tóm tắt luận án phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

Trong trường sốphức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q để phương trình P x = Qy không có nghiệm hàm phân hình khác hằng cũng được xem xét bởi các tác giả H.. Mục đích nghiên cứ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Người hướng dẫn khoa học:

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng đánh giá luận án cấp Trường

họp tại Trường Đại học Vinh vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1 Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh

2 Thư viện quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số được nhiều nhà toán họcđặc biệt quan tâm là bài toán giải phương trình Diophant Ban đầu người tanghiên cứu nghiệm nguyên của những phương trình Diophant với các hệ số lànhững số nguyên Sau đó, việc xem xét nghiệm của các phương trình Diophantđược mở rộng trên tập các số hữu tỷ và trên trường các hàm như hàm phân hìnhphức, hàm phân hình không Acsimet, hàm hữu tỷ

Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k Bài toán tồntại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g) từlâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học Bên cạnh đó, bài toán

về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân tử bất khả quy và tính hữuhạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số cũng được nhiều nhàtoán học nghiên cứu Theo Định lý Faltings và Định lý Picard, hai bài toán nàyliên quan chặt chẽ với nhau

Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài toán này đãđược đưa ra bởi các công trình của J F Ritt, A Ehrenfeucht, H Davenport, D

J Lewis, A Schinzel, M Fried Khi Q = cP, C C Yang và P Li đã giới thiệukhái niệm đa thức duy nhất mạnh Cụ thể, đa thức P (x) trên trường đóng đại

số k được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi hàm

f, g ∈ F và hằng số c khác không nào đó mà P (f ) = cP (g) thì c = 1 và f = g Chođến nay bài toán tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duy nhất mạnh đối vớimột họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trường hợp phức cũng như trongtrường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình, hàm nguyên hay hàm hữu tỷ.Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mở rộng tự

nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm củaphương trìnhP (x) = Q(y) Theo Định lý Picard, phương trìnhP (f ) = Q(g)không cónghiệm hàm phân hình(f, g) khác hằng nếu và chỉ nếu đường cong P (x) − Q(y) = 0

không chứa bất kỳ thành phần nào có giống 0 hoặc 1 Một số điều kiện cần đểđường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J F.Ritt và U M Zannier R M Avanzi và U M Zannier đã đưa ra một điều kiệncần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 1 Trong trường sốphức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q để phương trình P (x) = Q(y)

không có nghiệm hàm phân hình khác hằng cũng được xem xét bởi các tác giả

H H Khoái, C C Yang, P Li Gần đây, T T H An và A Escassut đã xem xétvấn đề này trong trường không Acsimet Họ đã đưa ra điều kiện đủ khi P và Q

thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệu lần đầu tiên bởi Fujimoto, và điềukiện cần và đủ khi degP = degQ.

Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không có nhân

tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở Đồng thời, vấn đề xemxét phương trình P (x) = Q(y) trên trường các hàm hữu tỷ là đề tài thời sự đangđược nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm

Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứucho luận án của mình là: Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu

tỷ và ứng dụng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ củaphương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thời xem xét cácđiều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đạisố

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ, hàmphân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình học đại số,

lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lý thuyết độcao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskiantrên một đường cong đại số

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề khi nào phương trình đa thức hai biếntrên trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình khác hằng.Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên caohọc và nghiên cứu sinh, giúp ích cho việc xây dựng những nhóm nghiên cứu vềgiải tích phức, số học và hình học đại số

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Bài toán giải phương trình Diophant từ lâu đã luôn hấp dẫn các nhà toánhọc Một trong những bài toán khó và nổi tiếng nhất là Bài toán Fermat: khôngtồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y và z thoả mãn xn+ yn = zn, trong đó

n là một số nguyên lớn hơn 2 Bài toán Fermat đã là bài toán mở trong suốt hơn

ba thế kỷ vừa qua và cuối cùng nó đã được chứng minh bởi Andrew Wiles năm

1993 Bên cạnh việc xem xét nghiệm nguyên của các phương trình Diophant banđầu với các hệ số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét cácphương trình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức,trường các hàm phân hình không Acsimet, trường các hàm hữu tỷ

