GIAO AN ON THI VAO 10Nam hoc 2012 2013

Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc.. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xon[r]

PHẦN ĐẠI SÔ Chuyên đề 1 CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1 Quy tắc nhân :

a) Đơn thức với đa thức : A B C   AB BC ;

b) Đa thức với đa thức : A B C D     AC BC AD BD   ;

A B A 3A B 3AB B ; +)  

A B A  3A B 3AB  B

+) A3B3 A B A   2 AB B 2

; +)A3 B3 A B A   2AB B 2

= Û íï

=ïî

+) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai : A.B  A B A 0,B 0   

+) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai :  

A 0,B 0

B  B   +) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai : A B2 A B B 0  .;

+) Đưa một thừa số vào dấu căn bậc hai :

; d)  2 32

;e) 3 22

Lời giải.

a) 2 3 5 3 2 5    2 3 2 5 2.3 2 2.5 6 10 6 5 2 

;b) 3 5 2 2 3 4   5 6 6 4 3 

;c)      2  2

3 2 3 2  3  2  9 2 7

;d)  2 3  2  2 22 2 3 3 2  5 2 6

;e)  2  2  2

;c) ( )2 ( )2 ( )2

; d) 3 5 3   5

;e)  3 52

Bài 4 Tính giá trị của biểu thức :

-Đáp án gợi ý :

-.c) 2

2

x có nghĩa Û x2> 0Û x ¹ 0.

d) 2 x 3( + ) có nghĩa Û 2 x 3 ( + ³ ) 0 Vì 2 > 0, nên 2 x 3( + ³) 0Û x 3+ ³ Û x³ - 3.e) Ta có : 2 ( )2 ( ) ( )2 ( )2

C MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC VÔ TỶ

Bài 1 Cho biểu thức :

– 1 = 2 2Vậy P = 2 2- khi a= -3 8.

b) Biến đổi x = 36 Î ĐKXĐ Þ x = ( )2

36 = ±6 = ± =6 6

.Thay x = 6 vào biểu thức A =

x 1x

, ta được A =

-=

< 0Với x Î ĐKXĐ thì x>0 Để

-x 1x

< 0 thì x 1 0- < Û £ <0 x 1. Kết hợp với ĐKXĐ, A >A khi 0 < x < 1.

-b) Tìm x để M >

1

3.c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2002 – 2003).

2M

c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 4 Cho biểu thức:

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2003 – 2004).

Vậy A =- 4 khi x =

1

4.

Bài 2 Cho biểu thức:

b) Tính giá trị của A khi x =16

c) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

d) Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên

Bài 5 Cho biểu thức :

b) Tính giá trị của A với x = 25

Vậy P =

x-

b) Ta có x > 0 và x ¹ 1 , P > 0 trở thành

x

> 0

-Với x Î ĐKXĐ, suy ra x >0 Để

x

> 0 thì 1- x> Û0 x< Û £ <1 0 x 1.Kết hợp ĐKXĐ, suy ra P > 0 khi 0 < x < 1

-Bài 7 Cho biểu thức A = ( √x −1√x −

1

x −√x): 1

√x −1

a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

c Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A √x=m−√x có nghiệm

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2007 – 2008)

Đáp án gợi ý :

a) Điều kiện xác định: 





1

0

x x

01m

1m

=

c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2008– 2009)

b Với x³ 0 và x ¹ 1,

5 P 4

= trở thành :

Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả minP = 2 khi x = 4

Bài 9 Cho biểu thức A =

a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của biểu thức A khi x =

ç

= ççè - ÷÷ø=-

c Với x³ 0 và x ¹ 1, A < 1 trở thành :

a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.

b Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

c Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1)

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2010– 2011)

= - +ç ÷çè ø÷- √x −12¿

2+(−1

4)

1 4 -

Dấu bằng xảy ra khi √x −12¿2=0⇔√x −12=0⇔ x =14

¿Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là (−1

1 - x 1

2 1 - x x

23x > - 2 x <

Bài 4 Cho biểu thức : A =

Bài 6 Cho biểu thức : P =

c) Tìm giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên lớn hơn 10 Tìm giá trị nguyên của M.

