Tập con lồi trong không gian r

Tập lồi trong không gian tuyến tính đã đợc nghiên cứu bởi các tác giả C.. Trình bày một số kiến thức có liên quan, các định lý đợc sử dụng về sau đều đợc tác giả chứng minh chi tiết.. g

Lời nói đầu

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết các bài toán cực trị và các ngành toán học ứng dụng có sử dụng công cụ giải tích và không gian tuyến tính Sinh viên các trờng đại học (Khối KHTN), đặc biệt là sinh viên ngành toán đều đợc trang bị kiến thức về tôpô - nền tảng của lý thuyết giải tích hiện đại trong đó có giải tích lồi

Tuy nhiên, do chơng trình đào tạo nên sinh viên đợc nghiên cứu về lý thuyết giải tích lồi là rất ít Khoá luận này là một phần nguyện vọng của tác giả muốn tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết giải tích lồi, trên cơ sở kiến thức tôpô đã đợc tiếp thu qua các bài giảng

Tập lồi trong không gian tuyến tính đã đợc nghiên cứu bởi các tác giả C Caratheodory, L.Klee, Helly, Đỗ Văn Lu và Phan Huy Khải Tuy nhiên khoá luận làm rõ hơn các tính chất của tập lồi và mối quan hệ giữa các tập lồi trong không gian Euclide n - chiều Với quan điểm tập dợt nghiên cứu khoa học, các vấn đề mang tính chất chuẩn bị nội dung tác giả chỉ giới thiệu mà bỏ qua các chứng minh chi tiết các định lý

Khoá luận đợc chia thành 3 chơng

Chơng I Trình bày một số kiến thức có liên quan, các định lý đợc sử

dụng về sau đều đợc tác giả chứng minh chi tiết Chơng này bao gồm

- Đại số tuyến tính và tôpô

- Một số khái niệm về giải tích lồi

Chơng II Trình bày các vấn đề chính của khoá luận gồm hai tiết nội

dung

- Một số định lý kinh điển

Trong tiết này, tác giả trình bày nộidung và chứng minh chi tiết một số kết quả nổi tiếng của các nhà toán học nh: C Caratheodory, Radon, Helly, Blaschke Trên cơ sở những hiểu biết về tính compăct và định lý Helly, tác…

giả phát hiện ra một kết quả tơng tự nh định lý Helly đối với họ tuỳ ý các tập lồi compact khác rỗng.

- Phần trong tơng đối

Tiết này, tác giả đã chứng minh một số kết quả nh: Phần trong tơng đối của một tập lồi là một tập lồi Các khái niệm về thể lồi, thể lồi đại số, mối quan

hệ giữa chúng với chiều của một tập lồi trong không gian Euclide n - chiều

Chơng III Trình bày một số bài tập áp dụng nh ví dụ 4, ví dụ 5, ví dụ 6,

ví dụ 7, ví dụ 8

Khoá luận đợc hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh Nhân dịp này, tác giả xin đợc tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích - Khoa Toán - Tr-ờng Đại học Vinh Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo TS Tạ Khắc

C, ngời đã hớng dẫn tận tình tác giả trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khoá luận Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã nhận đợc nhiều sự đóng góp của tập thể lớp 41B - Toán cũng nh các bạn sinh viên khác

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh, ngày tháng năm 2004

Tác giả

Chơng I kiến thức chuẩn bị

Giả sử x = (x1, x2, , x… n), y = (y1, y2, , y… n) ∈ Rn và α ∈ R thì các phép cộng vectơ và nhân vô hớng

Rn với tích vô hớng đợc cho nh công thức (*) ta gọi là không gian Euclide n - chiều và ký hiệu là En

y

,

x

x = Nếu giá trị x = 1, thì x đợc gọi là vectơ đơn vị

1.1.3 Định lý Với mọi x, y ∈ En, và với mọi α∈ R, ta có:

1.1.5.Định nghĩa Với mọi điểm x ∈ En và δ > 0, ta gọi hình cầu mở tâm x bán kính δ là tập hợp

