Khoá luận tốt nghiệp toán phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

Mục đích của khoá luận là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.. Chương 2: Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.. Các tính chất phổ

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của bài khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn người đã tận tình hướng dẫn để em có thế hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài khóa luận này

L Ờ I CA M ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài khóa luận "P hổ củ a to á n tử tuyến tín h tự liên hợp bịchặn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn không trùng với bất kì đề tài nào khác

Trong quá trình hoàn thành đề tài, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Đoàn Thị Linh

Đ ịnh lý tích của toán tử dương

Định nghĩa dãy đơn điệu

Đ ịnh lý dãy đơn điệu

10

11

11

12131315 16

Đ ịnh nghĩa căn bậc hai dương

Định lý căn bậc hai dương

Định lý hiệu của các phép chiếu

Đ ịnh lý dãy đơn điệu tăne

2.7 H ọ phô của m ộ t to án tử tuyến tín h tự liên hợp bị chặn

Họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

M ệnh đề toán tử liên hợp với T

B ổ đề các toán tử liên quan với 7 \

Đ ịnh lý họ phố liên kết với m ột toán tử

2.8. Biểu diễn phô của to án tử tuyến tín h tự liên hợp bị ch ặn

2222

232424 25 262828 323335 363939 424445

L Ờ I M Ở ĐẦU

1 L í do chọn đề tà i

Lý thuyết toán tử tuyến tính và lý thuyết phố đóng vai trò quan trọng trong Giải tích hàm và nhiều ngành toán học khác, vì thế nó được nhiều nhà toán học quan tâm Trong học phần Giải tích hàm, sinh viên chỉ mới được cung cấp một số kiến thức cơ bán của toán tử tuyến tính liên tục Mục đích của khoá luận là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn Với mục đích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo, em tìm hiểu các khái niệm và các tính chất

cơ bản, chứng minh chi tiết một số mệnh đề định lý có trong các tài liệu

Bố cục của đề tài bao gồm :

Chương 1: M ột số kiến thức chuẩn bị

1 Không gian định chuẩn

2 Không gian Hilbert

Chương 2: Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

1 Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

2 Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

8 Họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

9 Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên bài khóa luận không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Môt số kiến thức chuẩn bi

1.1 Không gian định chuẩn

Đ ỉnh ng hĩa 1.1.1 Ta gọi X là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính

định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường p (P = R hoặc C) cùng với ánh

xạ 1111 :X — > R thỏa mãn các tiên đ ề sau:

1 Vx £ X, II Jt|| ^ 0,11*11 = 0 <(=> X = 0.

2 Vx £ X,Voc £ p, II ccx\ \ — |a | • \ \x\\.

3 e X, I \x + ỵ 11 ^ 11X11 + 11y 11.

Số 11X 11 được gọi là chuẩn của vectơ X.

Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các tiên đ ề chuẩn.

Đ ỉnh n ghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản

nếu:

lim ||x „ - x m II = 0.n,m—

Đ ịnh ng hĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi

dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Đ ỉnh n ghĩa 1.1.4 Cho hai không gian tuyến tính bất kì X, Y trên trường p (P — R

hoặc C) M ột ánh xạ T :X — > Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu i) T (x 1 + x 2) = r ( * i ) + r ( *2),V x i,*2 e X

ii) T ( a x ) — ocTx,\/oc,Vx G X.

Điều kiện tương đương

T ( d C \ X \ + • • • + C C k^k) — Oí]Tx\ + • • • + 0Í£ T Xk,

với mọi , Xk thuộc X và với mọi , a k.

Nếu X = Y thì ta nói T là một toán tử trong X.

Đ inh n ghĩa 1.1.5 Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn Toán tử T : X — > Y

gọi ỉà liên tục nếu

x„ — > X() thì T xn — > T xQ.

