Tính chất phổ của toán tử tuyến tính dương

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nhằm sử dụng quan hệ thứ tự và tính chất phổ của các toán tử tuyến tính đương để nghiên cứu sự tổn tại giá trị riêng ^.. Luận văn này chủ yếu là

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

[ese

Lê Phước Toàn

_ TINH CHAT PHO CUA

TOAN TU TUYEN TINH DUONG

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60.46.01

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.NGUYÊN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

Lê Phước Toàn

TINH CHAT PHO CUA

TOAN TU TUYEN TINH DUONG

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

Thanh phố Hồ Chí Minh - 2009

Trong suốt quá trình học tập, em đã nhận được những kiến thức quý

báu từ các thầy cô trong khoa Toán -Tin trường Đại học Sư Phạm Tp

HCM và trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, cũng qua luận văn này em

xin được đồng kính gửi đến các thầy cô lòng tri ân thành kính nhất

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN-SPH đã giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện

luận văn này

3k 33k 3k sk 2 3k sk 2 2 2 2 2k 2 2k 2K ak

Lê Phước Toàn

MO DAU

1 Lý do chọn đề tai

Vào nữa đầu thế kỷ XX, lý thuyết các không gian trừu tượng: không gian

metric, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tôpô và tuyến tính tôpô

đã được hình thành Tiếp đó, lý thuyết toán tử tuyến tính xuất hiện và đã tìm

ngay được những ứng dụng quan trọng trong: Phương trình vi phân thường, Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình tích phân, Vật lý lý thuyết và cả trong một số lĩnh vực kỹ thuật Lý thuyết phương trình toán tử trong không gian có thứ tự ra đời từ nhưng năm 1950 và được hoàn thiện cho tới ngày nay

Tính chất phổ được nghiên cứu cho nhiều lớp toán tử tuyến tính đương bằng các phương pháp khác nhau, bởi các nhà toán học từ nhiều nước Việc

tập hợp các kết quả này lại và trình bày chúng theo một hệ thống hoàn chỉnh

là việc làm cần thiết

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nhằm sử dụng quan hệ thứ tự và tính chất phổ của các toán tử tuyến tính đương để nghiên cứu sự tổn tại giá trị riêng ^ tương ứng với vectơ riêng

Xo cuia bài toán tổng quát sau:

“Cho C là một tập hợp con của một không gian E„u là một toán tử tuyến

tính đương từ C vào X với những điều kiện nào trên C,X và u để có thể khẳng

định sự tồn tại của một vectơ riêng xạ tương ứng với giá trị riêng A sao cho uXạ= AX”

Luận văn này chủ yếu là trình bày những ứng dụng trên không gian

vectơ tôpô được sắp thứ tự để nghiên cứu về tính chất phổ của các toán tử tuyến tính dương, compắc, toán tử uạ- bị chặn, toán tử tuyến tính không phân

tích được

Chúng ta giả sử rằng đã biết các vấn đề cơ bản nhất về đại số của các

toán tử trên một không gian Banach; Chương I liệt kê một số chỉ tiết những gì cần trong việc trình bày tiếp theo Chương II được dành cho sự bắt tay vào nghiên cứu vấn đề phổ của toán tử tuyến tính đương Chương III đành cho nghiên cứu về phổ của toán tử uọ — bị chặn Cuối cùng chương IV đành riêng

cho vấn đề phổ của toán tử tuyến tính không phân tích được.

Chương 1: PHÓ CỦA ÁNH XẠ - KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

1.1 Các tính chất cơ bản của giải thức

Gia st (E, ) là một không gian Banach phức và ký hiệu L(E) là đại số

Banach những ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với chuẩn thông thường ur> u =sup{ u(x) : x <1}.Nếuue LŒ) thì phố ø (u) là phần bù trong C

của tập mở lớn nhất ø (u) mà trong đó 4 —>{4 e-u)” tồn tại và là hàm giải tích địa phương Ở đây và trong các phần tiếp theo e là ký hiệu cho ánh xạ đồng

nhất của L(E) Cho 2 e ø(u), chúng ta đặt (2e-u)' = R(4);4->R(2) gọi là

giải thức, ø(u) gọi là tập giải thức của u

Giả sử rằng Ez {0} khi đó ø (u) là tập con Compact không rỗng của C

bán kính r(u) của đường tròn nhỏ nhất tâm O trong C chứa ø(u) được gọi là

bán kính phô của u; tập {4 eC:|2|E r(u)}, được gọi là đường tròn phổ của u Hơn nữa, nếu ¿ e ø(u) và ¿ e ø(u) thì có phương trình giải thức:

