Xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ cp từ trường số hữu tỉ q với chuẩn p ADIC

Giải tích p-adic có mặt trong nhiều ngành toán học, chẳng hạn như lý thuyết số và lý thuyết biểu diễn, và mặc dù đã được biết đến từ rất lâu, song vẫn cònkhá mới lạ đối với sinh viên.. V

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN

PHẠM QUỐC DŨNG

TỪ TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ Q VỚI CHUẨN P-ADIC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

VINH 2010

mới nhận được lại không đầy đủ, do đó, ta lại làm đầy đủ nó để nhận được

trường số phức p-adic C p Trường số phức p-adic Cp vừa đóng đại số, vừađầy đủ, và do đó quá trình tương tự như việc xây dựng trường đóng đại số, đầy

còn có rất nhiều câu hỏi chưa thể giải quyết được

Giải tích p-adic có mặt trong nhiều ngành toán học, chẳng hạn như lý thuyết

số và lý thuyết biểu diễn, và mặc dù đã được biết đến từ rất lâu, song vẫn cònkhá mới lạ đối với sinh viên

Với tất cả lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: xây dựng trường đóng đại số,

tập trung vào mục đích chính đó nên các kết quả tổng quát trên lý thuyết trường

và không gian định chuẩn chỉ nêu ra để áp dụng chứ không chứng minh

Khoá luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn ThànhQuang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đếnthầy giáo hướng dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và

các thầy cô giáo trong khoa Toán và tất cả các thầy cô giáo đã trực tiếp giảngdạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập của mình

Mặc dù đã hết sức cố gắng song khoá luận không thể tránh khỏi những thiếusót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp của các thầy cô giáo vàcác bạn

Vinh, ngày 05 tháng 5 năm 2010

Tác giả

Phạm Quốc Dũng

CHƯƠNG 1

1.1 Các chuẩn trên trường số hữu tỉ Q1.1.1 Chuẩn trên một trường.

Cho một trường F, một chuẩn trên trường F là một ánh xạ, kí hiệu || ||, từ F

đến tập các số thực không âm sao cho với mọi x,y thuộc F ta có:

ii) ||x.y|| = ||x||.||y||,

iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối thông thường | | là một chuẩn trên trường số hữu tỉ

Q, trường số thực R và trường số phức C

Cho p là một số nguyên tố Từ đây trở về sau, ta luôn hiểu p là mô ̣t sốnguyên tố cho trước

1.1.2 Định nghĩa Cho a là một số nguyên khác 0 bất kì, ta nói chỉ số p-adic

của a, kí hiệu là ord p a, là số tự nhiên m lớn nhất thoả mãn a ≡ 0 (mod pm)

Chú ý Với a, b là các số nguyên ta có:

Chứng minh Giả sử: ord p a = m và ord pb = n Ta có a = pmA và b = pn B, với

Giả sử m ≥ n, ta có:

1.1.3 Định nghĩa Cho x = b a là số hữu tỉ bất kì, ta định nghĩa:

vào x chứ không phụ thuộc vào a và b

0 ,

x khi

x khi

p ord p x

là một chuẩn trên Q.

Chứng minh Rõ ràng ta có |x| p ≥ 0, với mọi x∈Q và |x| p = 0 ⇔ x = 0

Nếu x, y ≠ 0 thì xy ≠ 0, ta có:

|xy| p= p−ord p ( xy) = p−ord p x−ord p y = p−ord p xp−ord p y = |x|p |y|p

Bây giờ ta chứng minh tính chất iii)

Nếu x = 0 hoặc y = 0 hoặc x + y = 0 thì iii) đúng

d c

, khi đó ta có:

ordp (x + y) = ord p(ad + bc) - ord p b - ordpd

= min(ordp x, ordp y)

Do đó,

|x + y|p = p−ord p(x+y) ≤ max(p−ord p x, p−ord p y)

= max(|x| p , |y|p )

≤ |x| p+ |y| p

1.1.5 Định nghĩa Một chuẩn || || trên trường K được gọi là chuẩn

không-Acsimet nếu ||x + y|| ≤ max(||x||, ||y||) luôn đúng với mọi x, y∈K Một mêtric d

trên K được gọi là mêtric không-Acsimet nếu d(x, y) ≤ max(d(x,z), d(z, y)), với

không-Acsimet

Một chuẩn (tương ứng, mêtric) không phải là không-Acsimet thì được gọi là

Acsimet.

thường, | |, là một chuẩn Acsimet trên Q

Tiếp theo ta nêu ra hai tính chất đơn giản của chuẩn không-Acsimet thườngđược áp dụng trong khoá luận

