Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.. Phạm vi nghiên cứu Do thời gian không nhiều nên bài khóa luận chỉ tìm hiểu được một số tính chấtphổ của toán tử tuy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của bài khóa luận này, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn người đã tận tình hướng dẫn để em cóthể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đềtài khóa luận này

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài khóa luận "Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn không

trùng với bất kì đề tài nào khác

Trong quá trình hoàn thành đề tài, em đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Đoàn Thị Linh

Mục lục

Lời Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Không gian định chuẩn 2

1.2 Không gian Hilbert 4

1.2.1 Định nghĩa không gian Hilbert 4

1.2.2 Toán tử liên hợp 4

1.2.3 Tính trực giao 5

1.3 Phổ của toán tử tuyến tính 6

Chương 2 phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 7

2.1 Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 7

2.1.1 Định lý giá trị riêng, vectơ riêng 7

2.1.2 Định lý tập giải thức 8

2.1.3 Định lí phổ 9

2.2 Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 10 2.2.1 Định lý phổ 10

2.2.2 Định lý chuẩn 11

2.2.3 Định lý (m và M là các giá trị phổ) 11

2.2.4 Định lý phổ thặng dư 12

2.3 Toán tử dương 13

2.3.1 Định lý tích của toán tử dương 13

2.3.2 Định nghĩa dãy đơn điệu 15

2.3.3 Định lý dãy đơn điệu 16

2.4 Căn bậc hai của toán tử dương 17

2.4.1 Định nghĩa căn bậc hai dương 17

2.4.2 Định lý căn bậc hai dương 18

2.5 Phép chiếu toán tử 20

2.5.1 Định lý phép chiếu 21

2.5.2 Định lý tính dương, chuẩn 22

2.5.3 Định lý tích của các phép chiếu 22

2.5.4 Định lý tổng của các phép chiếu 23

2.6 Các tính chất khác của phép chiếu 24

2.6.1 Định lý quan hệ thứ tự riêng 24

2.6.2 Định lý hiệu của các phép chiếu 25

2.6.3 Định lý dãy đơn điệu tăng 26

2.7 Họ phổ của một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 28

2.7.1 Định nghĩa họ phổ 28

2.7.2 Họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 32

2.7.3 Mệnh đề toán tử liên hợp với T 33

2.7.4 Bổ đề các toán tử liên quan với Tλ 35

2.7.5 Định lý họ phổ liên kết với một toán tử 36

2.8 Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 39

2.8.1 Định lý phổ cho toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 39

2.8.2 Định lý các tính chất của p(T ) 42

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết toán tử tuyến tính và lý thuyết phổ đóng vai trò quan trọng trong Giảitích hàm và nhiều ngành toán học khác, vì thế nó được nhiều nhà toán học quantâm Trong học phần Giải tích hàm, sinh viên chỉ mới được cung cấp một số kiếnthức cơ bản của toán tử tuyến tính liên tục Mục đích của khoá luận là tìm hiểu,nghiên cứu các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn Với mụcđích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo, em tìm hiểu các khái niệm và các tính chất

cơ bản, chứng minh chi tiết một số mệnh đề định lý có trong các tài liệu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

3 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu dựa trên sự kết hợp của các phương pháp: nghiên cứu lý luận,phân tích, tổng hợp, đánh giá

4 Phạm vi nghiên cứu

Do thời gian không nhiều nên bài khóa luận chỉ tìm hiểu được một số tính chấtphổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

5 Bố cục đề tài

Bố cục của đề tài bao gồm :

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

1 Không gian định chuẩn

2 Không gian Hilbert

Chương 2: Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

1 Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

2 Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

8 Họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

9 Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên bài khóa luậnkhông tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiếnphản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi X là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính

định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc C) cùng với ánh

xạ || || : X −→ R thỏa mãn các tiên đề sau:

1 ∀x ∈ X , || x || > 0, || x || = 0 ⇔ x = 0.

2 ∀x ∈ X , ∀α ∈ P, || αx || = |α| · || x ||.

3 ∀x, y ∈ X , || x + y || 6 || x || + || y ||.

Số || x || được gọi là chuẩn của vectơ x.

Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các tiên đề chuẩn.

Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản

nếu:

limn,m→∞|| xn− xm|| = 0

Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi

dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.4 Cho hai không gian tuyến tính bất kì X, Y trên trường P (P = R

hoặc C) Một ánh xạ T : X −→ Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu

i) T (x1+ x2) = T (x1) + T (x2), ∀x1, x2∈ X.

ii) T (αx) = αT x, ∀α, ∀x ∈ X

Điều kiện tương đương

T(α1x1+ · · · + αkxk) = α1T x1+ · · · + αkT xk,

với mọi x1, · · · , xk thuộc X và với mọi α1, · · · , αk.

Nếu X = Y thì ta nói T là một toán tử trong X.

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn Toán tử T : X −→ Y

gọi là liên tục nếu

xn−→ x0 thì T xn−→ T x0

Định nghĩa 1.1.6 Toán tử T : X −→ Y gọi là bị chặn nếu có một hằng số c > 0 để

với mọi x ∈ X :

Định lý 1.1.1 Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không

gian định chuẩn Y Khi đó ba mệnh đề sau tương đương

1 T liên tục.

2 T liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X.

3 T bị chặn.

Định nghĩa 1.1.7 Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X

vào không gian định chuẩn Y Hằng số c > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (∗) gọi là chuẩn của toán tử T và kí hiệu là ||T ||.

Định lý 1.1.2 Cho toán tử tuyến tính T từ không gian định chuẩn X vào không gian

định chuẩn Y Nếu toán tử T bị chặn thì

Định nghĩa 1.1.8 Toán tử tuyến tính T : X −→ Y (X, Y là hai không gian định

chuẩn) gọi là toán tử compact nếu T biến một tập bị chặn bất kì trong X thành tập compact tương đối trong Y.

Toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.

1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc C) ta

gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X x X vào trường P, kí hiệu h., i thỏa mãn tiên đề:

1 ∀x, y ∈ X , hy, xi = hy, xi.

Định nghĩa 1.2.2 Tập H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z, nào đó là không gian

Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau

1 H là không gian tuyến tính trên trường P;

2 H được trang bị một tích vô hướng;

3 H là không gian Banach với chuẩn || x || = phx, xi, ∀x ∈ H.

Ta gọi mọi không gian con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.

Định nghĩa 1.2.3 Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn, trong đó

H1 và H2 là không gian Hilbert Khi đó toán tử liên hợp T∗ của T là toán tử

T∗ : H2 −→ H1

sao cho với mọi x ∈ H1 và y ∈ H2,

hT x, yi = hx, T∗yi

Định lý 1.2.1 Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào

không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tử T∗ liên hợp với toán tử T ánh xạ không gian Y vào không gian X.

Định lý 1.2.2 Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào

không gian Hilbert Y Khi đó toán tử liên hợp T∗với toán tử T cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và

|| T∗|| = || T ||

Định nghĩa 1.2.4 Toán tử tuyến tính bị chặn T ánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó gọi là tự liên hợp nếu

hT x, yi = hx, Tyi

Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.

Định lý 1.2.3 Cho toán tử tuyến tính bị chặn T ánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó Khi đó T là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng hT x, xi là số thực với mọi x ∈ H.

Định lý 1.2.4 Tích của hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn S và T trên không

gian Hilbert H là tự liên hợp khi và chỉ khi hai toán tử đó giao hoán

ST = TS.

Định nghĩa 1.2.5 Cho H là không gian Hilbert Ta nói hai phần tử x, y ∈ H là trực

giao với nhau nếu hx, yi = 0, và được kí hiệu là x ⊥ y.

Cho A là tập con khác rỗng của H, x ∈ H Khi đó, ta nói x trực giao với A nếu

x trực giao với mọi phần tử trong A, và được kí hiệu là x ⊥ A.

Định nghĩa 1.2.6 Cho H là không gian Hilbert, E là không gian vectơ con của H.

Tập hợp F ⊂ H các phần tử trực giao với E được gọi là phần bù trực giao của E trong H và được kí hiệu là: E⊥.

5 A trù mật khắp nơi trong H, x ⊥ A ⇔ x = θ

Bất đẳng thức Schwarz: Giả sử h., i là một tích vô hướng trên X Khi đó

|hx, yi| 6phx,xi.phy,yi, ∀x,y ∈ X.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính

Mệnh đề không gian không: Phần bù trực giao Y⊥ của một không gian con đóng

Y của không gian Hilbert H là không gian khôngN (P) của phép chiếu trực giao P

từ H lên Y

Cho X 6= {∅} là không gian chuẩn phức và T : D(T ) −→ X là một toán tử tuyếntính với miền xác địnhD(T) ⊂ X Một giá trị chính quy λ của T là một số phức saocho:

(1) Rλ(T ) tồn tại

(2) Rλ(T ) bị chặn

(3) Rλ(T ) xác định trên tập trù mật trong X

Tập giải thức ρ(T ) của T là tập các giá trị chính quy λ của T

Phần bù σ (T ) = C − ρ(T ) trong mặt phẳng phức C được gọi là phổ của T, và

λ ∈ σ (T ) được gọi là một giá trị phổ của T Hơn nữa, phổ σ (T ) được phân chiathành ba tập rời rạc dưới đây:

• Phổ điểm: σp(T ) là tập sao cho Rλ(T ) không tồn tại Một λ ∈ σp(T ) đượcgọi là một giá trị riêng của T

• Phổ liên tục: σc(T ) là một tập sao cho Rλ(T ) tồn tại và thỏa mãn (3) nhưngkhông thỏa mãn (2), tức là Rλ(T ) không bị chặn

• Phổ thặng dư: σr(T ) là tập sao cho Rλ(T ) tồn tại (có thể bị chặn hoặc không)nhưng không thỏa mãn (3), tức là miền xác định của Rλ(T ) không trù mậttrong X

Chú ý:

1 C = ρ(T ) ∪ σ (T )

2 Rλ(T ) tồn tại khi và chỉ khi Tλx= 0 hay (T − λ I)x = 0 thì x = 0 Do đó, nếu(T − λ I)x = 0 với x 6= 0 nào đó thì λ ∈ σp(T )

Định lý 2.1.1 Cho T : H → H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên

một không gian Hilbert phức H Khi đó

(a) Tất cả các giá trị riêng của T (nếu tồn tại) là số thực.

(b) Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của T là trực giao.

Chứng minh. (a) cho λ là giá trị riêng bất kì của T và x là một vectơ riêng tươngứng Khi đó x 6= 0 và T x = λ x Theo tính tự liên hợp của T ta có

ứng Khi đó T x = λ x và Ty = µy Vì T là tự liên hợp và µ là số thực,

λ hx, yi = hλ x, yi = hT x, yi

= hx, Tyi = hx, µyi = µ hx, yi

Vì λ 6= µ, nên hx, yi = 0, nó là cơ sở trực giao của x và y

Thậm chí, phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực Kết quảchú ý này sẽ có được từ những đặc trưng dưới đây của tập giải thức ρ(T ) của T

Định lý 2.1.2 Cho T : H −→ H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên

không gian Hilbert phức H Khi đó, một số λ thuộc tập giải thức ρ(T ) của T khi và chỉ khi tồn tại một số c > 0 sao cho với mỗi x ∈ H ta có

(b) Ngược lại, giả sử (2) đúng với một số c > 0 cố định với mọi x ∈ H Khi đó tachứng minh được:

(α) Tλ : H −→ Tλ(H) là song ánh;

(β ) Tλ(H) trù mật trong H;

(γ) Tλ(H) đóng trong H, để cho Tλ(H) = H và Rλ = T−1

λ bị chặn bởi phépnghịch đảo bị chặn

(α) Ta có Tλx1= Tλx2 ⇒ x1 = x2 Vì Tλ là tuyến tính nên từ (2) ta suy ra được

0 = || Tλx1− Tλx2|| = || Tλ(x1− x2) || = c || x1− x2|| ;

do đó, || x1− x2|| = 0 vì c > 0, và x1= x2 Vì x1, x2 là tùy ý, ta có toán tử Tλ : H −→

Tλ(H) là song ánh

(β ) Ta nhận thấy rằng x0 ⊥ Tλ(H) ⇒ x0= 0, để Tλ(H) = H bởi Định lý phépchiếu Cho x0⊥ Tλ(H) Khi đó x0⊥ Tλ(H) Do đó, ∀x ∈ H, ta có

0 = hTλx, x0i = hT x, x0i − λ hx, x0i

và Tλ(H) = H bởi (β ) Lấy y ∈ Tλ(H), khi đó có một dãy (yn) trong y ∈ Tλ(H), hội

tụ tới y Vì yn ∈ Tλ(H), ta có yn= Tλxn với xn∈ H Bởi (2), ta có

|| xn− xm|| 5 1

c|| Tλ(xn− xm) || = 1

c|| yn− ym||

Do đó (xn) là dãy Cauchy vì (yn) hội tụ H là không gian đủ, nên (xn) hội tụ, nghĩa

là, xn −→ x Vì T là liên tục, nên Tλ cũng liên tục, và yn = Tλxn −→ Tλx Theođịnh nghĩa, Tλx∈ Tλ(H) Vì giới hạn là duy nhất, nên Tλx= y, để y ∈ Tλ(H) Do

đó, Tλ(H) là đóng vì y ∈ Tλ(H) là tùy ý Do đó, Tλ(H) = H bởi (β ) Nghĩa là,

Rλ = T−1

λ được xác định trên toàn H, và bị chặn, nó được trực tiếp suy ra từ (2) Do

đó, λ ∈ ρ(T )

Định lý 2.1.3 Phổ σ (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H −→ H

trên không gian Hilbert phức H là số thực.

Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.1.2, ta thấy rằng λ = α + iβ , (α, β là số thực) với

Ở đây, λ = α − iβ Bằng cách trừ vế với vế,

hTλx, xi − hTλx, xi = (λ − λ ) hx, xi = 2iβ || x ||2

Vế trái bằng −2iIm hTλx, xi, trong đó Im là kí hiệu phần ảo Biểu thức cuối khôngthể vượt quá giá trị tuyệt đối Chia biểu thức cuối cho 2, lấy giá trị tuyệt đối và ápdụng bất đẳng thức Schwarz, ta được

|β | || x ||2 = |Im hTλx, xi| 5 |hTλx, xi| 5 || Tλx || || x ||.Chia cho || x || 6= 0 được |β | · || x || 5 || Tλx || Nếu β 6= 0, thì λ ∈ ρ(T ) bởi định lýtrước Do đó, với λ ∈ σ (T ) ta có β = 0, nghĩa là λ là số thực

tự liên hợp bị chặn

Phổ σ (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực Điều đó đãđược chứng minh trong mục trước Ở mục này, phổ của toán tử như thế được mô tảchi tiết hơn vì nó có một số tính chất chung quan trọng

Định lý 2.2.1 Phổ của σ (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H −→ H

trên không gian Hilbert phức H nằm trên đoạn đóng [m, M] trên trục số thực, ở đó

||x||=1hT x, xi , M= sup

||x||=1

hT x, xi

Chứng minh σ (T ) nằm trên trục thực (bởi 2.1.3) Ta thấy bất kì số thực λ = M + c

với c > 0 thuộc tập giải thức ρ(T ) Với x 6= 0 và υ = || x ||−1xta có x = || x || υ và

c || x || Do đó λ ∈ ρ(T ) bởi 2.1.2 Với λ < m, ta chứng minh tương tự

nghĩa là, K 5 || T ||, trong đó K kí hiệu cho biểu thức bên trái Ta thấy rằng || T || 5

K Nếu T z = 0 với z bất kì thì T = 0 Mặt khác, với z bất kì thỏa mãn T z 6= 0, ta đặt

|hTy, yi| = || y ||2|hT x, xi| 5 || y ||2 sup

|| ˜x||=1

|hT ˜x, ˜xi| = K || y ||2

Theo bất đẳng thức tam giác và tính toán đơn giản ta có

|hTy1, y1i − hTy2, y2i| 5 |hTy1, y1i| + |hTy2, y2i|

Định lý 2.2.3 Cho H và T như trong Định lý 2.2.1 và H 6= {0} Khi đó m và M xác

định trong (1) là các giá trị phổ của T.

Chứng minh. Ta có M ∈ σ (T ) Theo định lý ánh xạ phổ, phổ của T + kI (k là hằng

số thực) có được từ phổ của T bằng phép tịnh tiến, và

Định lý 2.2.4 Phổ thặng dư σr(T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

T : H −→ H trên không gian Hilbert phức H là rỗng.

λ ∈ σr(T ) Theo định nghĩa của σr(T ), tồn tại nghịch đảo của Tλ nhưng miền xácđịnh của nóD(T−1

λ ) không trù mật trong H Do đó theo định lý phép chiếu có y 6= 0thuộc H trực giao với D(T−1

Vì y 6= 0, ta có λ là giá trị riêng của T Nhưng nó mâu thuẫn với λ ∈ σr(T ) Do đó,