R(4)-R(Œz)E- (4-z)R(24)-RŒ) (D

Ở đây chúng ta ký hiệu hợp uạv của u,v e L (E) bằng uv

Theo định lý về ánh xạ ngược của Banach, phổ ø (u) có thé định nghĩa là

tập hợp của những 2 eC để 4 e-u không là song ánh Từ xem xét này chúng ta

có kết quả như sau:

Định lý: Giả sử u e L (E) với E là một không gian Banach phức và gia

sử rằng {4„:neN} là một dãy con trongp (u) hội tụ tới 4 eC, thì 4 e ø(u),

khi và chỉ khi limạ R(24„) =+ s

Chứng minh

(=>) Giả sử ^4n 2 và 2eơ(u) khi đó 4e — u không khả nghịch

no

trong L (E)

Suyra lim R(41,) =s

(©)Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử rằng tồn tại một dãy con

{un} của dãy {2n} sao cho {R(¿a):neN} là bị chặn, do (1) ở trên ta có: với

m>n

Ra) RŒm) =- (2ï ¿m) R(¿a) R(¿m) =o mn EN

Suyra lim R()-R(„) =0 do lim/ =4

Từ đó suy ra {R(¿/a):a€N } là day Cauchy trong L (E) va do đó hội tụ tới Ø nào đó, €1 (E)

Điều đó nghĩa là lim R(„ )(/„e-u) = Ø(4e-u) =e

và tương tự ta có (2 e-u) Ø=e, suy ra (2e-u) khả nghịch trong L (E)

Do đó : 2e ø(u) điều này mâu thuần

Vậy lim R(4,) =œ

Tập hợp con của ø (u) nơi mà trong đó( 2 e-u) không là đơn ánh được gọi

là phổ điểm z(u) của u Một phần tử 2o€z (u) được gọi là một giá trị riêng

của u, không gian hạch (hạt nhân) của (4e - u) gọi là không gian riêng tương

ứng ký hiệu N(2o) Số chiều của N(2o) được gọi là số bội (hình học) của 2o và

các phần tử khác không của N(4¿) gọi là vectơ riêng của u tương ứng với giá

trị riêng 2o, mỗi vecto riêng x này là l nghiệm của phương trình ux = ox Phổ điểm của u bao gồm tất cả các cực của giải thức R Giả sử 2¿ là một

cực của R và R(2)=Š) a(2.2ø)*— (a„#0) (2)

là khai triển Laurent của R ở lân cận của 4o, Số nguyên n (n > I) là bậc

của cực 4¿, tổng riêng phần của (2) kéo dai tit k = - n toi k = -1 goi 1a phan

chính của khai triển; a„ gọi là hệ số đầu tién, va a, goi 1a thang du cua R tại A= ho

Nhân (2) với (2e-u) = (2o e-u)+ (2 - 4o) e và so sánh các hệ số trong

đồng nhất thức nhận được (theo định lý duy nhất cho các hàm giải tích),

chúng ta có được:

an (Ap e-u)= (2o e-u) a.n = 0 và a„= a-i(0-4oe)*”:

hiển nhiên hệ số ay giao hoán với u Những mối quan hệ này cho ta thấy

rằng 4o thuộc z(u); cụ thé hơn, hệ số a.; là I phép chiếu của E lên trên không

gian hạch của (2 e-u)" không gian này chứa N(2o) Ngoài ra cho chúng ta nhớ lại rằng nếu u Compact thì giải thức R là 1 hàm chỉnh hình trên hình cầu