- Hình cầu mở, toàn bộ không gian En và tập ∅ là mở

- Hợp của một họ bất kỳ các tập mở là mở

- Giao của một họ hữu hạn các tập mở là mở

1.1.9 Định nghĩa Một tập S đợc gọi là đóng nếu phần bù của nó CS =

En \ S = { x ∈ En : x ∉ S} là mở Dễ dàng nhận thấy:

- Tất cả các tập hữu hạn điểm của En, toàn bộ không gian En và tập ∅ là

đóng

- Giao của một họ bất kỳ các tập đóng là đóng

- Hợp của một họ hữu hạn bất kỳ các tập đóng là đóng

1.1.10 Định nghĩa Phần trong của một tập S là hợp của tất cả các tập mở đợc

chứa trong S và đợc ký hiệu là int S

- Bao đóng của một tập S là giao của tất cả các tập đóng chứa S và đợc ký hiệu là S

1.1.11 Nhận xét 1) int S là mở và là tập mở lớn nhất nằm trong S.

2) S là đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa S

1.1.12 Định nghĩa Một hàm f : En → Em đợc gọi là liên tục trên En nếu với U

là một tập mở bất kỳ trong Em, thì f-1(U) là tập mở trong En

Ta có thể phát biểu định nghĩa tính liên tục của hàm f bằng các cách khác

nh sau:

1) Hàm f liên tục theo ngôn ngữ “ε - δ” Hàm f : En → Em đợc gọi là liên tục tại điểm x ∈ En nếu với mỗi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho f(B(x, δ) ⊂

B(f(x), ε)

Nếu f liên tục tại mọi điểm của tập A thì ta nói f liên tục trên A

2) Hàm f liên tục theo ngôn ngữ dãy Hàm f ; En → Em đợc gọi là liên tục trên En nếu và chỉ nếu với mọi dãy {xk} ⊂ En hội tụ tới điểm x ∈ En thì dãy {f(xk)} hội tụ tới f(x) ∈ Em

1.1.13 Định lý Mỗi hàm sau đây là liên tục

Chứng minh a) Cho trớc ε > 0, giả sử δ = 2ε

Nếu (x0, y0) ∈ En x En, thì mọi (x, y) ∈ En x En với d[(x, y); (x0, y0)] < δ,

ta có:

( ) ( ) ( ) { [ ( ) ] [ ( ) ]2}12

0

2 0 0

0,y d x,x d y,yx

;y,x

Do đó d(x, x0) < δ và d(y, y0) < δ Từ đó suy ra rằng

d(x + y, x0 + y0) ≤ d(x + y, x + y0) + d(x + y0, x0 + y)

= d(y, y0) + d(x, x0) < δ + δ = ε

Nh vậy, nếu (x, y) ∈ B[(x0, y0), δ] thì f(x, y) ∈ B(f(x0, y0), ε) và do đó f liên tục tại (x0, y0) Do (x0, y0) là một điểm tuỳ ý trong En x En nên f liên tục trên

En x En

b) Suy ra từ (a)

c) Giả sử ε > 0 và x ∈ En Nếu λ≠ 0, ta lấy δ = λε

Khi đó với mỗi y ∈ En sao cho d(x, y) < δ, ta có:

d(fλ(x), fλ(y)) = d(λx, λy) = |λ|d(x, y) < |λ| λε= ε

Nếu λ = 0 thì d(fλ(x), fλ(y)) = d(θ, θ) = 0 < ε với mọi δ > 0

Vậy fλliên tục tại x ∈ En Vì x là bất kỳ nên f liên tục trên En

d) Suy từ (c) và (a)

1.1.14 Định nghĩa Nếu A, B ⊂ En và λ∈ R, ta định nghĩa:

A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}

λA = {λx : x ∈ A}

Nếu A chỉ gồm một điểm, A = {x} thì ta viết x + B thay cho A + B Tập

x + B đợc gọi là một dịch chuyển của B

Tập λA đợc gọi là tích vô hớng của A với λ

1.1.15 Định nghĩa Biên của một tập A, ký hiệu là bdA đợc xác định bởi bdA

1.1.17 Nhận xét Tập S ⊂ En bị chặn khi và chỉ khi S hoàn toàn bị chặn

1.1.18 Định nghĩa Một tập con A của En đợc gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn

