Một số tính chất của tập lồi trong không gian minkowski luận văn thạc sỹ toán học

Tuy vậy,hầu hết các tập lồi và tính chất của nó được nghiên cứu kỹ hơn trong khônggian Euclide, bởi vì trong không gian này các tập lồi có nhiều tính chất thú vị.Tập lồi được xét trong k

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I METRIC MINKOWSKI 3

1.1 Không gian định chuẩn 3

1.2 Họ các tập lồi trong không gian Minkowski 10

1.3 Bao lồi trong không gian Minkowski 14

CHƯƠNG II SỰ XẤP XỈ CÁC THỂ LỒI TRONG L n

BỞI CÁC NÓN ĐA DIỆN LỒI 25

2.1 Nón tựa 25

2.2 Điểm cực biên 27

2.3 Đa diện lồi 28

2.4 Sự xấp xỉ của thể lồi 30

2.5 Vấn đề thể tích cực trị 34

2.6 Chiều rộng và bề rộng: 40

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

LỜI MỞ ĐẦU

1 Tập lồi là khái niệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giảitích và nhiều ngành khoa học khác Các kết quả tổng quan về tập lồi đã đượccác nhà toán học như Frederick A Valentine, L Klee, C.Caratheodory,

H Minkowski trình bày Các cấu trúc trên các tập lồi, các quan hệ giữa chúng,giao của các tập lồi, các điều kiện để một tập hợp trở thành tập lồi và tính hội tụcủa dãy tập lồi đã được nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cập đến Tuy vậy,hầu hết các tập lồi và tính chất của nó được nghiên cứu kỹ hơn trong khônggian Euclide, bởi vì trong không gian này các tập lồi có nhiều tính chất thú vị.Tập lồi được xét trong không gian tổng quát nhất là không gian tuyến tính tuynhiên trong không gian này các tính chất của tập lồi nghèo nàn hơn trong cácloại không gian tôpô tuyến tính, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,không gian Minkowski Không gian Minkowski là một loại không giantuyến tính, tổng quát hơn không gian Euclide; vì vậy nghiên cứu các tập lồitrong không gian Minkowski chính là sự tổng quát hóa các tính chất của tậplồi trong không gian Euclide, mặt khác các tính chất của tập lồi trong khônggian Minkowski phong phú hơn các tính chất của chúng trong không gianEuclide Hiện nay các tài liệu, đặc biệt là các tài liệu tiếng Việt về các tập lồitrong không gian Minkowski rất ít, vì vậy luận văn này nhằm mục đích tậphợp một số kết quả nghiên cứu về chủ đề trên

2 Luận văn trình bày một số các tính chất cơ bản của tập lồi trongkhông gian Minkowski và các ứng dụng của chúng Mục đích của luận văn lànghiên cứu tập lồi trong không gian Minkowski, tuy nhiên có một số tính chấtcủa tập lồi không những đúng trong không gian Minkowski mà còn đúngtrong các không gian tổng quát hơn không gian Minkowski (như không giantuyến tính, không gian tôpô tuyến tính,…), khi đó luận văn trình bày các tínhchất này trong không gian tổng quát đó

3 Nội dung luận văn được trình bày theo 2 chương

Chương 1 Trình bày các khái niệm cơ bản nhằm sử dụng vào chương

2 Nội dung chính của chương 1, phần thứ nhất, trình bày các khái niện, một

số tính chất cơ bản của không gian định chuẩn Phần thứ hai, trình bày cáckhái niệm, tính chất cơ bản của họ các tập lồi trong không gian Minkowski.Phần thứ ba, trình bày các tính chất của bao lồi trong không gian Minkowski

Chương 2 Trình bày sự xấp xỉ của một thể lồi trong Ln bởi các nón đadiện lồi Phần thứ nhất, trình bày các tính chất nón tựa Phần thứ hai, trình bàytính chất, định nghĩa, định lý của điểm cực biên Phần thứ ba, trình bày cáckhái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét về đa diện lồi Phần thứ tư, trình bàycác khái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét về sự xấp xỉ của một thể lồicompact bởi các đa diện lồi Phần thứ năm, trình bày một số kết quả về tínhcực trị của thể tích trong lớp các tập lồi tương đương Phần thứ sáu, trình bàycác khái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét về chiều rộng và bề rộng