1.1.6 Tính chất 1: Nếu || || là một chuẩn không-Acsimet trên trường F, thì

1

≤

n với mọi số nguyên n, ở đây n = n.1F

1.1.7 Tính chất 2: Cho F là một trường với chuẩn không-Acsimet || ||, x,y là

hai phần tử bất kì của F Giả sử ||x|| < ||y||, khi đó ||y – x|| ≤ max(||x||, |y||) = ||y||.Mặt khác ta có ||y|| = ||x + y - x|| ≤ max(||x||, ||y – x||), vì ||y|| > ||x|| nên ||y|| ≤ ||y -x|| Do đó ta có ||y|| = ||y – x||

Đẳng thức ||x – y|| = max(||x||, ||y||) xảy ra khi ||x|| ≠ ||y|| được gọi là “nguyên lí

tam giác cân”.

1.1.8 Bổ đề: Cho 1 và 2 là hai chuẩn trên trường F Khi đó 1~ 2 khi

và chỉ khi tồn tại một số thực dương α thoả mãn: ( )α

2

1 x

x = , với mọi x∈F.

Ta gọi chuẩn thoả mãn ||0|| = 0 và ||x|| = 1 với mọi x ≠ 0 là chuẩn tầm thường

p)

1

được một chuẩn không-Acsimet tương đương Ta cũng có một họ các chuẩn

Cụ thể ta có định lí sau:

1.1.9 Định lí (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường || || trên Q thì tương

đương với | | p với p là một số nguyên tố nào đó hoặc p = ∞.

Chứng minh Trường hợp 1: Giả sử tồn tại một số nguyên dương n sao cho

1

>

a n a a

0 2 0 1

a n a a

0 2 0 1

0 + + + +

≤

s n a n

a n a

0 2 0 1

n s+ = + s+ − ≤ + s+ 1 −

0 1

0 1

n ≥ s+ − s+ − ≥ s+ − s+ 1 −

0 ) 1 ( 0 1

0 1

0 1

0

1 0

1 1 1

n

n s

≥C' nα,

Trường hợp 2: Giả sử rằng n ≤ 1 với mọi số nguyên dương n Gọi n0 là số n

tầm thường

n0 phải là một số nguyên tố, vì nếu n0 = n1n2 với n1, n2 < n0 thì

1

2

1 = n =

N M

N M

1 2

1

1 ≤ p M + q N < + = ,mâu thuẫn

Với số nguyên dương bất kì a ta có phân tích ra thừa số nguyên tố:

r

b r b

b p p p

a 1 2

2 1

Khi đó:

r

b r b b

p p

p

a 1 2

2 1

a ord p

1.2 Trường số p-adic

Ta thường áp dụng hai bổ đề sau:

Bổ đề 1 Cho {a n } và {b n } là hai dãy số thực thoả mãn: a n → 0 và b n → 0 khi n→ ∞ Khi đó max(a n , b n )→ 0 khi n→∞.

Chứng minh Đặt c n= max(an , bn ), với mọi n Ta có:

Bổ đề 2 Cho a n , b n ,c n là ba dãy số thực hội tụ thoả mãn: a n ≤ max(b n , c n ), với mọi n Khi đó lim n→ ∞a n ≤ max( lim n→ ∞b n , lim n→ ∞c n ).

Chứng minh Giả sử lim n→ ∞an > max( limn→ ∞bn , limn→ ∞cn), khi đó ta có:

thuẫn.□

1.2.1 Định lí Trường số hữu tỉ Q là không đầy đủ với chuẩn | | p

Chứng minh Ta dùng hai kết quả sau đây trong giải tích hàm:

Định lí 1 Nếu không gian mêtric X thuộc phạm trù thứ hai và nếu X được biểu

thì tồn tại một chỉ số n0 sao cho tập hợp M n0 chứa một hình cầu nào đó.

Định lí 2 Nếu X là không gian mêtric đầy đủ thì X thuộc phạm trù thứ hai.

Chú ý rằng Định lí 1 được biết đến là Định lí Bare về phạm trù.