1.1.19 Định nghĩa Giả sử A là một tập hợp trong không gian En

Họ B = {Bα : α ∈ I} (I là tập chỉ số) những tập hợp Bα ⊂ En đợc gọi là một cái phu của A nếu A ⊂ 

I

B

∈

α α.Ngoài ra:

- Nếu tập I chỉ gồm một số hữu hạn chỉ số, thì B gọi là một phủ hữu hạn của A

- Nếu tất cả Bα∈B đều là tập mở, thì B gọi là một phủ mở của A

- Nếu một họ con B’ của B (tức là B’ = {Bα : α∈ J ⊂ I}) cũng là một cái phủ A, thì B’ gọi là một phủ con của B

1.1.20 Định lý (Heine Borel).– Để một tập con S của En là compact, điều kiện cần và đủ là với mọi phủ mở B của S tồn tại một phủ con hữu hạn

Chứng minh Xem [1]

1.1.21 Hệ quả Nếu A ⊂ En là tập compact và f : En → Em là hàm liên tục, thì f(A) là tập compact

Chứng minh Giả sử A là tập compact và f là hàm liên tục Gọi B ={Bα: α ∈ I}

là một phủ mở của f(A) Khi đó, do f liên tục nên f – 1(Bα) mở với mọi α∈ I

Do dó {f-1(Bα); α ∈ I}là một phủ mở của A, và A compact nên tồn tại họ con hữu hạn {f-1 ( )Bαi i = 1 , k} phủ A

Khi đó { ( )Bαi i=1,k} phủ f(A) Theo định lý 1.20, suy ra f(A) là tập compact

Đ2 Một số khái niệm về giải tích lồi

1.2.1 Định nghĩa Giả sử x, y là các điểm thuộc En, ta gọi đoạn thẳng [x, y] nối

x và y là tập hợp tất cả các điểm có dạng λx + (1 - λ)y, ở đây 0 ≤λ≤ 1 Nếu x ≠

y, phần trong x , y của đoạn [x, y] là tập có dạng {λx + (1 -

1.2.3 Định nghĩa Một dịch chuyển của một không gian con tuyến tính của En

đợc gọi là một phẳng Chiều của một phẳng là chiều của không gian con tơng ứng Chiều của một tập S là chiều của phẳng nhỏ nhất chứa nó và ký hiệu là dim

S Một phẳng có chiều bằng 1 đợc gọi là một đờng thẳng Một phẳng có chiều bằng (n – 1) đợc gọi là một siêu phẳng

Một siêu phẳng trong En là một tập con của En có dạng {x ∈ En|(a/x) = β}, ở

đây a ∈ En, a ≠ θ, β ∈ R và (a/x) = α1ξ1 + α2ξ2 + + … αnξ là tích vô hớng của các vectơ a = (α1, α2, , … αn ) và x = (ξ1, ξ2, , … ξn)

1.2.4 Định nghĩa Một tập S đợc gọi là một tập affine nếu x, y ∈ S thì λx + (1 - λ)y ∈ S với mọi λ∈ R

1.2.5 Định lý Một tập S là tập affine khi và chỉ khi S là một phẳng.

Chứng minh Giả sử S là tập affine và x là một điểm cố định bất kỳ thuộc S

Đặt U = -x + S và do đó S = x + U Ta chỉ ra rằng U là không gian con của En

Thật vậy, giả sử u1, u2 là các phần tử của U Khi đó tồn tại s1 và s2 thuộc S sao cho u1 = - x + s1 và u2 = - x + s2

Nh vậy với mọi số thực λ, ta có

u1 + λu2 = (- x + s1) + λ(- x + s2) = - x + λ 1 s 2 x (1 )s 1

2

1 s 2

Vậy U là một không gian con của En và S = x + U là một phẳng

Ngợc lại, giả sử rằng S = x + U với x nào đó thuộc En và một không gian con U nào đó Giả sử s1, s2 là các phần tử của S Khi đó tồn tại u1và u2 thuộc U sao cho: s1 = x + u1 và s2 = x + u2 Vậy với mỗi số λ, ta có:

Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện cần bằng

phơng pháp qui nạp Khi m = 2, khẳng định là đúng vì theo giả thiết S là tập lồi nên từ định nghĩa tập lồi ta có x = λx1 + (1 - λ)x2∈ S trong đó:

λ≥ o, x1, x2 ∈ S

Giả sử khẳng định đúng cho mọi tổ hợp lồi gồm k điểm ta sẽ chứng minh

đúng cho mọi tổ hợp lồi gồm k + 1 điểm

Thật vậy, giả sử x = λ1x1 + + … λkxk + λk + 1xk + 1

ở đây λ1 + + … λk + 1 = 1, λi ≥ 0 và xi∈ S với mọi i = 1 , k + 1

Nếu λk + 1 = 1 thì x = xk + 1∈ S Giả sử λk + 1 < 1 Khi đó

λ1 + + … λk = 1 - λk + 1 > 0 và ta có:

k 1

k 1

k 1

1 k

x

 λ + + λ + λ + +

λ + + λ + + λ

λ λ

+ +

Theo giả thiết qui nạp điểm

k 1

k 2

k 1

2 1

k 1

x

x

λ + + λ + + λ

λ + λ + + λ

1.2.12 Định nghĩa Giả sử A ⊂ En Giao tất cả các tập lồi đóng chứa A đợc gọi

là bao lồi đóng của tập A và ký hiệu là Co A

1.2.13 Định nghĩa Tập m + 1 điểm b0, b1, , b… m đợc gọi là độc lập affine nếu aff{b0, b1, , b… m} là m - chiều

1.2.14 Nhận xét Tập m +1 điểm b0, b1, , b… m độc lập affine khi và chỉ khi b1

Chứng minh Ta chứng minh cho trờng hợp bao lồi, trờng hợp bao affine tơng

tự Giả sử T là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc S Vì Co(S) là lồi và S ⊂ Co(S), nên theo định lý 1.2.7 ta có T ⊂ Co(S)

Ta chứng minh bao hàm thức ngợc lại, giả sử x =

− + α λ

= β λ

− +

1 j 1 r

1 i 1 r

1 j

1 r

1

i

Vậy T là một tập lồi chứa S và do đó Co(S) ⊂ T

Từ hai bao hàm thức trên ta suy ra Co(S) = T

1.2.16 Định nghĩa – Bao lồi của một tập hữu hạn các điểm đợc gọi là một đa

diện (hoặc đa diện lồi)

- Bao lồi của k + 1 điểm độc lập affine b0, b1, , b… k đợc gọi là đơn hình k – chiều Các điểm b0, b1, , b… k đợc gọi là các đỉnh của đơn hình

Một đơn hình 0 – chiều là một điểm; đơn hình 1 – chiều là một đoạn thẳng; đơn hình 2- chiều là một tam giác; đơn hình 3 – chiều là một khối tứ diện…

1.2.17 Định lý Giả sử S = {x1, , x… k + 1} là tập con k – chiều của En Khi đó với mỗi một điểm trong đơn hình Co(S) có một biểu diễn duy nhất dới dạng một

