ành lþ iºm b§t ëng kiºu Brouwer cho c¡c tªp s-lçi.. MÐ UKhæng gian tuy¸n t½nh p-ành chu©n l lîp khæng gian mð rëng g¦ngôi cõa khæng gian ành chu©n.. Chóng l c¡c khæng gian bà ch°n àaph÷
Trang 2M¢ sè: 60 46 01 02
LUN VN THC S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS KIU PH×ÌNG CHI
Ngh» An - 2014
Trang 32 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ li¶n töc tr¶n c¡c tªp
2.1 ành lþ iºm b§t ëng kiºu Brouwer cho c¡c tªp s-lçi 232.2 ành lþ iºm b§t ëng kiºu Schauder cho tªp s−lçi 28K¸t luªn 34
T i li»u tham kh£o 35
Trang 4MÐ U
Khæng gian tuy¸n t½nh p- ành chu©n l lîp khæng gian mð rëng g¦ngôi cõa khæng gian ành chu©n Chóng l c¡c khæng gian bà ch°n àaph÷ìng nh÷ng khæng lçi àa ph÷ìng V o ¦u thªp ni¶n 90 cõa th¸ ktr÷îc Bayoumi (xem [3], [4], [5]) ¢ thüc hi»n c¡c nghi¶n cùu cì sð quantrång v· c§u tróc cõa khæng gian tuy¸n t½nh p- ành chu©n v gi£i t½chphùc tr¶n khæng gian tuy¸n t½nh p- ành chu©n
Nguy¶n lþ iºm b§t ëng cõa Brouwer èi vîi c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tr¶nkhæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u l mët k¸t qu£ quan trång cõato¡n håc Nguy¶n lþ n y kh¯ng ành r¬ng: måi ¡nh x¤ li¶n töc tø mëttªp con lçi, âng v bà ch°n cõa khæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u E
v o ch½nh nâ luæn câ ½t nh§t mët iºm b§t ëng Nguy¶n lþ n y sau â
÷ñc Schauder chùng minh cho c¡c ¡nh x¤ compact tr¶n khæng gian ànhchu©n v Tikhonov mð rëng l¶n tr÷íng hñp khæng gian lçi àa ph÷ìng
°c bi»t, nguy¶n lþ iºm b§t ëng cõa Brouwer, Schauder câ nhi·u ùngdöng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vüc cõa to¡n håc nh÷ Gi£i t½ch, Ph÷ìngtr¼nh vi t½ch ph¥n
Mët v§n · °t ra tü nhi¶n l nghi¶n cùu c¡c ành lþ iºm b§t ëng
èi vîi c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tr¶n lîp khæng gian p- ành chu©n C¡c nguy¶n
lþ iºm b§t ëng tr¶n ÷ñc Bayoumi chùng minh cho tr÷íng hñp c¡c tªp
p-lçi trong khæng gian p- ành chu©n Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n n y l t¼m hiºu c¡c ành lþ iºm b§t ëng kiºu Brouwer v kiºu Schauder choc¡c tªp s-lçi trong khæng gian p- ành chu©n vîi 0 < s 6 p 6 1 V¼ vªy,chóng tæi lüa chån · t i cho luªn v«n cõa m¼nh l :
Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ li¶n töc tr¶n tªp s-lçi trong khæng
Trang 5gian p- ành chu©n.
Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n nh¬m tr¼nh b y nhúng k¸t qu£ cì b£n v·khæng gian p- ành chu©n, c¡c tªp s-lçi trong khæng gian p- ành chu©n,
sü mð rëng cõa c¡c ành lþ iºm b§t ëng Brouwer v Schauder cho c¡c
¡nh x¤ li¶n töc tr¶n tªp s−lçi trong khæng gian p- ành chu©n C¡c nëidung tr¶n ÷ñc vi¸t trong hai ch÷ìng:
Ch÷ìng 1: Khæng gian p- ành chu©n v c¡c tªp s-lçi
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð v· khæng gian p- ànhchu©n, c¡c tªp s-lçi trong khæng gian p- ành chu©n
Ch÷ìng 2: Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ li¶n töc tr¶n tªp s-lçitrong khæng gian p- ành chu©n Ch÷ìng n y nghi¶n cùu c¡c ành lþ iºmb§t ëng cõa Brouwer v Schauder èi vîi ¡nh x¤ li¶n töc tr¶n tªp s−lçitrong khæng gian p- ành chu©n
C¡c nëi dung ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n ¢ ÷ñc giîi thi»u trongc¡c t i li»u, °c bi»t l t i li»u [8] Chóng tæi tr¼nh b y l¤i câ h» thèngtheo möc ½ch cõa m¼nh Ngo i ra chóng tæi công chùng minh chi ti¸tmët sè c¡c k¸t qu£ m c¡c t i li»u ch¿ giîi thi»u m khæng chùng minh
v ÷a ra mët sè v½ dö minh håa
Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨ncõa th¦y gi¡o, TS Ki·u Ph÷ìng Chi T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥usc cõa m¼nh ¸n th¦y Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìnPháng sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa S÷ ph¤m To¡n håc T¡c gi£ xin
÷ñc c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trong bë mæn Gi£i t½ch, Khoa S÷ ph¤mTo¡n håc ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gianhåc tªp T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi ban l¢nh ¤o Tr÷íng ¤i håcCæng nghi»p Th nh phè Hç Ch½ Minh ¢ t¤o i·u ki»n v ëng vi¶n t¡cgi£ trong qu¡ ho n th nh khâa håc Cuèi còng xin c¡m ìn gia ¼nh, çngnghi»p, b¤n b±, °c bi»t l c¡c b¤n trong lîp Cao håc 20 Gi£i t½ch ¢cëng t¡c, gióp ï v ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v
Trang 6nghi¶n cùu M°c dò ¢ câ nhi·u cè gng, nh÷ng luªn v«n khæng tr¡nhkhäi nhúng h¤n ch¸, thi¸u sât Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho nthi»n hìn.
Ngh» An, th¡ng 5 n«m 2014
Mai Th nh Long
Trang 7CH×ÌNG 1KHÆNG GIAN P - ÀNH CHUN V CC TP S-LÇI
Ch÷ìng n y nghi¶n cùu v· khæng gian p- ành chu©n v c¡c tªp s-lçitrong khæng gian p- ành chu©n
1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
Möc n y nhc l¤i mët sè k¸t qu£ v· khæng gian v²ctì tæpæ, khænggian ành chu©n, khæng gian Banach c¦n dòng v· sau C¡c k¸t qu£ n y
câ thº t¼m th§y trong [1]
1.1.1 ành ngh¾a Khæng gian v²ctì tæpæ l mët khæng gian v²ctì còngvîi mët tæpæ tr¶n â sao cho c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng l li¶n töc
Tªp con U trong khæng gian v²ctì X ÷ñc gåi l c¥n n¸u αU ⊂ U vîimåi α ∈ K v |α| < 1; tªp U ÷ñc gåi l hót n¸u vîi måi x ∈ X tçn t¤i
δ > 0 sao cho αx ∈ U vîi måi |α| < δ
Trong khæng gian v²ctì tæpæ luæn tçn t¤i cì sð l¥n cªn U cõa 0 gçmc¡c tªp c¥n, hót v vîi måi U ∈ U tçn t¤i V ∈ U sao cho V + V ⊂ U.1.1.2 ành ngh¾a Tªp con U cõa khæng gian v²ctì X ÷ñc gåi l lçin¸u vîi måi x, y ∈ U, vîi måi 0 6 λ 6 1, th¼ λx + (1 − λ)y ∈ U
Khæng gian v²ctì tæpæ ÷ñc gåi l lçi àa ph÷ìng n¸u nâ cì sð l¥n cªn
U cõa 0 gçm c¡c tªp lçi
1.1.3 ành ngh¾a Tªp con U cõa khæng gian v²ctì tæpæ E ÷ñc gåi l
bà ch°n n¸u vîi måi l¥n cªn V cõa 0 tçn t¤i s > 0 sao cho U ⊂ tV vîi
Trang 8måi t > s.
