Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)

Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP

PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kếtquả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tácgiả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ côngtrình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Diệp

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của PGS TS Tạ Thị Hoài An và GS TSKH Hà Huy Khoái Lờiđầu tiên, tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tớiPGS TS Tạ Thị Hoài An, người Cô nghiêm khắc và mẫu mực, đã địnhhướng nghiên cứu, đặt bài toán và hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáotrong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án

Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và gửi lời cảm ơn sâu sắc tới

GS TSKH Hà Huy Khoái, người đã thường xuyên quan tâm, tạo mọiđiều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên, khích lệ tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin được cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Sau đạihọc, Ban Giám hiệu, các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh

đã tạo các điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mộtnghiên cứu sinh Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệptrong Khoa Toán, Tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tậptrung học tập và nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Viện Toán học, phòng

Lý thuyết số, phòng Đại số, các nhà khoa học của Viện Toán đã giúp đỡtác giả, tạo môi trường học tập cũng như tham gia các buổi sinh hoạtkhoa học của Viện để tác giả có thể hoàn thành luận án

Nhân dịp này tác giả xin cảm ơn đến TS Chu Trọng Thanh đã quantâm cũng như giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Xin cảm ơn các thầy cô, bạn bè về những trao đổi, chia sẻ trong công

việc cũng như trong cuộc sống Xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứusinh của Viện Toán, của Trường Đại học Vinh về những chia sẻ, độngviên trong quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin kính dâng luận án này đến hương hồn Bố, kínhtặng Mẹ, tặng em Ngọc Bảo Chính Mẹ và em đã chấp nhận mọi khó khăn

và dành hết tình thương yêu cho tác giả trong suốt những năm tháng qua

để tác giả có thể hoàn thành luận án này

Nghệ An, 2014

Nguyễn Thị Ngọc Diệp

MỤC LỤC

1.1 Đa tạp đại số 11

1.2 Cấu xạ giữa các đa tạp 13

1.3 Đường cong phẳng 15

1.4 Không gian Hyperbolic 18

2 Các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong trên trường số phức 20 2.1 Phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian 20 2.2 Một số bổ đề 22

2.3 Một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1 28

2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I 28

2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I 33

2.4 Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 34

iv

2.4.1 Bội giao 34

2.4.2 Phép biến đổi toàn phương 37

2.4.3 Điều kiện cần và đủ để đường congP (x) = Q(y) có thành

phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 39

Danh mục công trình của NCS liên quan đến luận án 80

MỘT SỐ KÝ HIỆU

C : Trường các số phức

k : Trường

An(k) : Không gian afin n chiều trên trường k

Pn(k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường k k[x1, , xn] : Vành đa thức n biến trên trường k

degf : Bậc của đa thức f

V (S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S

Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k Bàitoán tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình

P (f ) = Q(g) từ lâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học.Bên cạnh đó, bài toán về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân

tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k làmột trường số cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu Theo Định lýFaltings và Định lý Picard, hai bài toán này liên quan chặt chẽ với nhau.Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài toánnày đã được đưa ra bởi các công trình của J F Ritt [36], sau đó là A.Ehrenfeucht [19], H Davenport, D J Lewis và A Schinzel [16], M Fried[22], Khi Q = cP, C C Yang và P Li trong [44] đã giới thiệu khái niệm

đa thức duy nhất mạnh Cụ thể, đa thức P (x) trên trường đóng đại số k

được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi

hàm f, g ∈ F và hằng số c khác không nào đó mà P (f ) = cP (g) thì c = 1 và

f = g Cho đến nay bài toán tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duynhất mạnh đối với một họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trườnghợp phức cũng như trong trường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình,hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43])

Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mởrộng tự nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồntại nghiệm của phương trình P (x) = Q(y) Theo Định lý Picard, phươngtrình P (f ) = Q(g) không có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác hằng nếu

và chỉ nếu đường cong P (x) − Q(y) = 0 không chứa bất kỳ thành phần nào

có giống 0 hoặc 1 Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0

không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J F Ritt ([36]) và U

M Zannier ([46]) R M Avanzi và U M Zannier ([11]) đã đưa ra mộtđiều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống

1 Trong trường số phức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q

để phương trình P (x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hình khác hằngcũng được xem xét bởi các tác giả H H Khoái và C C Yang trong [31],

C C Yang và P Li trong [45] Gần đây, trong [7], T T H An và A.Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet Họ đã đưa

ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệulần đầu tiên bởi Fujimoto trong [24], và điều kiện cần và đủ khi degP =degQ.

Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không

có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở Đồngthời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trên trường các hàm hữu

tỷ là đề tài thời sự đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nướcquan tâm

Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên

cứu cho luận án của mình là: Phương trình đa thức trên trườngcác hàm hữu tỷ và ứng dụng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu

tỷ của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thờixem xét các điều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trườngđóng đại số

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ,hàm phân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đạisố

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình họcđại số, lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lýthuyết độ cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chínhquy kiểu Wronskian trên một đường cong đại số

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

6.1 Ý nghĩa khoa học

Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề khi nào phương trình đa thứchai biến trên trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hìnhkhác hằng

6.2 Ý nghĩa thực tiễn

Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, họcviên cao học và nghiên cứu sinh, giúp ích cho việc xây dựng những nhómnghiên cứu về giải tích phức, số học và hình học đại số

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Bài toán giải phương trình Diophant từ lâu đã luôn hấp dẫn các nhàtoán học Một trong những bài toán khó và nổi tiếng nhất là Bài toánFermat: không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y và z thoả mãn

x n + y n = z n, trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2 Bài toán Fermat

đã là bài toán mở trong suốt hơn ba thế kỷ vừa qua và cuối cùng nó

đã được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 Bên cạnh việc xemxét nghiệm nguyên của các phương trình Diophant ban đầu với các hệ

số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét các phươngtrình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức,trường các hàm phân hình không Acsimet, trường các hàm hữu tỷ

Cho phương trìnhP (x) = Q(y), trong đó P và Qlà các đa thức một biếntrên trường đóng đại số k Có hai vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên:Thứ nhất, tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phươngtrình P (f ) = Q(g)? Thứ hai, vấn đề về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y)

thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đathức này khi k là một trường số

Liên quan tới các hướng nghiên cứu này ta có những kết quả củaFaltings và Picard Khi k là trường số phức, Định lý Picard nói rằngphương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm là các hàm phân hình kháchằng f và g khi đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có các thành phần

Luậ n vậ n đậ y đu ở file:Luậ n vậ n Full