tổ hợp lồi của các đỉnh

Chứng minh Từ định lý 1.2.15 ta biết rằng mỗi một điểm x thuộc đơn hình

Co(S) = Co{x1, , x… k + 1} có thể biểu diễn dới dạng tổ hợp của các đỉnh Nh vậy,

ta chỉ cần chứng minh tính duy nhất nữa là đủ Thật vậy, nếu

∑+ ∑

=

+

= β

= α

=k 1

1 i

1 k 1 i i i i

1 k 1 i i

1 k 1 i

1 k 1 i i

Vậy αi = βi với mọi i = 1, , k + 1.…

1.2.18 Định nghĩa Giả sử Co{x1, , x… k + 1} là đơn hình k – chiều chứa điểm

x Nếu biểu diễn duy nhất của x dới dạng một tổ hợp lồi của các đỉnh cho bởi

x = α1x1 + + … αk + 1xk + 1

thì các số α1, , … αk + 1 đợc gọi là toạ độ trọng tâm của x

Điểm x0 =

1 k

0 i i n

0 i i

−

n 0 i

i

i b 1

ε

− ta nhận đợc γi > 0, ∑

=n γ =

0 i

i 1 và

εx = ∑

=n γ

0 i i

Chơng II Tập con lồi trong Rn

Chứng minh Cho trớc điểm x ∈Co(A) Theo định lý 1.2.15, ta có:

x = λ1x1 + + … λqxq, ở đây λ1 + + … λq = 1, λi ≥ 0 và xi ∈ A với mọi i = 1, , q…

Ta sẽ chỉ ra rằng một biểu diễn của x theo tổng trên với q ≤ n +1

Nếu q > n + 1, thì các điểm x1, , x… q là phụ thuộc affine do đó tồn tại các

số α1, , … αq không đồng thời bằng không sao cho ∑

=

α

q 1

i i = o và ∑α = θ

=

q 1

q

α

λ

≤ α

λ

− λ

λ

− α

λ α

q

q i

i

i ≥ 0 Vậy ta có

x x x

x x

x

q

1 i

q

1

i i iq

q q

1

i i ii

i q

q i q

1

i i i

1 q

1

i i i

= α α

λ

− λ

λ

− λ

= β

Nh vậy ta đã biểu diễn x nh một tổ hợp lồi của q – 1 điểm x1, , x… q -1 Quá trình này có thể lặp lại cho đến khi x đợc biểu diễn qua một tổ hợp lồi không quá n + 1 điểm độc lập affine của A, nghĩa là q ≤ n + 1.

a Nếu q = n + 1 thì ta đã thu đợc kết quả của định lý qua chứng minh trên.Nếu q < n + 1 Chọn thêm các điểm tuỳ ý, xq + 1, , x… n + 1 từ A Khi đó

điểm x ∈ Co(A) đợc biểu diễn nh sau:

x = λ1x1 + λ2x2 + + … λqxq + 0.xq + 1 + + 0.x… n + 1 là một tổ hợp lồi của các điểm x1, , x… q, xp + 1, x… n + 1 thuộc A

b Nếu dimA = k thì q ≤ k + 1 Nếu q = k + 1 thì x nằm trong đơn hình k – chiều Co{y1, , y… k + 1} với các đỉnh thuộc A

Nếu q < k + 1, chọn thêm các điểm tuỳ ý yq + 1, , y… k + 1 từ A sao cho

y1,y2, , y… k + 1 độc lập affine Khi đó ta thu đợc kết quả của định lý từ phép chứng minh ở (a)

2.1.2 Định lý (Định lý Radon) Giả sử S = {x1, , x… r} là một tập hữu hạn bất

kỳ các điểm thuộc Rn Nếu r ≥ n + 2, thì S có thể phân hoạch thành hai tập rời nhau S1 và S2 sao cho Co(S1) ∩ Co(S2) ≠∅

Chứng minh S = {x1, , x… r} ⊂ Rn, vì S chứa ít nhát là n + 2 điểm phân biệt nên S phải là phụ thuộc affine Do đó tồn tại các vô hớng α1, , … αr không đồng

thời bằng 0 sao cho ∑

= α

r 1

i i i

x = θ và ∑

= α

r 1

α

−

= α

1 k i

i i k

1 i

i

Ta suy ra rằng x là tổ hợp lồi của x1, , x… k và x cũng là tổ hơp lồi của xk +

1, , x… r Do đó theo định lý 1.2.15 suy ra x ∈ Co{x1, , x… k} và x ∈

Co{xk + 1, , x… r}

Vậy khi đặt S1 = {x1, , x… k} và S2 = {xk + 1, , x… r}ta có Co(S) ∩ Co(S) ≠∅

2.1.3 Định lý (Định lý Helly) Giả sử F = {B1, , B… r} là một họ r tập lồi trong

Rn với r ≥ n + 1 Nếu mỗi họ con n + 1 tập hợp thuộc F có giao khác rỗng, thì

Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo số r các tập lồi trong họ nói trên.