1:

11

1

a

a a

a a

a

a Rút gọn A b Tìm giá trị của a để

1 A 6

a Rút gọn P b Tính giá trị của P khi a = 3 - 2 2

1:1

221

1

x x

x x x x

x x

a Rút gọn A

b Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó

Bài 14 Cho biểu thức : P =

:1

11

12

x x

x x

a Rút gọn P b Tìm GT nguyên của x để P nhận GT nguyên dương

1:

1

x x

32

4

x

x x

x x

x x

x

.a) Rút gọn P

b) Tính GT của P biết x = 6 - 2 5

c) Tìm các giá trị của n để có x thoả mãn P.( x1) xn

x x

x x

1

41

:12

c) Tìm x để với mọi giá trị của x > 9 ta có : m( x- 3)P > x+1

x x

x x

1:11

2

23

a a

a

a a a

a

a a

a Rút gọn P b.Tìm a để : 8 1

11

x x

a Rút gọn P ; b Tìm các GT của x để P <2

1

Bài 23 Cho biểu thức : P = x x

x x

a Rút gọn P b Tính giá trị của P khi x= 4 c Tìm GT của x để P = 3

13

Bài 24.Cho biểu thức P = 9 , 0& 9

933

x x

x

a Rút gọn P b Tìm giá trị của x để P =3

1 c Tìm GTLN của P

Bài 25 Cho

2

x + x x - x - x

x + x

A 

a, Hãy rút gọn biểu thức A b Tìm x thoả mãn A = x - 2 + 1

Bài 26 Cho biểu thức:

a Rút gọn P b Chứng minh rằng : P 1 < . c Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài 28 (2,5 điểm) Cho biểu thức A =

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Tim tất cả các giá trị của x để A

12

.c) Tim tất cả các giá trị của x để

Vì B là một số nguyên => B = 1 hoặc B = 2

Với B = 1 => x =

1

9; Với B = 2 => x =

649

TH1 : B < 0  phương trình vô nghiệm.

TH2 : B  0  Bình phương hai vế ta được : A = B2  ……

c)  x2  6x 5 8 2x   

Hướng dẫn giải :

x = 2 không thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm x =

Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3 x 5  

Bài 2 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :



Dạng 1 Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

Dạng 2 Giải hệ phương trình dạng tổng quát

Ví dụ Giải các hệ phương trình sau :

2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0.

Giải.

1) Với a = 1, ta có hệ phương trình :

3x

y21

2) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.

m 21y

b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi:

m   1  m2 ≠ - 3 với mọi mVậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

2) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y =

3x

2) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 3 Cho hệ phương trình :

2) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho :

S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4 Cho hệ phương trình:

mx – y 23x my 5

1) Giải hệ phương trình khi m = 2

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho: x + y = 0

Bài 5 Cho hệ phương trình :

mx y 3 (1)2x my 9 (2)

2) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểuthức A = 3x - y nhận giá trị nguyên

Bài 6 Cho hệ phương trình:

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1

Dạng 4 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Phương pháp Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thường làm như sau :

Bước 1 Lập hệ phương trình.

- Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn

- Biểu thị các yếu tố chưa biết qua ẩn và các yếu tố đã biết

- Tìm mối liên hệ để lập phương trình

Bước 2 Giải hệ phương trình vừa lập.

Bước 3 Đối chiếu giá trị vừa tìm được với ĐK để trả lời.

Dạng 1 Toán về quan hệ giữa các số.

c là chữ số hàng đơn vị : 0 c 9  , c  .

Ví dụ 1 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lẫn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số

hàng chục 1 đơn vị Và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới có haichữ số bé hơn số cũ 36 đơn vị

Giải Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y

Điều kiện của ẩn là x và y là số nguyên , 0 x 9   và 0 y 9  

Khi đó, số cần tìm là xy 10x y  

Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số yx 10y x  

Theo bài ra ta có hệ phương trình :

Vậy chữ số cần tìm là : 95

Bài tập tự luyện.

Bài 1 Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 9 Nếu thêm vào số đó 45 đơn vị thì

số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó

Bài 2 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi hai chữ

số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 27 đơn vị

Bài 3 Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17 Biết rằng chữ số hàng

chuch là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số tăng thêm 99đơn vị

Dạng 2 Loại toán chuyển động.

Phương pháp giải :

+) Toán chuyển động có ba đại lượng tham gia vào : Quảng đường (s), vận tốc (v), thờigian (t)

Gọi s là quảng đường , v là vận tốc, t là thời gian Ta có : s = v.t

Ví dụ 1 Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một quảng đường AB sau 3 giờ thì

gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau một giờ ô tô cách xe đạp 28

km Biết quảng đường AB dài 156km, tính vận tốc xe đạp và ôtô

Giải Gọi x là vận tốc xe ô tô là x (km/h, x >0), vận tốc xe đạp là y (km/h, y >0).

Ví dụ 2 Một chiếc xe tải đi từ A đến B, quảng đường dài 189 km Sau khi xe tải xuất phát

1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ B đến A và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phút Tính vậntốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km

Giải Đổi : 1 giờ 48 phút =

9

5 giờ.

