Đa thức cực tiểu của toán tử tuyến tính

Luận văn, khóa luận, tiểu luận, báo cáo, đề tài

Lời nói đầu

Khi nghiên cứu về các toán tử tuyến tính của một không gian véc tơ hữu hạnchiều E trên trờng K đã dẫn đến khái niệm về đa thức đặc trng Đa thức đặc trng của toán tử tuyến tính đợc đồng nhất với đa thức đặc trng của ma trận của toán tử tuyến tính đối với một cơ sở nào đó trong không gian véc tơ E Toán tử đa thức ứng với đa thức

f(t)=c0t+c1t + + crtr∈K[t]

là toán tử f(ϕ) = c0idϕ + c1ϕ + crϕr của E, với ϕ∈ L(E)

Đa thức cực tiểu của ϕ là đa thức g có bậc nhỏ nhất hệ số cao nhất bằng 1 sao cho g(ϕ) = 0

Khoá luận này nghiên cứu về đa thức cực tiểu của các toán tử tuyến tính

Khoá luận này đợc chia làm 3 tiết:

Đ1: Khái niệm về toán tử đa thức và đa thức cực tiểu

Đ2: Đa thức cực tiểu trong không gian xích.

Đ3: Đa thức cực tiểu trong không gian bất khả quy.

Các kết quả chủ yếu đạt đợc trong khoá luận này là:

Trình bày khái niệm không gian xích và đa thức cực tiểu trong không gianxích Cho E là một không gian hữu hạn sinh, ϕ∈ L(E) Với mỗi x∈E,

đặt E(x) = {f(ϕ) (x)/ f(t) ∈ K[t] }

Không gian con E’của E gọi là một không gian xích nếu E’ = E(x)

Có thể hiểu không gian xích là một không gian con của E sinh bởi x và ϕ

Trong tiết này đã chứng minh đợc:

- Định lý 2.1: Đa thức cực tiểu g của E(x) là ớc của mọi đa thức

Luận văn có thể mở rộng theo hớng nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thứccực tiểu của ma trận với cấp của khối Jordan của ma trận đó hoặc đa thức cực tiểucủa các dạng ma trận đặc biệt Tuy nhiên do điều kiện về thời gian và năng lực tácgiả cha đề cập đợc.

Trong quá trình làm luận văn tác giả đã đợc sự giúp đỡ tận tình, chu đáo củathầy giáo Thạc sỹ nguyễn văn giám Tác giả xin chân thành biết ơn sự giúp

đỡ chỉ bảo của thầy Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáotrong tổ Đại Số khoa Toán ĐH Vinh đã góp ý và chỉ bảo để luận văn đợc hoànthiện hơn

Đ1 Khái niệm về toán tử đa thức và Đa thức Cực tiểu

b Cho A là một ma trận vuông cấp n Đa thức cực tiểu của A ( kí hiệu là

gA) là một đa thức chuẩn hoá f∈K[t] có bậc nhỏ nhất sao cho f(A) = 0.

II- Các ví dụ:

Ví dụ 1: Ta có gϕ= t-c  ϕ(x) = cx, mọi x∈E , c = const

Ví dụ 2: Giả sử ϕ là phép chiếu ϕ(a1, ,an) = (a1, ,am, 0, ,0), m<n

Ta có gϕ=t2- t

Thật vậy: do gϕkhông có dạng t-c, nên deg gϕ > 1

Khi đó ϕ2 (a1, ,an)=ϕ.ϕ(a1, ,an)=ϕ(a1, ,am, 0, ,0)=( a1, ,am, 0, ,0)Suy ra ϕ2= ϕ  ϕ2-ϕ=0

ϕ là các toán tử luỹ thừa.