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh,dưới sự hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS TS PhạmNgọc Bội Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chânthành nhất tới các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tậntình trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm

ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại họcVinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận vănnày

Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đểluận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG I METRIC MINKOWSKI

1.1 Không gian định chuẩn

1.1.1 Định nghĩa Kí hiệu L là không gian tôpô tuyến tính (còn gọi là

không gian vectơ) trên R

 Nếu x  L , y  L thì đoạn thẳng xy nối x và y là tập hợp tất cảc

các điểm có dạng αx +βy, α +β = 1x +βy, α +β = 1βy, α +β = 1y, αx +βy, α +β = 1 +βy, α +β = 1βy, α +β = 1 = 1,  0, 0

 Tập S  L gọi là tập lồi, nếu mỗi cặp điểm x S y S ,  thì xy S

Một tập S được gọi là sao đối với điểm x  L , nếu với mỗi y S thì

xy S

 Các tập linS y\ x S x y,  ,int( )xy S

 Điểm x S là điểm lõi của S nếu mỗi điểm y  L, yx, tồn tại một

điểm zint( )xy sao cho xz S Tập tất cảc các điểm lõi của S kí hiệu là

coreS

 Trong không gian tuyến tính L, bao lồi của tập S là giao của tất cả các

tập lồi chứa S và được kí hiệu coS.

 Bao lồi  của tập xác định bởi n +βy, α +β = 1 1 điểm x1, x2,…,xn+1 trong khônggian tuyến tính L, được gọi là một đơn hình n – chiều, nếu phẳng có chiều

nhỏ nhất là n chứa , các điểm xi, i1,n được gọi là các đỉnh của đơn1hình 

 Vectơ x  L được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1,x2,….,xn+1  L

nếu  i 0 (i = 1,2,…n),

1

n i i

1.1.2 Định nghĩa Tập S  L, sao đối với gốc  được gọi là bị chặn tuyến tính nếu với mỗi đường thẳng qua  cắt S theo một đoạn thẳng.

Giả sử S là tập mở trong L, sao đối với  mà là bị chặn tuyến tính Hàm

khoảng cách Minkowski p là một hàm giá trị thực được định nghĩa như sau:

  0

p x   , với x0 x x, 0bd S(biên của S) và x0int S,0  1 Nếu x S thì p x    1

Hàm khoảng cách Minkowski có thể mở rộng trên R   với quy ước

    với mọi  từ đó ta có     với  0 và vì vậy 0  0

1.1.3 Định nghĩa Giả sử S là tập của không gian tuyến tính L sao với 

Hàm khoảng cách Minkowski p là hàm số thực p ( theo nghĩa mở rộng ) định

nghĩa L như sau: p x  inf r r: 0,x S

(i) p x y   p x  p y  với mọi x  L, y  L,

(ii) px p x  với mọi  0, x L

Chứng minh (ii) là đúng, do Định nghĩa hàm khoảng cách Minkowski tổng

Nếu p x  hoặc   p y  thì (i) đúng. 

Nếu p x   hoặc   p y  ( ) thì tồn tại các số  0,  0 sao cho

Ngược lại, giả sử hàm khoảng cách Minkowski tổng quát p thỏa mãn

(i) và (ii) Cho R là tia, có  như là điểm cuối Vì giả thiết RS là đóng và

 Điểm x được gọi là điểm trong của tập A  X, nếu tồn tại một lân cận

U của x sao cho U  A Tập hợp gồm tất cả các điểm trong của tập A là tập

mở được chứa trong A và gọi là phần trong của A, kí hiệu là intA.

 Tập con B của X gọi là đóng nếu X\B là mở.

