GIAO AN ON THI VAO THPT HAY

Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AHCE.. Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE.[r]

BAỉI TAÄP PHAÀN RUÙT GOẽN Baứi 1 :

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

1

2

H ớng dẫn :

d) Tìm x để | A | = A

H ớng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  1 Biểu thức rút gọn : A = √x

b) Xác định a để biểu thức A > 1

2 .

H ớng dẫn :

b Tính giá trị của P khi x=7 − 4√3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

H ớng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x  0, x 1 Biểu thức rút gọn : P= x+16

√x+3 b) Ta thấy x=7 − 4√3 ĐKXĐ Suy ra P=103+3√3

(KQ : A=

32

d CMR : A

23

 (KQ: A =

2 53

x x

a a

x x

 )

x x

( KQ : A =

33

) b.So sánh A với 1

x x

a Rút gọn A

b Tìm x để A =

65

x x



 )

BAỉI TAÄP PHAÀN HAỉM SOÁ BAÄC NHAÁT

Baứi 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

H ớng dẫn :

¿{Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 1

2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độbằng 1

3 .

Baứi 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

H ớng dẫn :

1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2

2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 Suy ra : x= 3 ; y = 0

Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 3

4 .

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt :

¿

y=− x+2 y=2 x − 1

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

H ớng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 ⇔ m = -1

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3 Ta đợc : m = -3

Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0) Ta có

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng

AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

H ớng dẫn :

¿{Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3

2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố địnhấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1

H ớng dẫn :



và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm

Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1;

3) và B(-3; -1)

Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).

Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0

¿{

¿Ph

ơng pháp giải :

Sử dụng một trong các cách sau :

+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau)

- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó

- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai

B Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1.

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

H ớng dẫn : Baứi 3 : Cho hệ phơng trình:

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

 có nghiệm duy nhất là (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất

2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y  2

Baứi 8 (trang 22): Cho hệ phơng trình :

¿

x - (m + 3)y = 0(m - 2)x + 4y = m - 1

¿{

¿

(m là tham số)

a) Giải hệ khi m = -1

b) Giải và biện luận pt theo m

Baứi 9 : (trang 24): Cho hệ phơng trình :

b) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa m ủeồ heọ coự hai nghieọm nguyeõn

c) Xaực ủũnh moùi heọ coự nghieọm x > 0, y > 0

Baứi 10 (trang 23): Moọt oõtoõ vaứ moọt xe ủaùp chuyeồn ủoọng ủi tửứ 2 ủaàu moọt ủoaùn ủửụứng sau 3 giụứ

thỡ gaởp nhau Neỏu ủi cuứng chieàu vaứ xuaỏt phaựt taùi moọt ủieồm thỡ sau 1 giụứ hai xe caựch nhau 28

km Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe

HD : Vaọn toỏc xe ủaùp : 12 km/h Vaọn toỏc oõtoõ : 40 km/h.

Baứi 11 : (trang 24): Moọt oõtoõ ủi tửứ A dửù ủũnh ủeỏn B luực 12 giụứ trửa Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc

35 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 2 giụứ chieàu Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 50 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 11 giụứtrửa Tớnh ủoọ quaỷng ủửụứng AB vaứ thụứi dieồm xuaỏt phaựt taùi A

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.

Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 45 giờ thì đầy4

bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau 65 giờ nữa mới naybể Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể

Đáp số : 8 giờ.

Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏiphải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C

Hường dãn :

Ta có hệ pt :

¿

x + y = 10100x + 20y = 400

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50% Lại thêm

300g nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít trongdung dịch ban đầu

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu

Theo bài ra ta có hệ pt :

¿(x + 200)

y + 200 .100 %=50 %(x+ 200)

1 Để biện luận sự cĩ nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đĩ a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp

a) Nếu a= 0 khi đĩ ta tìm được một vài giá trị nào đĩ của m ,thay giá trị đĩ vào

(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên cĩ thể : - Cĩ một nghiệm duy nhất

- hoặc vơ nghiệm

- hoặc vơ số nghiệm

b)Nếu a 0

Lập biệt số Δ = b2 – 4ac hoặc Δ / = b/2 – ac

* Δ < 0 ( Δ / < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm

3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai.

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:

x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 ) ⇔ p = x1x2 < 0

Hai nghiÖm cïng d¬ng( x1 > 0 vµ x2 > 0 ) ⇔

¿

Δ≥ 0 p>0 S>0

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho

trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện Δ≥ 0 )

d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trớc Tìm nghiệm thứ 2

Cách giải:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện Δ≥ 0 (hoặc Δ❑≥ 0 ) mà ta thay luôn

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và

giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này

có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x – 2mx + m – 6 = 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,

x2 = - c

a=−

204

17 = - 12c) x2 + ( √3−√5 )x - √15 = 0 có: ac = - √15 < 0

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 – 3x – 7 = 0

S −2

p − S +1=−

1

9 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2

1 Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

3 Gọi x , x là nghệm của phơng trình (1) Tìm k để : x + x > 0

4 )2 +

87

16 > 0 với mọi k) ⇔ k > 1

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm

Bài 7:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.)

