI ở các dạng: không gian trạng thái, hàm truyền, zero – pole – gain Một

đối tợng LTI bất kỳ trên đây có thể chuyển đợc về dạng PMF phải hoặc trái bằng

hàm lti2rmf và lti2lmf Ngợc lại, hàm ss và tf dùng để chuyển các đối tợng PMF về

dạng không gian trạng thái hoặc hàm truyền trong Control Toolbox

D = 0.76 + 0.38s^2

2.4 Xây dựng các hàm thực hiện giải phơng trình đa thức Diophantine

Tính nguyên tố cùng nhau và thuật toán tìm ớc số chung lớn nhất:

ớc số chung lớn nhất của hai số f,gZlà một số d  Z thoả mãn:

d = gl – fktrong đó k và l cũng là những số nguyên

Từ phát biểu trên ta suy ra rằng: Hai số nguyên f, g sẽ nguyên tố cùng nhaunếu tồn tại hai số nguyên k, l sao cho

còn đợc gọi là nghịch đảo đợc bên trái, và L  K là

ma trận giả nghịch đảo bên trái của F

ma trận giả nghịch đảo bên phải của  F G

Thuật toán Euclid mở rộng tìm ớc số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai đa thức:

Cho hai đa thức a,bR[d], cùng với hai cặp đa thức nguyên tố cùng nhau p,

q và r, s thoả mãn quan hệ

ap + bq = g

ar + bs = 0khi đó, g là ớc số chung lớn nhất của a và b, l = ar = -bs là bội số chung nhỏ nhấtcủa a và b

r p

4 Lấy đa thức bậc cao trừ đa thức bậc thấp sau khi đa thức này đã đợc nhânvới λdn Các cột tơng ứng của V cũng đợc làm tơng tự

5 Lặp lại từ bớc 2

6 Nếu cột thứ 2 trong F khác không thì đổi chỗ các cột trong F và V Khi

đó, g là đa thức trong cột thứ nhất của F, các đa thức p, q và r, s tơng ứng

0 1 2

x x x x

x x

x x

Nh vậy, ta có ớc số chung lớn nhất của hai đa thức a và b là đa thức

2 Thực hiện thuật toán Euclid mở rộng tìm ớc số chung lớn nhất và bội sốchung nhỏ nhất của hai đa thức a và b Gọi ớc số chung lớn nhất của a và

6 Nghiệm của (1.1) tính theo (1.5)

Thuật toán trên đợc áp dụng tơng tự khi giải các phơng trình ma trận đa thức(1.7), (1.8) và (1.14)

Trong th viện công cụ Polynomial, các hàm để giải phơng trình Diophantine

nh sau:

x = axb(a,b) Giải phơng trình ax = b

x = xab(a,b) Giải phơng trình xa = b[x,y] = axbyc(a,b,c) Giải phơng trình ax + by = c[x,y] = xaybc(a,b,c) Giải phơng trình xa + yb = c[x,y] = axybc(a,b,c) Giải phơng trình ax + yb = c

Để tìm nghiệm có bậc cực tiểu đối với x hoặc đối với y, ta đa vào tham số thứ

t tơng ứng là “minx” hoặc “miny”

Nếu sử dụng hàm với 4 tham số đầu ra

[x0, y0, b0, a0] = axbyc(a, b, c)thì hàm cho kết quả nghiệm phơng trình ở dạng (1.3)

t b x x

0 0 0 0

4 -2

y = -4 - s 4 + s

1 - 0.5s + s^2 -1 + s

Giải phơng trình ma trận đa thức hai phía (1.14) ta có:

[x,y] = axybc(A, B, C)

x = 0.73 + s 0.27 -0.2 -1.6

y = -2.2 - 0.27s 1.2 + 0.73s -3.9 - 0.6s 1.5 + 1.2s

2.5 Thiết kế mô đun thực hiện tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera

Mục 1.2.3 trình bày nội dung tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera cho