Đ inh n ghĩa 1.1.6 Toán tử T : X — > Y gọi là bị chặn nếu có m ột hằng số c > 0 đ ể

với mọi X G X:

(*)

Đ ịnh lý 1.1.1 Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không

gian định chuẩn Y Khi đó ba mệnh đề sau tương đương

1 T liên tục.

2 T liên tục tại điểm Xị) nào đó thuộc X.

3 T bị chặn.

Đ ịnh n gh ĩa 1.1.7 Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X

vào không gian định chuẩn Y Hằng số c > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (*) gọi là chuẩn của toán tử T và k í hiệu là

Đ ịnh lý 1.1.2 Cho toán tử tuyến tính T từ không gian định chuẩn X vào không gian

định chuẩn Y Nếu toán tử T bị chặn thì

chuẩn) gọi là ĩoán tử com pacĩ nếu T biến một ĩập bị chặn bấĩ kì trong X thành tập compact tương đối trong Y.

Toán tử com pact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.

T 11 = sup 11 T ịịxịị^l

hay,

T — sup 11 T

Đ inh n g h ĩa 1.1.8 Toán tử tuyến tính T : X — > Y (X, Y là hai không gian định

1.2 Không gian Hilbert

Đ ỉnh nghĩa 1.2.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường p (P — R hoặc C) ta

gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X X vào trường p, k í hiệu thỏa mãn tiên đề:

Đ ịnh ngh ĩa 1.2.2 Tập H Ỷ 0 g(Ằ)m những phần tử X, ỵ, z, nào đó là không gian

H ilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau

1 H là không gian tuyến tính trên trường P;

2 H được trang bị m ột tích vô hướng;

3 H là không gian Banach với chuẩn 11X 11 = y / (x,x),Vx E H.

Ta gọi mọi không gian con đóng của không gian H ilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.

Đ ỉnh ng hĩa 1.2.3 Cho T : H\ — > Hi là một toán tử tuyến tính bị chặn, trong đó

H I và ỈỈ 2 là không gian Hilbert Khi đó toán tử liên hợp T* của T là toán tử

T * : H 2 — ► Hị

sao cho với mọi X E H\ và y E Hi,

(T x ,y ) = ( x , r y )

Đ ịnh lý 1.2.1 Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian H ilbert X vào

không gian Hilberl Y Khi đổ tồn tại toán lử T* liên hợp với loúri tử T ánh xạ không gian Y vào không gian X.

Đ ịnh lý 1.2.2 Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian H ilbert X vào

không gian H ilbert Y Khi đó toán tử liên hợp T* với toán tử T cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và

Đ ịnh ng hĩa 1.2.4 Toán tử tuyến tính bị chặn T ánh xạ không gian H ilbert H vào

chính nó gọi là tự liên hợp nếu

(Tx, y) = {x, Ty).

Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.

Đ ịnh lý 1.2.3 Cho toán tử tuyến tính bị chặn T ánh xạ không gian H ilbert H vào

chính nó Khỉ đó T là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Tx, x) là số thực với mọi X G H.

Đ ịnh lý 1.2.4 Tích của hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn s và T trên không

gian H ilbert H là tự liên hợp khi và chỉ khi hai toán tử đó giao hoán

ST = TS.

Đ ỉnh n gh ĩa 1.2.5 Cho H là không gian Hilbert Ta nói hai phần tử x ,ỵ G H là trực

giao với nhau nếu (x ,y) = 0, và được k í hiệu là X _L y.

Cho A là tập con khác rỗng của H, X G H Khi đó, ta nói X trực giao với A nếu

X trực giao với mọi phần tử trong A, và được k í hiệu là X L A

Đ ịnh n gh ĩa 1.2.6 Cho H là không gian Hilbert, E là không gian vectơ con của H

Tập hợp F c H các phần tử trực giao với E được gọi là phần bù trực giao của E trong H và được k í hiệu là: E ~

5 A trù mật khắp nơi trong H, X _L A X — 6.

B ất đ ẳn g th ứ c S chw arz: Giả sử là một tích vô hướng trên X Khi đó

\(x,y) \ ^ ^ ( x 1x ) ^ / ( y , y ) , y x 1y e x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X, y phụ thuộc tuyến tính

M ện h đề khôn g gian không: Phần bù trực giao Y 1 của một không gian con đóng

Y của không gian H ilbert H là không gian không j V(P) của phép chiếu trực giao p

từ H lên Y

1.3 Phổ của toán tử tuyến tính

Cho X Ỷ ị 0 } là không gian chuẩn phức và T \ 3>(T) — » X là một toán tử tuyến tính với miền xác định @( T) c x Một giá trị chính quy Ằ của T là một số phức sao

cho:

(1) R x ự ) tồn tại.