3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = - 9

22) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.

2(m− 3) 2(m+2)=

m− 3 m+2

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

Kiểm tra lại: Thay m = 11

2 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm

x1 = 1 , x2 = 5

15 =

1

3 (thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 ⇔ x = 3

4 + Nếu m 0 Lập biệt số Δ❑

= (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m

Δ❑ > 0 ⇔ - m + 4 > 0 ⇔ m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt

x1 = m−2 −√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4 m

 x2 = 34

9 - x1 = 34

9 - 3 =

79

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

2 hoặc k2 =

− 5+√33

2 thì phơng trình (1) Có nghiệm kép

0 Cách giải là:

Từ điều kiện x1 + x2 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = - 7

2 (cách tìm nh trên)Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

BAỉI TAÄP PHAÀN PHệễNG TRèNH BAÄC HAI

Baứi 1 : Cho phơng trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình Không giảiphơng trình, hãy tính:

(với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Baứi 4 : Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính B = x1 + x2

Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2  0

Δ , = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

GIAÛI BAỉI TOAÙN BAẩNG CAÙCH LAÄP PHệễNG TRèNH Baứi 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ

chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô

Hửụựng daón : Goùi vaọn toỏc cuỷa oõtoõ thửự nhaỏt laứ x (km/h ẹK x > 0) Ta coự :

Vaọn toỏc cuỷa oõ toõ thửự hai laứ : x – 10 (km/h)

Do oõtoõ thửự nhaỏt ủeỏn B sụựm hụn oõtoõ thửự hai 1 giụứ ta coự phửụng trỡnh : 300x -10 - 300

x =1

Giaỷi ra ta ủửụùc: x = - 50 (loaùi) ; x = 60

ẹaựp soỏ : Vaọn toỏc oõtoõ thửự nhaỏt : 60 km/h

Vaọn toỏc oõtoõ thửự hai: 50 km/h

Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận

tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại

Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

Hửụựng daón : Goùi x laứ quaỷng ủửụứng AB (Km ẹK x > 0)

Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh : 3 502 x + x

Vaọy quaỷng ủửụứng AB laứ : 300km

Baứi 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Neỏu chảy cùng một thời gian

nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lợng nớc của vòi I chảy đợc Hỏi mỗi vòi chảy riêng thìsau bao lâu đầy bể

H

ớng dẫn : Gọi x, y lần lợt là thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể

Theo bài ra ta có hệ phơng trình :

¿1

x +

1

y=

5241

x=

32y

Đáp số : Vòi 1 chảy một mình đầy bể 8 giờ

Vòi 2 giờ chảy một mình đầy bể mất 12 giờ

Baứi 4 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35

km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng

đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu

H

ớng dẫn : Gọi quaỷng ủửụứng AB laứ x (km), thụứi gian dửù ủũnh laứ y(giụứ) ẹK : x > 0, y > 0.

Theo baứi ra ta coự heọ pt :

¿35(y +2)= x50(y - 1) = x

¿{

¿

suy ra : 35y + 70 = 50y -50 ⇔ y = 8 (TMẹK)

Thay vaứo heọ ta ủửụùc x = 350 (TMẹK)

ẹaựp soỏ : Quaỷng ủửụứng AB : 350 (km)

Thụứi gian dửù ủũnh ủi : 8 (giụứ)

Baứi 5 : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc

của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai2h Tính vận tốc của mỗi ôtô?

Hửụựng daón : Gọi x (km) là vận tốc của ôtô thứ 2 ĐK x > 0.

Theo gt bài toán ta có pt : 180

Baứi 6 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc

tất cả 80 cây Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ;mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ

Giải : Gọi số học sinh nam là x (em) ĐK : x nguyên dơng, x 13

Số HS nữ : 8 em

Baứi 7 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở

B rồi trở lại từ B về A Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ Biết vận tốc lúc về kém vận tốclúc đi là 5 km/h Tính vận tốc lúc đi của ô tô

Giải : Gọi vận tốc lúc đi là x (km/h) ĐK : x > 5.

Giải ra ta đợc : x = 805 −725

34 (loại) ; x = 45 (TMĐK).

Đáp số : Vận tốc lúc đi : 45 (km/h)

Baứi 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ

A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôitại một địa điểm C cách A là 8 km Tính vận tốc thực của ca nô

Giải : Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h) ĐK x > 4.

Theo gt bài ra ta có pt : 24

x +4+

16

x - 4=2 ⇔ 2x2 – 40x = 0Giải ra ta đợc : x = 0 (loại) ; x = 20

Đáp số : Vận tốc thực của canô : 20 (km/h)

Baứi 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến

B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vậntốc mỗi xe

Giải : Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h) ĐK x > 0.

Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h) Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h)