Khi đó ta có: dim L(E) = n2

Từ đó suy ra phải có một tuyến tính không tầm thờng:

c0idE + c1ϕ + + cr ϕr = 0 (r<n2)

Giả sử cr =1 Khi đó f(t)= c0 + c1t + +1.tr, là một đa thức chuẩn hoá, vàf(ϕ)= 0

Vì vậy gϕ luôn đợc xác định

+) Chứng minh sự tồn tại duy nhất:

Giả sử h(t) là đa thức thoả mãn điều kiện trên Khi đó xét:

(gϕ - h) (ϕ)=gϕ(ϕ) – h(ϕ) = 0

Bậc của gϕ-h nhỏ hơn bậc của gϕ , vì gϕ và h là những đa thức chuẩn hoá cócùng bậc Vì vậy gϕ - h = 0, suy ra gϕ = h

Do đó: gϕ luôn luôn tồn tại và duy nhất

Lu ý: Nếu f ∈ K[t] là một đa thức thoả mãn điều kiện f(ϕ)=0, thì gϕ là ớccủa f

Hệ quả 1.2: E’ là không gian bất biến của ϕ, ánh xạ thu hẹp của ϕ trên E’ là ánhxạ cảm sinh của ϕ trên E/E’ cũng là toán tử tuyến tính

Khi đó: Đa thức cực tiểu của E’ và E/E’ là ớc chung của gϕ

Chứng minh:

+) Gọi ϕ’ là toán tử tuyến tính của ánh xạ thu hẹp của ϕ trên E’ Ta có:

gϕ(ϕ’)(x)= gϕ(ϕ’(x)) = gϕ(ϕ(x))= gϕ(ϕ)(x)=0, với mọi x ∈ E’

vì vậy gϕ(ϕ’)=0

+) Gọi ψ là ánh xạ cảm sinh bởi ϕ trên E/E’, với mọi x∈e/e’

Ta có: gϕ(ψ) (x) = gϕ(ψ(x))= gϕ(ϕ(x))= gϕ(ϕ)(x)=0.

Suy ra: gϕ(ψ)=0 Vậy gϕ phải là bội của đa thức cực tiểu của E’ và E/E’

Bổ đề 1.3: Giả Sử A là một ma trận của toán tử tuyến tính ϕ ta có:

i) f(A) là một ma trận của toán tử đa thức f(ϕ) cho mọi đa thức f∈K[t].ii) gA= gϕ

Vậy đa thức cực tiểu của ma trận A phải là ớc của fA

ii) Giả sử B là một ma trận đồng dạng với ma trận A Khi đó A, B, là những

ma trận của cùng một toán tử tuyến tính ϕ Do đó đa thức cực tiểu của toán tửtuyến tính ϕ bằng đa thức cực tiểu của ma trận của nó trong bất kỳ cơ sở nào củakhông gian E

Hay gB = gA=gϕ

Bổ đề 1.5.

Cho f ∈ K[t] là một đa thức tuỳ ý Ta đặt H(f):= ker f(ϕ)

i) H(f) là một không gian bất biến

ii) f là đa thức cực tiểu của H(f) nếu f là một đa thức chuẩn hoá và là ớc của

Do đó theo định nghĩa, ta có H(f) là một không gian bất biến

ii) Gọi h là một đa thức cực tiểu của ánh xạ thu hẹp của ϕ trên H(f) Dof(ϕ)(x) =0, với mọi x∈H(f) Nên ta có thể viết f=f1 h (vì h là ớc của f).Giả sử f ≠ h, thì deg (f)> deg (h)

Đặt: gϕ = fg,

g1 =hg

Suy ra: deg(gϕ) > deg (g1)

Do gϕ là đa thức cực tiểu, nên ta thấy g1(ϕ)≠ 0 Điều này có nghĩa là tồntại một véc tơ x∈ E sao cho g1(ϕ)(x) ≠ 0 (1)

Đặt y = g(ϕ)(x) Ta thấy:

f(ϕ)(y) = f(ϕ)g(ϕ)(x) = (fg)(ϕ)(x) = gϕ(ϕ)(x) =0 Suy ra y∈ H(f) Mặt khác ta lại có :

+) Điều kiện đủ: Nếu c là một giá trị riêng của toán tử tuyến tính ϕ, ứngvới mỗi véctơ riêng x khác 0.

Với mọi véc tơ x1 ∈ E1, thì g(ϕ)(x1) = 0

Với mọi véc tơ x2 ∈ E2,thì h(ϕ)(x2) = 0

Do E1⊕E2 là tổng trực tiếp của E1 và E2 Nên với mọi x ∈ E1 ⊕ E2thì x có sựbiểu diễn một cách duy nhất dới dạng:

x= x1+ x2, với x1 ∈ E1 ; x2∈ E2

Và f(ϕ)(x)=0 (vì f là đa thức cực tiểu của E1⊕E2)

Do đó: 0=f(ϕ)(x)=f(ϕ)(x1+x2)=f(ϕ)(x1)+f(ϕ)(x2)= 0+0

Từ đó suy ra: f(ϕ)(x1)= 0 và f(ϕ)(x2)=0

Suy ra: g là ớc của f và h cũng là ớc của f.