σr(T ) 6= ∅ là không thể suy ra σr(T ) = ∅

Nếu T là tự liên hợp, hT x, xi là số thực, như đã biết ở mục 2.1 Do đó ta có thểxét tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbertphức H và đưa vào tập này một quan hệ thứ tự 5 bởi định nghĩa

với mọi x ∈ H Thay vì T15 T2 ta cũng viết T2 = T1

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

T : H −→ H được gọi là toán tử dương, kí hiệu

nghĩa là, (1) đúng khi và chỉ khi T2− T1 là dương

Phần này và phần sau chúng ta sẽ nói về toán tử dương và căn bậc hai của chúng,hơn nữa, nó cũng là phương tiện trong phép lấy đạo hàm của một phép biểu diễnphổ cho toán tử tuyến tinh tự liên hợp bị chặn trong chương này

Tổng của các toán tử dương là dương

Ta đã biết tích của các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn là tự liên hợp khi

và chỉ khi các toán tử giao hoán và ta sẽ nhận thấy trong trường hợp này, tính dươngđược bảo toàn

Định lý 2.3.1 Nếu hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn S và T trên không gian

Hilbert H là dương và giao hoán (ST = TS), thì tích của chúng ST là dương.

Chứng minh. Ta có hST x, xi = 0, ∀x ∈ H Nếu S = 0, định lý đúng Nếu S 6= 0 tathực hiện hai bước (a) và (b):

(b) Ta chứng minh rằng hST x, xi = 0, với mọi x ∈ H

Chứng minh chi tiết dưới đây

(a) Với n = 1 bất đẳng thức (4) đúng Thật vậy, giả sử 0 5 S suy ra 0 5 S1, và

S1 5 I thu được nhờ việc áp dụng bất đẳng thức Schwarz và bất đẳng thức || Sx || 5

|| S || · || x ||:

hS1x, xi = 1

|| S ||hSx, xi 5 || S ||1 || S || · || x || 5 || x ||2 = hIx, xi Giả sử (4) đúng với n = k, nghĩa là,

Hoàn thành chứng minh (4) bằng quy nạp.

Phép của các Sj giao hoán với T vì chúng là tổng và tích của S1 = || S ||−1S, và S

và T giao hoán Sử dụng S = || S || S1, công thức (6), T = 0 và tính liên tục của tíchtrong, với mỗi x ∈ H và yj= Sjxta có

Định nghĩa 2.3.1 Một dãy đơn điệu (Tn) của toán tử tuyến tính tự liên hợp Tn trên không gian Hilbert H là một dãy (Tn) đơn điệu tăng, tức là

T1 5 T25 T3 5 · · ·

Hay đơn điệu giảm, tức là

T1 = T2= T3 = · · ·Một dãy đơn điệu tăng có những tính chất đáng chú ý dưới đây (một định lýtương tự đúng cho dãy đơn điệu giảm)

Định lý 2.3.2 Cho (Tn ) là một dãy của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên

không gian Hilbert phức H sao cho

(a) Dãy ( 2nx, x) hội tụ với mỗi x ∈ H

(b) Tnx−→ T x, ở đó T là tuyến tính, tự liên hợp và bị chặn bởi định lý sự bịchặn đều

Chứng minh chi tiết dưới đây

Điều đó cho thấy ( 2nx, x) với x cố định là dãy đơn điệu giảm của các số không

âm Do đó nó hội tụ

(b) Ta có (Tnx) hội tụ Theo giả thiết, mỗi Tn giao hoán với mỗi Tm và K Do đócác Sj giao hoán Các toán tử đó là tự liên hợp Vì −2 hSmSnx, xi 5 −2 2nx, x bởi(8), ở đó m < n, ta có

Từ điều trên và sự hội tụ được chứng minh trong phần (a) ta có (Snx) là dãy Cauchy

Nó hội tụ vì H là không gian đủ Tn = K − Sn nên (Tnx) cũng hôi tụ Rõ ràng giớihạn phụ thuộc vào x, ta có thể viết Tnx−→ T x với x ∈ H

Do đó, ta có một toán tử tuyến tính T : H −→ H T là tự liên hợp vì Tn là tự liênhợp và tích trong là liên tục Vì (Tnx) hội tụ, nên nó là bị chặn với x ∈ H Định lý sự

bị chặn đều cho thấy T là bị chặn

Cuối cùng, T 5 K suy ra từ Tn 5 K

Nếu T là tự liên hợp, thì T2là dương vì 2x, x = hT x, T xi = 0 Ta xét bài toánhội tụ: cho toán tử dương T, tìm một toán tử tự liên hợp A sao cho A2 = T Điều

đó gợi ý đến khái niệm dưới đây Nó sẽ là cơ sở trong sự liên hệ với phép biểu diễnphổ

Cho T : H −→ H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương trên không gianHilbert phức H Khi đó toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A được gọi là một cănbậc hai của T nếu

Nếu A = 0 thì A gọi là căn bậc hai dương của T, và được kí hiệu bởi

A= T12

T12 tồn tại duy nhất:

2.4.2 Định lý căn bậc hai dương

Định lý 2.4.1 Mỗi toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương T : H −→ H trên

không gian Hilbert phức H có một căn bậc hai dương A là duy nhất Toán tử A này giao hoán với từng toán tử tuyến tính bị chặn trên H mà nó giao hoán với T.