 Điểm x được gọi là điểm dính của điểm A, nếu mọi lân cận U của x

thì: U A Tập hợp tất cả các điểm dính của A là một tập đóng chứa A

và được gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A

 Điểm x được gọi là điểm biên của tập A khi và chỉ khi mỗi lân cận U của x thì U A và X A  \

Rõ ràng biên của tập A và tập X\A trùng nhau, nó được kí hiệu bdA Một

tập là đóng khi và chỉ khi biên của nó thuộc nó, một tập là mở khi và chỉ khi

nó không có điểm chung với biên

 Tập AX được gọi là một thể nếu int A 

 Không gian tôpô X được gọi là Hausdorff nếu mỗi xX, y X, xy,

thì tồn tại các lân cận U của x và V, sao cho U V 

1.1.6 Định nghĩa Nếu X là không gian tuyến tính trên trường K và một tôpô

 trên X  được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X trên các phép toán đại số trong X, nếu phép cộng vectơ là phép nhân vectơ với một lượng vô hướng là liên tục Một không gian tuyến tính trên K cùng với một tôpô tương

thích, được gọi là một không gian tôpô tuyến tính (còn gọi là không gianvectơ tôpô)

Một không gian tôpô tuyến tính L được gọi là lồi địa phương, nếu mỗi lân cận U ở gốc  của không gian, tồn tại một lân cận lồi V của  sao cho

V  U.

1.1.7 Định nghĩa Một tập S trong không gian tôpô tuyến tính L được gọi là

bị chặn nếu với mỗi lân cận N của  tồn tại số dương  sao cho S  N

1.1.8 Định nghĩa Một không gian tôpô tuyến tính L được gọi là định chuẩn

nếu nó lồi địa phương và chứa tập mở bị chặn khác rỗng

Dễ thấy rằng không gian tôpô tuyến tính định chuẩn chứa một lân cậncủa  mở, lồi, bị chặn, tâm đối xứng là 

1.1.9 Định nghĩa Trong không gian định chuẩn L, đặt

Chứng minh Giả sử (u 1 ,u 2, …,u n ) là một cơ sở của E n và (v 1 ,v 2 ,…,v n ) là một cơ

sở của của L n Mỗi x E n, tồn tại các số thực (c i i 1,2, , )n , sao cho

3) F liên tục vì nó là tổ hợp afin tích của các hàm liên tục.

4) F -1 liên tục Ta chỉ cần chứng minh F -1 liên tục tại  vì F -1 tuyến tính.Với  0, giả sử E là hình cầu mở đồng vị trong E n với bất kỳ tồn tại

(0,0, ,0)

  Gọi B = bd E thì B compact tương đối trong E n nên tập F B( )

compact Mặt khác F B( )nên  lân cận U của  sao cho U F B( ),

 lân cận V của  sao cho V U Ta chứng minh V F E( ) Thật vậy, giả

Điểm y B x là điểm thuộc E n ,(x là đoạn thẳng đóng có mút là , x)

Vì F tuyến tính và V là nênF y( )V Mặt khác ( )F y F B( ) vậy

Chứng minh Ta đã biết (theo Định lý 1.1.10), L n đồng phôi tuyến tính với

không gian Euclide E n Vậy L n lồi địa phương và cũng chứa các tập mở, lồi, bị

chặn Vậy L n là không gian định chuẩn

1.1.12 Định nghĩa Mêtric của không gian định chuẩn L là hàm , nhận giátrị thực trên L L , được xác định bởi ( , )x y (x y ) p x y(  ), với p là

1.1.14 Định nghĩa Không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều được

gọi là không gian Minkowski

Từ Định lý 1.1.11, ta thấy không gian tôpô tuyến tính hữu hạn chiều làkhông gian tuyến tính định chuẩn, vì vậy nó là không gian Minkowski Từnay về sau ta cũng dùng ký hiệu Ln để chỉ không gian Minkowski n- chiều.