đối tợng tuyến tính tổng quát S(s) có tính ổn định đợc Để phục vụ cho mục đíchthiết kế mô đun thực hiện tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera, ta nhắc lại cáckết quả chính:

Phân tích phần tử S22 của S thành tích các ma trận nguyên tố cùng nhau trong

RH∞:

~ 1

~ 1

K

G G F

K L

Hai công thức (2.3) và (2.4) là nội dung tham số hoá bộ điều khiển theo định

lý Youla - Kucera

Trong th viện Polynomial, hàm stab() để tổng hợp bộ điều khiển theo Youla

cho đối tợng liên tục tuyến tính P Đối tợng P đợc biểu diễn dới dạng ma trận hàmtruyền:

) ( ) ( )

 (tích của hai ma trận nguyên tố phải)Lệnh

[X, Y, M ,N] = stab(F, G)

cho ta các ma trận X, Y, M, N trong công thức bộ điều khiển

T(s)Y(s) Q(s)N(s) 1 T(s)X(s) Q(s)M(s)

Trong đó, T(s) là ma trận ổn định và Q(s) là ma trận bất kỳ có kích thớc thíchhợp Công thức (2.5) và (2.6) là dạng khác của (2.3) và (2.4) khi ta chọn T(s) và Q(s)trong (2.5) và (2.6)

Ví dụ: Tham số hoá bộ điều khiển cho đối tợng dạng hàm truyền có đa thức

ClosedPol =

-2.6667 -2.2671 -1.0000 -0.3782

Ta thấy, bộ điều khiển Youla - Kucera tổng hợp trên đây đã ổn định đợc đốitợng P ban đầu

2.6 Tổ chức mô đun chuyên dụng tổng hợp bộ điều khiển bền vững theo

ph-ơng pháp phph-ơng trình đa thức

Xây dựng một mô đun cho phép tổng hợp bộ điều khiển bền vững trong cáctrờng hợp khác nhau là rất phức tạp Do vậy, mục này chỉ trình bày mô đun tổng hợp

bộ điều khiển tối u H∞

Bài toán tối u H∞ chuẩn đợc đặc trng bởi sơ đồ khối trên hình 2.2 Trên hình

vẽ, w là vec-tơ tín hiệu vào ngoại sinh, u là vec-tơ tín hiệu điều khiển, z là vec-tơ tín hiệu ra không đo đợc hoặc không kiểm soát đợc, y là vec-tơ tín hiệu ra đo lờng đợc.

Giả sử đối tợng đợc mô tả dới dạng ma trận hàm truyền

12 11

) (

S S

S S s S

Khi có bộ điều khiển R(s) thì hệ kín với tín hiệu vào w(t), tín hiệu ra z(t) đợc

mô tả bởi quan hệ

Z(s) = Gw->z(s)W(s)Trong đó ma trận hàm truyền của hệ kín (xem công thức 1.19):

22 12

11

) (s S S R I S R S

zy

Hình 2.2: Sơ đồ khối của bài toán tối u H∞ chuẩn

(1.20) trong bài toán chuẩn trình bày trong mục 1.2.1: ảnh hởng của vec-tơ tín hiệu

vào ngoại sinh w(t) tới những tín hiệu ra không kiểm soát đợc z(t) theo quan điểm

năng lợng là nhỏ nhất

Giải bài toán tối u H∞ là sự kết hợp giữa giải bài toán làm trùng mô hình đểtìm Qmin và bài toán tham số hoá bộ điều khiển theo Youla - Kucera để tìm R

2.6.1 Mô đun tổng hợp bộ điều khiển gần tối u (suboptimal)

Mô đun tổng hợp bộ điều khiển gần tối u H∞ đợc thiết kế cho đối tợng đợcmô tả dới dạng:

u

w B Ax x E

) ( ) (

s s d

s n s

với bộ lọc tạo hình

2

2 2 1 ) (

) ( ) (

s

s s s

d

s m s

W    

và các bộ lọc trọng số

PR