Gọi vận tốc xe khách là x (km/h) và vân tốc của xe tải là y (km/h) Điều kiện của ẩn là x và

y là những số dương Theo bài ra ta có hệ phương trình

Bài 1 Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định Nếu vận tốc tăng thêm

20km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt 10km/h thì thời gian tăngthêm 1 giờ Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô

Giải ra ta được : x = 40, t = 3 thỏa mãn điều kiện x > 0, t > 0

Vậy vận tốc dự định là 40km/h, thời gian dự định đi từ A đến B là 3 giờ

Bài 2 Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau Sau

1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô xuôidòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng 9km/h và vận tốc của dòng nước là 3 km/h (vậntốc thật của ca nô không đổi)

Bài 3 Đoạn đường AB dài 200 km Cùng lúc một xe máy đi từ A và một ô tô đi từ B, xe

máy và ô tô gặp nhau tại C cách A 120km Nếu xe máy khởi hành sau ô tô 1 giờ thì gặpnhau tại D cách C 24km Tính vận tốc của ô tô và xe máy

Bài 2 (1,5 điểm) Trên quãng đường AB dài 156 km, một người đi xe máy từ A và một

người đi xe đạp từ B hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ thì gặp nhau Biết rằng vậntốc xe máy lớn hơn vận tốc xe đạp là 28 km/h Tính vận tốc của mỗi xe

(Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2012 – 2013)

Hướng dẫn

Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi xe máy ( x > 0)

Vận tốc của người đi xe đạp là y (km/h) (y > 0)

Ta có pt: x – y = 28 (1)

Quãng đường người đi xe máy trong 3 giờ là 3x (km)

Quảng đường người đi xe đạp trong 3 giờ là 3y (km)

Do hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ nên ta có phương trình:

x y

vận tốc của người đi xe đạp là 12 km/h

Dạng 3 : Toán làm chung công việc

Phương pháp giải.

+ Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia : Toàn bộ công việc, phần làm việctrong một đơn vị thời gian (năng xuất làm việc), thời gian

+ Năng xuất làm việc : đưa về một đơn vị thời gian (chẳng hạn một ngày, 1 giờ ….)

Nếu một đội làm công việc trong x ngày thì một ngày đội đó là được

1

x công việc

Xem toàn bộ công việc là 1

Ví dụ 1 Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày,

phần việc đội A làm được bằng

2

3 đội B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn

đường đó trong bao lâu ?

Giải

Gọi thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là x (ngày) và thời gian đội B làm mộtmình xong đoạn đường là y (ngày)

Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương Ta có :

Công việc đội A làm trong một ngày

x = 60, y = 40 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là : 60 ngày, thời gian đội B làm mộtmình xong đoạn đường là 40 ngày

Ví dụ 2 Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 7 giờ12 phút xong Nếu một mình

người thứ nhất làm trong hai giờ sau đó một mình người thứ hai làm trong ba giờ làm được

1

3 công việc Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu lâu sẽ xong công việc ?

Giải Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai

làm xong công việc (giờ, x, y > 7,2)

Theo bài ra ta có hệ phương trình :

x = 12, y = 18 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 12 giờ, một mình người thứ hai làmxong công việc trong 18 giờ

Bài tập đề nghị.

Bài 1 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm

3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thi chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêngthì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Giải Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai

làm xong công việc (giờ, x, y > 16)

x = 24, y = 48 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ, một mình người thứ hai làmxong công việc trong 48 giờ

Bài 2 Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước (không có nước) thì bể sẽ đầy trong

1 giờ 30 phút Nếu hai vòi chảy nhưng vòi thứ nhất chảy 15 phút, vòi thứ hai trong 20 phútthì chỉ được

1

5 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bề là

bao nhiêu ?

Giải Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) và thời gian vòi thứ hai

chảy một mình đầy bể là y (giờ) Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương Ta có :

1 giờ vòi thứ nhất chảy được

240 thỏa mãn ĐK bài toán.

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể :

15

4 giờ ; vòi thứ hai chảy một mình đầy bể :

5

2giờ.

Bài 3 Để trở một số hàng có thể dùng một ô tô lớn trở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ trở 15

chuyến Ô tô lớn trở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ trở tiếp choxong, hai xe trở tổng cộng 14 chuyến xong công việc Hỏi mỗi ô tô trở mấy chuyến

Giải Gọi x là sô chuyến ô tô lớn chở, y là sô chuyến ô tô nhỏ chở (x, y nguyên dương)

Theo bài ra ta có hệ phương trình :

x = 4, y = 10 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy ô tô lớn chở 4 chuyến, ô tô nhỏ chở 10 chuyến

Bài 4 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm

trong 4 giờ rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong 7 giờ thì họ làm được

1

3 công việc Hỏinếu làm một mình thì mỗi người mất bao lâu để hoàn thnàh công việc ?

Bài 5 Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc Nếu

một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả haingười làm được 75% công việc Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong côngviệc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi)

Bài 6 Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong Nếu người thứ

nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏimỗi người làm một mình thì sau bao lâu xong việc ?

