Hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

phạm hòa bìnhhàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất Chuyên ngành: toán - Giải tích... Tạ Quang Hải, đề tài luận vănnày là

phạm hòa bình

hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân

tuyến tính không thuần nhất

Chuyên ngành: toán - Giải tích

Chơng 1 Các hàm hầu tuần hoàn trong không gian Banach 3

1.1 Không gian Banach các hàm hầu tuần hoàn 3

1.2 Tính tuần hoàn của đạo hàm và tích phân 4

1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier 4

1.4 Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn 5

1.5 Định lý duy nhất và định lý xấp xỉ 6

Chơng 2 Hàm toán tử đúng và toán tử tích phân 7

2.1 Các định nghĩa và tính chất của hàm toán tử đúng 7

2.2 Toán tử tích phân 12

Chơng 3 Nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 25

3.1 Khái niệm chính quy và  - chính quy 25

3.2 Các tính chất của toán tử chính quy 26

3.3 Các tính chất của toán tử  - chính quy 36

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

Trên cở sở các tài liệu về hàm hầu tuần hoàn và hàm toán tử đúng [1],[2], [3], [4], [5], dới sự hớng dẫn của PGS.TS Tạ Quang Hải, đề tài luận văn

này là Hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của ph“Hàm toán tử đúng và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của ph ơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất”.

Nội dung của luận văn đợc trình bày theo 3 chơng

Chơng 1 Các hàm hầu tuần hoàn trong không gian Banach

1.1 Không gian Banach các hàm hầu tuần hoàn

1.2 Tính tuần hoàn của đạo hàm và tích phân

1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier

1.4 Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn

1.5 Định lý duy nhất và định lý xấp xỉ

3.1 Khái niệm chính quy và  - chính quy

3.2 Các tính chất của toán tử chính quy

3.3 Các tính chất của toán tử  - chính quy

Trong chơng 1 hệ thống lại các khái niệm và tính chất của hàm hầu tuầnhoàn

Trong chơng 2 nêu định nghĩa hàm toán tử đúng, chứng minh cụ thể các

định lý về hàm toán tử đúng; phép biến đổi Fourier hàm S: E của hàmkhả tổng G: E, xét một số tính chất của phép biến đổi Fourier nh tính

liên tục, giới nội và dần về 0 ở vô hạn Nêu định nghĩa và một số tính chất củatoán tử tích phân, ớc lợng chuẩn của toán tử tích phân.

Trong chơng 3 trình bày các khái niệm chính quy và  - chính quy của toán tử vi phân Điều kiện cần và đủ để toán tử vi phân là chính quy và  - chính quy

Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáoPGS TS Tạ Quang Hải Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi đã nhận đợc sựquan tâm giúp đỡ của các Thầy Cô giáo, bạn bè Qua đây, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy hớng dẫn, tới các Thầy Cô giáotrong tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh cùng tấtcả các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình

Do điều kiện hạn chế về mặt thời gian và trình độ, luận văn này chắc chắnkhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của cácThầy Cô giáo và các bạn

Chơng 1 Các hàm hầu tuần hoàn trong không gian Banach

Trong chơng này, trình bày định nghĩa và một số các tính chất của hàmvectơ hầu tuần hoàn cần dùng cho các chơng sau

1.1 Không gian Banach các hàm số tuần hoàn

Giả sử là trục số, E là không gian Banach phức, f xác định trên  lấy

giá trị trong E, f : E Số   đợc gọi là   hầu chu kỳ của f nếu

Tập các   hầu chu kỳ của f kí hiệu là ( ) ( , ) f

Tập các số thực gọi là trù mật tơng đối nếu trong mỗi khoảng tuỳ ý của

đờng thẳng số với độ dài cố định có ít nhất một điểm của tập này

Hàm véctơ liên tục f : E gọi là hầu tuần hoàn (theo Bore) nếu với

0

  tập ( , ) f trù mật tơng đối

Hàm hầu tuần hoàn giới nội, liên tục đều và compact tơng đối

Đặt QQ( , ) E là không gian Banach các hàm liên tục giới nội

Do giới hạn dãy hội tụ các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn, cho nên

Blà một không gian đầy đủ, tức B là không gian Banach

1.2 Định lý Kađexơ ([1]) (Tính tuần hoàn của đạo hàm và tích phân) Giả sử

 là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi nó liên tục đều.