Khæng gian v²ctì tæpæ ÷ñc gåi l bà ch°n àa ph÷ìng n¸u nâ tçn t¤ilªn cªn cõa 0 l tªp bà ch°n
Sau ¥y ta nhc kh¡i ni»m bao lçi
1.1.4 ành ngh¾a Cho E l mët khæng gian vectì v A ⊂ E Bao lçicõa A l tªp lçi b² nh§t quan h» bao h m chùa A
Bao lçi cõa tªp A ÷ñc kþ hi»u l co(A) Rã r ng, bao lçi cõa A b¬nggiao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa A Hìn núa, ng÷íi ta chùng minh ÷ñc
1.1.5 M»nh · Trong khæng gian lçi àa ph÷ìng, ta câ:
1) Bao lçi cõa tªp bà ch°n l bà ch°n;
2) Bao lçi cõa tªp ho n to n bà ch°n l ho n to n bà ch°n;
3) Bao lçi cõa tªp compact l tªp compact
Méi khæng gian bà ch°n àa ph÷ìng luæn câ cì sð ¸m ÷ñc c¡c l¥ncªn cõa 0 (xem [7]) M°t kh¡c, n¸u khæng gian v²ctì tæpæ câ mët cì sðl¥n cªn ¸m ÷ñc cõa 0 th¼ nâ kh£ m¶tric V¼ vªy, méi khæng gian bàch°n àa ph÷ìng l kh£ m¶tric
1.1.6 ành ngh¾a Khæng gian v²ctì tæpæ E ÷ñc gåi l F -khæng giann¸u tçn t¤i m¶tric d b§t bi¸n tr¶n E (tùc l d(x, y) = d(x + z, y + z) vîimåi x, y, z ∈ E) sao cho (E, d) ¦y õ v m¶tric d sinh ra tæpæ cõa E.Nh÷ vªy, méi khæng gian bà ch°n àa ph÷ìng l F -khæng gian
1.1.7 ành ngh¾a Méi F -khæng gian v lçi àa ph÷ìng ÷ñc gåi l khæng gian Frechet
Trang 91.1.8 ành ngh¾a Cho E l khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng R H mk.k : E → R ÷ñc gåi l mët chu©n tr¶n E n¸u tho£ m¢n c¡c i·u ki»nsau:
1) kxk > 0, vîi måi x ∈ E v kxk = 0 ⇔ x = 0;
2) kλxk = |λ|kxk, vîi måi λ ∈ R v vîi måi x ∈ E;
3) kx + yk 6 kxk + kyk, vîi måi x, y ∈ E
Khi â, (E, k.k) ÷ñc gåi l khæng gian ành chu©n
Khæng gian ành chu©n l khæng gian m¶tric vîi m¶tric sinh bði chu©nd(x, y) = kx−yk, ∀x, y ∈ E Khæng gian ành chu©n E ÷ñc gåi l khænggian Banach n¸u E ¦y õ vîi m¶tric sinh bði chu©n Vîi tæpæ sinh bðim¶tric sinh bði chu©n c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n E l li¶ntöc Rã r ng méi khæng gian ành chu©n l mët khæng gian lçi àa ph÷ìng
ành lþ sau l k¸t qu£ nêi ti¸ng cõa Brouwer
1.1.10 ành lþ ([2])(Brouwer) Måi ¡nh x¤ li¶n töc tø tªp con âng, bàch°n v lçi cõa khæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u v o ch½nh nâ ·u
Trang 10K¸t qu£ sau ¥y thuëc v· Schauder, l sü mð rëng cõa ành lþ Brouwer.1.1.12 ành lþ ([2])Cho C l tªp con âng, lçi cõa khæng gian ànhchu©n E Khi â, måi ¡nh x¤ compact, li¶n töc F : C → C câ ½t nh§tmët iºm b§t ëng.