Riemann bi dm thing tại 0 (một cách xác định tổng quát, R(œ)=0) vì vậy nếu

u compact thì ø (u) là một tập hợp đếm được với 0 có thé là điểm tụ duy nhất,

và mỗi một số khác không 2e ø (u) là một giá trị riêng của u có số bội hữu hạn

Cuối cùng, nếu ue 1 (E) và |2| > r (u) giải thức của u được cho bởi

R(2)=Š) 2“ @),

n=0

(u°=e); (3) là khai triển của R tại œ và được gọi là chuỗi C-Newmamn

Theo tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa ta suy ra:

r(u)=limsup u* "* một cách chính xác hơn r(u) =lim, u° !^ Trong trường hợp r (u) = 0, u được gọi là lũy linh tôpô của đại số Banach 1 (E); hiển nhiên u là một lũy linh tôpô nếu và chỉ nếu o (u) ={0} hoặc tương đương, nếu và chỉ nếu giải thức R (với R(œ)=0) là một hàm số

nguyên của 4 ˆ"

Nếu E là một không gian Banach trên vàu e L (E), phổ thực Ø q(u) được xác định như tập hợp con của R nơi mà trong đó (2 e-u) không là song ánh; một cách tương tự, chúng ta có thê xác định giải thức thực của u như là hàm số 4—> (4 e-u) với miền xác định R\Ø q(u) (có thể xảy ra Ø q(u) là

trống như ví dụ một phép quay quanh gốc của mặt phẳng Euclidean R? ) Chúng ta sẽ xét quá trình phức hóa không gian Banach thực như sau:

Gia str (E, ) la một không gian Banach trên R Sự phức hóa Eị của E

là một không gian định chuẩn đầy đủ trên C Nếu chúng ta muốn có một

chuẩn trên E¡ sao cho phép nhúng của E và trong E¡ là một phép đẳng cự ta định nghĩa:

xtiy ¡= sụp (cosØ)x+(sinØ)y

0<0<2z

Mọi ueL (E) có một sự mở rộng phức duy nhất we L(E\) được xác

định bởi w (x+iy) = u(x) + iu(y) với mọi x,yeE Trong trường hợp E là một

không gian Banach thực và ue 1L (E) chúng ta xác định phổ, giải thức, bán kính phố của u là những đối tượng tương ứng cho z như đã xác định ở trên

Thỉnh thoảng để thuận tiện ta đồng nhất u với sự mở rộng phức của nó z

Dễ dàng nhận thấy rằng với ue 1 (E), chúng ta có Øạ(u)=ø(u)_ và

với 4e \Øa(u) giải thức thực của u là sự thu hẹp của giải thức của u trên E

(được xem như là một không gian con thực của E¡) và bán kính phổ r (u) là số

thực nhỏ nhất ø > 0 sao cho với |4|> ø, 4e chuỗi (3) hội tụ trong 1 (F)

1.2 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón

Mỗi xeK\ {Ø} gọi là dương

Mệnh đề 1.2.1.2: Giả sử “<” là thứ tự sinh bởi nón

Khi đó:

l)x<y=x†z<y†z;2x<2y VzeX,V2A>0

2) (4 Šya(n e NẺ*), lim xạ =x, lim yạ= ÿy) > xX<y

3) Nếu {xạ} là dãy tăng, hội tụ về x thìxạ<x (VneN*)

Mệnh đề 1.2.2.2: Giả str “<” 1a thir ty sinh bởi nón chuân khi đó

1) Nếu u< v thì đoạn <u,v> := {xeX:u<x<v } bị chặn theo chuẩn

2) Nếu x„< Yn < Zn (n €N*) va lim x, =a, lim z, =a thi lim yạ =a

3) Nếu {xạ} đơn điệu, có dãy con hội tụ vé a thi lim x, =a,

Cho ¢>0, chon ky để Xx, 7a <£/N thì ta có:

Vn>n, =a-xa<a-Xạ

> ax, <N An Ấn <£

Chuong 2: TINH CHAT PHO CUA TOÁN TỬ TUYẾN

TINH DUONG

2.1 Toán tử tuyến tính dương

Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K Một ánh xạ tuyến tính A:X-›X được gọi là dương nếu

