Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian hilbert (LV01744)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2Doãn Hoàng Việt PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DOÃN HOÀNG VIỆT

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Doãn Hoàng Việt

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí,người đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luậnvăn

Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy côgiáo trong tổ Giải tích- khoa Toán- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2cùng gia đình, bạn bè và các thành viên trong lớp Toán giải tích Khóa

17 đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Doãn Hoàng Việt

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫncủa TS Tạ Ngọc Trí Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứutrong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Cácthông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc Luận văn chưa được công bố trên bất kỳ tạp chí, phươngtiện thông tin nào

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Doãn Hoàng Việt

MỤC LỤC

1.1 Đại số Banach và lý thuyết phổ 8

1.1.1 Đại số Banach 8

1.1.2 Lý thuyết phổ 9

1.2 Các toán tử compact trên không gian Hilbert 13

2 Phổ của các toán tử tuyến tính bị chặn 17 2.1 Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp 18

2.1.1 Phép toán đối với phiếm hàm liên tục cho các toán tử tự liên hợp 18

2.1.2 Độ đo phổ 23

2.1.3 Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp 25

2.2 Lý thuyết phổ cho các toán tử chuẩn tắc 30

3 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert 34 3.1 Các định nghĩa cơ bản 34

3.2 Các toán tử đóng 40

3.3 Các toán tử tự liên hợp 453.3.1 Toán tử liên hợp 453.3.2 Tiêu chuẩn cho sự tự liên hợp và tự liên hợp thiết

yếu 523.4 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn và một số ví dụ 563.4.1 Một số vấn đề cơ bản cho các toán tử tuyến tính

không bị chặn 563.4.2 Định lý phổ 613.4.3 Các ví dụ cụ thể về các toán tử không bị chặn và

phổ của chúng 68

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một chuyên ngành chính giữ vai trò rất quan trọngtrong Toán học, nó giúp ta tìm hiểu và phát triển các ngành khác tronggiải tích Trong giải tích hàm, lý thuyết toán tử đã được hình thành từsớm, từ đầu thế kỷ 20 và ngay lập tức nó đóng vai trò chủ đạo trongngành giải tích Lý thuyết toán tử là một nhánh của giải tích hàm liênquan đến các toán tử và tính chất của chúng

Cuốn sách đầu tiên về lý thuyết toán tử được Stefan Banach giới thiệulần đầu tiên năm 1932 Sau đó nó đã được nhiều nhà Toán học phát triển

và ứng dụng rất nhiều như Hilbert, Gelfand hay von Neumann Họ

đã phát triển nhiều khái niệm mới về toán tử như toán tử đóng, toánliên hợp, toán tử không biên Và có một cách phát triển hiện đại đểnghiên cứu về các toán tử, đó chính là nghiên cứu Phổ của chúng, tiêubiểu là lý thuyết phổ của các toán tử tuyến tính T : H1 → H2 Kết quảcủa lý thuyết phổ có thể được mô tả như việc cố gắng phân loại tất cảcác toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Một toán tử tuyến tính xác định trên không gian Hilbert và thỏa mãnđiều kiện bị chặn thì nó là toán tử tuyến tính bị chặn Tuy nhiên nhiềutoán tử tuyến tính lại không thỏa mãn điều kiện bị chặn này dẫn đếnkhái niệm “toán tử tuyến tính không bị chặn” Khái niệm này khá mới

mẻ ngay cả đối với học viên cao học giải tích, và việc tìm hiểu mở rộngkhái niệm phổ của lớp các toán tử không bị chặn này chắc chắn có nhiềuđiều thú vị và có nhiều ứng dụng cần được quan tâm Vì vậy, việc tìmhiểu vấn đề phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gianHilbert là cần thiết

Với mong muốn làm phong phú thêm hiểu biết cho những ai muốntìm hiểu về giải tích hàm, đặc biệt là các toán tử, đồng thời tìm hiểu sâuhơn về vấn đề này, cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy TS Tạ Ngọc Trí,tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Phổ của toán tử tuyến tính không

bị chặn trong không gian Hilbert”

2 Mục đích nghiên cứu

+ Tìm hiểu về toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gianHilbert, phổ của các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gianHilbert

+ Các định lý, ví dụ và kết quả liên quan đến toán tử tuyến tínhkhông bị chặn trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Trình bày định nghĩa, định lý và các khái niệm có liên quan đếntoán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert

