Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N.. Chứng minh rằng : tổng DE + MN không đổi..[r]
Trang 1PHÒNG GD – ĐT TP THỦ DẦU MỘT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
GIẢI THƯỞNG LƯƠNG THẾ VINH
NĂM HỌC: 2012-2013 MÔN TOÁN: LỚP 8
Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 30/3/2013
Bài 1: (3d)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24
0 2009
a b c
a b c
Tính A = a4 + b4 + c4
Bài 2: (3đ)
a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz
b) Cho Phương trình:
x m x
c) Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0) Chứng minh rằng : 1 1 1 9
a b c
Bài 3(2đ)
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn DB, DC lần lượt lấy điểm E và F sao cho EAD FAD Chứng minh rằng
2 2
.
BE BF AB
CE CF AC
Bài 4(2đ)
Cho tam giác ABC, các điểm D và M di động trên AB sao cho AD = BM Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N Chứng minh rằng : tổng DE + MN không đổi
Trang 2
Bài 1: (3d)
0 2009
a b c
a b c
Tính A = a4 + b4 + c4
Cách 1:
Ta có: a+b+c=0
a+b = -c
(a+b)2 – 2ab = c2
(a+b)2 – c2 = 2ab
(a+b+c)(a+b-c) = 2ab
0 = 2ab
a=0 hoặc b=0
Nếu a=0 b = -c và b2 + c2 = 2009
b2 + b2 = 2009
2b2 = 2009
b=
2009
2 và c =
-2009 2
Do đó: A = a4 + b4 + c4 =
(1)
Nếu b=0 a = -c và a2 + c2 = 2009
a2 + a2 = 2009
2a2 = 2009
a=
2009
2 và c =
-2009 2
Do đó: A = a4 + b4 + c4 =
(2)
Từ (1) và (2) A = a4 + b4 + c4
2 1
2009
2
Trang 3Cách 2:
Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009
(a2 + b2 + c2 )2 = 20092
a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 20092
a4 +b4 +c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 20092
a4 +b4 +c4 = 20092 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) (1)
Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009
(a+b+c)2 - 2ab - 2ac - 2bc = 2009
ab+ac+bc
2009 2
( do a+b+c = 0)
(ab+ac+bc )2
2
2009 4
a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2a2bc + 2b2ac + 2c2ab
2
2009 4
a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a+b+c)
2
2009 4
a2b2 + b2c2 + c2a2
2
2009 4
( do a+b+c = 0) (1) a4 +b4 +c4 = 20092 -2
2
2009 4
a4 +b4 +c4
2
2009 2
Bài 2: (3đ)
a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz
Cách 1:
Ta có: (x-y)2 ≥ 0 với mọi x,y R
Tương tự : (y-z)2 ≥ 0 , (z-x)2 ≥ 0 với mọi x,y,z R
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được:
x2 – 2xy + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ 0
2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy+yz+xy) ≥ 0
(x2 + y2 + z2 ) - (xy+yz+xy) ≥ 0
(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 )
3(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) + 2(xy+yz+xy)
3(xy+yz+xy) ≤ (x + y + z)2 = 9
(xy+yz+xy) ≤ 3
Vậy B = 3 thì đạt giá trị lớn nhất
Dấu “=” xảy ra khi x=y=x =1
Cách 2:
Ta có: B = xy + yz + xz và x + y + z = 3
B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y)
=xy + 3(x+y) – (x+y)2
= -x2 – y2 – xy + 3x + 3y
Trang 4=
2 2
2
3 3 6 9 3 1 3 3
Dấu “=” xảy ra khi
1 0
2 0
y y
x y z
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x=y=z=1
b) Cho Phương trình:
x m x
Đk: x ≠ 2
Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2)
2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12
(1-m)x = 2m – 14
2 7
1
m
x
m
Đề phương trình có nghiệm dương x > 0 khi
( )
loai
m
+Với Đk x ≠ 2
2 7 1
m
Từ (1), (2)
Vậy 1< m < 7 và m ≠ 4 thì phương trình trên có nghiệm dương