Bài 7 Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành công việc trong

12 ngày Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội A được điều động đi làm công việckhác Tuy chỉ còn một mình đội B làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội Btăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi với năng suất banđầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên ?

Bài 8 Để chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các đoàn viên hai lớp 9A và 8A của

trường trung học cơ sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường Mỗi đoàn viên lớp9A trồng 3 cây, mỗi đoàn viên lớp 8A trồng hai cây Biết rằng số đoàn viên lớp 9A nhiềuhơn số đoàn viên lớp 8A là 5 người Hãy tính số đoàn viên của các lớp 9A và 8A

Bài 9 Để chở một đoàn khách 320 người đi tham quan chiến trường Điện Biên Phủ, công

ty xe khách đã bố trí 2 loại xe, loại thứ nhất mỗi xe có 40 chỗ, loại thứ hai mỗi xe có 12 chỗ

Em hãy tính số xe mỗi loại biết loại thứ nhất ít hơn số xe loại thứ hai là 5 chiếc và số ngườingồi vừa đủ số ghế trên xe

Bài 10 Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa

15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa.Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng

Lời giải.

Gọi x là số toa xe lửa và y là số tấn hàng phải chở Điều kiện: x  N*, y > 0

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

15x = y 516x = y + 3

Bài 11 Năm ngoái, hai đon vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc Năm nay,

đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái.Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc

LUYỆN TẬP

Bài 1 (Giải bài toán bằng cách lập phương trình)

Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định Nếuvận tốc ô tô giảm 10 km/ h thì thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc ô tô tăng 10 km/ h thìthời gian giảm 30 phút Tính vận tốc vμ thời gian dự định đi của ô tô

Giải ra ta được : x = 50, t= 3 thỏa mãn điều kiện x > 0, t > 0

Vậy vận tốc dự định là 50km/h, thời gian dự định đi từ A đến B là 3 giờ

Bài 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình)

Hai đội công nhân theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Thực tế, đội Avượt mức kế hoạch 10%, đội B vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai đội công nhân đãlàm được 404 dụng cụ Tính số dụng cụ mỗi đội công nhân phải làm theo kế hoạch

Bài giải.

Gọi x là số dụng cụ đội A, y là số dụng cụ đội B làm theo dự định

Điều kiện x,y là các số nguyên dương

Theo bài ra ta có hệ phương trình :

x y 36010x 15y

Để hoμn thμnh một công việc, hai đội phải làm chung trong 6 giờ Sau 2 giờ làmchung thì đội A được điều đi làm việc khác, đội B đã hoμn thμnh công việc còn lại trong 10giờ Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó.

Bài giải

Gọi thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là x (giờ) và thời gian đội B làm mộtmình xong đoạn đường là y (giờ)

Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương Ta có :

Công việc đội A làm trong một giờ

Vậy để hoàn thành công việc:

Đội A làm một mình : 15 giờ

Đội B làm một mình : 10 giờ

Bài 4 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình).

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần

và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m Hãy tìm diện tích của khu vườnban đầu

x = 9, y = 15 thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0

Vậy diện tích của khu vườn là : 15 x 9 = 135 m2

Chuyên đề 4

CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1 Giải phương trình bậc hai dạng : ax 2 + bx + c = 0 (a0) (1)

Để giải phương trình bậc hai người ta có thể dùng các cách sau :

a) Giải với :

Tính : = b2 – 4ac

+) Nếu  > 0  phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2

b x

c) Nhẩm nghiệm:

a + b + c = 0  pt (1) có 2 nghiệm:

1 2

1

x c x a

1

x c x a

+ Tổng lập phương các nghiệm: x13x23(x x1 2) 33 x x x x1 2( 1 2) = S3 – 3PS

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát

2) Xác định tham số để phương trình : có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hainghiệm dương ; có hai nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu

3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số

4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

C MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH.

Ví dụ 1 Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình trên khi m = 6

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x 1  x 2  3

(*)Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2)

a) Giải phương trình đã cho khi m = 3

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2

 x1 + 2x1 + x2 + 2x2 = 0

 (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0

 4m2 – 8 + 4m = 0  m2 + m – 2 = 0 

1 2

      > 0, m  R

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

b)Phương trình (1) luông có nghiệm với mọi m Theo định lí Vi-ét ta có :

a) Giải phương trình đã cho với m = 0

b)Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn :

Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra chỉ có m = –2 thỏa mãn.

Ví dụ 5 Cho phương trình x2 – 6x + m = 0

1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 – x2 = 4

a) Giải phương trình với m = 5

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng - 2

a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tínhtổng 2 nghiệm của phương trình

Lời giải

Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0 m1

b) Phương trình có 2 nghiệm khi:

∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0  m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng m

Do x1.x2 = 5 (gt) Ta có : 

m + 1

m - 1 = 5  m + 1 = 5m - 5