(a) Ta thấy nếu định lý đúng với giả thiết thêm T 5 I, định lý cũng đúng nếukhông có giả thiết đó

(b) Ta có sự tồn tại của toán tử A = T12 từ Anx−→ Ax, trong đó A0 = 0 và

2(T − A

2

n), n= 0, 1, · · · ,

ta cũng chứng minh tính giao hoán được phát biểu trong định lý

(c) Ta chứng minh sự duy nhất của căn bậc hai dương

Chứng minh chi tiết dưới đây

(a) Nếu T = 0, thì ta có thể lấy A = T12 = 0 Cho T 6= 0, theo bất đẳng thứcSchwarz

hT x, xi 5 || T x || · || x || 5 || T || · || x ||2.Chia cho || T || 6= 0 và đặt Q =||T ||1 T, ta có

hQx, xi 5 || x ||2 = hIx, xi ;nghĩa là Q 5 I Giả sử Q có căn bậc hai dương duy nhất B = Q12, ta có B2 = Q và tathấy rằng một căn bậc hai của T = || T || Q là || T ||12 Bvì

(|| T ||12 B)2 = || T || B2= || T || Q = T

Dễ dàng thấy rằng Q12 là duy nhất suy ra căn bậc hai dương của T là duy nhất

Do đó, nếu ta có thể chứng minh định lý với giả thiết thêm T 5 I thì ta chứng minhxong

(b) Sự tồn tại Xét (2) Vì A0 = 0, nên ta có A1 = 12T, A2 = T − 18T2, · · · Mỗi

An là một đa thức trong T Do đó An là tự liên hợp và giao hoán, và chúng cũng giaohoán với mỗi toán tử giao hoán với T Ta chứng minh

(6) ST = T S =⇒ AS= SA,trong đó, S là toán tử tuyến tính tự bị chặn trên H.

= I− An.Chứng minh (4):

Ta sử dụng phép quy nạp Từ (2) ta có 0 = A0 5 A1 = 12T Ta thấy rằng An−1 5 Anvới n cố định bất kì suy ra An5 An+1 Từ (2) ta được

Ta có ST = TS suy ra AnS= SAn, tức là AnSx= SAnx, ∀x ∈ H Cho n −→ ∞ ta có(6).

(c) Tính duy nhất Cho A và B đều là căn bậc hai dương của T Khi đó A2 =

B2 = T Cũng có BT = BB2= B2B= T B để cho AB = BA bởi (6) Cho x ∈ H tùy

ý và y = (A − B)x Khi đó hAy, yi = 0 và hBy, yi = 0 vì A = 0, B = 0 Sử dụng AB =

BA và A2 = B2 ta có

hAy, yi + hBy, yi = h(A + B)y, yi = 2− B2)x, y = 0

Do đó hAy, yi = hBy, yi = 0 Vì A = 0 và A tự liên hợp, nên A có một căn bậc haidương C, tức là C2 = A và C là tự liên hợp.Ta có

0 = hAy, yi = 2y, y = hCy,Cyi = ||Cy ||2

và Cy = 0 Cũng có Ay = C2y= C(Cy) = 0 Tương tự, By = 0 Do đó (A - B)y = 0

Sử dụng y = (A - B)x, với mọi x ∈ H ta có

|| Ax − Bx ||2= 2x, x = h(A − B)y, xi = 0

Từ đó ta có Ax - Bx = 0 với mọi x ∈ H và chứng minh A = B

Ứng dụng của căn bậc hai sẽ được xét trong phần 2.8 Căn bậc hai là quy tắc cơ

sở trong liên hệ với biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

Khái niệm của phép chiếu toán tử P hay gọi tắt là phép chiếu P được định nghĩa

ở chương 1, trong đó không gian Hilbert H được biểu diễn như tổng trực tiếp củakhông gian con đóng Y và phần bù trực giao của nó Y⊥ Do đó