(2) (T) bị chặn.

(3) R-x Ợ ) xác định trên tập trù mật trong X.

Tập giải thức p { T ) của T là tập các giá trị chính quy Ằ của T.

Phần bù ơ { T ) — c — p ( r ) trong mặt phẳng phức c được gọi là phổ của T, và

Ằ G ơ ( r ) được gọi là một giá trị phổ của T Hơn nữa, phổ ơ ( T ) được phân chia

thành ba tập rời rạc dưới đây:

• Phổ điểm: ơp( T) là tập sao cho Rx ( T ) không tồn tại M ột Ằ G ơp( T) được

gọi là một giá trị riêng của T

• Phổ liên tục: ƠC(T) là một tập sao cho Rỵ (T ) tồn tại và thỏa mãn (3) nhưng không thỏa mãn (2), tức là Rx (T) không bị chặn.

• Phố thặng dư: ơ r(T) là tập sao cho tồn tại (có thể bị chặn hoặc không)

nhưng không thỏa mãn (3), tức là miền xác định của R ị { T ) không trù mật

Đ ịnh lý 2.1.1 Cho T : H —> H lcì một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên

một không gian H ilbert phức H Khi đó

(a) Tất cả các giá trị riêng của T (nếu tồn tại) là số thực.

(b) Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của T là trực giao.

Chứng minh, (a) cho Ằ là giá trị riêng bất kì của T và X là một vectơ riêng tương

ứng Khi đó X Ỷ 0 và T x — Xx Theo tính tự liên hợp của T ta có

ứng Khi đó T x — Ảx và Ty — Ịly Vì T là tự liên hợp và ỊẤ là số thực,

Đ ịnh lý 2.1.2 Cho T : H — » H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên

không gian H ilbert phức H Khi đó, một số Ằ thuộc tập giải thức p ( T ) của T khi và chỉ khi tồn tại một số c > 0 sao cho với mỗi X £ H ta cỏ

Chứng minh, (a) Nếu Ằ G p ( ỉ ) , thì RẢ — T ~ l : H — > H tồn tại và bị chặn, tức là

11 Rx 11 = k (k > 0), vì R ị ^ 0 Vì / = Rx T\ , nên với mỗi X £ H ta có

Chia hai vế cho k ta được 11 TịX II ^ c 11X11, trong đó c — J.

(b) Ngược lại, giả sử (2) đúng với một số c > 0 cố định với mọi X e H Khi đó ta

Vì T là tự liên hợp, nên ta có

(*,7*o) = ( T x , x o) = ( x , Ả x o \ ,

để TXo — X xq Một nghiệm là Xo = 0, và *0 / 0 là không thể vì Ằ là một giá trị riêng

của T, để Ằ = Ằ bởi 2.1.1 và T Xo — = T^x0 = 0, và (2) dẫn đến mâu thuẫn

0 = II 7 ^ 0 II ^ c | | * o | | > 0

vì c > 0 Kết quả là Xo = 0 Vì vậy, Tỵ ( H) 1- — {0} vì Xo là vectơ trực giao bất kì từ 7\ (H) Do đó Tx (H) = H, nghĩa là, Tị (H ) trù mật trong H.

(y) Cuối cùng ta chứng minh rằng ỵ G Tỵ (H) thì y G Tx ( //) , để Tx (H) là đóng,

và Tx (H) — H bởi (jS) Lấy ỵ € Tx ( //) , khi đó có một dãy (ỵn) trong y G Tx (H), hội

tụ tới y Vì y n e Tx ( //) , ta có y n — Tỵx,J với e H Bởi (2), ta có

11 %n II ^ II C^/1 ) 11 — II 11 •

Do đó (jc„) là dãy Cauchy vì (yn) hội tụ H là không gian đủ, nên (xn) hội tụ, nghĩa

là, x n — > X Vì T là liên tục, nên Tỵ cũng liên tục, và y n — Tỵxn — y TịX Theo định nghĩa, TỵX G 7 \ (H) Vì giới hạn là duy nhất, nên TỵX = y, để y G Tị (H) Do

đó, Tx(H) là đóng vì y G T^(H) là tùy ý Do đó, T ị ( H) — H bởi (j8) Nghĩa là,

R ị — T 71 được xác định trên toàn H, và bị chặn, nó được trực tiếp suy ra từ (2) Do

Đ ịnh lý 2.1.3 Phô ơ ( T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H — » H

trên không gian H ilbert phức H là số thực.

Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1.2, ta thấy rằng Ả — a + iị3, ( a , ß là số thực) với

Ở đây, Ằ = a — iß Bằng cách trừ vế với vế,

(TẢx, x) - (TẢx, x) = ( Ằ - Ằ ) {x,x) = 2iß | | x || 2

v ế trái bằng —2ilm (T^x.x), trong đó Im là kí hiệu phần ảo Biểu thức cuối không

thể vượt quá giá trị tuyệt đối Chia biểu thức cuối cho 2, lấy giá trị tuyệt đối và áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta được

Phố ơ ( T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực Điều đó đã

được chứng minh trong mục trước Ở mục này, phổ của toán tử như thế được mô tả chi tiết hơn vì nó có một số tính chất chung quan trọng

2.2.1 Định lý phổ

Đ ịnh lý 2.2.1 P h ổ của ơ ( T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H — > H

trên không gian H ilbert phức H nằm trên đoạn đóng [m, M ] trên trục số thực, ở đó

(1) m = inf (T x ,x ), M = sup ( Tx , x )

Chứng minh ơ ( T ) nằm trên trục thực (bởi 2.1.3) Ta thấy bất kì số thực Ằ = M + c

với c > 0 thuộc tập giải thức p ( T ) Với = II jc||_i X ta có = 11*11 u và

trong đó, c — Ằ - M > 0 bởi giả thiết Chia cho 11X11 ta được bất đẳng thức 11 T^x 11 ^

c 11X11 Do đó Ằ G p (T) bởi 2.1.2 Với Ằ < m, ta chứng minh tương tự □

Chứng minh Theo bất đẳng thức Schwarz,

sup I (T’jc, je) I ắ sup II 7"jc 11 • \\x\\ = II T II,

nghĩa là, K ^ 11 T 11, trong đó K kí hiệu cho biểu thức bên trái Ta thấy rằng 11 T 11 ắ

K Nếu Tz = 0 với z bất kì thì T = 0 Mặt khác, với z bất kì thỏa mãn Tz Ỷ 0, ta đặt

\(Ty,y)\ = ||y||2l(7X*)l ắ IWI2 Kr *’*)l =

*IMI2-Theo bất đẳng thức tam giác và tính toán đơn giản ta có

l(7>i,);i) - (Ty2ìy2)\ ắ |(7>I ơ \ >1 + I(7>2,y2>|

ắ ^(ILvi II2 + 11^2 II2)

Đ ịnh lý 2.2.3 Cho H và T như trong Định lý 2.2.1 và H Ỷ {0}- Khi đó m và M xác

định trong ( ì) là các giá trị phô của T.

Chứng minh Ta có M G ơ ( T ) Theo định lý ánh xạ phổ, phổ của T + k l (k là hằng

số thực) có được từ phổ của T bằng phép tịnh tiến, và

Định lý 2.1.2 cho thấy X = M không thuộc tập giải thức của T Do đó M G ơ ( T )

Đ ịnh lý 2.2.4 Phô thặng dư ơ r(T) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

T : H — > H trên không gian H ilbert phức H là rỗng.

Chứng minh Ta nhận thấy rằng giả sử ơ r(T) Ỷ 0 dẫn tới một mâu thuẫn Cho

Ằ G ơ r(T) Theo định nghĩa của ơ r(T), tồn tại nghịch đảo của Tỵ nhưng miền xác

định của nó 1) không trù mật trong H Do đó theo định lý phép chiếu có y Ỷ 0

thuộc H trực giao với 1) M à 1) là miền của T ị , do đó

(TẦx , y ) = 0 V x e H

Vì X là số thực (2.1.3) và T là tự liên hợp, nên ta có (*, Tị}’) — 0, với mọi X Lấy

X — Txỵ, ta có II Tỵy 112 = 0, sao cho

Tỵy = Ty - Xy = 0.