1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier

Với mỗi hàm hầu tuần hoàn f, tồn tại duy nhất vectơ J f  J f t ( ) E

gọi là giá trị trung bình của hàm hầu tuần hoàn Với  0cho trớc tồn tại

    gọi là phổ của f, số   ( )f gọi là số mũ Fourier

của hàm f và f là hệ số Fourier Vì ( )f không quá đếm đợc nên

với mỗi hàm tuần hoàn f chúng ta có thể thiết lập chuỗi Fourier t ơng

ứng

Hệ số Fourier f thuộc bao lồi đóng tập các giá trị của hàm f.

Nếu f khả vi liên tục và f hầu tuần hoàn thì f i f ,

1.4 Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn

Giả sử E là không gian Hilbert (E=H) Đối với các hàm hầu tuần hoàn

:

e   có dạng e t( )e i t Từ đồng nhất thức này suy ra tính chất cực trị

của hệ số Fourier và đồng nhất thức Betxen (với c  )0

đợc gọi là đẳng thức Parxevan có tầm quan trọng đặc biệt Đẳng thức này

t-ơng đt-ơng với định lý nhân sau đây

Nếu f g  H, thì (f(t),g(t)) là hàm hầu tuần hoàn số và ta có

thêm vào đó chuỗi ở vế phải hội tụ

1.5 Định lý duy nhất và định lý xấp xỉ

1.5.1 Định lý duy nhất ([1],[2]) Nếu với hàm hầu tuần hoàn mà hàm phổ

đồng nhất bằng không ( f 0) thì f t ( ) 0

1.5.2 Định lý xấp xỉ ([1],[2]) Giả sử f : E là hàm hầu tuần hoàn Khi

đó, với  0 tồn tại đa thức lợng giác p: E để f  p  và

( )p ( ).f

 

Chơng 2 Hàm toán tử đúng và toán tử tích phân

Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và các tính chấtcủa hàm toán tử đúng Điều kiện cần và đủ để một toán tử tuyến tính là toán tử

đúng Định nghĩa phép biến đổi Fourier và các tính chất, sự tồn tại của phépbiến đổi Fourier ngợc Định nghĩa và một số tính chất của toán tử tích phân, -

ớc lợng chuẩn của toán tử tích phân

2.1 Các định nghĩa và tính chất của hàm toán tử đúng

2.1.1 Định nghĩa ([3]) Toán tử tuyến tính A tác dụng trong không gian

Banach E đợc gọi là toán tử đúng nếu

( ) sup

def

itA t

Gọi  là tập tất cả các hàm : D Clà biến đổi Fourier của hàm khảtổng 

( )t ( )s e ds ist ,



 

 (2.2)với  L(    Mỗi hàm ; ) L.   là liên tục, giới nội và dần về 0 ở vôhạn Theo định lý duy nhất của lý thuyết biến đổi Fourier, tơng ứng    là

Chứng minh Chứng minh tính chất (1) và (2) dựa vào tính chất của tích phân

(2.2) Sau đây là chứng minh tính chất (3)

Do tÝch chËp ( hÇu kh¾p n¬i) tån t¹i vµ kh¶ tæng nªn

Đặt n( )t  0( n t), với 0n  0,  ,0   Vì hàm toán tử n itA

Mặt khác, n( )t ( )t trên lân cận nào đó của ( )A với n > N Từ đó, ta

có n( )A ( ).A Do đó, ( ) 1.A  Nh vậy ta đã chứng minh cho trờng hợp

P(t)=1.

