Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng ED.. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ NINH BÌNH
-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn Toán : Lớp 8
(Thời gian làm bài: 150 phút)
-Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biÓu thøc A x y y x x y y xy y x x x y x y xy y x
2 2 4 2
2
2
: 2
2
Với x 0 ;y 0 ;x 2y;y 2 2x2
a Rót gän biÓu thøc A
b Cho y = 1 hãy tìm x để
5
2
A
Bài 2: (3,0 điểm)
Giải phương trình:
a x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0
b 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường cao AD, CE Gọi H, K theo thứ
tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng ED Chứng minh:
a EH = DK
b SBEC + SBDC = SBHKC
Bài 4: (4,0 điểm)
a Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 y25x y2 2 60 37 xy
b T×m c¸c sè nguyªn x, y, z tho¶ m·n: x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c ≤ 1
2
1 2
1 2
1
2 2
Bài 6: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có Aˆ Bˆ 2Cˆ và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
-Hết -
T-DH0-HSG8-12-THS
Trang 2Bài Đáp án ; Kết quả Điểm
Bài 1:
(4,0
điểm)
a (2,0 điểm)
) 2 2
2 )(
2 (
1 )
2 2
2 )(
2 2
2 (
) 1 )(
(
) 2 )(
(
2 2
2
) 2 2
2 )(
2 2
2 (
) 1 )(
(
) 2 )(
(
2 2
2 2
2
4 2 2 4 4 4 : 2 2
2
2 2
2 2
y x x y
x y
x y
x
x y x x
y y x
y x A
y x y
x
x y x x
y y x
y y x x y y x A
x xy y x
y y x x x
xy y
y y x x y
y x A
1,0
1,0
b.(2,0 điểm) với y = 1 ta có :
0 ) 7 4 2 4 )(
1 (
0 7 11 2 8 3 4 5
2 3 2 2 2
1
x x x
x x
x x
x
x A
Tìm được x = 1
1,0
1,0
Bài 2:
(3,0
điểm)
a (1,5 điểm)
x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 � x4 x 30x2 x 1 0
x x x x
x x x x x x
�
x2 x 1 x2 x 30 0
�
2
x x x
5
x
x
�
� Vậy S 6;5
1,0 0,25
0,25
b.(1,5 điểm) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0
�(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z
+ 1) = 0
�9(x – 1)2 + (y – 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : (x 1) 2 � 0;(y 3) 2 � 0;(z 1) 2 � 0 x ;;y z
Nên : (*)�
1 3 1 0
1
0 3
0 1
z y x z
y x
0,5 0,5 0,5
Trang 3Bài 3:
(4,0
điểm)
P
H
Q I
A
D
E
K
M
a.(1,5 điểm)
Gọi M, I lần lượt là trung điểm BC,ED
Chứng minh được MED cân tại M => MI ED
Hình thang BHKC có:
BM = MC, MI // BH // CK nên IH = IK mà ID = IE
=> EH = DK
0,5
1,0
b.(2,5 điểm) Vẽ EE’, II’, DD’ vuông góc với BC
- Chứng minh được II’ là đường trung bình của hình thang EE’D’D nên:
II’ =
2
1
(EE’ + DD’)
2
1 D' 2
1 E' 2
1
- Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BH, CK tại P và Q
- Chứng minh được BPQC là hình bình hành nên SBPQC = BC II’ (2)
- Chứng minh được PIH = QIK nên SBPQC = SBHCK (3)
Từ (1); (2); (3) => SBEC + SBDC = SBHKC
0,5 1,0
0,5 0,5
Bài 4:
(4,0
điểm)
a.(2,0 điểm) x2 y2 5x y2 2 60 37 xy (1)
(1)� x y 5x y 35xy60� x y 5 xy3 4xy
Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn, VT 0�
5 xy- 3 4 xy 0 3 xy 4
Do ,x y Z � => xy Z� => 3
4
xy xy
�
�
- Nếu
3
3 0
x
x y
- Nếu
2 4
0
x y x
x y
�
2
x y
x y
�
�
� là các giá trị cần tìm.
0,5 0,5 0,25
0,25
0,5
b.(2,0 điểm)
V× x, y, z lµ c¸c sè nguyªn nªn
x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4
Trang 42 2 2
� � � �
Mµ 2 2 2
� � � � �
� � � � x y R, �
� � � �
0
2
1
1 0
y x
x y
y z z
�
�
�
�
� � �
�
�
�
Kết luận:
0,25
0,25 0,25
0,25
Bài 5:
(2,0
điểm)
9 2
1 2
1 2
1
2 2
§Æt x = a2 2bc ; y = b2 2ac ; z = c2 2ab
Ta cã xyz abc2 1
(1) 11 1 9
z y
x Víi x + y + z ≤ 1 vµ x , y, z >
0
Áp dụng bất đẳng thức C«si cho ta cã:
xyz3.3 xyz đẳng thức xảy ra <=> x = y = z
z y x
1 1 1
3 .3 1
xyz đẳng thức xảy ra <=> 1x 1y 1z
. 1 1 1 9
z y x z y
=> 111 9
z y
x đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1/3 <=> a = b = c = 1/3 (®pcm)
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,5
0,25
Bài 6:
(3,0
điểm)
1
2 1
A
Tam giác ABC có A ˆ Bˆ => BC > AC
Trên cạnh CB lấy điểm D sao cho CA = CD
Chứng minh được: Aˆ Aˆ1 Aˆ2 Dˆ1 Aˆ2 Bˆ Aˆ 2 Aˆ2 Bˆ 2 Aˆ2
Theo đề bài Aˆ Bˆ 2 Cˆ => Aˆ Cˆ 0,5
Trang 5Tam giác ABC có Aˆ2 Cˆ (CMT); Bˆchung.
=> ABC DBA g g( ) AB BC
Do các cạnh của tam giác ABC là các số tự nhiên liên tiếp và a >b nên
a – b = 1 hoặc a – b = 2
- Nếu a – b = 1 thì a – c = 2 => a = c + 2 Thay vào (1) ta được
1 1
c
c
�
� � � � � Khi đó a = 4, b = 3.
Ba số 2, 3, 4 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
- Nếu a – b = 2 thì a – c = 1 = > a = c + 1 Thay vào (1) ta được:
Vậy AB = 2, AC = 3, BC = 4
0,5 0,5
0,5
0,5