1.1.15 Định lý (Caratheodory) Nếu  là một đơn hình n-chiều trong không gian tuyến tính L với các đỉnh (1, , x i n  , thì 1)  gồm tất cả các điểm x

trong L , thỏa mãn: 1

1

n

i i i

n i

1.2 Họ các tập lồi trong không gian Minkowski

1.2.1 Định nghĩa Nếu A là tập khác rỗng trong không gian tuyến tính

định chuẩn L và nếu x  L thì khoảng cách từ x tới A kí hiệu là f(x) được định

nghĩa là

f x( ) infa A x a

1.2.2 Định lý Nếu A là tập lồi khác rỗng trong không gian tuyến tính định

chuẩn L, thì hàm khoảng cách từ x  L tới A là hàm lồi.

1.2.4 Định lý Nếu A là tập lồi khác rỗng trong không gian tuyến tính định

chuẩn L, thì tập song song A p  p( 0) là một thể lồi.

Chứng minh Nếu x  A p thì f(x)≤ p, do đó A p   L f x: ( )p với f là

hàm khoảng cách từ x L tới A Nếu x A y A p,  p xét

1.2.5 Định nghĩa Nếu A và B là hai tập lồi bị chặn khác rỗng và p là số thực

dương sao cho A  B p và B A p thì khoảng cách giữa A và B được định nghĩa

1.2.6 Định lý Hàm khoảng cách d trong định nghĩa 1.2.5, là một mêtric trên

tập các con lồi đóng, bị chặn, khác rỗng của không gian tuyến tính định chuẩn L;

tức là với A, B, C là các tập lồi

(i) d(A,B) >0) nếu A  B,

(ii) d (A,B) =0 nếu A=B,

(iii) d(A,C) ≤ d(A,B)+βy, α +β = 1 d(B,C).

Chứng minh Từ Định nghĩa 1.2.5 ta suy ra (i), (ii) Nêu ta chỉ cần chứng

minh (iii) Gọi r d A B q d B C p q r ( , ),  ( , ),   Vì B  A p nên B q  A p+βy, α +β = 1q =

A r

Do đó CB q A r , B  C q nêu suy ra A  B p  C p+βy, α +β = 1q = C r Vậy C  A r , A

 C r và d(A,C) ≤ r = p +βy, α +β = 1 q = d(A,B) +βy, α +β = 1 d(B,C) Suy ra d là một mêtric.

1.2.7 Định nghĩa Một dãy các tập lồi A i trong không gian Minkowski Ln

được gọi là hội tụ tới tập lồi A, nếu lim ( , ) 0 x d A A i

Một họ các tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn được gọi là bị

chặn đều nếu tồn tại một khối cầu bán kính (0 p  p ) chứa toàn bộ họ

1.2.8 Định lý Cho M là tập vô hạn bị chặn đều các tập lồi đóng trong không

gian Minkowski L n Thì M chứa một dãy mà hội tụ tới một tập lồi compact khác rỗng.

Chứng minh Gọi hộp s-chiều là hộp Cho A là hộp mỗi cạnh có độ dài r và

chứa M trong phần trong của nó Cho P i là một mạng phân hoạch thông

thường của A thành các hộp đóng đồng dư có cạnh dài 2-i r Tập các hộp đồng

dư tạo ra từ P i , kí hiệu là K i Hợp T các tập con của K i được gọi là một phủ

tiêu cực của tập M i  M nếu M i  T và M i cắt mỗi hộp thuộc T Vì K i gồm

hữu hạn các hộp và M có vô số phần tử Bằng cách chia nhỏ thì tồn tại một dãy vô hạn đếm được các phần tử trong M kí hiệu là C 1αx +βy, α +β = 1 (α=1,2 ) mà có phủ

cực tiểu từ K 1 Tương tự dãy C 1αx +βy, α +β = 1 (α=1,2 ) chứa một dãy con vô hạn

C 2αx +βy, α +β = 1(α=1,2 ) có phủ cực tiểu K2 Bằng quy nạp, ta được một dãy kép

C iαx +βy, α +β = 1 (α=1,2 ) sao cho với mỗi i cố định thì tập C iαx +βy, α +β = 1(α=1,2 ) có phủ cực tiểu Ta

có d(C iαx +βy, α +β = 1 , C iβy, α +β = 1 )<

Với mỗi   0 tồn tại một hằng số λ > 0 sao cho n > λ ta có B n  B ε, nếu

không như vậy thì B n  B   với vô hạn giá trị n > λ và tính compact của

B n ruy ra B n  B   là điều mâu thuẫn Từ Bn B với n ( ) và từ(1.2) ta suy ra

1.2.9 Hệ quả Cho M là một tập vô hạn bị chặn đều các thể lồi đóng, trong

không gian Minkowski L n và giả sử tồn tại một thể lồi K chứa trong mỗi phần

tử của M, thì M chứa một dãy mà hội tụ tới một thể lồi compact.