1.2 Khæng gian p- ành chu©n
Möc n y chóng tæi tr¼nh b y nhúng k¸t qu£ cì sð v· c¡c khæng gian
p- ành chu©n cö thº hìn l c¡c khæng gian tuy¸n t½nh p- ành chu©n C¡ck¸t qu£ ch½nh cõa möc n y cì b£n ÷ñc tr½ch ra tø [3]
Trong möc n y, c¡c khæng gian v²c tì ÷ñc x²t tr¶n tr÷íng K = Rho°c C
1.2.1 ành ngh¾a Mët p−chu©n(p > 0) tr¶n khæng gian v²ctì E l
¡nh x¤ k.k : E → R+ tho£ m¢n c¡c t½nh ch§t sau:
i) kxk = 0 khi v ch¿ khi x = 0;
ii) kλxk = |λ|pkxk, vîi måi λ ∈ K, x ∈ E;
iii) kx + yk 6 kxk + kyk, vîi måi x, y ∈ E
(E, k.k) gåi l khæng gian tuy¸n t½nh p-chu©n, hay nâi gån l khæng gian
p-chu©n
1.2.2 ành ngh¾a Mët tüa chu©n tr¶n khæng gian v²ctì E tr¶n tr÷íng
K l ¡nh x¤ k.k : E → R+ tho£ m¢n c¡c t½nh ch§t sau:
i) kxk = 0 khi v ch¿ khi x = 0;
ii) kλxk = |λ|kxk, vîi måi λ ∈ K, x ∈ E;
iii) kx + yk 6 σ(kxk + kyk), vîi måi x, y ∈ E, trong â σ > 1 l h¬ng
Trang 11l khæng gian m¶tric tuy¸n t½nh, do cì sð l¥n cªn t¤i gèc câ thº chån l
¸m ÷ñc
2)N¸u k.k l mët p-chu©n tr¶n E vîi 0 < p 6 1 th¼ k.k1p x¡c ành mëttüa chu©n, hìn núa dp(x, y) = kx − yk1p l m¶tric sinh ra tæpæ tuy¸n t½nhtr¶n E
3) Ng÷íi ta cán chùng minh ÷ñc r¬ng: n¸u E l khæng gian bà ch°n
àa ph÷ìng th¼ tçn t¤i mët p-chu©n k.k tr¶n E sao cho dp(x, y) = kx−yk1p
l m¶tric sinh ra tæpæ tuy¸n t½nh tr¶n E Do â, méi khæng gian bà ch°n
àa ph÷ìng ho n to n x¡c ành bði mët p chu©n n o â, tùc l nâ ÷ñcxem nh÷ mët khæng gian p- ành chu©n
1.2.4 ành ngh¾a Khæng gian p− ành chu©n E ÷ñc gåi l p-Banachn¸u nâ ¦y õ vîi m¶tric sinh bði p-chu©n
Nh÷ vªy méi khæng gian p-Banach l F -khæng gian
1.2.5 V½ dö Vîi méi 0 < p < 1, lp l khæng gian bà ch°n àa ph÷ìngvîi p-chu©n ÷ñc x¡c ành bði
1.2.6 M»nh · Méi p-chu©n l mët h m thüc li¶n töc
Chùng minh Gi£ sû k.k l mët p−chu©n tr¶n E Ta chùng minh b§t
¯ng thùc sau
|kxk − kyk| 6 kx − ykvîi måi x, y ∈ E
Thªt vªy, vîi måi x, y ∈ E
kxk = kx − y + yk 6 kx − yk + kyk
Trang 12Suy ra
M°t kh¡c
kyk = ky − x + xk 6 ky − xk + kxk = | − 1|pkx − yk + kxk = kx − yk + kxk.Suy ra
Tø (1.1) v (1.2) suy ra
|kxk − kyk| 6 kx − yk
B§t ¯ng thùc n y chùng tä p-chu©n l li¶n töc
1.2.7 ành ngh¾a Cho E v F l¦n l÷ñt l c¡c khæng gian p-chu©n,khæng gian q-chu©n t÷ìng ùng ¡nh x¤ A : E → F ÷ñc gåi l ¡nh x¤tuy¸n t½nh n¸u A(tx + y) = tA(x) + A(y) vîi måi x, y ∈ E v vîi måi
t ∈ K
V½ dö sau cho th§y ¡nh x¤ tuy¸n t½nh giúa c¡c khæng gian p-chu©n câthº khæng li¶n töc
1.2.8 V½ dö Cho E = C(I,K) l khæng gian p-chu©n chùa t§t c£ c¡c
h m li¶n töc tr¶n o¤n I = [0, 1] nhªn gi¡ trà trong K, x¡c ành bði
p-chu©n (0 < p 6 1)
kf kp = sup
x∈I
|f (x)|p.Cho F l khæng gian con cõa E chùa t§t c£ c¡c h m f ∈ E sao cho f câ
¤o h m df li¶n töc tr¶n I
X²t ¡nh x¤ D : F → E x¡c ành bði D(f) = df vîi måi f ∈ F Khi
â, d¹ th§y D l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Tuy nhi¶n D khæng li¶n töc Thªtvªy, x²t d¢y {fn} ⊂ F x¡c ành bði fn(x) = sin nx
n , n = 1, 2, vîi måi
x ∈ I Ta câ
kfnk
1 p
sin nxn
pi1p
6 1
n.