+ Nghiên cứu về phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trongkhông gian Hilbert

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử tuyến tính không bị chặn trongkhông gian Hilbert, phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trongkhông gian Hilbert

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tại liệu cóliên quan đến toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert

và phổ của nó

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết phổ: lý thuyết toán tử,toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert; kiến thức về đại sốBanach

+ Sử dụng phương pháp và kiến thức của giải tích hàm để tiếp cậnvấn đề

6 Đóng góp mới

+ Trình bày được nhiều lý thuyết về phổ của các toán tử bị chặn

+ Trình bày về khái niệm toán tử tuyến tính không bị chặn, phổ củatoán tử tuyến tính không bị chặn và ứng dụng của toán tử tuyến tínhkhông bị chặn trong một số ví dụ cụ thể.

7 Nội dung

Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản để làm nền cho cácchương chính để có thể tiếp cận các chương sau như lý thuyết phổ, đại

số Banach, các toán tử compact

Chương 2 Luận văn trình bày về phổ của các toán tử bị chặn Qua phầnnày, tác giả muốn đóng góp thêm các định lý và ví dụ về phổ của cáctoán tử tự liên hợp hay các toán tử chuẩn tắc

Chương 3 Luận văn trình bày về các toán tử tuyến tính không bị chặntrong không gian Hilbert và đưa ra một số kết quả liên quan đến phổcủa một số toán tử không bị chặn Thông qua đó, tác giả cũng nêu đượctầm quan trọng và ứng dụng của toán tử không bị chặn trong một sốtrường hợp cụ thể

Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Đại số Banach và lý thuyết phổ

1.1.1 Đại số Banach

Trước hết ta định nghĩa về đại số: Không gian tuyến tính B được gọi làmột đại số nếu trong nó đưa thêm một đại số nữa -phép nhân, thỏa mãncác tiên đề:

-(1) (f g) h = f (gh) ∀f, g, h ∈ B

-(2) f (g + h) = f g + f h và (f + g) h = f h + gh ∀f, g, h ∈ B

-(3) α (f g) = (αf ) g ∀α ∈ C, f g ∈ B

-(4) Tồn tại phần tử đơn vị e ∈ B sao cho: ef = f e = f

-(5) Nếu bản thân phép nhân là giao hoán, tức là f g = gf ∀f, g ∈ B.-(6) kf gk ≤ kf k kgk ∀f, g ∈ B và kek = 1

Một đại số Banach (trên C, và ta luôn giả sử có đơn vị), là một khônggian Banach A với phép nhân

(a, b) 7→ abthỏa mãn quy tắc đại số thông thường (kết hợp, phân phối đối với phépnhân) là C-tuyến tính, và cùng với chuẩn trên A thỏa mãn hai điều kiện

kabk 6 kak kbk , k1k = 1

và

ka1a2 akk 6 ka1k kakk

Ví dụ đơn giản về đại số Banach là A = L(V ), không gian Banachcủa các ánh xạ liên tục V → V , ở đây bản thân V là không gian Banach,với chuẩn toán tử thông thường

và phép nhân là tích của hai ánh xạ Nói riêng, nó bao gồm trường hợp

A = L(H), ở đây H là một không gian Hilbert Trong trường hợp nàycùng với cấu trúc tuyến tính trên A, toán tử liên hợp T → T∗ được kýhiệu bởi

hT υ, ωi = hυ, T∗ωi , với mọi υ, ω ∈ H

Phép liên hợp này thỏa mãn các quy tắc sau: cộng tính, đối hợp (tức

ab = ba=1

Đặc điểm chủ yếu của đại số Banach, trong phép nhân con với chuẩn

và tính đầy đủ của không gian véctơ cơ sở tất cả tương tác với nhau,qua bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.1 Cho A là một Đại số Banach Khi đó A× là mở trong A,

và chính xác hơn nữa, với bất kỳ a0 ∈ A×, khi a0 = 1, tồn tại δ > 0 đểcho phần tử a ∈ A mà kak < δ, ta có a0 + a ∈ A× sao cho

(a0 + a)−1 = a0−1X

k>0

(−1)k a0−1a
k,

ở đây, chuỗi hội tụ tuyệt đối Nếu a0 = 1, ta có thể lấy δ = 1.