Chứng minh Bằng cách làm tương tự Định lí 1.2.8 ta lập một dãy đường chéo

C n =C nn (n=1,2 ) thoả mãn điều kiện C n  M, C n K và d(C n ,C m ) < , với

Chứng minh Các đồ thị hàm số f i trên đoạn [a,b] trên mặt phẳng E 2

tương ứng với tập M trong Định lý 1.2.8 Ta cũng áp dụng nguyên lý chia

nhỏ và được dãy đường chéo {fi} hội tụ đều trên đoạn [a,b] tới hàm f liên tục trên [a,b].

1.3 Bao lồi trong không gian Minkowski

1.3.1 Định lý Nếu S là tập compact trong không gian Minkowski L n thì

conv S là compact.

Chứng minh Từ S compact, thì conv S bị chặn Cần chứng minh rằng S là

đóng, giả sử x cl conv S conv S \ Giả sử y iconv S sao cho y i  x khi

i   ( được phép lập luận như vậy vì L là hữu hạn chiều) Từ n y iconv S,theo Định lý Caratheodory tồn tại i( i 1,2,) với đỉnh trong S sao cho

i i

y   Từ Định lý hội tụ 1.2.8, tập đồng bị chặn các tập lồi  i có mộtchuỗi hội tụ tới đa diện  Tính compact của S suy ra rằng đỉnh của  thuộc

S Từ y i  x khi i  , và y   , suy ra i i x   Nhưng điều này suy ra

x conv S (theo Định lý Caratheodory) Do đó conv S đóng Từ conv Sđóng và bị chặn, nên conv S compact trong L n

1.3.2 Định nghĩa Không gian con V của không gian tuyến tính L , được gọi

là có số khuyết n, nếu tồn tại không gian con n – chiều W sao cho L = v w

Một siêu phẳng H trong không gian tuyến tính L là phẳng có số khuyết 1.

1.3.3 Định nghĩa Một phiếm hàm tuyến tính trên L là một hàm f từ L vào

tập số thực R, mà cộng tính và thuần nhất Nghĩa là:

f(x+βy, α +β = 1y) = f(x) +βy, α +β = 1 f(y

f(x) = f(x) Với x  L mà f(x) = ,   

Ta ký hiệu  f  là tập tất cả các điểm :  x  L mà f x( ) ,  ,trong

đó f là một phiếm hàm tuyến tính, chú ý rằng một  f  chính là một siêu: 

phẳng Điều đó được giải thích do định lý sau

1.3.4 Định lý Giả sử H  L, thì H là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại một hàm tuyến tính f 0 và một hằng số thực  sao cho H  f :  .

Chứng minh Giả sử H là một siêu phẳng, gọi H1H  ( x0), với x0H Khi đó tồn tại điểm y  L \ H 1 sao cho L = H 1 +βy, α +β = 1y Với p  L ta có

chứng minh CD L giả sử tồn tại p  L \( CD), khi đó ta có:

Vì d1C c, 1D suy ra tồn tại các điểm cC d, D sao cho các điểm c, d,

p lập thành một tam giác, nên ta có dd1cc1.Điều này mâu thuẩn với

1.3.7.Định lý Giả sử A và B là hai tập lồi của khộng gian tuyến tính L và

V  f 

Chứng minh Lấy C và D là hai tập lồi bù nhau xác định trong Định lí 1.3.5

và tương ứng chứa A và c eB or , nên tập V linC linD là siêu phẳng

Theo Định lí 1.3.4 sẽ tồn tại một hàm tuyến tính f và hằng số  sao cho

V = [f :  ] Do V c eBor  nên có thể giả thiết f(y) > 0 với y c eB or ,nếu tồn tại điểm x B sao cho f x( ) thì điểm:

Tương tự nếu tồn tại điểm u A sao cho f u( ) , lúc đó với 0 1 thì

f u   y  f u    f y  , do f y( ) nên điều nàymâu thuẩn với V uy (do u A và y c eB or ) Vậy f A( ) và V

tách A và B.