Nếu r = n + 1 thì kết luận của định lý là rõ ràng Giả sử định lý đã đúng cho mỗi họ r – 1 tập lồi Ta sẽ chứng minh định lý cũng đúng cho mọi họ r tập lồi Thật vây, giả sử với mọi n + 1 tập lồi có giao khác rỗng, ta cần chứng minh

1 i

i B

= ≠∅.Theo giả thiết qui nạp, thì mỗi i (1 ≤ i ≤r) tồn tại một điểm xi sao cho

xi∈ B1 ∩ B2 ∩ …∩ Bi – 1∩ Bi + 1∩ …∩ Br.Vì r ≥ n + 2 nên ta có thể áp dụng định lý Radon cho tập hợp S

= {x1, , x… r} và nhận đợc hai tập con rời nhau S1 và S2 sao cho Co(S1) ∩

Co(S2) ≠∅ Không mất tính tổng quả ta có thể giả thiết rằng: S1= {x1, ,…

x ∈ Co {xk + 1, , x… rƯ ⊂ B1∩ …∩ Bk (2)

Từ (1) và (2) suy ra x = r

1 i

i B

= hay r

1 i

i B

mở Từ (1) theo định lý Heine – Borel suy ra có một phủ hữu hạn phủ C i * (vì

i*∈∧ nên C i * compact), tức là tồn tại j = 1 , r sao cho

2.1.5 Định lý Giả sử F = {Aα : α ∈ ∧} là một họ các tập con lồi, compact của

Rn chứa ít nhất n + 1 thành phần Giả sử K là một tập con lồi, compact của Rn sao cho ta có điều sau: Với mỗi một họ con gồm n + 1 tập hợp thuộc F, tồn tại một dịch chuyển của K mà nó đợc chứa trong mọi n + 1 tập hợp này Khi đó tồn tại một dịch chuyển của K mà nó đợc chứa trong mọi thành phần của F

Chứng minh.Với mọi Aα∈F, ta đặt

Aα = {p : (p + k) ⊂ Aα}, ở đây k ∈ K

Khi đó mỗi A *α, α ∈∧ là một tập lồi Thật vậy, giả sử x và y là các phần

tử bất kỳ của A *α, α∈∧ và 0 ≤λ≤ 1 Khi đó [λx + (1 - λ)y] + k ⊂ Aα vì mỗi k

q + K đợc chứa trong mỗi Aα, α∈∧

2.1.6 Định nghĩa Giả sử ΩCC là họ các tập con khác rỗng, lồi, compact của Rn

A, B ∈ΩCC, độ nhọn của A trên B ký hiệu là e(A, B) đợc xác định bởi

e(A, B) = sup {d(x, B) : x ∈ A}

trong đó d là mêtric Euclide trong Rn

2.1.7 Định nghĩa Khoảng cách Hausdorff của A và B ký hiệu là h(A, B) đợc

xác định bởi

h(A, B) = max {e(A, B); e(B, A)}

2.1.8 Nhận xét Khoảng cách Hausdorff xác định nh trên thoả mãn các tiên đề

của một mêtric Do đó, họ ΩCC tất cả các tập con lồi, compact, khác rỗng của Rn

với khoảng cách Hausdorff lập thành một không gian mêtric

2.1.9 Định lý (Định lý hội tụ của Blaschke) ΩCC(R) với khoảng cách Hausdorff là một không gian mêtric compact, trong đó, ΩCC(R) là họ các tập con lồi, compact không rỗng của hình cầu {x ∈ Rn| d(x, )) ≤ R}, (R > 0)

Chứng minh Để thoả mãn định lý ta chứng minh rằng ΩCC(R) là dãy compact Cho P là hình hộp n – chiều

{(ξ1, ξ2, , … ξn) ∈ Rn|0 ≤|ξi| ≤ R} (i = 1 , n)