Cho phương trình P (x) = Q(y), trong đó P và Q là các đa thức một biến trêntrường đóng đại số k Có hai vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên: Thứ nhất,tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g)?Thứ hai, vấn đề về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân tử bất khảquy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số.Liên quan tới các hướng nghiên cứu này ta có những kết quả của Faltings vàPicard Khik là trường số phức, Định lý Picard nói rằng phương trình P (f ) = Q(g)

không có nghiệm là các hàm phân hình khác hằng f và g khi đường cong phẳng

P (x) = Q(y) không có các thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1. Tương tự,một định lý của Faltings nói rằng nếu đường cong phẳng P (x) = Q(y)không có cácthành phần bất khả quy có giống bé hơn 2, thì với mỗi trường số k mà trên đó P

và Q được xác định, phương trình P (x) = Q(y) chỉ có hữu hạn nghiệm k- hữu tỷ.Như vậy, thực chất hai vấn đề trong hai hướng nghiên cứu nêu trên có liên quanrất chặt chẽ với nhau

Cả hai hướng nghiên cứu này liên quan đến một vấn đề đã được nêu ra bởi

D Hilbert trong bài toán thứ 10 của ông tại Đại hội Toán học thế giới lần thứhai ở Paris năm 1900, đó là tồn tại hay không thuật toán tổng quát để giải cácphương trình Diophant? Câu trả lời phủ định được đưa ra bởi Yu Matijasievichnăm 1970 Như vậy, những vấn đề được các nhà toán học quan tâm là tìm điềukiện của các đa thức P và Q để phương trình P (x) = Q(y) có hữu hạn nghiệmnguyên, xem xét tính bất khả quy của đa thức P (x) − Q(y), đồng thời xem xét sựtồn tại nghiệm là các hàm khác hằng của phương trình P (x) = Q(y)

Những vấn đề này đã thu hút được nhiều tác giả nghiên cứu Khi bậc của P và

Q nguyên tố cùng nhau, theo tiêu chuẩn của Ehrenfeucht, đường cong P (x) − Q(y)

bất khả quy Trong một số trường hợp đặc biệt và với giả thiết P không phântích được (nghĩa là, P không thể viết được dưới dạng hợp thành của hai đa thức

có bậc lớn hơn 1), Tverberg đã xác định khi nào P (x) − P (y)

x − y có thể chứa nhân tửtuyến tính hoặc bậc hai Tương tự, Bilu đã xác định tất cả các cặp đa thức saocho P (x) − Q(y) chứa nhân tử bậc hai

Trong trường hợp đa thức Q = cP với ckhác 0, cho đến nay bài toán với phươngtrình hàm P (f ) = cP (g) đã được giải quyết trọn vẹn Trong trường hợp tổng quát,bài toán tìm điều kiện để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống

0 hoặc 1 vẫn còn nhiều vấn đề cần quan tâm J F Ritt và U M Zannier đã đưa

ra một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống

0 Sau đó, R M Avanzi, U M Zannier đã đưa ra một điều kiện cần để đườngcong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 1 Bằng cách sử dụng lý thuyết

kỳ dị và tính toán giống của các đường cong đại số dựa vào đa giác Newton, H

H Khoái và C C Yang đã đưa ra một số điều kiện đủ đối với các bậc của P và

Q Trong trường số phức, các điều kiện chi tiết hơn khi bậc của P và Q là 2, 3,

4 được xác định bởi C C Yang và P Li Với trường hợp trường số phức, R M.Avanzi và U M Zannier đã mô tả đường cong có dạng P (x) = P (y) có giống ítnhất bằng 1 Khi đa thức P thoả mãn Giả thiết I của Fujimoto (tức P là đơn ánhtrên tập các nghiệm của đạo hàm của P), các đặc trưng đầy đủ của đường cong