1.3.8 Định lý Giả sử B là một thể lồi trong không gian tôpô tuyến tính L và

F là một phẳng trong L sao cho F B0  thì tồn tại một siêu phẳng H

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo trật tự

giảm của n Nếu dim A n thì coreA  Khi đó theo Định lý 1.3.7 sẽ tồn

tại một siêu phẳng tách A và B giả sử định lý đúng với dim A s Bây giờ giả

sử dimA s  1và A, cho H  f : 0 là siêu phẳng chứa A và lấy x  L n

sao cho f x ( ) 0, xác định tập C co A  (A x ) Nếu BC và

BD thì từ tính lồi của B và CD suy raBA Đây là điều mâuthuẩn với giả thiết định lý, vậy ta có thể giả sử BC  Vì dimC s nêntheo giả thiết quy nạp thì tồn tại siêu phẳng H tách B và C Do 1 A C nênH1

cũng tách A và B

1.3.10 Định lý Nếu C là thể lồi trong không gian tôpô tuyến tính L thì qua

một điểm biên của C có một siêu phẳng đóng H đi qua và tựa C.

Chứng minh Theo Định 1.3.8 tồn tại một siêu phẳng H qua mỗi điểm biên

của C và chặn C Bây giờ ta sẽ chứng minh H là đóng.

Trước hết ta chứng minh bổ đề: Trong không gian tôpô tuyến tinh L, siêuphẳng H  f :  chặn một tập mở khác rỗng khi và chỉ khi f liên tục và f

khác không Thật vậy, không mất tính tổng quát cho  0 và giả sử K là tập

mở sao cho f K ( ) 0 Lấy p f :1 và tập X  x L f x : ( ) 0  thì:

và rpp 1(  )pp 2(  )p(X p) (  X p)

suy ra f rp( )r, do đó f1()0  (X p) ( X p) suy ra f liên tục Ngược lại f liện tục và f 0 thì siêu phẳng H  f :  chặn tập mở

 x f x: ( ) Từ đó suy ra H đóng.

Trở lại định lý ta thấy siêu phẳng H chặn thể lồi C, do đó H chặn C 0

và theo Bổ đề vừa chứng minh H đóng.

1.3.11 Định lý Cho S là tập đóng trong không gian tôpô tuyến tính L và giả

sử S 0 , thì S là lồi khi và chỉ khi qua mội điểm biên của nó có một siêu phẳng tựa nó.

Chứng minh Do S lồi và S 0 nên theo Định lý 1.3.8, qua mỗi điểm

biên của S có một siêu phẳng đóng tựa nó Mặt khác S đóng, S 0 và qua

mỗi điểm biên của S có một siêu phẳng tựa nó Giả sử S không lồi, vì S đóng

nên tồn tại các điểm x S y S ,  sao cho S( )xy 0 , lấy u( )xy 0, vì

0

S  nên tồn tại z S 0 sao cho x y z, , không cộng tuyến Cũng do S đóng

nên tồn tại điểm bS( )zu 0 hay bS( (co x y z))0 Vì mỗi siêuphẳng H tựa S qua b không chúa điểm z S 0 nên nó tách ngặt hai trong bađiểm x y z, , Điều này mâu thuẫn với siêu phẳng H tựa S, vậy S là tập lồi

1.3.12 Định lý Giả sử P là tập trong không gian tôpô tuyến tính L và giả sử

int conv S  Điểm 0 pint conv S nếu và chỉ nếu mỗi siêu phẳng H qua P phân chia ngặt ít nhất hai điểm của S