Vx>0=A(ø)>0 hay A (K)c K

Nếu A là tuyến tính dương thì nó cũng có tính đơn điệu

x<y >A(x) <A(y)

2.2 Dinh ly Pringsheim’s

Giả sử E là một không gian Banach được sắp thứ tự trên C sao cho nón

dương C là chuẩn yếu Nếu aạe C (n=0;l; ) và nếu > anz" có bán kính hội tụ 1, thì hàm giải tích biểu diễn bởi chuỗi luỹ thừa có kỳ di tai z=l Ngoài ra, nếu điểm kỳ dị là cực điểm thì nó có cấp lớn nhất trên

thực, là > 1 Hơn nữa ta có inf { r „:: x°eD} = 1, trong đó D là tập hợp của tất

cả những dạng tuyến tính thực liên tục trên E, không âm trên C Thật vậy nếu ching ta cé inf { ry»: x’eD} = 7 >I thi chudi > anf° sẽ hội tụ trong E với

0

moi t: -7 <t< 7 Do tinh chat “chuan” ctia C kéo theo Ep = D-D, trong d6 Eo

là không gian thực nền tảng của E Vì vậy z->f(z) sẽ có sự mở rộng chỉnh

hình lên đĩa mở |z|<z; điều này là mâu thuẫn

Giá sử p, 0<p<lI là cố định cho x'eD và xác định

= < aạX> + <ay,x’>pt<ay,x’>p*t 4[< ai,X>†2< ay,x’>p

+3< a;,x'>p^t |(tp)t [< a;x>+3<a;x'>p+ ]JŒ-p)tÐ [< asx>+ ]

với bắt kỳ p>k thì (1-0? > (t’ cos nO Jay, (1-t)? 3 ("sin nd)a,

hội tụ đến 0 đối với tôpô ø (E,E') khi t—>1 Vì vậy nếu c là một cực của f

bậc m, ta suy ra m< k và định lý được chứng minh

2.3 Một số tính chất phỗ của toán tử tuyến tính dương

Định lý 2.3.1: Giả sử E là một không gian Banach phức có thứ tự khác

{0} với nón dương C sao cho C là chuẩn và E=C-C Với bất kỳ sự đồng cấu

dương u của E, bán kính phổ r (u) là một phần tử của ø (u)

Chứng minh

Do C là chuẩn và E=C-C nên tự đồng cấu đương u của E là liên tục Nón

H của những tự đồng cấu đương của E là chuẩn trong 1 (E) với tôpô chuẩn của L (E)

Nếu r (u)>0 xét hàm z—> f(z) =R(r(u)/z) Theo công thức (3) chương 1 ta

có Ñz)=` (r(w)/z)°'Ðụ"= Ÿ` (z/r(u))°'?u": ƒ có điểm kỳ dị tại z=1 và

Định lý 2.3.2: Giả sử E là một (B)- không gian phức có thứ tự thoả mãn

giả thiết của định lý 2.3.1 và u là một tự đồng cấu dương của E Nếu 4 eø(u) thì R(4 ) là đương nếu và chỉ nếu 2 là thực và 4 > r (u)

(=) Giả sử R(4) > 0 với 2ep(u) (cần chứng minh2 là số thực

và 2>r(u)

Chọn một xạ >0 và xác định một cách đệ quy xạ = R(2 ) Xi (ne ) Mỗi một xạ thoả mãn quan hệ sau

Hay 2X =Xn1+ UK) (ne ) (*)

Hién nhién x,¢C với mọi n và hơn nữa xạ >0 (nếu Xạ =0 với một ne N

dẫn đến xụ =0) Hơn nữa bằng phép quy nạp theo n từ (*) cho thấy

4 xạ eC và 2”' xe C với mọi ne N

và do: 4 "xạ= 4 (4 *! xp)= 2 u(2 xt A Xn > A Xa

Nên 4 "xu> 4” xu¡> xo (ne N)