Bây giờ, giả sử Q là đầy đủ với chuẩn p-adic, khi đó Q thuộc phạm trù thứ hai.Mặt khác Q có biểu diễn:

r

p1m <

Vậy, Q là không đầy đủ với chuẩn p-adic

Định lí được chứng minh.□

nhận được trường mới đầy đủ, như cách ta đã làm từ Q để nhận được trường sốthực R với chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường

∞

1.2.2 Mệnh đề ~ là một quan hệ tương đương trên S.

Chứng minh Rõ ràng {a i } ~ {ai} vì |ai - ai |p = 0, với mọi i

Do đó limi→ ∞|ai - ci | p≤ max(limi→ ∞|ai - bi |p , limi→ ∞|bi - ci |p ) Điều

Vậy ~ là một quan hệ tương trên S.□

1.2.3 Bổ đề Nếu {a i }, i = 1,2,… là một dãy Cauchy trong Q thì giới hạn

lim i→ ∞|a i | p , luôn tồn tại và hữu hạn.

Chứng minh Nếu lim i→ ∞|ai |p = 0, thì bổ đề là hiển nhiên

1.2.4 Phép cộng trong Q p .

0 ≤ |am + bm - an - bn |p

Ta định nghĩa tổng của a và b, kí hiệu a + b, là lớp tương đương với phần tử đại

Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện vì nếu

các số hạng đều bằng 0 Rõ ràng 0 là phần tử trung hoà đối với phép cộng đượcđịnh nghĩa như trên

1.2.5 Phần tử đối trong Qp .

Cho a∈Q p có phần tử đại diện là dãy Cauchy {ai } Khi đó {-ai } cũng làdãy Cauchy vì:

0 ≤ |am.bm - an bn| p

= |am.bm - am.bn + am.bn - an bn |p

→∞

Ta định nghĩa tích của a và b, kí hiệu a.b, là lớp tương đương với phần tử đại

gồm các số hạng đều bằng 1 Rõ ràng 1 là phần tử đơn vị đối với phép nhânđịnh nghĩa như trên

1.2.7 Phần tử nghịch đảo trong Qp .

định nghĩa như sau:

0 ,'

' '

i

i i

i i

i

a khi p a

a khi a a

0 ,0

' '

i i

i

a khi p

số hạng của dãy đó đều khác 0

i

a

1

} cũng là một dãy Cauchyvì:

p n m

n m p n

a a a

1 1

p n p m

p n m

a a

a a

đại diện là dãy Cauchy {

1.2.9 Chuẩn trên Q p.

|a|p= limi→ ∞|ai|p

Theo bổ đề 2.3 thì giới hạn limi→ ∞|ai | p là tồn tại và hữu hạn Mặt khác, nếu

1.2.10 Mệnh đề | | p được định nghĩa như trên là một chuẩn không-Acsimet trên Q p

Chứng minh Với a∈Q p có phần tử đại diện là {ai } Khi đó rõ ràng:

|a|p = limi→ ∞|ai |p ≥ 0,

|a|p= 0 ⇔ limi→ ∞|ai |p = 0 ⇔a = 0

limi→ ∞|ai +bi | p ≤ max(limi→ ∞|ai |p ,limi→ ∞|bi |p )

1.2.11 Định nghĩa Cho a∈Qp , a ≠ 0, khi đó:

Nhận xét Trong quá trình làm đầy đủ Q với chuẩn là giá trị tuyệt đối thông

thường để nhận được R thì các giá trị có thể của | | được mở rộng để bao gồm

tất cả các số thực không âm Nhưng trong quá trình từ Q đến Q p , các giá trị có

1.2.12 Định lí Q p là đầy đủ với chuẩn | | p

Chứng minh Gọi {a j } là một dãy Cauchy bất kì trong Q p và aj có dãy

Do đó: lim j,j' ,i→ ∞|a ji-a j ' i| p = 0

|a ji| p = |a jN j |p , với mọi i ≥ N j

limi ,i' → ∞|a ji-a ji'|p = 0, với mọi j = 1, 2,…

|a ji-aiN i| p = |a ji-a jN i + a jN i -aiN i|p

≤ max( |aji-a jN i | p, |a jN i -aiN i|p )

Khi đó:

limj→ ∞|aj -a| p = lim j , i→ ∞|a ji-aiN i| p

≤ max( lim j , i→ ∞|aji-a jN i | p, lim j , i→ ∞|ajN i -aiN i| p) =0

Vậy, mọi dãy Cauchy trong Qp đều hội tụ, hay Q p là đầy đủ.□

1.3 Khai triển p-adic và bổ đề Hensel

1.3.1 Định lí Mỗi lớp tương đương a thuộc Q p với |a| p ≤ 1 có duy nhất một dãy Cauchy đại diện có dạng {a i } trong đó:

i) 0 ≤ a i < p i , với i = 1,2,…

ii) a i ≡ a i+ 1 (mod p i ), với i = 1,2,…

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh tính duy nhất Nếu {a'

p a

i }

mãn i) và ii) Để làm điều này ta cần bổ đề sau:

1.3.2 Bổ đề Nếu x∈Q và x p ≤ 1, khi đó với mọi i đều tồn tại α ∈Z sao cho :

i

x ≤ −

−

α Số nguyên α có thể được chọn trong tập {0, 1, , p i -1}.

