Phương pháp toán tử giải để tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số

LờI NóI ĐầUMục đích của khoá luận là trình bày lý thuyết về phơng pháp toán tử giải để tìm nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số và nghiêncứu một số phơng trình vi p

LờI NóI ĐầU

Mục đích của khoá luận là trình bày lý thuyết về phơng pháp toán tử giải

để tìm nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số và nghiêncứu một số phơng trình vi phân tuyến tính cấp n đa đợc về phơng trình vi phântuyến tính có hệ số hằng số

Nội dung khoá luận chia làm hai chơng:

Chơng 1: Phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hệ số hằng số

Đ1.Phơng trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất có hệ số hằng số

Đ2.Phơng trình vi phân tuyến tính cấp n không thuần nhất có hệ số hằng số

Đ3.phơng pháp toán tử giải phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hệ số hằng số

1 Một số công thức và các phép toán về đa thức toán tử

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song khoá luận không thể tránh khỏinhững sai sót.Rất mong đợc sự chỉ bảo,góp ý của các thầy cô và các bạn

Vinh ,ngày 25 tháng 4 năm 2005

Tác giả

chơng i phơng trình vi phân tuyến tính cấp n

có hệ số hằng số

Đ1 phơng trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất

có hệ số hằng sốPhơng trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất có hệ số hằng số có dạng:Ln(y) = y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + + any = 0 ( 1.1)

Trong đó ai, (i = 1 ,n) là các hằng số phức

Định nghĩa Phơng trình F() = n + a1 (n-1) + +an = 0 (1.2)

đợc gọi là phơng trình đặc trng của phơng trình vi phân (1.1)

1 Nếu phơng trình đặc trng (1.2) có n nghiệm thực phân biệt:

1  2   n và e 1x, e 2x, , en x là các nghiệm độc lập tuyến tính củaphơng trình vi phân (1.1) thì nghiệm của phơng trình (1.1) có dạng:

3 Nếu phơng trình đặc trng (1.2) nhận số thực  là bội  thì biểu thức

ex(c1 + c2x + + cx-1 ) trong nghiệm tổng quát của phơng trình sẽ chẵn

4 Nếu phơng trình đặc trng (1.2) có (  i) là nghiệm bội  thì nghiệm trong

nghiệm tổng quát của phơng trình (1.1) chứa số hạng có dạng:

y= ex (c1+c2x+ + cx-1 )cosx + (c1+c2x + + cx-1)sinx)

Đ2 phơng trình vi phân tuyến tính cấp n

không thuần nhất có hệ số hằng số

Ta xét phơng trình y(n) + a1y(n-1) + + any = f(x) (2.1)trong đó ai là các hằng số

Phơng trình (2.1) đợc gọi là phơng trình vi phân tuyến tính cấp n khôngthuần nhất có hệ số hằng số

Định lý (về nghiệm tổng quát của phơng trình không thuần nhất): Nghiệm

tổng quát của phơng trình (2.1) bằng nghiệm tổng quát của phơng trình:

y(n) + a1y(n-1) + + any = 0, cộng với một nghiệm riêng của phơng trình (2.1)

Nh vậy để tìm nghiệm tổng quát của phơng trình không thuần nhất ta chỉcòn cần xác định nghiệm riêng của nó

Phơng pháp biến thiên hằng số: Giả sử ỹ(x) là nghiệm riêng của phơng

trình (2.1), khi đó ta có ỹ(x)= c1(x)y1(x)+ c2(x)y2(x) + cn(x)yn(x), (2.1)' trong

đó y1(x), y2(x), …, y, yn(x) là các nghiệm độc lập tuyến tính của phơng trình thuầnnhất, ci(x),(i 1 ,n) là những hàm cần xác định sao cho (2.1)' là nghiệm củaphơng trình (2.1)

Thật vậy ta có

ỹ’(x) = c’1(x)y1(x) + c’2(x)y2(x) + + c’n(x)yn(x)

+ c1(x)y’1(x) + c2(x)y’2(x) + + cn(x)y’n(x)

Sao cho : c’1(x)y1(x) + c’2(x)y2(x) + + c’n(x)yn(x) = 0 (*)

ỹ”(x) = c’1(x)y’1(x) + c’2(x)y’2(x) + + c’n(x)y’n(x)

+ c1(x)y”1(x) + c2(x)y”2(x)+ + cn(x)y”n(x)