Do đó 2#0_ và chúng ta có thể giả định rằng |2 |= 1 vì nếu R(2 ) là

dương tại 4 #0 thì giải thức của |2 ”|u là đương tại |2 |2 Giả sử 4 =expiớ,

0< Ø<2z và giả sử rằng Ø >0 Rõ ràng nø #z (mod 2z) cho tất cả các số nguyên dương n, vì nếu không thì C sẽ không là một nón thực sự Do đó tồn tại một số nguyên nhỏ nhất nạ > 0 sao cho tam giác với các đỉnh 1, expi (no- 1)Ø, expi nọớ trong mặt phẳng phức có 0 nằm trong phần trong của

nó Xét không gian con thực duy nhất M của E có số chiều là 2 mà chứa

nạ—L

a Tự x,

những điểm *», và 2”%» Ta suy ra Mƒ\C chứa 0 như một điểm trong,

điều này mâu thuẫn với thực tế rằng C là một nón chính tắc, vì vậy Ø=0_ và

thì theo phương trình giải thức (chương 1, công thức (1)) ta có: Với ;> r (u) thì z>4>0_ suy ra R(2)-R(¿)> 0 nên R(2 )>R(¿)> 0 và do đó; do tính

chuẩn của H, ta có { R(¿):/z>r (u)} là một họ bị chặn trong L(E) Điều này

rõ rằng mâu thuẫn với trên và do đóta suy ra2 >r (u)

Chú ý: chứng minh ở trên cho thấy rằng mỗi khi E là một không gian Banach có thứ tự với nón đương C # {0} và u là một toán tử dương (tự đồng

cấu liên tục) của E thì R(4 )>0 kéo theo 4 >0

Định lý 2.3.3: Giả sử E là một không gian Banach thực có thứ tự với nón

dương toàn phần C và giả sử rằng u là một tự đồng cấu dương liên tục của

E mà giải thức của u có một cực trên đường tròn phổ | A |E r (u)

Khi đó r (ue o(u) va néu r (u) là một cực của giải thức thì nó có bậc

lớn nhất trên đường tròn phổ

Chứng minh

Do C là nón thực sự, đóng, toàn phần trong E, nón đối ngẫu của nó C° có

những tính chất tương tự đối với ø(E”,E) và do đó G =C”-C' là một không

gian con trù mật của đối ngẫu yếu E*ơ Nếu F ký hiệu cho không gian

(E, o (E,G)) thi C là một nón chuẩn trong F

Ký hiệu bởi Ei,F; là sự phức hóa của E,F tương ứng Chúng ta xét Eị là

có thứ tự với nón đương C thì thứ tự chính tắc của L(E¡) được xác định bởi nón dương ï = {œe1 (Ei): ø(C) cC} Hơn nữa chúng ta sẽ đồng nhất

ue 1L (E) với sự mở rộng phức hóa của nó tới E¡

Giả sử ta ký hiệu bởi Lơ (Ei,F¡) là không gian của những ánh xạ tuyến

tính liên tục từ E¡ vào trong F; với tôpô của sự hội tụ đơn trên C Tôn tại một

phép nhúng tự nhiên của L(E¡) vào trong 1ø (E¡,F)) là liên tục; dé cho ký hiệu được đơn giản, chúng ta ký hiệu những ảnh của các phần từ và các tập

hợp con của L(E¡) qua ự bởi chỉ số 0 Đầu tiên chúng ta chú ý rằng từ tính

chuẩn của C trên F¡, ảnh # ; của nón # là chuẩn trong Løơ (E¡,F)) Bây giờ cho c,|c|E r (u) là một cực có bậc k (k>I1) của giải thức 2 —>R(^ ) của u và gid str a e L(E;) là hệ số đầu tiên của phần chính tại 4 = c, đầu tiên có

a= lim(2-c)* R(4), do đó cũng có ao = lim(2 -£)“Ro(2); Giả sử rằng

r(u) øơ(u); thì 2 —> R(2 ) và ánh xạ 2 _—> Ro(4)sẽ giải tích tại 4 =r (u)