Chứng minh bổ đề Giả sử x = b a được viết dưới dạng tối giản Do x p ≤ 1 nên

i i p p i p p

p p

p

n np mb

mb b

a b

a am

i b p

b − ' ≤ −

, khi i, i' ≥ N(j) ( ta có thể lấy dãy N(j) tăng ngặt với chỉ số

b b

b i p max i' p, i i' p max i' p,1 ,

p j N

1 ,

1 max  1 =

Khẳng định thứ hai được chứng minh như sau:

Cho trước j bất kì, với i ≥ N(j) ta có:

p i j N j N j j i p i

≤ max(a i −a j p,a j −b N(j) p,b i −b N j) p)

p j p j p j p j

1 1 ,

1 ,

1 max  =

Định lí được chứng minh.□

ip−m

1 1 2

2 1 0

−

+ + +

i b b p b p b p b p

a = + + + + − +

− +

1 1 2

2 1 0 '

2 1

−

i i i

i p b p b

p b p b b a

1 1

=b p− b p− + b b + p

Trước hết, đây chỉ là biểu diễn mang tính hình thức Biểu thức bên phải cho

trên được gọi là "khai triển p-adic" của a

Giống như trong trường hợp số thực, ta có định nghĩa tương tự cho chuỗi sốp-adic Dễ dàng chứng minh được một chuỗi vô hạn các số p-adic hội tụ khi vàchỉ khi số hạng tổng quát của nó dần đến 0 Do đó đẳng thức trên có thể hiểutheo nghĩa là giới hạn của một chuỗi hội tụ

Chú ý rằng khẳng định duy nhất trong Định lí 2.5.1 là điều mà ta không cóđược trong trường hợp Acsimet Chẳng hạn trong trường hợp chuẩn là giá trịtuyệt đối thông thường thì 1 còn có thể biểu diễn là 0.99999 Tuy nhiên nếu

hai khai triển p-adic cùng biểu diễn một số p-adic thì chúng phải giống nhau,nghĩa là các chữ số của chúng phải giống nhau.

Như vậy, để làm các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, thay vì làm trên “cáclớp tương”, ta sẽ làm trên các “khai triển p-adic” Việc tính toán là dễ dàng vàrất giống với các phép toán thông thường trên hệ thập phân, chỉ khác là ở đây tathực hiện trên cơ số p và tính toán từ trái sang phải

−m i

trong khai triển p-adic của nó không có các luỹ thừa của p với số mũ âm Mỗi

1 ,

p p p

y x xy

y x y

x

Nếu coi mỗi số nguyên thông thường là một số p-adic (dưới sự đồng nhất

và được gọi là một “đơn vị p-adic”

1.3.5 Quan hệ đồng dư.

trên vành các số nguyên thông thường

1.3.6 Mệnh đề.Quan hệ đồng dư trên là một quan hệ tương đương.

a≡ b ( mod p n ) ⇔ ac≡ bc ( mod p n ).

Chứng minh Ta có:

p p

1.3.12 Tính chất 5 Cho a, b∈Q p và a≡b ( mod p n ) Khi đó:

ap k ≡ bp k ( mod p n+k ),với mọi số nguyên k.

Chứng minh Ta có:

p k p p

Chứng minh Dựa vào tính chất 1, tính chất 2, và hệ quả của tính chất 4 ta dễ

dàng suy ra điều phải chứng minh.□

1.3.14 Hệ quả Cho f(x) = c0 +c1x+ +c k x k là đa thức với hệ số nguyên adic a, b là các số nguyên p-adic thoả mãn: a≡ b ( mod p n ).Khi đó:

p-a) nếu f(p-a) ≡ 0 (mod p n ) thì f(b) ≡ 0 (mod p n ),

b) nếu f(a) 0 (mod p n ) thì f(b) 0 (mod p n ).

+

n n n

n p a p a

p a a

1 1

−

+ +

n p a p

a

.