Cuối cùng, ta chứng minh định lý đúng với ( )P t t k Giả sử ( ) k

  ởmột lân cận nào đó của ( )A với k nguyên dơng Khi đó, ta lấy   bằng 10 S

ở một lân cận nào đó của ( ).A

Nh vậy, ta đã chứng minh đợc định lý đúng với ( )P t t k. Nhờ tính tuyến tính

của  suy ra định lý đúng trong trờng hợp P(t) là hàm đa thức Định lý đợc

Từ định lý Khinle-Ioxit suy ra rằng bất đẳng thức (2.5) xảy ra khi( ) 1

u t  với   t Do đó toán tử A là toán tử đúng Nh vậy toán tử A là

toán tử đúng khi và chỉ khi có bất đẳng thức (2.5) (ở chuẩn ban đầu hay bất cứchuẩn nào tơng đơng với nó)

2.1.6 Định lý ([3],[5]) Nếu giải thức của toán tử tuyến tính đúng A thoả mãn

(2.5) thì chuẩn của toán tử bằng bán kính phổ.

Chứng minh Giả sử A là toán tử đúng Khi đó, theo định lý Vây-ơ-oet-trat vì

hàm toán tử ( ) i A

u z e z là hàm nguyên thuộc loại mũ  r A( ) nên

itA ( )sup itA .

2.2.1 Phép biến đổi Fourier

Giả sử G: ( )E là hàm toán tử khả tổng trên toàn trục số Hàm toán

Chọn    sao cho với h0  ta có

Vậy S liên tục đều.

Giả sử G t( )( )t A với  là hàm đặc trng trên đoạn  a b,  và A=(E)

đợc gọi là phép biến đổi Fourier ngợc.

2.2.3 Định lý ([3])(Công thức Fourier ngợc) Giả sử hàm toán tử khả tổng

: ( )

G  E ở điểm   tồn tại các giới hạn trái và phải G( 0) và thực

hiện điều kiện Đi-nhi

1( ) ( ) ( 0) ( 0)

(Với tích phân hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy và S  Điều kiện G

(2.10) hoàn toàn đợc thực hiện nếu

và bất đẳng thức này đợc thực hiện nếu G khả vi tại  ).

Chứng minh Vì hàm G khả tổng trên trục số cho nên

1( ) ( )2

def

i n

= 1 ( ) ( )2

i t n

2.2.4 Sự tồn tại của phép biến đổi Fourier ngợc

Một vấn đề đặc biệt quan trọng trong các ứng dụng thực tiễn là: Với điềukiện nào thì một hàm toán tử đã cho S: ( )E là biến đổi Fourier của hàm

toán tử khả tổng G nào đó Theo Định lý 2.2.2, đòi hỏi hàm S liên tục và dần

về 0 ở vô hạn Nhng điều kiện này không phải là điều kiện đủ

Nếu S  đối với một hàm toán tử khả tổng nào đó trên trục số thì ở mỗiG

điểm liên tục t của hàm G sẽ là điểm Đi-nhi Theo Định lý 2.2.3, ta có

1( ) ( ) 2

Để giải quyết vấn đề đã nêu ra ở trên có thể làm nh sau: Đối với hàm S chúng

ta sẽ đặt ra một sự hạn chế nào đó để cho tích phân (2.13) hội tụ với mọi t  

, hàm G khả tổng trên trục số và S G

2.2.4.1 Định lý ([3]) Giả sử hàm toán tử S: ( )E dần về 0 ở vô hạn và

khả vi hai lần và các hàm toán tử S, S khả tổng trên trục số, và

1( ) ( ),

Với hàm toán tử D khả tổng trên trục số trừ ra một khoảng   nào đó 

(Với  dơng nhỏ tuỳ ý) Khi đó, tích phân (2.13) tồn tại với t  . Hàm toán

tử G liên tục với t 0, tồn tại các giới hạn G ( 0) và G( 0)  G( 0) 1  , hàm

2.2.2, các biến đổi Fourier của chúng ( ( )j

G ) giới nội, liên tục và dần về 0 ở vôhạn (j=1,2) Ta chứng minh rằng

(1)

( ) ( )