Trang 13Suy ra kfnkpp → 0 khi n → ∞ V¼ vªy, {fn} hëi tö tîi 0 trong F Tuynhi¶n, ta câ
ành lþ sau ¥y nâi l¶n sü t÷ìng ÷ìng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶ntöc v ¡nh x¤ tuy¸n t½nh bà ch°n trong khæng gian p-chu©n
1.2.10 ành lþ Cho E v F l¦n l÷ñt c¡c khæng gian p-chu©n, khænggian q-chu©n (0 < p, q 6 1) v ¡nh x¤ tuy¸n t½nh A : E → F Khi â, c¡cm»nh · sau l t÷ìng ÷ìng
(a) A li¶n töc;
(b) A li¶n töc t¤i 0;
(c) Tçn t¤i M > 0 sao cho kA(x)k 6 M kxkqp, vîi måi x ∈ E;
(d) A bi¸n méi tªp bà ch°n trong E th nh c¡c tªp bà ch°n trong F
Trang 141.2.11 Nhªn x²t N¸u p = q th¼ (c) câ d¤ng kA(x)k 6 M kxk t÷ìng tünh÷ trong khæng gian ành chu©n.
Cho E v F l¦n l÷ñt c¡c khæng gian p-chu©n, khæng gian q-chu©n(0 < p, q 6 1) v L(E, F ) khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø
E v o F Khi â, L(E, F ) l khæng tuy¸n t½nh vîi c¡c ph²p to¡n cëng
v nh¥n væ h÷îng theo iºm thæng th÷íng
Vîi méi A ∈ L(E, F ), ta °t
kAk = infM : kA(x)k 6 M kxk
q
p vîi måi x ∈ E
.Theo ành lþ 1.2.10, kAk ho n to n x¡c ành v
kA(x)k 6 kAkkxkqp
vîi måi x ∈ E
Bê · sau cho ta ph÷ìng ph¡p x¡c ành chu©n cõa ¡nh x¤
1.2.12 Bê · Cho E v F l¦n l÷ñt c¡c khæng gian p-chu©n, khæng gian
q-chu©n (0 < p, q 6 1) N¸u A ∈ L(E, F ) th¼
kAk = sup
x∈E\{0}
kA(x)kkxkqp
kxk 6 1,x6=0
kA(x)kkxkqp
= sup
kxk=1
kA(x)k
1.2.13 ành lþ Khæng gian L(E, F ) l khæng gian q-chu©n vîi chu©n
÷ñc x¡c ành nh÷ trong Bê · 1.2.12 °c bi»t, n¸u F l khæng gian
q-Banach th¼ khæng gian L(E, F ) công vªy
V½ dö sau l lîp khæng gian p- ành chu©n húu h¤n chi·u ÷ñc sû döngth÷íng xuy¶n ð ch÷ìng sau
1.2.14 V½ dö X²t tªp Kn vîi c§u tróc tuy¸n t½nh thüc thæng th÷íng.Vîi 0 < p 6 1 cè ành, x²t cæng thùc
kxkp = |x1|p + |x2|p + + |xn|p, ∀x = (x1, , xn) ∈ Kn
Khi â, cæng thùc tr¶n x¡c ành mët p-chu©n tr¶n Kn Khæng gian Kn
vîi p-chu©n x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc kþ hi»u l lp(n) Ta th§y ngay lp(n)
l khæng gian v²ctì tæpæ n-chi·u
Trang 151.2.15 Bê · ([3]) Cho X l khæng gian p- ành chu©n n-chi·u Khi â,tçn t¤i ¯ng c§u tuy¸n t½nh L tø X v o l1(n) sao cho