1 1 0

n p n

n n n p

p p

a p a b

⇔x ≡ x0 ( mod pn )

1.3.16 Định lí (Bổ đề Hensel) Cho f(x) = c0+c1x+…+c m x m là một đa thức với hệ số là các số nguyên p-adic f’(x) = c1+ 2c2x+…+mc m x m− 1 là đạo hàm của f(x) a là một số nguyên p-adic thoả mãn: f( a ) ≡ 0 (mod p) và f’( a ) 0 (mod p) Khi đó tồn tại duy nhất một số nguyên p-adic a thoả mãn: f(a) = 0 và

a ≡ a (mod p).

Chứng minh Vì f(x)∈Zp [x] và a∈Zp nên f(a)∈Zp và f'(a)∈Zp Mặt

p

như vậy là tồn tại vì, chẳng hạn, ta lấy nó là chữ số đầu tiên trong khai triển

∑ 0 + 1

≡∑ ( + − 1)

0 1 0

i i

Mặt khác, vì a0 ≡ a (mod p) nên f(a0) ≡ f(a) ≡ 0 (mod p) Do đó tồn tại

∈

Khi đó:

⇔ α + f'( )a0 b1 ≡ 0 (mod p) (**)

n n

i a b p c

i n

n n

i n

i n

n f a b p a

n f a b p a

Khi đó:

n n

n f a b p p

⇔ β + f'( )a n−1 b n ≡ 0 (mod p) (***)

p

Vậy, tồn tại duy nhất dãy các số nguyên {an }n= 1 , 2 , thoả mãn (1), (2), và (3).

2 1

0 +a p+a p +

= 0

và giả sử a có khai triển p-adic là:

2 1

Định lí được chứng minh xong.□

CHƯƠNG 2 TRƯỜNG SỐ PHỨC P-ADIC Cp

2.1 Bao đóng đại số của Qp

Trong phần này ta sẽ sử dụng một số các khái niệm và kết quả của lí thuyết

mở rộng trường và không gian định chuẩn Các kết quả tổng quát sẽ được áp

2.1.1 Định lí Q p là trường không đóng đại số.

Chứng minh Ta sẽ chỉ ra một phương trình đại số trong Q p mà không có

2.1.2 Định nghĩa Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường F.

âm thoả mãn:

Rõ ràng nếu K là một trường mở rộng hữu hạn của F thì chuẩn trên trường Kcũng là chuẩn trên F-không gian véctơ K Tuy nhiên, điều ngược lại khôngđúng, chuẩn trên F-không gian véctơ K chưa hẳn đã là chuẩn trên trường K

2.1.3 Bổ đề Cho F là một trường với chuẩn || || Gọi V là một không gian véctơ

hữu hạn chiều trên F với cơ sở {v1,…,v n } Khi đó

||a1v1+…+a n v n ||sup def= max0 ≤i≤n (||a i ||)

là một chuẩn trên V, gọi là chuẩn-sup Nếu F là compact địa phương thì V là compact địa phương với chuẩn || ||sup .

2.1.4 Bổ đề Nếu một không gian véctơ với chuẩn || || V là compact địa phương thì hình cầu đơn vị {x | ||x|| V = 1} là compact.

Sử dụng hai bổ đề đó ta chứng minh được định lí sau

2.1.5 Định lí Nếu V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường

compact địa phương F, thì mọi chuẩn trên V là tương đương.

2.1.6 Hệ quả Nếu K là một mở rộng hữu hạn của F, và F là compact địa

phương thì có nhiều nhất một chuẩn trường || || K của K mở rộng chuẩn || || trên

F (nghĩa là thoả mãn: ||a|| K = ||a||, với mọi a∈F).

2.1.7 Chuẩn của phần tử Cho K = F(α) là một mở rộng hữu hạn của trường F

sinh bởi phần tử α có đa thức tối tiểu trên F là:

đây là tương đương:

(1) Xét K như là một không gian véctơ n chiều trên F, khi đó phép nhân với α là

i

1

trên F

(2) NK / F(β) = (NF( β ) /F(β))[K:F( β )]

tính, nghĩa là:

Điều này có thể giải thích ngắn gọn như sau: hợp thành của hai ánh xạ tuyếntính là một ánh xạ tuyến tính có ma trận là tích của các ma trận của các ánh xạtuyến tính thành phần, và định thức của tích các ma trận bằng tích các định thứccủa từng ma trận.

2.1.8 Bổ đề Q p với chuẩn p-adic là không gian compact địa phương.

Chứng minh Với mọi x∈Q p, đặt:

= {x + z | |z| p ≤ 1}

= {y | |y-x|p ≤ 1}

Rõ ràng U là một lân cận của x Ta chỉ cần chứng minh U là compact