P (x) − cP (y) = 0 có tất cả các thành phần bất khả quy có giống ít nhất bằng 2được đưa ra, trong đó c là một hằng số phức khác 0 Năm 2008, T T H An và

A Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet Họ đã đưa rađiều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, và điều kiện cần và đủ khi P và

Q có cùng bậc Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường congkhông có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở

Để tiếp cận bài toán nêu trên, người ta thường sử dụng hai phương pháp chính.Phương pháp thứ nhất là dùng Lý thuyết phân bố giá trị của R Nevanlinna

để đánh giá hàm đặc trưng Phương pháp thứ hai là sử dụng các kết quả cổđiển của Lý thuyết số để nghiên cứu tính bất khả quy và giống của đường cong

P (x) − Q(y) Tuy nhiên cả hai phương pháp này đều có những mặt hạn chế Năm

2003, T T H An, J T Y Wang và P M Wong đã đưa ra một phương pháp tiếpcận mới, đó là xây dựng các 1-dạng chính quy không tầm thường Với phươngpháp này, các tác giả không cần quan tâm đến tính bất khả quy của đường cong,đồng thời việc ước lượng, tính toán cũng đơn giản hơn nhờ vào việc xem xét cácđiểm kỳ dị của đường cong đó

Tiếp tục sử dụng phương pháp nói trên của T T H An, J T Y Wang và P

M Wong, trong luận án này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ để đường congphẳng P (x) = Q(y) không có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1, trong đó

P và Q là các đa thức một biến trên trường số phức Khi hai đa thức thoả mãnGiả thiết I của Fujimoto và có bậc bằng nhau, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và

đủ để đường cong phẳng đó có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1

Khi k là trường đóng đại số bất kỳ có đặc số 0, C là đường cong trơn có giống

g trên k, và K là trường hàm của nó, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đối với P

và Q sao cho nếu f và g là các phần tử của K thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g),

thì các độ cao của f và g bị chặn trên Từ đó chúng tôi đưa ra điều kiện đối với

P, Q để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương

Chương 1, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản về đa tạp đại số, cấu

xạ giữa các đa tạp, đường cong phẳng, không gian hyperbolic, làm cơ sở cho việctrình bày các chương sau

Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các nhân tử bất khả quy có giống thấp củađường cong xác định bởi các đa thức biến tách trên trường số phức Cụ thể làchúng tôi trình bày một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy củađường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1; thiết lập điều kiện cần và đủ để đườngcong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1, với P và Q là các

đa thức một biến trên trường số phức; trình bày một số ứng dụng và ví dụ cụ thể

về sự tồn tại hoặc không tồn tại nghiệm hàm phân hình khác hằng của phươngtrình P (x) = Q(y)

Chương 3, chúng tôi trình bày những kết quả về độ cao của các hàm hữu tỷthoả mãn phương trình biến tách Cụ thể đó là các kết quả về chặn trên của độcao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q làcác đa thức một biến trên một trường đóng đại số có đặc số 0 Đồng thời, chúngtôi trình bày những điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷkhác hằng

Các kết quả trong luận án đã được đăng ở các tạp chí: International Journal

of Mathematics, Journal of Number Theory, Journal of Science Vinh university

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản dùng trongviệc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau, bao gồm bốn mục

Trong mục 1.1, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về đa tạp đại số.Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày về cấu xạ giữa các đa tạp Cụ thể là cáckhái niệm hàm đa thức, ánh xạ đa thức, cấu xạ giữa các đa tạp, ánh xạ hữu tỷ,ánh xạ song hữu tỷ giữa các đa tạp, các đa tạp tương đương song hữu tỷ

Trong mục 1.3, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về đường congphẳng: các thành phần của đa thức xác định đường cong phẳng, sự phân tíchđường cong phẳng thành các thành phần bất khả quy, sự thuần nhất hoá đa thứcxác định đường cong phẳng, điểm đơn, điểm kỳ dị của đường cong

Trong mục 1.4, chúng tôi trình bày ngắn gọn về không gian hyperbolic với cáckhái niệm không gian hyperbolic Kobayashi và không gian hyperbolic Brody

Giả sử F (z 0 , z 1 , z 2 ) là đa thức thuần nhất bậc n trên C và C là đường cong đại

số (có thể khả quy) trong P2 (C) xác định bởi F (z0, z1, z2)

C = {[z0, z1, z2] ∈ P2(C) | F (z 0 , z1, z2) = 0}.