Vì y Ỷ 0, ta có Ả là giá trị riêng của T Nhưng nó mâu thuẫn với Ằ G ơr(T) Do đó,

ơ r(T) / 0 là không thể suy ra ơ r(T) — 0 □

Nếu T là tự liên hợp, ( Tx, x) là số thực, như đã biết ở mục 2.1 Do đó ta có thể

xét tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H và đưa vào tập này một quan hệ thứ tự ^ bởi định nghĩa

(1) T ị ^ T 2 ^ (Tịx,x) ắ (72*,*)

với mọi X G H Thay vì Tị ^ Ĩ 2 ta cũng viết Ĩ 2 ^ T \

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

T : H — > H được gọi là toán tử dương, kí hiệu

(2) r ^ o khi và chỉ khi (Tx, x) ^ 0, Vx £ H.

Thay vì viết T ^ 0 ta cũng viết 0 ^ T Thực tế, một toán tử như vậy được gọi là

không âm, nhưng thông thường người ta gọi là toán tử dương

Chú ý mối liên hệ đơn giản giữa (1) và (2), tức là,

nghĩa là, (1) đúng khi và chỉ khi 72 — Tị là dương.

Phần này và phần sau chúng ta sẽ nói về toán tử dương và căn bậc hai của chúng, hơn nữa, nó cũng là phương tiện trong phép lấy đạo hàm của một phép biểu diễn phố cho toán tử tuyến tinh tự liên hợp bị chặn trong chương này

Tổng của các toán tử dương là dương

Ta đã biết tích của các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn là tự liên hợp khi

và chỉ khi các toán tử giao hoán và ta sẽ nhận thấy trong trường hợp này, tính dương được bảo toàn

2.3.1 Định lý tích của toán tử dương

Đ ịnh lý 2.3.1 Nếu hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn s và T trên không gian

H ilbert H là dương và giao hoán (ST = TS), thì tích của chúng ST là dương.

Chứng minh Ta có (S T x , x ) ^ 0,Vx e H Nếu 5 = 0, định lý đúng Nếu s Ỷ 0 ta

thực hiện hai bước (a) và (b):

(a) ta xét

và chứng minh bằng quy nạp

(b) Ta chứng minh rằng (STx, x) ^ 0, với mọi X E H.

Chứng minh chi tiết dưới đây

(a) Với n = 1 bất đẳng thức (4) đúng Thật vậy, giả sử 0 ^ s suy ra 0 ^ S \ , và

S\ ^ I thu được nhờ việc áp dụng bất đẳng thức Schwarz và bất đắng thức 11 Sx 11

Phép của các 5'/- giao hoán với T vì chúng là tổng và tích của s I = 11 s 11 ~ 1 s, và s

và T giao hoán Sử dụng s — 11 s 11 S ị , công thức (6), T ầ: 0 và tính liên tục của tích trong, với mỗi X G H và yj — SjX ta có

Đ inh n g h ĩa 2.3.1 M ột dãy đơn điệu (Tn ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp Tn trên

không gian H ỉlbert H là m ột dãy (T„) đơn điệu tăng, tức là

7, ắ T i ắ T à ắ - * *

7ÌMột dãy đơn điệu tăng có những tính chất đáng chú ý dưới đây (một định lý tương tự đúng cho dãy đơn điệu giảm).

Đ ịnh lý 2.3.2 Cho (T„) là một dãy của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên

không gian H ilbert phức H sao cho

(a) Dãy ( ( ^ x , x ) ) hội tụ với mỗi X e H.

(b) Tnx — » Tx, ở đó T là tuyến tính, tự liên hợp và bị chặn bởi định lý sự bị

chặn đều

Chứng minh chi tiết dưới đây

(a) Rõ ràng, s n là tự liên hợp Ta có

Sm ~ SnSm — (Sm Sn)Sm — (Tn — Tm) ( K — Tm).