Do các hệ số của khai triển Rọ(2) = $ 2 “°?u" của Rọ tại vô cùng là

= những phần tử của nón chuẩn mạ Định lý 2.2 suy ra rằng Rọ có một sự mở

rộng, với những giá trị trong sự bổ sung của 1 ø (E¡,F;) thành một ánh xạ giải tích trên |2|> 7 trong đó: 0 < 7 < r (u) Trong trường hợp đặc biệt {R¿(2 ):|2 |Èr (u)} là một ho bi chin trong L_ o (E¡,F,) Hiển nhiên, điều này

suy ra ag=0 và đo đó a=0, điều này là mâu thuẫn Vì vậy r (u)e ø (u)

Để chứng minh khẳng định cuối cùng chúng ta chú ý rằng bất kỳ cực nào

của 4 —> R(2 ) trên |2 |= r (u) là một cực cùng bậc của Rạ; Vì vậy khẳng định

này được suy từ định lý Pringsheim's (2.2) định lý được chứng minh

Hệ quả 2.3.4 (Krein-Rutman): Giả sử E là một không gian Banach thực có thứ tự với nón dương toàn phần C và giả sử u là một tự đồng cấu dương, compact của E Nếu u có bán kính phổ r (u)>0 thì r (u) là một cực của giải thức có bậc lớn nhất trên đường tròn phổ, với một vectơ riêng trong C Kết qủa tương tự cũng đúng cho liên hop w’ trong E’

Chứng minh

Do u là compact nên 0e ø (u) do đó chỉ những điểm kỳ dị khác 0 của tập

giải là các cực và có ít nhất một điểm kỳ đị trên |2 |= r (u) (Thật vậy: giả sử u

không có điểm kỳ dị trên |2|= r (u) khi đó giải thức R(2) xác định vV2,|^|Er (0) suy ra r (u) eø(u) hay r (u)e ø (u) = r (u) không là bán kính

phổ)

Do đó 2 =r (u) là một cực với bậc k(k>1) nào đó của tập giải và chúng

ta có P= lim (4-4 (u)* R(¿ ) là hệ số đầu tiên của phần chính tương ứng

Từ R(2 )>0 (với thứ tự chính tắc của L (E)) mỗi khi 2 > r (u) suy ra P> 0,

do nón đương của 1 (E) là đóng.Từ C là nón dương toàn phần trong E, tồn

tại yeC sao cho P(y)>0;Cho yeC thoả P(y)z 0 Từ đẳng thức

(r(0)e-u)P= lim (2 -r (u)) (2 e-u)R(2 )

= lim (2 -r(u))*=0 A¬r()

Ta kết luận được r (u)P(y) = u(P(y))từ đó suy ra P(y) là một vectơ riêng trong C tương ứng với r (u) Cuối cùng, nếu u' là liên hợp của u trong đối ngẫu mạnh E”, chúng ta có ø (u)=ơ (u') và 2 —>R(4 )° là giải thức của u° Đặc biệt 2 —>R(2 )? có một cực tại 4 =r (u) =r (u) và chúng ta có sự khẳng định cho u° bởi sự tương tự trong phần chứng minh trước Đặc biệt P(C)c C, suy

ra P°(C') c C° và P° không triệt tiêu trên C°, do C’ 14 toan phan trén E’o va P' là liên tục

Ghi chú : Nếu C là toàn phần trong E, chứng minh trên khẳng định rằng với bất kỳ tự đồng cầu dương liên tục u trên E mà giải thức của nó có một cực tại 4 = r (u), thì tồn tại những vectơ riêng của u trong C và của u° trong C7 tương ứng với r (0u)

Định nghĩa 2.3.5: Giả sử E là một không gian Banach thực có thứ tự với nón dương C; một ánh xạ tuyến tính u của E vào trong chính nó được gọi là

C-compaet nếu u là liên tục trên C đi vào trong C, va néu u(UNC) 1a compact tương đối , U là ký hiệu quả cầu đơn vị của E Chúng ta xác định bán kính C-phổ của u là số r.= lim (sup u?(%) :xeC, x <1)'”