G t itG t , G(2)( )t itG(1)( ),t (t 0) (2.15)

Với 0 < n cố định bất kỳ, hàm toán tử ( )j

G giới nội, liên tục, dần về 0 ở vô hạn(j =1,2) Khi j =1,2 và n   nó hội tụ về ( )j

G trên toàn trục số Lấy tích

phân từng phần, ta có

(1)( ) 1 (1)( )

2

it n

Tiếp theo, ta chứng minh tích phân (2.13) hội tụ khi 0 m n  áp dụngbiểu diễn (2.14) ta có

1(0) ( )2

Từ đó, suy ra G(+0)- G(-0)=1 Hơn nữa, từ tích phân ở (2.16) giới nội đều đối

với  n 0 và t   cho nên với n 0 cố định, hàm G giới nội trên toàn trục.

Để hoàn thành chứng minh định lý, ta cần chứng minh S G Với  

cố định tuỳ ý, chọn n 0 để   sao cho với n m 0 bất kỳ ta có

( ) 1 ( ) .

2

i t m

với S là biến đổi Fourier của hàm G

Chứng minh Giả sử f B Khi đó từ (2.17) ta có

(Kf)h  Kf K f h  h , (2.21)với h def ( )

f f th Với  0 tuỳ ý dựa vào tính liên tục đều của f có thể chỉ

Với t   cố định tuỳ ý và  0 dựa vào định lý về giá trị trung bìnhcủa hàm hầu tuần hoàn tồn tại  0 sao cho

1

( )

b

it a

i t

t h

G s f t s ds e dt h

2.2.6 Định lý([3]) (Định lý về phổ của toán tử tích phân) Giả sử G: ( )E

là hàm toán tử khả tổng Khi đó phổ của toán tử tích phân K xác định bởi

(2.17) xét ở trong không gian B thoả mãn điều kiện

S( ) ( ),K

  

  (2.23)

với S  và G ( )K ta có

1 1

( S( ) )  ( K) , ( ) (2.24)

Chứng minh Giả sử ( ).K Khi đó, với B tồn tại f B sao cho

( K f)  Dựa vào (2.19) ta có ( S( )) f  Do đó, với yE tồntại xEduy nhất sao cho ( S( )) x y (vì ( ) i t

t ye

  hàm f có dạng( ) i t

f t xe ) theo Định lý Banach toán tử   S( ) có toán tử ngợc giới nộinên ( ( ))S  Bất đẳng thức (2.24) đợc thiết lập giống nh thiết lập với vếtrái của (2.18)

Ta chứng minh  0 Giả sử ngợc lại, S( ) khả nghịch với   (vì

toán tử tích phân K khả nghịch) Dựa vào (2.24), ta có

  1 1

( )

S    K Nhng khi đó,

11  S( ) S( )   S( )  S( )   S( )  K  0

khi   Mâu thuẫn này chứng tỏ  0

Ta chứng minh  ( ) (  ( )(0)) với  ( ) S( )  (Phép hợplấy với tất cả f B và 0) Giả sử n   Nếu dãy  giới nội thì ta giả thiếtn

nó hội tụ, n   Theo định lý về sự phụ thuộc liên tục của phổ vào toán tử ta

có  ( ) Nếu dãy  không giới nội ta xem nh n    Chúng ta cón

2.2.7 Các tính chất tiếp theo của toán tử tích phân

Nếu G: ( )E là hàm toán tử khả tổng trên trục số thì toán tử tíchphân (2.17) có thể xét trong không gian Banach M tất cả các hàm véctơ giớinội đo đợc với chuẩn

Ta có BM. Gọi K B (tơng ứng K M ) là chuẩn của toán tử tích phân K

xác định trong không gian Banach B(tơng ứng M )

2.2.7.1 Định lý([3]) Giả sử G: ( )E khả tổng Khi đó toán tử tích phân K xác định bởi (2.17) thực hiện trong M và