Sao cho : c’1(x)y’1(x) + c’2(x)y’2(x) + + c’n(x)y’n(x) = 0 (*)

ỹ(n-1)(x) = c’1(x)y1(n-2)(x) + c’2(x)y2(n-2)(x)+ + c’n(x)yn(n-2)(x)

+ c1(x)y1(n-1)(x) + c2(x)y2(n-1)(x) + + cn(x)yn(n-1)(x)

Sao cho : c’1(x)y1(n-2)(x) + c’2(x)y2(n-2)(x)+ + c’n(x)yn(n-2)(x) = 0 (*)

ỹ(n)(x) = c’1(x)y1(n-1)(x) + c’2(x)y2(n-1)(x) + + c’n(x)yn(n-1)(x)

+ c1(x)y1(n)(x) + c2(x)y2(n)(x) + + cn(x)yn(n)(x)

y(n) + a1y(n-1) + + any = ex P(x) (2.2)

có dạng: ỹ(x) = ex Q(x), trong đó Q(x) là đa thức cùng bậc với P(x)

1.2 Nếu  trùng với một nghiệm đơn của phơng trình đặc trng thì nghiệm riêng

của phơng trình (2.2) có dạng

ỹ(x) = xex Q(x)trong đó Q(x) là đa thức cùng bậc với P(x)

1.3 Nếu  trùng với nghiệm bội bâc  của phơng trình đặc trng thì nghiệm riêng

của phơng trình (2.2) có dạng

ỹ(x) = xex Q(x)trong đó Q(x) là đa thức cùng bậc với P(x)

Đ3 phơng pháp toán tử giải phơng trình vi phân

tuyến tính cấp n có hệ số hằng sốPhơng trình

a0y(n) + a1y(n-1 ) + + any = f(x) trong đó ai , (i 0,n) là các hằng số, viết đợc dới dạng

a0Dny + a1Dn-1y + + an-1Dy + any = f(x)

F(D)y = f(x)

1 Một số công thức và các phép toán về đa thức toán tử

Ta kiểm chứng các đồng nhất thức sau đây

1)F(D)ekx = (a0Dn + a1Dn-1 + + an-1D + an)ekx

= ekx(a0kn + a1kn-1 + + an-1k + an)

= ekxF(k)

2) F(D2)sinax = (a0D2n + a1D2n-2 + + an-1D2 + an)sinax

= [ao(-a2)n+a1(-a2)n-1+ +an-1(-a2)+an]sinax

= sin axF(-a2)

3) F(D2)cosax= (a0D2n + a1D2n-2 + +an-1D2 + an)cosax

= [a0(-a2)n + a1(-a2)n-1 + + an-1(-a2) + an]cosax

p p n n

p

p p

a

0 0

0

) (

Ta gọi tích F1(D).F2(D) của hai toán tử F1(D)và F2(D) là toán tử tác dụnglên hàm f(x) có đạo hàm đến cấp cần thiết theo đẳng thức

p p n m

q

q q m n

p

p p

a

0 0

Chú ý: Vì nghiệm y của phơng trình (3.3) xác định với độ chính xác sai khác

một nghiệm của phơng trình thuần nhất F(D)y = 0 nên kết quả của tác dụng

k 1 trong đó k là hằng sốThật vậy

F(D)

 D f x F

k 1 = kF(D)

 D f x F

e k

F

e k F k F

y = x

x x

e

e D

2

2 2

2

2 1 2

6 1

1

a F

ax ax

2

2 sin 2

sin 1

1

2 2

x x

ax ax

1 1 9

3 cos 2 3 cos 2 1

D

F

kx kx

x f x f

D

1 1

1





Thật vậy nếu y1 là nghiệm của phơng trình: F(D)y = f1(x) và y2 là nghiệmcủa phơng trình F(D)y = f2(x) thì y1 + y2 là nghiệm của phơng trình F(D)y = f1(x)+ f2(x).