Đặt

W (zi, zj) :=

zi zj

dzi dzj

azi+ bzj trong đó a, b ∈ C, 0 ≤ i, j ≤ 2 và i 6= j.

2.1.2 Định nghĩa. Giả sử C ⊂ P2(C) là một đường cong đại số 1-dạng ω trên C

được gọi là chính quy nếu nó là hạn chế của 1-dạng hữu tỷ trên P2 (C) sao chokhông có cực điểm nào của ω thuộc C 1-dạng được gọi là kiểu Wronskian nếu nó

2.2.1 Bổ đề. Giả sử C là đường cong xạ ảnh bậc n (có thể khả quy) trong P2 (C)

xác định bởi F (z 0 , z 1 , z 2 ) = 0 Giả sử tồn tại i 6= j 6= k ∈ {0, 1, 2} và hai 1-dạng kiểuWronskian

(3) Với i = 1, 2, ωi chính quy tại mọi điểm p ∈ S ∩ Si, trong đó S là tập các điểm

kỳ dị của C và Si là tập các không điểm của Si

Khi đó, mọi thành phần bất khả quy của đường cong C đều có giống ít nhất bằng2

2.2.2 Nhận xét. Giả sử F (z0, z1, z2) là đa thức thuần nhất bậc n của P (x) − Q(y) và

C là đường cong xác định bởi F (z 0 , z 1 , z 2 ) = 0 trong P2

(C) Rõ ràng, phương trình

P (x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hình khác hằng khi và chỉ khi đường cong

C là hyperbolic Brody, tức là không có ánh xạ chỉnh hình khác hằng từ C vào

C Theo Định lý Picard, điều này có nghĩa là mọi thành phần bất khả quy củađường cong đều có giống ít nhất bằng 2 Như vậy, nếu các giả thiết trong Bổ đề2.2.1 thoả mãn, thì phương trình P (x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hìnhkhác hằng

Trong suốt chương này, giả sử P và Q là các đa thức một biến trên trường sốphức C, có bậc tương ứng là n và m Ta ký hiệu các hệ số của P và Q như sau

P (x) = a0+ a1x + + an0−1 xn0 −1

+ an0xn0 + anxn, Q(y) = b0+ b1y + + bm0−1 ym0 −1

+ bm0ym0 + bmym, (2.5)

trong đó an, an0, bm0 và bm khác không

Ta ký hiệu α 1 , α 2 , , α l và β 1 , β 2 , , β h là các nghiệm phân biệt của P0(x) và

Q0(y), tương ứng Ký hiệu p1, p2, , pl và q1, q2, , qh là các bội của các nghiệmtrong P0(x) và Q0(y), tương ứng Khi đó, với a, b nào đó trong C,

Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết rằng n ≥ m.

Nếu một trong hai đa thức P hoặc Q là tuyến tính, chẳng hạn P (x) = ax + b,

Q là các đa thức không tuyến tính

Giả sử F (z0, z1, z2) là đa thức thuần nhất bậc n của P (x) − Q(y), và C là đườngcong xác định bởi F (z0, z1, z2) = 0 trong P2

Ký hiệu P0(z0, z2) và Q0(z1, z2) là các đa thức thuần nhất của các đa thức P0(x) và

Q0(y) tương ứng Khi đó,

Để phát biểu các kết quả được rõ ràng, ta cần các ký hiệu sau đây

Trong suốt chương này, giả sử P Q đa thức biến trường sốphức C,... ràng, phương trình

P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác đường cong

C hyperbolic Brody, tức khơng có ánh xạ chỉnh hình khác từ C vào... z2) đa thức đa thức P0(x)

Q0(y) tương ứng Khi đó,

Để phát biểu kết