Vì đa thức cực tiểu f của E1⊕ E2 là đa thức chuẩn hoá có bậc bé nhất để f (ϕ)=0.Vậy f là bội chung nhỏ nhất của g và h ( hay f=BCNN[g,h])

Do gϕ(ϕ(x)) = 0, với mọi x∈E Nên E=H(gϕ)

Nếu r=1 thì công thức (1) là hiển nhiên

Nếu r>1 ta có thể dùng quy nạp giả thiết:

H(g2 p2 grp r)=H(g2 p2)⊕ ⊕ H(gr p r )

Khi đó E=H(g1 p1)⊕ H(g2 p2 gr p r )= H(g1 p1)⊕ ⊕H(gr p r)

Do H(f1f2)= H(f1)⊕H(f2), với (f1, f2 ) = 1

§2: §a thøc Cùc tiÓu trong kh«ng gian xÝch.

§a thøc cùc tiÓu g cña kh«ng gian bÊt biÕn E(x) cã c¸c tÝnh chÊt sau:

i) g lµ íc cña mäi ®a thøc h∈K[t] tho¶ m·n tÝnh chÊt h(ϕ)(x)=0

ii) deg g = dim E(x)

=h(ϕ) 0+r(ϕ)(x)=r(ϕ)(x).

Do đó f(ϕ)(x) là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: x, ϕ(x), ,ϕm-1(x)

Từ đó suy ra: dim E(x) ≤ m

Nếu dim E(x) < m Khi đó ta có một quan hệ tuyến tính không tầm thờng:

c0x+c1ϕ(x)+ +cm-1ϕm-1(x)=0

Đặt h(t):=c0+c1t+ +cm-1tm-1

Do h(ϕ)(x) = 0, nên h là một bội của g Điều này không thể xảy ra đợc vì

deg h<m=deg gVậy dim E(x) =m =deg g

Hệ quả 2.2: Cho x∈E là một véc tơ tuỳ ý Cho g là đa thức cực tiểu của E(x) và h

là một đa thức tuỳ ý trong K[t] Ta có:

Vì vậy: h(ϕ)[E(x)]= E(h(ϕ)(x))

Vậy h(ϕ)[E(x)] là một không gian xích

ii) Giả sử g=dg1 và h=dh1 do d là ớc chung lớn nhất của g và h nên g1 và h1 nguyên tố cùng nhau

Khi đó sẽ tồn tại các đa thức p và q sao cho:

Do g2=pg1g 2+qh1g 2 Suy ra g1 phải là ớc của g2

dim h(ϕ)[E(x)]=deg g = dim E(x)

Ta đã biết “E là một không gian véc tơ hữu hạn sinh và E’ là một khônggian con của E Ta có: Nếu dim E’ = dim E thì E’=E ”

Vậy E1 có đa thức cực tiểu là gp

- Xét không gian thơng F=E/E1 và toán tử tuyến tính ψ của F đợc cảm sinhbởi ϕ Ta có: ψ (x)=ϕ(x), với mọi x∈F

Do đó gϕ(ψ)(x)= gϕ(ψ(x))= gϕ(ϕ(x))=gϕ(ϕ)(x)=0 Nên theo hệ quả 1.2)

thì đa thức cực tiểu của ψ là ớc của gϕ, và do đó có dạng gq với q≤p

Vì: dim F= dim E – dim E1 < dim E

Bằng phơng pháp quy nạp theo dim E, ta có thể giả thiết là F có các không gian xích F2, ,Fs, sao cho: F= F2⊕ ⊕Fs

Giả sử xi là phần tử sinh của Fi, (vớixi∈E), (i = 2, ,s.)