Chứng minh Giả sử pint conv S, nếu siêu phẳng H  f :  tồn tại mà

chứa p và chứa biên S (và do đó cũng chứa biên int conv S ) Do f liên tục nên

 

:

x f x 

  hoặc x f x:    chứa S Suy ra pbd conv S mâu thuẫn

với giả thiết Do đó mỗi siêu phẳng H qua P tách ngặt các phần của S

Ngược lại, giả sử mỗi siêu phẳng qua p phân chia ngặt ít nhất hai điểm của

S Giả sử p int conv S Từ int conv S  , suy ra tồn tại siêu phẳng đóng0

qua p chứa biên của S, mâu thuẫn Do đó pint conv S

1.3.13 Định nghĩa Họ các tia F  R i A i,   trong L có chung điểm gốc

được gọi là bao quanh L nếu i

1.3.15 Định lý Giả sử S là tập trong không gian n – chiều L n Nếu

Chứng minh Trước hết, x là điểm trong của bao lồi của hữu hạn tập con của

các điểm của S Từ điều này, ta thấy xintconv S suy ra

x Q  conv S , trong đó Q là một đơn hình n - chiều Từ Định lý Caratheodory, mỗi đỉnh của Q chứa trong một phức đơn hình với đỉnh của S.

Điều này nói lên rằng xint conv x x 1, , ,2 x t, vơi x iS i 1,2, ,t

biên của tập (n – 1) chiều, bd conv x x 1, , ,2 x cảm sinh một tôpô Trong t

tôpô này, tập các điểm M trong bd conv x x 1, , ,2 x mà không thuộc đơn t

hình s – chiều 0  s n 2 với đỉnh trong x x1, , ,2 x là mở, và bao đóng t

của nó là toàn bộ tập bd conv x x 1, , ,2 x Giả sử t u1M

Tồn tại lân cận N của u trong 1 bd conv x x 1, , ,2 x sao cho t N M Từ

M là trù mật trong bd conv x x 1, , ,2 x , tồn tại điểm t v M u N ,  sao cho

u,x và v là cộng tuyến

Từ Định lý Caratheodory tồn tại các đơn hình (n – 1) chiều 1 và 2 vớiđỉnh thuộc x x1, , ,2 x sao cho t u1 1,v1 2 Từ 1 và 2 không nằmtrong cùng một siêu phẳng, ta có xintconv  1 2 và     1 2 có tối

đa 2n đỉnh thuộc S.

Vì x1intconv x x( , , ,2 3 x2n), xintconv x x( , , ,1 2 x2n) và

( , , , n)

conv x x x ở một phía của H nên H tách x1 và conv x x( , , ,2 3 x2n).

Để chứng minh phần kết, giả sử Px x1, , ,2 x t là tập nhỏ nhất saocho xintconv P Chọn x P và giả sử R là tia nối i x và 1 x và có i x là1

điểm cuối

Từ sự cực tiểu của P suy ra xintconv x x 2, , ,3 x2n Suy ra tồn tại siêu

phẳng H đi qua x chặn conv x x 2, , ,3 x2n Giả sử định lý đúng cho không

gian L r n r   Từ x H , giả sử x x1 i H y i i 2, ,2n Theo giả thiết

quy nạp cho H, ta có x thuộc phần trong của đa diện lồi (2n – 2) đỉnh hoặc ít hơn (2n-2) đỉnh: y y2, , ,3 y Chọn tập nhỏ nhất có thuộc tính này và đánh2n

số chúng là y y2, , ,3 y s s 2n 1 Nếu y i x i với mỗi i với 2 i 2n 1 thì

nó suy ra rằng P không là nhỏ nhất Từ điều này và tính nhỏ nhất của P và giả thiết quy nạp áp dụng cho H ( s2n 1) và do các điểm x x2, , ,3 x2 1n là

cộng tuyến từng cặp của x Thay thế trong lập luận trên với x i x x1, i x2n

cho x, ta có từng đôi thẳng hàng vấn khẳng định định lý đúng cho tất cả các

điểm x x1, , ,2 x 2n