D

1 1

1 1

1

lên đa thức

Xét tác dụng của toán tử

 D F

1

lên đa thức Pp(x) = A0xp + A1xp-1 + +Ap

Ta chia một cách hình thức 1 cho đa thức đặt theo luỹ thừa tăng của D.F(D) = an + an-1D + + a0Dn, an  0 (theo cách chia của đa thức thông thờng)

Quá trình chia sẽ dừng lại khi ta đợc đa thức toán tử bậc p (p là bậc của Pp(x)

b0 + b1D + + bpDp = Qp(D)Khi đó phần thừa là đa thức

R(D) = cp+1Dp+1 + cp+2Dp+2 + + cp+nDp+nchứa toán tử D với luỹ thừa không thấp hơn p + 1

Đối với phép chia của đa thức thông thờng ta có:

Nhng vì quy tắc cộng và nhân của đa thức toán tử không khác gì quy tắc cộng và nhân của đa thức thông thờng nên đối với đa thức toán tử ta cũng có (3.8)

Do đó ta có:

[F(D)Qp(D) + R(D)](A0xp + A1xp-1 + + Ap) = A0xp + A1xp-1 + + Ap

tức Qp(D) (A0xp + A1xp-1 + + Ap) là nghiệm của phơng trình:

F(D)x = (A0xp + A1xp-1 + + Ap)Vậy:

Ví dụ: y” + y = x2 - x + 2 hay (D2 + 1)y = x2 - x + 2 do đó

D

e D

2 2 2 2

1

x d) y” + 4y’ = 3e-4x hay (D2 + 4D)y = 3e-4x do đó:

5 5

x D

D

e x

§Æt y1 =

5 6

3 2







D D

e x

; y2 =

5 6

5 2 2



D x

6 5

1 5

5 6

1

x D D

x D

12 4

xe D

D

§Æt y1 =

4 3 2

e x

; y2 =

4 3



D D

D

x

2 3 2 6

1 9

3

1 1 3







Vì toán tử không chứa bậc chẵn của D nên không áp dụng công thức (3) nên thay cho phơng trình xuất phát ta phải xét phơng trình:

y” + y’ + y= -13e2ix hay y” + y’ + y = -13cos2x -13isin2x

ta có: (D2 + D + 1)y = -13e2ix do đó

y =

2 3

13 1

2 4

13 1

2 2 2

i

e D

D

= (2i + 3)e2ix = (2i + 3)(cos2x + isin2x)

= -2sin2x + 3cos2x + i(2cos2x + 3sin2x)

Phần ảo (2cos2x + 3sin2x) của nghiệm đó là nghiệm của phơng trình đãcho tức y = cos2x + 3sin2x

m) y” + y’ - 2y = ex(cosx - 7sinx) hay (D2 + D - 2)y = excosx - 7exsinx do đó:

y =

2

sin 7 2

cos

2 2

D D

Do đó ta có nghiệm của phơng trình đã cho là:

y = cos 3sin  7 1 (3cos sin )

x

x e

x

5

3 2 2

2 2

2

3 125 25 5

1 1 3

5

1 1 3

5

1 5

3

x D D D

x D

D

x D

D D D

=

125

6 25

3 5 125

6 25

6 5

D

D

5 5

5

50

1 25

25 5

sin 5 cos

y = -0,2x3 - 0,12x2 - 0,048x + 0,02(cos5x - sin5x)p) y” + 4y = 3e2x + xcos2x hay (D2 + 4)y = 3e2x + xcos2x do đó:

y =

4

2 cos 4

3

2 2

D

e x

Đặt: y1 =

2 2

34

x e

D  ; y2 = 2

cos 24

8

3 4 4

3 4

2



D

x x

Xét phơng trình y” + 4y = xe2ix hay y” + 4y = xcos2x + ixsin2x

e x

D i

cos 16

x i

x

cos 8 2

cos 16

1 2

sin

8

x x x x

i x x x

2 cos 16

1 2 sin 8

2 cos 16

1 2 sin 8

2

.Vậy nghiệm riêng của phơng trình đã cho là:

y =

2 2

Chơng 2 Một số phơng trình vi phân tuyến tính cấp n đa đợc về phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số

I Đa phơng trình tuyến tính thuần nhất cấp n về phơng trình có hệ số hằng

số nhờ phép thay biến độc lập.