Chứng minh Ta có

(−1)k a0−1a
k a0−1a k 6 a0−1 kkakk,

vì vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối trong A nếu kak6 a0 −1 −1

Tính chất cơ bản của σ (a) ⊂ C là nó là một tập con compact, khôngrỗng của C, có thể thấy đơn giản nhất qua việc xem trường hợp các matrận hạng-hữu hạn

Các lớp toán tử đặc biệt trên không gian Hilbert được định nghĩadưới đây:

vì vậy, nói riêng, một unita T là chuẩn tắc

Một sự tương tự cơ bản để so sánh L(H) với C như sau, dựa trên sựtương tự của sự liên hợp với liên hợp phức:

- T là tự liên hợp tương ứng với z ∈ R;

- T unita tương ứng với kzk = 1;

- T là dương tương ứng với z ∈ [0; +∞]

Ta cũng chú ý đến điều dưới đây: với bất kỳ T ∈ L(H), các toán tử

T T∗ và T∗T đều tự liên hợp và dương: Thật vậy, ta có

A = T T∗, B = T∗T bởi tính chất chuẩn tắc) Vì vậy ta cần nhắc lại bổ

Bổ đề này được sử dụng để chỉ ra tính chất quan trọng của phổtrong L(H) Ta có: σ(T ) ⊂ N (T ), bao đóng của miền trị số được địnhnghĩa bởi

N (T ) = {hT (υ), υi | kυk = 1} Một đặc điểm quan trọng của không gian Hilbert là công thức

dư của một toán tử tự liên hợp là rỗng

Ta nhắc lại rằng, phổ điểm σp(T ) của T là tập tất cả các giá trị riêng

λ của T ; phổ thặng dư của T , ký hiệu là σr(T ) là tập các λ nằm trongphổ của T sao cho λ − T là đơn ánh nhưng ảnh của λ − T chỉ là tậpcon thực sự của H chứ không phải toàn bộ H Phổ liên tục của T , kýhiệu là σr(T ) là tập các λ thuộc phổ của T sao cho λ − T là đơn ánhnhưng không phải là toàn ánh, có ảnh không trù mật, là phần còn lạingoài phổ điểm và phổ thặng dư Phổ liên tục trước hết khó có thể hiểuđược; nhưng chú ý sau sẽ giúp ta rõ ràng hơn: nếu λ ∈ C không thuộc

σp(T ) ∪ σr(T ) thì λ ∈ σc(T ) nếu và chỉ nếu

tồn tại véctơ υ với kυk = 1 và k(T − λ) υk là nhỏ tùy ý (1.7)

Thật vậy, sự tồn tại của dãy các véctơ với k(T − λ) υnk → 0 tươngđương với ánh xạ được mô tả như sau

1.2 Các toán tử compact trên không gian Hilbert

Ta có định nghĩa tương đương của các toán tử compact:

(1) T ∈ L(H) là compact, ký hiệu là T ∈ K(H), nếu có một dãycác toán tử Tn ∈ L(H) với dimIm(Tn) < +∞ với mọi n, và lim

n→+∞Tn = Ttrong tôpô sinh bởi chuẩn trên L(H);

(2) Với tập con bất kỳ bị chặn B ⊂ H, ảnh T (B) ⊂ H là compactđịa phương, nghĩa là bao đóng của nó là compact

Trong bất kỳ một không gian Hilbert vô hạn chiều nào, có hìnhcầu đơn vị đóng của H không compact, điều đó kéo theo rằng các toán

tử đồng nhất không nằm trong K(H) Nói cách khác, định nghĩa thứnhất chỉ ra rằng T ∈ K(H) là compact và S ∈ L(H) là tùy ý, ta có

ST, T S ∈ K(H), hoặc theo ngôn ngữ đại số, K(H) là iđêan-2 ngôitrong đại số Banach L(H) Định nghĩa thứ nhất cũng chỉ ra rằng K(H)

là đóng trong L(H) Thực tế thì nếu H là tách được, K(H) chỉ là iđêan-2ngôi đóng trong L(H), ngoại trừ 0 và L(H)

Dưới đây là kết quả cơ bản cho toán tử compact trong L(H):

Định lý 1.2.1 (Phổ cho các toán tử compact) Cho H là một khônggian Hilbert vô hạn chiều và cho T ∈ K(H) là một toán tử compact.(1) Trừ giá trị 0, phổ của T giữ nguyên điểm phổ; nói cách khác tacó

σ (T ) − {0} = σp(T ) − {0}

(2) Ta có 0 ∈ σ (T ) và 0 ∈ σp(T ) nếu và chỉ nếu T không đơn ánh.(3) Điểm phổ ngoài 0 là đếm được và có hữu hạn bội số: với mỗi