vîi måi x ∈ X, trong â m, M l c¡c h¬ng sè d÷ìng
1.2.16 Bê · ([8]) Gi£ sû Bp v B1 l¦n l÷ñt l h¼nh c¦u âng ìn vàtrong lp(n) v l1(n) Khi â, tçn t¤i mët çng phæi H tø lp(n) v o l1(n)sao cho H(Bp) = B1
Chùng minh Vîi méi α ∈ K, sgnα x¡c ành bði sgnα|α| = α X²t ¡nhx¤ H : lp(n) → l1(n) x¡c ành bði
H(α1, , αn) = (β1, , βn),trong â βi = sgn(αi)|αi|p, i = 1, , n D¹ th§y H l mët song ¡nh, tø
Pn
i=1|αi|p 6 1 khi v ch¿ khi Pn
i=1|βi| 6 1 Suy ra H(Bp) = B1 Tøt½nh li¶n töc cõa c¡c h m fi(αi) = (sgnαi)|αi|p v gi(βi) = (sgnβi)|βi|1/pli¶n töc tr¶n K suy ra H v H−1 li¶n töc Do â, H l çng phæi
1.2.17 Bê · ([8]) Gi£ sû Bp l h¼nh c¦u ìn và cõa lp(n) vîi (0 < p 6
1) v T : Bp → Bp l ¡nh x¤ li¶n töc Khi â, tçn t¤i u ∈ Bp sao cho
T u = u
Chùng minh Gåi H l ¡nh x¤ x¡c ành trong Bê · 1.2.16 v B1 l h¼nhc¦u âng ìn và cõa l1(n) Khi â, ¡nh x¤ H ◦ T ◦ H−1 : B1 → B1 l li¶ntöc V¼ l1(p) l khæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u n¶n ¡p döng ành
lþ Brouwer th¼ tçn t¤i x ∈ B1 sao cho H ◦ T ◦ H−1x = x °t u = H−1x.Khi â u ∈ Bp v T u = u Bê · ÷ñc chùng minh
1.3 C¡c tªp s-lçi trong khæng gian tuy¸n t½nh p- ành chu©nMöc n y nghi¶n cùu v· c¡c tªp s-lçi trong khæng gian p- ành chu©n
Trang 161.3.1 ành ngh¾a Cho A l tªp con cõa khæng gian p- ành chu©n E v
0 < s 6 p
1) A ÷ñc gåi l s-lçi n¸u vîi måi x, y ∈ A v t ∈ [0, 1] ta câ
(1 − t)1sx + t1sy ∈ A
2) A ÷ñc gåi l s- tuy»t èi lçi n¸u vîi måi x, y ∈ A ta câ
tx + r ∈ Avîi måi t, r ∈ R v |t|s + |r|s = 1
1.3.2 Nhªn x²t Rã r ng A l s-lçi n¸u vîi måi x, y ∈ A ta câ
tx + ry ∈ A
vîi måi måi t, r > 0v ts+ rs = 1 N¸u s = p = 1 th¼ tªp s−lçi trð th nhtªp lçi theo ngh¾a thæng th÷íng Måi tªp s-tuy»t èi lçi l tªp s-lçi.1.3.3 V½ dö X²t lp (0 < p < 1) l khæng gian p− ành chu©n vîi p−chu©n
t1/sy ∈ B(0, r) Vªy B(0, r) l tªp s−lçi
L÷u þ r¬ng B(0, r) khæng ph£i l tªp lçi, bði v¼ lp (0 < p < 1) khænglçi àa ph÷ìng