Theo hệ quả 1.2 thì đa thức cực tiểu của Fi có dạng gk với k≤q

Vì gk(ψ)(xi)=0, nên gk(ϕ)(xi)= 0, suy ra gk(ϕ)(xi ) ∈ E1 mà E1=E(x), suy ra

Do f1(ϕ)(x) ∈ E1 nên yi= xi Vì Eivà Fi là những không gian xích sinh bởi yi

và yi nên mọi phần tử của Fi đều có đại diện trong Ei Điều này chứng tỏ:

E=E1+E2+ +Es Ta sẽ chứng minh tổng này là một tổng trực tiếp:

Giả sử: h là đa thức cực tiểu của Ei

Ta có: h(ϕ)(yi)=0 Suy ra h(ψ)(yi) = h(ψ(yi)) = h(ψ(yi)) = h(ϕ(yi)) = 0

Theo định lí 2.1(i)) thì h là bội của gk

Mặt khác, ta cũng có: gk(ϕ)(yi)=gk(ϕ)(xi)_gkf1(ϕ)(x)=gk(ϕ)(xi)_f(ϕ)(x)=0

Do đó h cũng là ớc của gk Điều này chứng tỏ h=gk

Khi đó, theo định lí 1.2 (ii) : Thì dim Ei= deg gk=dim Fi

Vì vậy: dim E =dim E1+dim E/E1

= dim E1+dim F2 + + dim Fs = dim E1+dim E 2+ + dim Es

Ta đã có kết quả: dim(E1 + +Er ) ≤ dim E1+ + dim Er

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E1+ +Er là tổng trực tiếp trong E

Vì vậy ta phải có: E=E1⊕ ⊕Es

Định lí 2.4:

Nếu E’ là một không gian con bất biến của ϕ thì E’ là không gian xích khi vàchỉ khi dim E’ bằng bậc của đa thức cực tiểu của ánh xạ thu hẹp của ϕ trên E’

Chứng minh:

Gọi gϕ là đa thức cực tiểu của ϕ; ϕ’= ϕ/E’ và gϕ là đa thức cực tiểu của ϕ’

Điều kiện cần: Giả sử E’ là không gian xích ta chứng minh:

dim E’=deg (gϕ’).Thật vậy:

Vì E’ là không gian xích thì E’=E(x), với mỗi véc tơ x nào đó thuộc E

Theo định lí 2.1 (ii) ta có dim E(x)=dim E’=deg (gϕ’),

hay dim E’ = deg (gϕ’).

Điều kiện đủ: đảo lại nếu dim E’=deg(gϕ ’) Ta cần chứng minh E’ là mộtkhông gian xích tức là phải chứng minh E’=E(x), với x là véc tơ nào đó thuộc E

Đặt dim E’=deg gϕ’ =k, (với k≤n).

Suy ra dim E’=deg gϕ’ ≤ dim E

+) Nếu k=0, suy ra gϕ ’=1.

Suy ra gϕ’(ϕ)=iE

Nếu với mọi x∈E’ thì x =iE(x)=gϕ’(ϕ)(x)=0

Suy ra E’={0}, suy ra E’=E(0) là không gian xích

+) Nếu k>1, khi đó tồn tại x∈E’, x khác 0 vì trái lại thì E’={0}

Suy ra: a1(x)+ a2ϕ’(x)+ + akϕ’k-1(x)=0

Từ đó suy ra: f(ϕ’)(x)=0, với f∈k[t]

Do gϕ’ là đa thức cực tiểu của E’ nên gϕ’/ f.

Suy ra f=0, do đó ta có: a1= a2= = ak=0

Vậy hệ (1) độc lập tuyến tính và hệ (1) có không gian véc tơ bằng dim E’, nên (1) là cơ sở của E’

Từ đó: với mọi y∈E’ và mọi f∈K[t] ta có:

Thật vậy, Nếu E(x)=E(y), (với x,y∈E) và gϕ là đa thức cực tiểu của E(x).Khi đó lấy f ∈K[t] mà f là nguyên tố cùng nhau với đa thức cực tiểu gϕ của

E(x) Khi đó theo hệ quả 2.2 ( iii) ,ta có:

f(ϕ)(E(x)) = E(x) = E(y)

k b x b

1 ϕ

i i

i

b f

y

f

1

) ( 1

)(

( )

)(

Từ đó suy ra: f(ϕ)(x) = y

Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại đa thức f nguyên tố cùng nhau với đa thức cực tiểu

gϕ của E(x) sao cho y = f(ϕ)(x) Ta chứng minh E(x)=E(y) với x,y ∈ E

Nếu có đa thức f∈K[t] sao cho f nguyên tố cùng nhau với đa thức cực tiểu gϕ và y=f(ϕ)(x) Khi đó ta có:

f(ϕ)(E(x)) = E(x)