Thác triển f trên toàn trục Sau khi thác triển chúng ta vẫn giữ nguyên

ký hiệu f Khi đó, f B và xem rằng f  (vì max1 ( ) 1

s f s

  ) và tháctriển tuần hoàn luôn có thể thực hiện đợc để chuẩn không tăng) Ta có

Vì Kf với f M là hàm liên tục, giới nội suy ra K là toán tử tuyến tính giới

nội tác dụng trong M Định lý đợc chứng minh

Chơng 3 Nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến

với A là toán tử tuyến tính giới nội tác dụng trong E, f B

3.1 Khái niệm chính quy và   chính quy của toán tử vi phân

3.1.1 Định nghĩa([5]) Toán tử A đợc gọi là toán tử Hyperbolic nếu phổ của

A không cắt trục ảo, tức là Re 0với A( )A (( )A là phổ của toán tử A).

3.1.2 Định nghĩa([5]) Nếu với mọi f B, phơng trình (3.1) có nghiệm hầu

tuần hoàn duy nhất  Khi đó, ta nói rằng toán tử vi phân L d A

dt

  là

chính quy (hay cũng nói rằng toán tử A là chính quy).

Trong trờng hợp toán tử A là chính quy nghiệm  có dạng

( ) t G t( s f s ds) ( ) ,



 

  (3.2)với G: E là hàm toán tử khả tổng đợc xác định bởi toán tử A (G(t) =

G(t,A)) và đợc gọi là hàm Green của phơng trình (3.1).

Toán tử tích phân xác định bởi vế phải của (3.2) đợc ký hiệu là K(A)

( )K A G t( s f s ds) ( )



 

  Gọi B là không gian các hàm hầu tuần hoàn  f B sao cho phổ của f

nằm trong một tập    Với f B đặt 

3.2 Các tính chất của toán tử chính quy

3.2.1 Định lý ([5]) Toán tử A là chính quy khi và chỉ khi A là toán tử

Hyperbolic.

Chứng minh a) Điều kiện cần Với   cố định, ta chứng minh rằng tồn tại

1

(i A) Nếu (i  A x) 0và 0xthì i t

e x là nghiệm hầu tuần hoàn khác

0 đối với toán tử chính quy A Với yE tuỳ ý và ( )f t e y i t , phơng trình(3.1) có nghiệm hầu tuần hoàn  Khi đó, (i A)  Nh vậy, toán tửy

(i A) ánh xạ không gian Banach E vào E đơn trị hai chiều và theo Định lý

Banach thì toán tử (i A) khả nghịch liên tục Vì   tuỳ ý cho nên toán

tử A là Hyperbolic.

b) Điều kiện đủ Giả sử A là toán tử Hyperbolic và ( ) A ( )A ( )A ,(với ( )A (tơng ứng ( )A ) là phần của toán tử A nằm ở nửa mặt phẳng trái (tơng ứng phải)) Giả sử Plà toán tử chiếu tơng ứng với ( )A và EP E Khi đó, nếu : E là nghiệm hầu tuần hoàn của (3.1) (hoặc giới nội) thì

đặt ( ) t e C t tA ( ) (giống nh phơng pháp Lagrande) ta có ( )C t etA f t( )



và( ) 0

 giới nội và

etA P M et

  (0t), (3.3)với M0,   0, là các hằng số nào đó Do đó, C t( ) xác định đơn trị ởdạng

( ) ( )

t sA

Bây giờ, ta chứng minh sự tồn tại Từ (3.4) suy ra rằng  là nghiệm giớinội của phơng trình (3.1) Theo (3.3), ta có

3.2.2 Hàm Green và các tính chất

Từ công thức (3.4) suy ra rằng nghiệm  viết đợc ở (3.2) với

với < 0( )

2) Khi t =0 tồn tại các giới hạn trái và phải G ( 0) và G( 0)  G( 0) 1  ;3) Từ công thức (3.3) suy ra ớc lợng sau đây

G t( ) Met , (t 0),

với Mmax(M , M +) và max( , )

Một hàm số có 3 tính chất kể trên xác định đơn trị hàm Green Thực vậy, đặt( 0)