Trang 171.3.4 ành ngh¾a Cho A l tªp con cõa khæng gian p- ành chu©n E.1) Bao s−lçi cõa A l s-lçi nhä nh§t chùa A v ÷ñc kþ hi»u l cosA.2) Cho x1, x2, , xn ⊂ A v t1, t2, , tn > 0, Pn
i=1tsi = 1 Khi â
Pn
i=1tixi ÷ñc gåi l tê hñp s-lçi cõa {x1, x2, , xn}
Công nh÷ trong tr÷íng hñp tªp lçi th¼ tªp t§t c£ c¡c tê hñp s-lçi c¡cph¦n tû cõa A l bao s-lçi cõa A Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cì b£ncõa tªp s-lçi
1.3.5 M»nh · ([8]) Cho X l khæng gian p- ành chu©n (0 < p 6 1)
v 0 < s 6 p
1) N¸u C ⊂ X l s-lçi th¼ αC l s-lçi, α ∈ K
2) N¸u C1, C2 l s-lçi th¼ C1 + C2 l s-lçi
3) N¸u {Ci : i ∈ I} l hå c¡c tªp s-lçi cõa X th¼ ∩i∈ICi l s-lçi.4) N¸u A ⊂ X v 0 ∈ A th¼ cosA ⊂ coA, trong â coA l bao lçi cõa
A
Chùng minh 1) Gi£ sû u, v ∈ αC Khi â, tçn t¤i x, y ∈ C sao cho
u = αx, v = αy Khi â, vîi måi t, r ∈ [0, 1] sao cho ts + rs = 1 th¼
tx1 + rx2 ∈ C1 v ty1 + ry2 ∈ C2 Do â
tz1 + rz2 = tx1+ rx2+ ty1 + ry2 ∈ C1 + C2,hay C1+ C2 l s-lçi
Trang 183) Gi£ sû {Ci : i ∈ I} l hå c¡c tªp s-lçi Khi â, vîi måi x, y ∈ ∩i∈ICith¼ x, y ∈ Ci vîi måi i ∈ I V¼ c¡c tªp Ci l s-lçi n¶n vîi måi t, r ∈ [0, 1]sao cho ts+rs = 1 th¼ tx+ry ∈ Ci vîi måi y ∈ I Do â tx+ry ∈ ∩i∈ICi,hay ∩i∈ICi l s-lçi.
4) Gi£ sû z ∈ cosA Khi â
1.3.6 ành ngh¾a ([8]) Cho E l khæng gian vectì H m ρ : E → R
÷ñc gåi l mët p-nûa chu©n n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
1) ρ(x) > 0 vîi måi x ∈ E;
2) ρ(λx) = |λ|pρ(x) vîi måi x ∈ E v λ ∈ K;
3) ρ(x + y) 6 ρ(x) + ρ(y) vîi måi x, y ∈ E
1.3.7 ành ngh¾a ([8]) Gi£ sû C l mët tªp s-lçi chùa 0 cõa khæng gian
p- ành chu©n X s-phi¸m h m Minkowsky cõa V l h m qC : X →R x¡c
ành bði
pV(x) = inf{t > 0 : x ∈ t1/sV }vîi måi x ∈ X
D¹ th§y,
pV(x) = inf{ts > 0 : x ∈ tV }M»nh · sau tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa s-phi¸m h m Minkowsky
... < /p>p< /small>i1p< /sub> < /p>
6 1 < /p>
n. < /p> Trang 13
Suy... < p cè ành, x²t cæng thùc < /p>
kxkp< /sup> = |x1|p< /sup> + |x2|p< /sup> + + |xn|p< /sup>, ∀x = (x1, , xn) ∈ Kn... fi(αi) = (sgnαi)|αi|p< /sup> v gi(βi) = (sgnβi)|βi|1 /p< /sup>li¶n tưc tr¶n K suy H v H−1