Cho m < n Khi đó Tn — Tm và K — Tm là dương bởi (7) Vì các toán tử này giao hoán,

nên tích của chúng là dương bởi Định lý 2.3.1 Do đó, ở vế trái, — s ns m ^ 0, tức

Điều đó cho thấy ((sjjtjjc)) với X cố định là dãy đơn điệu giảm của các số không

âm Do đó nó hội tụ

(b) Ta có (7^jc) hội tụ Theo giả thiết, mỗi Tn giao hoán với mỗi Tm và K Do đó các Sj giao hoán Các toán tử đó là tự liên hợp Vì —2 (,s ms nx ,x ) ^ —2 bởi(8), ơ đó m < n, ta có

11 s mx S nx II — ( (Sm S n )x, (S m Sf J )x)

( (*Sm Sn ) X,

= ( s ị x , x ) - 2 (SmSnx ,x ) + ( s 2 nx , x )

ắ { s ị x , x ) - ( S ; ,x ,x )

Từ điều trên và sự hội tụ được chứng minh trong phần (a) ta có (s„x) là dãy Cauchy

Nó hội tụ vì H là không gian đủ Tn — K — s„ nên (T„x) cũng hôi tụ Rõ ràng giới hạn phụ thuộc vào X, ta có thế viết Tnx — » T x v ô i X e H.

Do đó, ta có một toán tử tuyến tính T : H — > H T là tự liên hợp vì Tn là tự liên hợp và tích trong là liên tục Vì (Tnx) hội tụ, nên nó là bị chặn với X G H Định lý sự

bị chặn đều cho thấy T là bị chặn

2.4 Căn bậc hai của toán tử dương

Nếu T là tự liên hợp, thì T 2 là dương vì Ợ 2x , x ) — ( T x T x ) ^ 0 Ta xét bài toán hội tụ: cho toán tử dương T, tìm một toán tử tự liên hợp A sao cho A 2 = T Điều

đó gợi ý đến khái niệm dưới đây Nó sẽ là cơ sở trong sự liên hệ với phép biểu diễn phổ

2.4.1 Định nghĩa căn bậc hai dương

Cho T : H — » H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương trên không gian

Hilbert phức H Khi đó toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A được gọi là một căn bậc hai của T nếu

2.4.2 Định lý căn bậc hai dương

Đ ịnh lý 2.4.1 M ỗi toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương T : H — » H trên

không gian H ilbert phức H có m ột căn bậc hai dương A là duy nhất Toán tử A này giao hoán với từng toán tử tuyến tính bị chặn trên H mà nó giao hoán với T.

Chứng minh Ta tiến hành chứng minh trong 3 bước:

(a) Ta thấy nếu định lý đúng với giả thiết thêm T ^ /, định lý cũng đúng nếu

không có giả thiết đó

(b) Ta có sự tồn tại của toán tử A — T 2 từ A nx — * Ax, trong đó Ao = 0 và

(2) A n+ị = A n + —( T — Á ị) , n = 0,1, - - * ,

ta cũng chứng minh tính giao hoán được phát biểu trong định lý

(c) Ta chứng minh sự duy nhất của căn bậc hai dương

Chứng minh chi tiết dưới đây

(a) Nếu T = 0, thì ta có thể lấy A = T 2 = 0 Cho T Ỷ theo bất đẳng thức Schwarz

Dễ dàng thấy rằng Ổ- là duy nhất suy ra căn bậc hai dương của T là duy nhất

Do đó, nếu ta có thể chứng minh định lý với giả thiết thêm T ắ ỉ thì ta chứng minh

xong

(b) Sự tồn tại Xét (2) VI A() — 0, nên ta có A\ — ị r , Á 2 — T - \ T 2, • • • Mỗi

A n là một đa thức trong T Do đó A n là tự liên hợp và giao hoán, và chúng cũng giao

hoán với mỗi toán tử giao hoán với T Ta chứng minh

(4) A n ^ A n+l n = 0 ,1 , * • •;

(5) A nx — > Ax, A = T ĩ ;

(An) là đơn điệu bởi (4) và A n ầ I bởi (3) Do đó, từ Định lý 2.3.3 suy ra sự tồn tại

của một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A thỏa mãn A„x — > Ax, Vx G H Vì

(A„x) hội tụ, (2) có

A n+ \ x - A nx = ) ị { T x - A 2 nx) — > 0

khi n — ¥ oo Do đó T x - A 2X — 0, Vx, nghĩa là, T = Á 2 Cũng có A ^ 0 vì 0 = Ao ắ

A„ bởi (4), tức là (Anx, x) ^ 0 với X £ H Điều đó suy ra (Ax,x) ^ 0 với X e H, theo

tính liên tục của tích trong

Chứng minh (6):