λ ∈ σp(T ) − {0}, ta có

dim Ker(λ − T ) < +∞

(4) Giả sử T là chuẩn tắc Cho H0 = Ker (T ), và H1 = Ker(T )⊥ Khi

đó T ánh xạ H0 đến H0 và H1 đến H1; trên H1, là tách được, tồn tạimột hệ trực chuẩn (e1, , en, ) và λn ∈ σp(T ) − {0} sao cho

lim

n→+∞λn = 0và

với mọi đại lượng vô hướng αi, αn ∈ C mà véctơ bên vế trái nằm trong

H, và chuỗi bên vế phải hội tụ trong H Điều này cũng được mô tả nhưsau

Chứng minh Có thể tham khảo [6] để biết thêm chi tiết

Hệ quả 1.2.2 (Luân phiên Fredholm) Cho H là một không gian Hilbert,cho T ∈ K(H), và cho λ ∈ C − {0} Nếu có nghiệm không tầm thường

0 6= υ ∈ H để

T (υ) − λυ = 0,

thì với mọi ω ∈ H, thì có duy nhất υ ∈ H sao cho

T (υ) − λυ = ω

Hơn nữa, nghiệm duy nhất này bị chặn bởi kυk 6 C kωk

Chứng minh Thật vậy, điều giả sử là λ /∈ σp(T ) − {0}, và điều này nghĩa

là λ /∈ σ(T ) trong khi phổ khác không rõ ràng tạo bởi các giá trị riêng.Như vậy (T − λ) là khả nghịch

Phần (4) của định lý có một dạng phát biểu tương đương như sau:Mệnh đề 1.2.3 Bất kỳ toán tử đường chéo nào được định nghĩa trênkhông gian Hilbert tách được H bằng việc cố định hệ trực chuẩn (en)n>1

T∗T đã được định nghĩa ở mệnh đề trên, được ký hiệu là |T |

Mệnh đề 1.2.5 Cho H là một không gian Hilbert và cho T ∈ K (H).Tồn tại hai hệ trực chuẩn (en) và (fn) trong H, và các số thực dương snvới sn → 0 khi n → +∞ sao cho

Chứng minh Toán tử T∗T là là một toán tử compact dương, vì vậy ta

có thể tìm S ∈ K(H) với S2 = T∗T Hơn nữa, ta có

kS (υ)k2 = hS (υ) , S (υ)i = hT∗T (υ) , υi = kT (υ)k2 (1.9)

với mọi υ ∈ H Điều này có nghĩa là T (υ) = 0 nếu và chỉ nếu S (υ) = 0(nói cách khác là Ker(S) = Ker(T )), và nó kéo theo ánh xạ tuyến tính

U (S (ω)) = T (ω)với ω ∈ H

Ta có thể kéo dài U bởi sự liên tục đến bao đóng H1 = Im(S) vàbởi 0 đến

Chương 2PHỔ CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN

Chương này sẽ bắt đầu từ kết quả mà ta đã có cho các toán tử compact

và phân thành từng lớp các toán tử bị chặn T ∈ L(H) với nội dung chủyếu từ [6] Ta sẽ sử dụng phổ đầy đủ để hy vọng phân loại được các toán

tử bị chặn Và kết quả của chương sẽ làm sáng tỏ được định lý sau:Định lý 2.0.6 Cho H là không gian Hilbert tách được và T ∈ L(H)

là một toán tử chuẩn tắc liên tục Khi đó tồn tại một không gian độ đo(X, µ), một toán tử unita

2.1 Lý thuyết phổ cho các toán tử tự liên hợp

2.1.1 Phép toán đối với phiếm hàm liên tục cho các toán tử

tự liên hợp

Phần này ta sẽ định nghĩa hàm f (T ) cho toán tử tự liên hợp T ∈ L(H)

và f ∈ C(σ(T )) Định nghĩa của hàm f (T ) sẽ được sáng tỏ như sau: nếu

com-1 ∈ A, f ∈ A ⇒ f ∈ A,

và với hai điểm bất kỳ z1, z2 ∈ X, tồn tại f ∈ A với f (z1) 6= f (z2) Khi

đó A là trù mật trong C (X) với chuẩn L∞; trong đó

kf kC(X) = max

x∈X |f (x)|

Hệ quả 2.1.2 Cho X ⊂ R là một tập compact của các số thực với tôpôcảm sinh Khi đó không gian của các hàm đa thức (giới hạn tới X) trên