(phần chứng minh bên dưới sẽ cho thấy giới hạn luôn tồn tại)

Định lý 2.3.6: Giả sử E là một không gian Banach thực có thứ tự với nón

dương chuẩn C Nếu u là một ánh xạ C-compact trong E sao cho r„ >0 thì

r, là một giá trị riêng của u với một vectơ riêng trong C

Chứng minh

Ký hiệu U là qủa cầu đơn vị của E và bởi H là bao lồi tuyệt đối của

UNC Thi {zH, z>0} là một cơ sở lân cận của O đối với một tôpô định chuẩn 7 trên không gian con EœŒC-C của E Vì vậy nếu q là hàm cỡ của H

thì (Eo,q) là một không gian Banach, hơn nữa, trên C chuẩn q phù hợp với chuẩn nguyên thủy của E Vì vậy C là một nón đóng chuẩn trong

(Eo,q) vat, 1a bán kính phổ r(Ø) của ánh xạ với là thu hẹp của u trên

Eo.Theo định lý 2.3.1 ta suy ra r(9)eø(9) Do đó {R(2n)ne } là không

bị chặn trong L(Fo,q) cho bất kỳ dãy số thực giảm {24„ } nào sao cho

lim 4= r (9) và do nguyên lý bị chặn đều, tồn tại yeC sao cho

no

lim q(R ø(2 n)y) = + œ cho mọi dãy xác định {2 n} giảm, hội tụ tới r (9) Gia

sử xn=R ¿(2 n)y/q (Ra(2 n)y) thì xạeC và q(Xạ )= Xa = Í với mọi n Hơn

AnR (An) nong =0

4(R.(A,))

nữa mg(2 %= (8) lima

Nén lim q(2 nXa- (Kn JE lim Aq Xq- UK ) =0 diéu nay din đến

lim (t , € — u)x, =0 trong E Vi vay, do day {u(x, )} la compact tuong déi

trong E, dãy {xạ } có điểm tụ x trong E (và do đó trong C, do C là đóng) Hiển

nhiên, điểm tụ thỏa mãn r„x=u(x) và x = 1, điều này chứng minh định lý Định nghĩa: một nón lồi C đỉnh 0 trong một không gian lồi địa phương

E gọi là có một cơ sở compact nếu tồn tại một tập con afin (thực) N của

E không chtta 0, sao cho CM N 1a compact va C={2 x: 2 >0;xe Nƒ\C}

Từ định ly tách tồn tại một siêu phẳng thực đóng H tách Nñ C tới {0];

khi đó C={2 x: 2 >0;xeHfC)}

Định lý 2.3.7: Giá sử E là một không gian lồi địa phương trên R và giả

sử C là một nón trong E với cơ sở compact Nếu u là một tự đồng cấu của không gian con C-C của E sao cho u(C)c C và sự thu hẹp của u tới C là liên tục, thì u có một giá trị riêng > 0 với một vectơ riêng trong C

Chứng minh

Giả sử H = {x:f(x)=1} là một siêu phẳng trong E sao cho Hf\C là một cơ

sở compact của C; Ký hiệu V là bao lồi của {0}`U(Hf\C) trong E và đặt

U=V-V thì {z£U: z>0} là một cơ sở lân cận điểm 0 trong Eg=C-C của một

tôpô định chuẩn 7, dễ dàng kiểm tra chuẩn z-> z =inf{f(x)+f(y)

:‘Z=x-y,x,yeC} sinh ra t6p67 trên Eo Hơn nữa, do U là compact và do đó

đầy đủ trong E, và từ 7 là min hơn tôpô trên Eạ cảm sinh từ E, ta suy ra

(Eo, ) 1a day du, do d6 (Ep, ) là một không gian Banach Hơn nữa C là đóng trong không gian này và hiển nhiên chuẩn, do đó u là tự đồng cấu dương liên tục của (Eọ, ) với thứ tự của Eo sinh bởi nón dương là C Vì vậy, từ định lý 2.3.1 ở trên, ta suy ra bán kính phổ r(u) là một số trong ø (u) (hoàn toàn có khả năng là r (u)=0, thậm chí nếu u #0) Như trong phần chứng mỉnh của định lý 2.3.6 chúng ta xây dựng một dãy { xạ } trong C sao cho