Suy ra : E(y) =E(f(ϕ)(x)) = f(ϕ)(E(x)) = E(x)

Vậy E(y) = E(x)

Số các không gian thành phần có cùng đa thức cực tiểu gk (k ≤p) là một

số chỉ phụ thuộc vào ϕ mà không phụ thuộc vào sự phân tích E thành tổng trựctiếp Để khẳng định điều này ta có định lý sau :

Định lý 2.6 :

Giả sử gϕ= gp với g là một đa thức bất khả quy và E = E1⊕ ⊕ ES Gọi Sk là

số các không gian thành phần có đa thức cực tiểu là gk (k ≥1) Ta có :

Sk=deg1g [dim gk-1(ϕ)(E) – 2dim gk(ϕ)(E) + dim gk+1(ϕ)(E) ]

Vì vậy : gk(ϕ)(E) = gk(ϕ)(E1) ⊕ ⊕ gk(ϕ)(Es)

Theo hệ quả 1.2) ,thì ta có đa thức cực tiểu của Ei là một luỹ thừa gq

Nếu q ≤k thì gk(ϕ)(Ei) = 0

Nếu q > k thì gk(ϕ)(EI) là một không gian xích có đa thức cực tiểu là gq-k (theo hệ quả 2.2 ).

Theo bổ đề 2.1 (ii) , thì:

dim gk(ϕ)(Ei) = deg gq-k = (q-k)deg g

Do Sq là các không gian Ei có đa thức cực tiểu là gq nên ta có:

dim gk(ϕ)(E) = dim gk(ϕ)(E1)+ +dimgk(ϕ)(Es)

=∑

>

−

k q

q q k g

=[Sk+1+2.Sk+2 + +(p-k)Sp]deg g (1)Tơng tự ta có:

dim gk-1(ϕ)(E)=[Sk+2.Sk+1+ +(p-k+1)Sp]deg g (2)

Từ đây suy ra:

Chứng minh:

Giả sử gϕ=gp, với glà một đa thức bất khả quy

Khi đó theo Định lý 2.3) thì ta sẽ tồn tại các không gian xích E1, ,Es, sao cho: E=E1⊕ ⊕Es

g

deg

1

+) Nếu dim E=1 thì E là một không gian bất biến, mà ta đã biết mọi khônggian bất biến một chiều đều là không gian xích

+) Giả sử dim E>1, khi đó ta có gp-1(ϕ)≠ 0 Suy ra tồn tại x∈E sao cho

Vậy E1 có đa thức cực tiểu có dạng gp

Hay sự phân tích E thành tổng trực tiếp các không gian xích phải có ít nhất một không gian thành phần có đa thức cực tiểu là gp

Từ các định lý và bổ đề trên ta có:

Nhận xét:

Nếu đa thức cực tiểu của ϕ có dạng gϕ=gp với g là một đa thức bất khả quy,thì E sẽ phân tích đợc thành tổng trực tiếp những không gian xích và sự phân tíchnày đợc xác định một cách duy nhất Và số chiều của các không gian này bằngbậc của đa thức cực tiểu Nh vậy đa thức cực tiểu của những không gian này phải

là luỹ thừa gk với k ≤p

Đ3: đa thức cực tiểu trong không gian bất khả quy

Để nghiên cứu về đa thức cực tiểu trong không gian bất khả quy trớc hết ta:

Định nghĩa (Về không gian bất khả quy ):

Một không gian bất biến E’ của E đợc gọi là một không gian bất khả quy(của ϕ) Nếu E’ không thể biểu diễn đợc thành tổng trực tiếp hai không gian bấtbiến thực sự của E’

Vì vậy g phải là luỹ thừa của một đa thức bất khả quy

Hệ quả 3.2:

Giả sử gϕ= g1 p1 gr p r , với g1, , gr là những đa thức bất khả quy khácnhau Mọi không gian bất khả quy của E đều có đa thức cực tiểu là một luỹ thừadạng gik với 1≤k ≤ pi (i=1, ,n)

Chứng minh:

Ta đã biết theo hệ quả 1.2) thì đa thức cực tiểu của một không gian bất khả

quy phải là ớc của gϕ Theo định lý 3.1) thì một ớc nh vậy phải là luỹ thừa của đa

thức bất khả quy, nên nó có dạng gik với 1≤k ≤ pi (i=1, ,n)

Định lý 3.3:

Phép biến đổi tuyến tính ϕ có thể có thể chéo hoá đợc khi và chỉ khi đathức cực tiểu gϕ có thể viết dới dạng:

gϕ(t)=(t-c1) (t-cs), với c1, , cs là những số khác nhau

Do r=dim E1+ +dim Es= dim E=n

Nên T={x1 , ,xn} là một cơ sở của E Khi đó tồn tại các số ci , sao cho

ϕ(xi) =cixi , với mọi i=1, ,n

Do đó ta suy ra x1, ,xn là các véc tơ riêng của ϕ

Mà ta đã biết s là cơ sở của E nếu tồn tại ci sao cho ϕ(xi)=cixi, với xi là các véctơ riêng của ϕ Thì ma trận của ϕ theo s là một ma trận đờng chéo

Vậy ma trận của ϕ theo T có dạng đờng chéo

Để xét tính duy nhất của một sự phân tích E thành tổng trực tiếp các khônggian bất khả quy, ta có :

Bổ đề 3.4:

Giả sử gϕ= g1 p1 gr p r,với g1, , gr là những đa thức bất khả quy khácnhau

Cho E=E1⊕ ⊕ ES, là tổng trực tiếp các không gian bất khả quy Gọi Hi

là tổng trực tiếp các thành phần bất khả quy có đa thức cực tiểu là một luỹ thừacủa gi (i = 1, ,r ).Ta có :

Giả sử x là một véc tơ của H(gi p i) Khi đó ta có thể viết x dới dạng :

x =x1 + +xs , với xj∈Ej (j = 1, , s) Để chứng minh x ∈ Hi ta phải chỉ

ra rằng xj = 0 nếu Ei không phải là một luỹ thừa của gi

Trớc tiên ta có :

gi p i(ϕ)(x)= gi p i(ϕ)(x1)+ + gi p i(ϕ)(xj)=0

Do gi p i(ϕ)(xj)∈Ej nên theo định nghĩa của tổng trực tiếp ta phải có gi p i

(xj) =0 Theo hệ quả 2.2 (iii) , nếu đa thức cực tiểu của Ej không phải là một luỹthừa của gi thì gi p i(ϕ)(Ej) =Ej

Vậy ánh xạ thu hẹp của gi p i(ϕ) trên Ej là một toàn ánh Nên ánh xạ này cũng

là một đơn ánh (vì ta đã có ánh xạ thu hẹp của gi p i(ϕ) trên Ej là một toán tửtuyến tính của không gian véc tơ hữu hạn Ej và gọi ánh xạ đó là ψ thì ta có các

điều kiện sau là tơng đơng:

E=E1⊕ ⊕Es, là tổng trực tiếp các không gian bất khả quy E1, ,Es Gọi Sik

là số các không gian thành phần có đa thức cực tiểu là gik, với i=1, ,r,

dim(E1+ +Er)≤dim E1+ + dim Er Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E1+ +Er

j

H

Suy ra:

dim gik-1(ϕ)(Hi)-dim gik(ϕ)(Hi)=dim gik-1(ϕ)(E)-dim gik(ϕ)(E)

Khi đó thì thành phần bất khả quy của Hi là những không gian xích Do đa thứccực tiểu của Hi là gi p i nên theo định lí 2.6) Ta có

Sik =

i

g deg

Từ định lí 3.5) ta có thể nói rằng mọi sự phân tích E thành tổng trực tiếp các

không gian bất khả quy đều có cùng một ớc sơ cấp, cũng nh số lần các ớc sơcấp này xuất hiện trong các không gian thành phần

Định lý 3.7:

Cho E là một không gian xích của toán tử tuyến tính ϕ, thì khi đó mọi sựphân tích E thành một tổng trực tiếp các không gian bất khả quy có số thànhphần bằng số nhân tử bất khả quy của đa thức tối tiểu gϕ

chứng minh: Giả sử gϕ= g 1 p1 gr p r, với g1, , gr là những đa thức bấtkhả quy khác nhau Cho: E=E1⊕ ⊕ Es là tổng trực tiếp của các không gian bấtkhả quy E1, ,Es