X là trù mật trong C (X) với chuẩn L∞

Chứng minh Rõ ràng không gian A của các hàm đa thức trên X la mộtđại số con của C (X), chứa 1, và nó tách các điểm (các hàm đơn x 7→ x

cũng như vậy, và nằm trong A) Hơn nữa, nếu

khi x = x, nghĩa là f cũng thuộc A

Hệ quả 2.1.3 Tổ hợp tuyến tính của các hàm

Chứng minh Xem [6]

Những điều này được áp dụng cho X = σ(T ) ⊂ R với T tự liên hợp,

ta biết rằng hàm f ∈ C (σ (T )) có thể xấp xỉ đều bởi các hàm đa thức.Điều này dẫn đến định nghĩa

f (T ) = lim

ở đây (pn) là dãy các đa thức sao cho kf − pnkC(X) → 0 Định nghĩa nàybao gồm cả chiều và tính dương, và tính chất cơ bản của cấu trúc nàyđược đưa ra trong định lý sau:

Định lý 2.1.4 (Phép toán cho các hàm liên tục) Cho H là không gianHilbert và T ∈ L(H) là một toán tử bị chặn tự liên hợp Khi đó tồn tạimột ánh xạ duy nhất

φ = φT : C (σ (T )) → L (H) ,

cũng ký hiệu là f 7→ f (T ) cùng với các tính chất sau:

-(0) Điều này mở rộng định nghĩa cho các đa thức, hay với bất kỳ

σ (f (T )) = f (σ (T )) = σ (f ) , ở đây σ (f ) tính được với f ∈ C (σ (T ))

(2.4)Nhận xét 2.1.5 Cho (1), tính chất (0) là bao hàm duy nhất bởi C-tuyến tính và bởi thực tế là φ (z 7→ z) = T

Chứng minh Ta thấy, thực chất việc chứng minh sự tồn tại của φ là chỉ

ra (2.1) là định nghĩa phù hợp Thực tế nếu ta có thể chứng minh (2.2)cho f = p ∈ C [X], ta có thể kết luận rằng ánh xạ

ánh xạ p đến p(T ) là tuyến tính, liên tục và thực tế là đẳng cự Do đó

nó kéo dài duy nhất bởi sự liên tục đến C (σ (T )), và sự mở rộng còn lạiđẳng cự Bởi tính liên tục, tính chất

φ (f1f2) = φ (f1) φ (f2) , φ(f )∗ = φ f
,phù hợp với các đa thức (sử dụng T = T∗ cho phần sau), qua giới hạn

và đúng với mọi f Điều này chỉ ra rằng

Có rất nhiều tính chất quan trọng đối với phổ của các toán tử bị chặnnhưng ta chỉ bổ sung một tính chất rất quan trọng để mô tả về các toán

tử bị chặn trên không gian Hilbert Để tìm hiểu về tính chất này, ta cóđịnh nghĩa về toán tử nhân qua ví dụ sau:

Ví dụ 2.1.6 (Toán tử nhân) Cho (X, µ) là một không gian độ đo hữuhạn và cho g ∈ L∞(X, µ) là một hàm bị chặn Khi đó ta có một ánh xạtuyến tính liên tục

sao cho Mg xác định rõ ràng và liên tục với chuẩn kMgk ≤ kgk∞.

Ví dụ 2.1.7 Cho H = L2(X, µ) với không gian độ đo hữu hạn (X, µ),

và cho g ∈ L∞(X) là một hàm giá trị thực Toán tử nhân Mg (ví dụtrên) khi đó là tự liên hợp trên H Phổ σ (Mg) là miền thiết yếu (essentialrange) của g, được định nghĩa như sau:

σ (Mg) = x ∈ R

µ g−1(]x − ε, x + ε[)
> 0 với mọi ε > 0 Thật vậy, trước tiên ta có Mg − λ = Mg−λ; Ta có thể giải phươngtrình (Mg − λ) ϕ = ψ với ψ ∈ L2(X, µ) bằng việc đặt

g − λ,

và đây là nghiệm như một tập-hàm lý thuyết trên X Nó chỉ ra rằng ta

có λ ∈ ρ (Mg) nếu và chỉ nếu toán tử

µ

n

x ∈ X

(g (x) − λ)−1