X, =f(x,)=1 véi moi n va sao cho lim r (u) xa - u(x, ) =0 Do HNC la compact trong E va u là liên tục trên C theo giả thiết nên mọi điểm tụ xeHnC (trong tôpô tạo ra bởi E) của dãy { xạ } thỏa mãn r (u)x=u(x) Điều này hoàn thành chứng minh

Hệ quả 2.3.8 (Krein-Rutman): Giả sử E là một không gian Banach thực có thứ tự với nón đương C có điểm trong Nếu u là tự đồng cấu dương liên tục của E thì tồn tại một giá trị riêng >0 của liên hợp u° với một vectơ riêng trong nón đối ngẫu C° Ngoài ra, nếu C là chuẩn thì bán kính phổ r (u) của u là một giá tri riêng của ư'

Chứng minh

That vay, gia sir xo la điểm trong của C, xét siêu phẳng

H={x':< xọẹ x'>=l} trong E’thi HMC’ là một o (E’,E) —compact, do do

C’ la mét non voi co so Compact trong E’, va u’(thoa man u’(C’)cC’) là

o (E’,E) — lién tuc, do dé cé thé ap dung dinh lý 2.3.7 Ngoài ra nếu C là một nón chuẩn trong E thi E’=C’-C’ va nhw ta duge thay top6 T được xây dựng

trong phần chứng minh của định lý 2.3.7 là tôpô của đối ngẫu mạnh E’ Do dé

số r (u”) là một giá trị riêng của u, là bán kính phố của u' trong E” và vì vậy bằng r(u)

Chương 3: TÍNH CHÁT PHO CUA TOÁN TỬ uạ— BỊ CHẶN

Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K

3.1 Toan tir u, - bi chan:

Cho A:X—› X là ánh xạ tuyến tính dương và phần tử uạ eK\ {Ø}

1) A gọi là uạ - bị chặn dưới (uạ - bị chặn trên) nếu với mỗi

xe K\{2} tồn tại số øz =a (x)>0,n=n(x) e N*

sao cho A"(x) = @ Us (A"(x) < @ Uy )

2) Agoilau,- bi chan hay u,- đương nếu nó uạ - bị chặn đưới và trên

Ví dụ 1: Giả sử IntK zØ, uạ e IntK và A:X-—› X là ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện A(x) e IntK, vx e K\{Ø} thì A là uạ- dương

Chứng minh

Xétx e K\{ø}

Vì A() e IntK nên 3r ¡>0 : 8 (A(),r¡) c K đo đó:

AŒ@)- — — uye Khay A(x)>—“— uy

Tương tự, do u„ e Int K nên 3 r; >0 :

4G r 27> Ohay A(x) < AG) Uy

=> t(1-t) [ s(1-s)x(s)ds < Ax(t) < t(1-t) [ x(s)ds

Do do A lau, - duong voi u, (t) = t (1-t)

3.2 Sự tồn tại vectơ riêng dương:

Bé dé 3.2.1: Cho up ¢-K va xe K Khi dé tén tại số cực đại t, > 0 sao

cho x> t„ uạ (cực đại theo nghĩa nếu t cũng thoả x> tuạ thì t < t,)

Chứng minh

Đặt T={0: x> tuạ } Ta có T Ø bị chặn trên

Số t„:=supT là số cần tìm

Định lý 3.2.2: giả sử

ï) A:X —> X là ánh xạ tuyến tính dương, hoàn toàn liên tục (=compact)

ii) ton tai phần tử ueK-K, ue-K và số z>0, pe * thỏa mãn A*(u>zu

Khi đó A có trong K vectơ riêng với giá trị riêng tương ứng >f/z

Chứng minh: Giả sử u=v-w,v,we K,vz0

Do định lý điểm bất động Schauder, với mỗine *, ánh xạ

x»(A()+”)/_ A() +” có điểm bất động trong tập Kñ 8(ø,1)