DE THI HSG TOAN 8 2

Giải và biện luận phơng trình sau, với a là hằng số.. Cho tam giác ABC.. b Chứng minh tứ giác BEHC là hình bình hành.. c Các cạnh AB và AC của tam giác ABC có điều kiện gì để tứ giác BEH

đề thi học sinh giỏi tuyến trờng môn toán lớp 8

năm học : 2006 – 2007. 2007.

thời gian : 150 phút

Câu 1: (2 điểm)

Biết a(a+2) + b (b+2) – 2ab = 63 Tính a – b

Câu 2: (2 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x3 + 5x2 +3x – 9

b) (x+ y +z)3 – (x3 + y3 + z3)

Câu 3: (3 điểm)

Chứng minh biểu thức:

A = 2006(32005 + 32004 + + 32 + 4) + 1003 chia hết cho 32006

Câu 4: (3 điểm)

Giải và biện luận phơng trình sau, với a là hằng số

1 a

1 x



 = 1 – a.

Câu 5: (2,5 điểm)

Tính giá trị của biểu thức:

A =

2

x x 1 x

  biết x2 – 4x + 1 = 0.

Câu 6: (6,5 điểm)

Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm F sao cho AF =

3

1 AB Trên AC lấy

điểm G sao cho AG =

3

1 AC Lấy điểm E đối xứng với điểm G qua F Lấy điểm

H đối xứng với điểm F qua điểm G

a) Chứng minh FG // BC

b) Chứng minh tứ giác BEHC là hình bình hành

c) Các cạnh AB và AC của tam giác ABC có điều kiện gì để tứ giác BEHC là hình chữ nhật

Đáp án đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8.

năm học : 2006 – 2007. 2007.

Câu 1 : 2 điểm

Ta có : a (a + 2) + b (b + 2) – 2ab = 63

 a2 + 2a + b2 + 2b – 2ab = 63

 (a - b)2 + (a - b) + 1 – 64 = 0

 (a – b + 9)(a – b - 7 ) = 0

 a – b + 9 = 0 hoặc a – b – 7 = 0

a – b = - 9 hoặc a – b = 7

Câu 2: 3 điểm

a) 1 điểm

x3 + 5x2 + 3x – 9 = (x3 - 1)(5x2 - 5) + (3x - 3)

= (x – 1) (x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3 (x – 1)

= (x – 1 )(x2 + x + 1 +5x +5 +3)

= (x - 1) (x2 + 6x + 9)

= (x - 1) (x+3 )2

b) 2 điểm

(x + y + z)3 – (x3 +y3 + z3)

= (x + y + z)3 – z3 – (x3 + y3)

= (x + y + z - z)[(x + y + z)2 + z(x + y + z) + z2] – (x3 + y3)

= (x + y)[(x + y + z)2 + z(x + y + z) + z2] – (x + y)(x2 – xy + y2)

= (x + y ) (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 2x + 2y + 2z2 - x2 + xy – y2) = (x + y ) (3z2 + 3xy + 3yz + 3zx)

= 3 ( x + y) (z2 + xy + yz + zx)

= 3 (x + y ) [(z2 + zx ) +(xy +yz)]

= 3 (x + y) [z(z + x)]+ y (z+x) ]

= 3 (x + y) (z+x) (z + y)

Câu 3 : 3 điểm

A = 2006 (32005 + 3 2004 + + 32 + 4) + 1003

3A = 2006 (32006 + 32005 + + 33 +32 + 3) + 3009

3A – A = 2006 (32006 + 32005 + + 33 +32 + 3) + 3009 – [2006 ( 32005 +

32004+ + 32 +3 + 1 ) + 1003]

2A = 2006 32006 + 3009 – 3009

A =

2

3

2006 2006

32006 (đpcm) Câu 4 : 3 điểm

ĐKXĐ : x  1

Quy đồng và khử mẫu ở hai vế ta đợc : 1 + a = (1 - x) (1 - a)

 (a - 1)x = 2a (1)

- Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0.x = 2 (vô lí ) : phơng trình vô nghiệm

- Nếu a  1 thì (1) có nghiệm x = 2a

a 1 Để là nghiệm của PT ban đầu cần thoả mãn điều kiện 2a

a 1  1 a  -1

Kết luận: a = 1 hoặc a = -1 PT VN

a 1 và a  - 1 thì PT có 1 nghiệm x = 2a

a 1 . Câu 5 : 2,5 điểm

Từ x2 – 4x +1 = 0  x2 – x +1 = 3x hay x2 +x +1 = 5x

B

C

Ta có : A =

2

x x 1 x

  =  2 2 2

2

x

 



= 2   2 

2

x x 1 x x 1

x



3x

x

5x

x 3 5 =15.

Câu 6 : 6,5 điểm

a) 3 điểm

Lấy M , N lần lợt là trung điểm của BF, CG Ta có : AF = FM = MB

AG = GN = NC Xét AMN có FA = FM ; GA = GN

 FG // MN và FG =

2

1.MN

Gọi S là giao điểm của BG và MN

+BFG có MS // FG và BM = MF  BS = SG

+ GBC có BS = SG ; GN = NC  SN // BC hay MN // BC

Từ FG // MN và MN // BC  FG// BC

b) 2,5 điểm

Theo chứng minh câu a) ta có FG =

2

1.MN

MN = FG BC

2



 FG =

3

1 BC

 EH = 3 FG =BC

Tứ giác BEHC có BC = EH và BC // EH nên BEHC là hình bình hành

c) 1 điểm

Tứ giác BEHC là hình chữ nhật  E H 90ˆ ˆ  0

 BF = CG

Do đó : AB = AC

Biên tập: PHT Lê Văn Nguyện

Upload: GV LXD