Vì phơng trình tuyến tính thuần nhất có hệ số hằng số có thể giải bằng cácphép tính đại số nên ta quan tâm đến việc xét các phơng trình tuyến tính thuầnnhất có hệ số biến thiên mà nhờ phép biến đổi biến độc lập hay hàm phải tìm đa

t y

' ' ' ' '

dt dt

dy dx

dy

'  



2 2 2

2

'

'

dt

y d x dt

dy x dx

dt dt

y d x dt

2 2

y d

dy x

x dt

y d

) ( '

2

2

b n

x

x

q

a m

1

 

'1

2

q x x

2

q x n

n q x 

  

 

A n

m x

hệ số hằng số nhờ phép biến đổi biến số độc lập

2 y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 (**)

Đặt t = (x)

y’ =  

dt

dy x dx

dt dt

dy dx

dy

'  



2 2 2

2

'

'

dt

y d x dt

dy x dx

dt dt

y d x dt

dy x dt

y d

) ' ( '

'

2 2

b x

x q

a x

x x p x

2

q x x

x q x

x q x

q c

Ta hãy tìm nghiệm tổng quát của phơng trình ơle với x thuộc (0, ) (đểlập nghiệm tổng quát với các giá trị x âm thì trong tất cả các phép tính chỉ cầnthay x bởi -x).

Theo mục 1 nếu phơng trình (5) đa đợc về phơng trình có hệ số hằng sốbằng phép thay biến độc lập thì chỉ có thể bằng phép thay biến dạng

t t

2 2

n t

Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình x2y” - 2xy’ + 2y = 0 (8) Giải: Đặt x = et ta có:

t t

2 2

Vậy y = c1et + c2e2t hay y = c1x + c2x2

Ví dụ 2: Xét phơng trình x2y” - 3xy’ + 5y = 0 (9)Giải: Đặt x = et ta có

t t

x y e

y'  '

t t

2 2

t t t t t t

VËy y = e2t(c1cost + c2sint) hay y = x2(c1coslnx + c2sinlnx)

VÝ dô 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y:

Gi¶i: §Æt x = et ta cã

t t

2 2

t t t t t t

2 2

x y e

y'  ' 

t t

2 2

y y e e y t

t t

- T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh: y” - y’ - 2y = 6te-t

NghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh cã d¹ng:

-2 ~y = te-t(At + B)

-1 ~y ’ = -(At2 + Bt)e-t + (2At + B)e-t

1 ~y ” = (At2 + Bt)e-t - (2At + B)e-t - e-t(2At + B) + 2Ae-t

y” - y’ - 2y = -3(2At + B)e-t + 2Ae-t

3

6 6

1

c x x

Gi¶i: §Æt x = et ta cã

t t

2 2

Vậy nghiệm của phơng trình thuần nhất là

2 2 1

2 2 1

1

x c x c y hay e

c e c

- Tìm nghiệm riêng của phơng trình: y” - y’ - 2y = sint

Nghiệm riêng của phơng trình có dạng:

1 3

0,3sin 0,1cos

y   t t

hay ~y  0 , 3 sin lnx 0 , 1 cos lnx

suy ra nghiệm của phơng trình đã cho là:

2 2

t t t t t t

hay y t 2  y 0

ta có F() = 2 + 1 = 0 do đó 1 = i; 2 = -i

Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là:

y = c1cost + c2sint hay y = c1coslnx + c2sinlnx

f) (1 + x)2y” + (1 + x)y’ + y = 0 (15)Giải: Đặt 1 + x = et ta có:

t t

2 2

t t t t t t

hay y t 2  y 0

ta có F() = 2 + 1 = 0 do đó 1 = i; 2 = -i.

Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là:

y = c1cost + c2sint hay y = c1cosln(1 + x) + c2sinln(1 + x)

g) (2x + 1)2y” - 4(2x + 1)y’ + 8y = 0

Giải: Từ phơng trình trên ta có: ' 2 0

2

1 2

2 2

t t t t t t

hay y'' 3 ' 2 y  y0

ta có F() = 2 - 3 + 2 = 0 do đó 1 = 1; 2 = 2

Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là:

y = c1et + c2e2t hay y =

2 2

1

2

1 2

2

3 4

2 2

t t

e c e

3 3 2 1

y = c1 2

3 2 2

2

3 2

3 2

KếT LUậN

Khoá luận đã đạt đợc một số kết quả nh sau:

1.Hệ thống đợc các dạng nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hệ

số hằng số

2.Nêu đợc định nghĩa , chứng minh một số công thức và các phép toán về đa

thức toán tử,nghiên cứu toán tử giải

[1] Hoµng H÷u §êng,Ph¬ng tr×nh vi ph©n (tËp 1),Nhµ xuÊt b¶n §H vµ

THCN,1978

[2] NguyÔn ThÕ Hoµn – TrÇn V¨n Nhung,Ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng,Nhµ xuÊt b¶n §H vµ THCN,1981